25.2.2 公式法（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级“一元二次方程根的判别式及公式法”，课堂导入衔接降次解法（如配方法），通过“学习理解-应用实践-迁移创新”分层设计，以知识点一（判别式）和知识点二（公式法）为支架，构建从概念到应用的知识脉络。 其亮点在于融入中考真题（如2025安徽、北京题）、跨学科实践（物理小球悬浮问题）及分类讨论思想，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。例如逆向思维题由求根公式反推方程，提升创新意识，助力学生掌握解题方法，教师可利用分层练习优化教学。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十五章　一元二次方程 25.2　降次——解一元二次方程 25.2.2　公式法 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是 (　C　) A. 33 B. 23 C. 17 D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2. (2025·安徽中考)下列方程中，有两个不相等的实 数根的是(　D　) A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0 C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝0 3. (2025·北京中考)若关于x的一元二次方程ax2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为 (　C　) A. －4 B. －1 C. 1 D. 4 D C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. (2025·新疆中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋ a＝0无实数根，则实数a的取值范围是(　B　) A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5. 已知关于x的一元二次方程x2 x－6＝0，其中 方程的一次项系数被遮挡. (1)若这个方程的一个根为－2，请直接写出该方程 的一次项系数； (1)解：一次项系数为－1. (1)解：一次项系数为－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)求证：这个方程总有两个不相等的实数根. (2)证明：设一次项系数为b，则方程为x2＋bx－6 ＝0. ∵Δ＝b2－4×(－6)＝b2＋24＞0， ∴无论一次项系数为何值，这个方程总有两个不 相等的实数根. (2)证明：设一次项系数为b，则方程为x2＋bx－6 ＝0. ∵Δ＝b2－4×(－6)＝b2＋24＞0， ∴无论一次项系数为何值，这个方程总有两个不 相等的实数根. 5. 已知关于x的一元二次方程x2 x－6＝0，其中 方程的一次项系数被遮挡. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点二　用公式法解一元二次方程 6. 用求根公式解方程2x2－3＝x时，a，b，c的值分 别是(　B　) A. a＝2，b＝1，c＝－3 B. a＝2，b＝－1，c＝－3 C. a＝2，b＝－1，c＝3 D. a＝2，b＝1，c＝3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7. 新视角 逆向思 维用公式法解一元二次方程，得x ＝，则该一元二次方程是 ⁠ ⁠. 3x2＋5x＋1 ＝0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (1)2x2＋x－2＝0； 解：这里a＝2，b＝1，c＝－2. ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－2)＝17， ∴x＝， 即x1＝，x2＝. 解：这里a＝2，b＝1，c＝－2. ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－2)＝17， ∴x＝， 即x1＝，x2＝. 8. 用公式法解下列方程： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)x2－3x＋3＝0； 解：这里a＝1，b＝－3，c＝3. ∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 解：这里a＝1，b＝－3，c＝3. ∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 8. 用公式法解下列方程： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)x2－2x＋1＝0. 解：这里a＝1，b＝－2，c＝1. ∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝4， ∴x＝， 即x1＝＋1，x2＝－1. 解：这里a＝1，b＝－2，c＝1. ∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝4， ∴x＝， 即x1＝＋1，x2＝－1. 8. 用公式法解下列方程： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. (2025·内江中考)若关于x的一元二次方程(a－1)x2 ＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是 (　C　) A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 易错变式 若关于x的方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有实数根，则m 的取值范围是 ⁠. m≤4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. 跨学科 物理 如图，小球悬浮于液体中(即F浮＝ G)，若F浮＝20N，小球的质量m＝(x2＋x)kg，g＝ 10N/kg，已知G＝mg，则x的值为(　C　) A. 1 B. 4 C. －2或1 D. －5或4 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. 分类讨论思想 (2026·上海宝山区月考)已知等腰 三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2 －5x＋k＝0的两根，则k的值为 ⁠. 6或　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (1)3x2＋5(2x＋1)＝0； 解：x1＝，x2＝. (2)x(2x－5)＝4x－5. 解：x1＝，x2＝. 解：x1＝，x2＝. 解：x1＝，x2＝. 12. 解方程： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. (2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋ 1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关 于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的 情况. 解：当m＝－1时， 方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0化为－3x －2＝0， 此方程有实数根，不符合题意；当m≠－1时， ∵方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实 数根， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：当m＝－1时， 方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0化为－3x －2＝0， 此方程有实数根，不符合题意；当m≠－1时， ∵方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实 数根， ∴(2m－1)2－4(m＋1)(m－1)＜0，解得m＞.当 m＝3时， ∴(2m－1)2－4(m＋1)(m－1)＜0，解得m＞. 当m＝3时， 13. (2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋ 1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关 于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的 情况. 方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0化为－12x －8＝0， 此方程有一个实数根；当m＞且m≠3时， Δ＝4(m＋3)2＋4(m－3)(m＋5)＝8[(m＋2)2－7]， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0化为－12x －8＝0， 此方程有一个实数根；当m＞且m≠3时， Δ＝4(m＋3)2＋4(m－3)(m＋5)＝8[(m＋2)2－7]， ∵m＋2＞，∴(m＋2)2＞.∴8[(m＋2)2－7] ＞＞0， 即Δ＞0，此时方程有两个不相等的实数根.综上 可知， ∵m＋2＞，∴(m＋2)2＞. ∴8[(m＋2)2－7]＞＞0， 即Δ＞0，此时方程有两个不相等的实数根.综上可知， 13. (2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋ 1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关 于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的 情况. 当m＝3时，所求方程只有一个实数根； 当m＞且m≠3时， 所求方程有两个不相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. 新考向 模块综合 已知▱ABCD的两边AB，BC的 长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根. (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个实数根. (1)证明：关于x的方程x2－mx＋－＝0， Δ＝m2－2m＋1＝(m－1)2.∵无论m取何值，(m－ 1)2≥0， 即Δ≥0，∴无论m取何值，方程总有两个实数根. (1)证明：关于x的方程x2－mx＋－＝0， Δ＝m2－2m＋1＝(m－1)2. ∵无论m取何值，(m－1)2≥0， 即Δ≥0，∴无论m取何值，方程总有两个实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. 新考向 模块综合 已知▱ABCD的两边AB，BC的 长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根. (2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出此时 菱形的边长. (2)解：若四边形ABCD是菱形，则AB＝BC， 即方程有两个相等的实数根.∴(m－1)2＝0.解得m1 ＝m2＝1. 将m＝1代入方程得x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝. ∴此时菱形的边长为. (2)解：若四边形ABCD是菱形，则AB＝BC， 即方程有两个相等的实数根. ∴(m－1)2＝0.解得m1＝m2＝1. 将m＝1代入方程得x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝. ∴此时菱形的边长为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. 新考向 模块综合 已知▱ABCD的两边AB，BC的 长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根. (3)如果AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？ (3)解：根据题意，将x＝2代入方程x2－mx＋－ ＝0， 解得m＝.将m＝代入方程x2－mx＋－＝0， 解得x1＝2， x2＝.∴BC＝.故▱ABCD的周长为2×(＋2)＝ 5. (3)解：根据题意，将x＝2代入方程x2－mx＋－ ＝0， 解得m＝.将m＝代入方程x2－mx＋－＝0， 解得x1＝2， x2＝.∴BC＝.故▱ABCD的周长为2×(＋2)＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $