26.3 二次函数与一元二次方程 分层分类训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程的数形结合，以考点为纲构建从交点问题到不等式解集的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与坐标轴交点|3题|含参数抛物线与x轴交点判别|从判别式到顶点坐标的代数推理| |图像确定方程根的情况|5题|结合图像判断根的个数与性质|函数图像与方程根的几何对应| |图像法求近似根|9题|依据函数值正负确定根的区间|函数连续性与近似计算的应用| |不等式求范围|7题|函数值与直线比较的区间判断|函数图像上下位置关系的转化| |交点确定不等式解集|8题|抛物线与直线交点的解集分析|方程根与不等式解集的关联|

26.3 二次函数与一元二次方程 考点1 二次函数与坐标轴的交点问题 考点2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 考点3 图像法求一元二次方程的近似根 考点5 利用不等式求自变量或函数值的范围 考点6 根据交点确定不等式的解集 基 础 达 标 练 考点1 二次函数与坐标轴的交点问题 1.（2026•兴庆区校级一模）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 1.A【解析】二次函数y＝x2﹣4x+c，其判别式为：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c，由题意，图象与x轴仅有一个交点，故Δ＝0，即：16﹣4c＝0，解得c＝4，因此，实数c的值为4. 2.（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 2.A【解析】由题意可得：二次函数的对称轴为直线，∵对称轴公式为，a＝1，∴，解得b＝﹣4，又∵二次函数图象与x轴只有一个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0，解得c＝4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4，将A（1，m）代入解析式，得m＝12﹣4×1+4＝1，∴A（1，1），B（3，1），∴AB＝3﹣1＝2，原点O到直线AB的距离为1，∴． 3.（2026•陕西校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法不正确的是（　　） A．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝4 B．当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴 C．抛物线的顶点坐标是（m，m﹣4） D．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2 3.D【解析】先对抛物线配方得：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4＝（x﹣m）2+m﹣4，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，逐一判断选项：选项A：若抛物线与x轴只有一个公共点，则根的判别式Δ＝0，∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m﹣4）＝﹣4m+16，令Δ＝0，解得m＝4，∴A说法正确，选项B：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，对称轴为x＝0，即y轴，∴B说法正确，选项C：由顶点式y＝（x﹣m）2+m﹣4可知，抛物线顶点坐标为（m，m﹣4），∴C说法正确，选项D：计算两点到对称轴x＝m的距离：点A到对称轴的距离为|（m﹣2）﹣m|＝2，点B到对称轴的距离为|（m+1）﹣m|＝1，∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，2＞1，∴y1＞y2，故D说法不正确. 考点2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 4.（2025秋•单县期末）已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 4.B【解析】∵与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3． 5．（2026•咸阳校级模拟）已知二次函数y＝﹣5x2+bx+2（b为常数），当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，则下列结论一定正确的是（　　） A．b＞0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值大于2 D．方程﹣5x2+bx+2＝0有两个不相等的实数根 5.D【解析】在二次函数y＝﹣5x2+bx+2 中，a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为，∵当x＜0时，y随x的增大而增大∴对称轴，可得b≥0．对于A，b可以等于0，故A错误；对于B，顶点横坐标为，顶点纵坐标为，顶点在第一象限或y轴正半轴，不可能在第四象限，故B错误；对于C，函数的最大值为顶点纵坐标，当b＝0时，最大值为2，不满足最大值大于2，故C错误；对于D，方程﹣5x2+bx+2＝0 的判别式Δ＝b2﹣4×（﹣5）×2＝b2+40，∵b2≥0，∴Δ＝b2+40＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故D正确. 6．（2026•沙市区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列结论： ①该函数图象经过点（﹣1，0）； ②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1． 其中正确的结论的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6.B【解析】y＝ax2+（a﹣2）x﹣2＝（ax﹣2）（x+1），①当x＝﹣1时，y＝a﹣（a﹣2）﹣2＝a﹣a+2﹣2＝0， ∴该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确；②当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣3x﹣2，∴对称轴为直线，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＞﹣1.5时，y随x增大而减小，又∵﹣1＞﹣1.5， ∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故②正确；③判别式Δ＝（a﹣2）2﹣4•a•（﹣2）＝a2﹣4a+4+8a＝a2+4a+4＝（a+2）2≥0，当a＝﹣2时，Δ＝0，函数图象与x轴只有一个公共点，故③错误；④当a＞2时，方程（ax﹣2）（x+1）＝0的根为x＝﹣1和，∵a＞2，∴，即方程有一个根大于0且小于1，故④正确．综上，正确的结论有①②④，共3个. 7.（2025秋•蔡甸区校级月考）已知抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0 B．抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0） C．方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根 D．2a2+b+c＜0 7.C【解析】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线，即b＝﹣2a，抛物线有最大值3，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣2，0），即B选项错误；∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即c＞0，∵抛物线有最大值3，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，所以A选项错误；∵抛物线有最大值3，∴ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，即C选项正确；∵b＝﹣2a，∴2a2+b+c＝2a2﹣2a+c．∵a＜0，∴2a2＞0，﹣2a＞0，又c＞0，∴2a2+b+c＞0，故D选项错误． 8.（2026•青秀区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，若该图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0中一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.C【解析】∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2，∴x1，c＝2， ∴b＝﹣2a，2a+b＝2a﹣2a＝0，故结论①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间，∴该抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，故结论②错误；∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+2＜0，∴b﹣a＞2．故结论④正确；∵b﹣a＞2，b＝﹣2a， ∴﹣3a＞2，∴a，∴﹣a，∵当x＝1时，y最大值＝a﹣2a+2＝2﹣a，∴2﹣a，∵，∴方程一定有两个不相等的实数根；故结论③正确．正确的有①③④，共3个． 考点3 图像法求一元二次方程的近似根 9.（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 9.C【解析】当x＝2.18时，y＝﹣0.51；当x＝2.68时，y＝0.54，当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项C符合. 10.（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 10.B【解析】观察表格：当x＝6.8时，y＝﹣0.1，最接近0；当x＝6.9 时，y＝0.2，距离0比﹣0.1更远； 又∵y在x＝6.8到x＝6.9之间由负变正，说明y＝0的根在6.8和6.9之间，∴x＝6.8对应的函数值更接近0，∴一元二次方程的一个近似根是6.8． 11．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 11.B【解析】根据二次函数图象的连续性可知当x＝1时，y＝﹣1＜0；当x＝2时，y＝5＞0；又∵二次函数的图象是连续的抛物线；∴在1＜x＜2的区间内，存在x使得y＝0，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2． 12．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 12.B【解析】观察表格可知：当x＝2.02时，y＝﹣0.01；当x＝2.03时，y＝0.02，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是2.02＜x＜2.03． 13．（2025秋•呈贡区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围是（　　） A．1.3＜x＜1.4 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.4＜x＜1.5 13.C【解析】通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间可知：当 x＝1.2 时，y＝﹣0.49＜0；当 x＝1.3时，y＝0.04＞0；∴在x＝1.2到x＝1.3之间函数值由负变正，故方程的一个根在 1.2＜x＜1.3范围内． 14．（2025秋•贵州期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 14.C【解析】由题知，因为二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax+c，所以抛物线的解析式为直线x． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标在﹣0.5和﹣0.4之间，则2﹣（﹣0.5）＝2.5，2﹣（﹣0.4）＝2.4， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标在2.4和2.5之间，所以关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是2.4＜x＜2.5． 15.（2025秋•南海区期末）观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x﹣15＝0的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．1.4＜x＜1.5 15.A【解析】由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是x2+12x﹣15＝0的一个根．x2+12x﹣15＝0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2． 16．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 16.C【解析】由题意可得：当x＝2.26时，y＝﹣0.32，当x＝2.56时，y＝0.41，∴当y＝0时，2.26＜x＜2.56， ∴选项C符合. 17．（2025秋•莲湖区期末）小强利用二次函数图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解，下表是小强探究过程中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 y＝x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和之2.5间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 17.C【解析】根据表格得，当2.5＜x＜3时，﹣0.75＜y＜1，则方程x2﹣2x﹣2＝0必有一个实数根在2.5和3之间． 18.（2025秋•惠城区期末）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 18.C【解析】因为x＝1.5时，x2﹣x＝0.75，x＝1.8时，x2﹣x＝1.44，所以1.5＜a＜1.8． 考点4 利用不等式求自变量或函数值的范围 19．（2025秋•湖北期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若ax2+bx+c≥0，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤﹣3 C．﹣3≤x≤1 D．x≤﹣3或x≥1 19.C【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∵抛物线开口向下，ax2+bx+c≥0，∴﹣3≤x≤1． 20．（2025秋•冷水滩区期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．y2＝﹣x+m的图象交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣3＜x＜0 D．﹣1＜x＜2 20.D【解析】∵二次函数的图象与一次函数．y2＝﹣x+m的图象交于A（﹣1，0），B（2，﹣3），∴当﹣1＜x＜2时，y2＞y1． 21．（2026•石家庄一模）已知一次函数y1＝ax+a+k（a≠0）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为，则当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．x＞0 C．x＞3 D．任意实数 21.A【解析】∵一次函数y1＝ax+a+k（a≠0）的图象不经过第三象限，∴a＜0，∴抛物线y＝a（x﹣1）2+k的开口向下，当y1＝y2时，ax+a+k＝a（x﹣1）2+k，整理得x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴直线与抛物线的两点的横坐标分别为0，3，∴当0＜x＜3时，y1＜y2． 22．（2026春•越秀区校级月考）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（　　） ①抛物线开口向上； ②当x＝﹣2时，y取最大值； ③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根； ④直线y＝kx+c经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0． A．③④ B．②③ C．②④ D．①②③④ 22.A【解析】①由图象可知，抛物线开口向下，所以①错误；②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点C到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，所以②错误；③当x＝﹣2时y＝4，而B点不是抛物线的顶点，则当m＜4时，抛物线与直线y＝m有两个交点，即于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根，所以③是正确的；④因直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0．从而④正确. 23.（2026•淄博一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y＞﹣1时，x的取值范围为x＜t﹣1或x＞﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23.A【解析】由题意，∵当y＞﹣1时，x的取值范围为x＜t﹣1或x＞﹣3﹣t，∴当y＝﹣1时，x＝t﹣1或x＝﹣3﹣t，且函数开口向上，即a＞0，∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，∴抛物线对称轴为直线，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，∴当a＞0时，﹣4a≤﹣1， ∴a，∵二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2），∴am2+4am＝2，∴，∴0＜m2+4m≤8，∴4＜（m+2）2≤12，∴或，∵2.25＜3＜4，∴， ∴，∴，综上所述，m的可能取值为1. 24.（2026•萧山区校级模拟）已知二次函数的顶点在一次函数y2＝ax+ab﹣5上，且当时，都有y1＜y2，a的取值范围是（　　） A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2 24.C【解析】对于二次函数，我们可以通过配方法将其化为顶点式：， 由此可知，该抛物线的顶点坐标为．在一次函数y2＝ax+ab﹣5的图象上．将顶点坐标代入一次函数解析式：，化简得，，即：，在时，都有y1＜y2．即：，将代入上式：，，，的开口向上，要使它在某区间内小于0，f（1）≤0， 1﹣2αα2≤0，f（）≤0，（）2≤2α（）α2≤0，3αα2≤0，同时满足和1≤α≤2， 两者的交集是：1≤a≤2．结论综上所述，a的取值范围是1≤a≤2．对应选项为C． 25．（2026•成武县三模）小张用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象时，部分列表如表： x … ﹣1 0 1 2 … y … t 3 4 3 … 依据以上信息，判断以下结论中错误的是（　　） A．图象顶点在第一象限 B．﹣1和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根 C．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，则p≥3 D．点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4 25.【解析】解：把点（0，3），（1，4），（2，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：， ∴该函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（1，4），在第一象限，故A选项正确，不符合题意；∴该函数图象的对称轴为直线x＝1，∴点（﹣1，0）和（3，0）关于对称轴对称，∴﹣1和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根，故B选项正确，不符合题意；当ax2+bx+c＜2x+p时，∴﹣x2+3＜p，∵﹣x2+3的最大值为3，∵ax2+bx+c＜2x+p恒成立，∴p＞3，故C选项错误，符合题意；∵该函数图象开口向上，且顶点坐标为（1，4），∴该函数的最大值为4，且当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小，∵1﹣0＜4﹣1，当m＝4时，y＝﹣（4﹣1）2+4＝﹣5，∴点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4，故D选项正确，不符合题意. 考点5 根据交点确定不等式的解集 26．（2026•管城区校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（　　） A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5 26.C【解析】由图象可得，二次函数的开口向下，对称轴为x＝2，与x轴的一个交点为（5，0）由对称性可得，与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则不等式ax2+bx+c≥0的解集为﹣1≤x≤5. 27.（2025秋•青阳县期末）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＜n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 27.C【解析】观察图象得：当﹣1＜x＜4时，一次函数y1＝mx+n（m≠0）在二次函数的图象的上方，即当﹣1＜x＜4时，ax2+bx+c＜mx+n，∴不等式ax2+（b﹣m）x+c＜n的解集为﹣1＜x＜4． 28．（2026•常州校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（　　） A．ax2+bx+c＞kx+h的解集是2＜x＜4 B．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＞4 C．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＜2 D．ax2+bx+c＝kx+h的解是x＝2或x＝4 28.D【解析】当ax2+bx+c＝kx+h，即求抛物线与直线联立方程的解，由函数图象得：方程的解为x＝2或x＝4，故D符合题意；当ax2+bx+c＞kx+h，即求抛物线在直线上方部分的x的取值范围，由函数图象可得：x＜2或x＞4，故A、B、C不符合题意. 29．（2026•科尔沁区二模）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 29.D【解析】观察图象得，当x＜﹣1或x＞4时，二次函数的图象在一次函数y1＝mx+n（m≠0）图象的上方，即当x＜﹣1或x＞4时，ax2+bx+c＞mx+n，∴x＜﹣1或x＞4． 30．（2026•德州二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4a上，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则不等式ax3﹣4ax＞0的解集是（　　） A．﹣2＜x＜2 B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．x＜﹣2或x＞2 30.C【解析】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4a上，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，∵抛物线y＝ax2﹣4a，∴对称轴为直线x＝0，∵当0＜x1＜x2时，y1＞y2，∴当x＞0时，y随x增大而减小，∴抛物线开口向下，∴a＜0，∴ax3﹣4ax＞0，ax（x2﹣4）＞0，x（x2﹣4）＜0，∴或． 解得x＜﹣2或0＜x＜2． 31．（2026•宿城区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 31.A【解析】∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2﹣4ac＜0， 故②错误；由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故③错误；∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上， 由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故④错误． 32.（2026•阳谷县校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3 C．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 32.B【解析】A、∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故本选项错误；B、∵抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，故本选项正确；C、∵由图可知当x＜﹣1或x＞3时，抛物线在x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞3，故本选项错误；D、由图可知，当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，故本选项错误． 33.（2026•芜湖二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 33.C【解析】A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，由图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确；B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax+c的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确；C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴为直线x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣21，所以，y1＞c，所以C错误；D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确． 34．（2026•石河子一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表，其中n＞0，则：①abc＜0，②2a+b＝0，③m＝4，④不等式ax2+bx+c＞﹣5的解集为0＜x＜2，⑤对于任意实数t，at2﹣a≥b﹣bt．其中结论正确的个数是（　　） x … ﹣2 0 2 m … y＝ax2+bx+c … n ﹣5 ﹣5 n … A．4 B．3 C．2 D．1 34.B【解析】当x＝0时，y＝﹣5，即c＝﹣5＜0，当x＝2时，y＝﹣5，∴二次函数对称轴为直线，∴ab＜0，2a+b＝0，故②正确；∴abc＞0，故①错误；∵二次函数对称轴为直线x＝1，且x＝﹣2与x＝m的函数值相同，∴，解得m＝4，故③正确；∵n＞0，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∵抛物线过点（0，﹣5）和（2，﹣5），∴抛物线与直线 y＝﹣5 的交点为（0，﹣5）和（2，﹣5），∴当x＜0或x＞2时，ax2+bx+c＞﹣5，∴不等式ax2+bx+c＞﹣5的解集为x＜0或x＞2，故④错误；当x＝t时，y＝at2+bt+c，当x＝1时，y＝a+b+c，∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，∴当x＝1时，二次函数有最小值，∴对于任意实数t，有at2+bt+c≥a+b+c即at2﹣a≥b﹣bt，故⑤正确．综上所述，正确的个数是3个. 能 力 提 升 练 35.（2026•渭滨区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x ﹣4 0 1 5 y 0 8 5 ﹣27 则下列关于该二次函数的说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤8 C．一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 35.C【解析】把（﹣4，0），（0，8）和（1，5）代入y＝ax2+bx+c得，，解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+8，∵a＝﹣1＜0，∴图象开口向下，故选项A错误；∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，∵y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，故选项D错误；∴当﹣4＜x＜1时，可知x＝﹣1时函数y取最大值9，又由表格知，x＝﹣4时y＝0，∴当﹣4＜x＜1 时，y的取值范围为0＜y≤9，故选项B错误；∵二次函数顶点坐标为（﹣1，9）， ∴直线y＝9与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故选项C正确. 36.（2026•渭滨区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，函数图象的对称轴是直线x＝2 B．函数的最小值为m2﹣4 C．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在函数图象上，则y1＞y2 D．若函数图象与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4 36.C【解析】对二次函数配方得：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4＝（x﹣m）2+m﹣4，∵a＝1＞0，∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，m﹣4）；判断选项A：∵当m＝1时，对称轴为直线x＝1≠2，∴A错误；判断选项B：∵a＝1＞0，∴当x＝m时，函数取得最小值为m﹣4≠m2﹣4，∴B错误；判断选项C：点A（m﹣2，y1）到对称轴x＝m的距离为|（m﹣2）﹣m|＝2，点B（m+1，y2）到对称轴的距离为|（m+1）﹣m|＝1；∵抛物线的开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，2＞1，∴y1＞y2，∴C正确；判断选项D：若函数图象与x轴只有一个公共点，则一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣4＝0的判别式Δ＝0；∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0，解得m＝4≠﹣4，∴D错误. 37．（2026•眉山一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）且n＞0．下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．当x＝1和x＝﹣3时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值相等 D．函数y＝kx+1与y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象总有两个不同的交点 37.C【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）且n＞0．∴对称轴为直线x＝﹣1，开口向下，得a＜0,由对称轴公式，得b＝2a,∵a＜0，∴b＜0, ∵二次函数与x轴交于点（2，0），由对称性得另一个交点为2×（﹣1）﹣2＝﹣4，即（﹣4，0）,∵开口向下，x＝0在两交点（﹣4，0）和（2，0）之间，∴x＝0时y＝c＞0，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故A选项不符合题意；依题意，把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c得y＝4a﹣2b+c,∵x＝﹣2在﹣4＜x＜2这个范围内，开口向下，∴4a﹣2b+c＞0，故B选项不符合题意；∵|1﹣（﹣1）|＝|﹣3﹣（﹣1）|＝2，∴x＝1和x＝﹣3关于对称轴x＝﹣1对称，∴函数值相等，即当x＝1和x＝﹣3时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值相等,故C选项符合题意；∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），∴0＝4a+2b+c，∵b＝2a， ∴c＝﹣8a，依题意，联立，整理得ax2+（b﹣k）x+（c﹣1）＝0,∵c＝﹣8a,∴ax2+（b﹣k）x+（﹣8a﹣1）＝0，则Δ＝（b﹣k）2﹣4a（﹣8a﹣1），整理得Δ＝（2a﹣k）2+32a2+4a，当，时，，无两个交点，故D选项不符合题意. 38．（2026•齐齐哈尔三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（x1，0），（﹣3，0），其中0＜x1＜2，下列结论：①abc＜0；②b＞a；③函数的最小值大于；④不等式的解集为﹣3＜x＜0．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38.B【解析】根据题意画出函数大致图象如下： 由题意可得：抛物线对称轴为，可得．∵a＞0，由，可得b＞0， ∵x＝0位于两个交点之间，抛物线开口向上，∴x＝0时，y＝c＜0，∴abc＜0．故①正确．由，不等式同乘﹣2a（a＞0，不等号方向改变），得3a＞b＞a，即b＞a，故②正确．二次函数的最小值为，∵，又∵b＞a＞0，∴a﹣b＜0，∴， ∴，∴函数的最小值小于．故③错误．∵在函数中，当y＝0时，x＝﹣3，当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线的交点为（﹣3，0）和（0，c）．∵抛物线开口向上，∴抛物线在直线上方时x＜﹣3或x＞0，即不等式解集为x＜﹣3或x＞0，故④错误． 39．（2026•旌阳区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＜0； ③a+b≤am2+bm（实数m≠1）； ④若方程ax2+bx+c＝n有一根为﹣2，则不等式ax2+bx+c＜n的解集是﹣2＜x＜4； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2． 其中结论错误的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39.B【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是直线x＝1，∴a＞0，c＜0，，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①结论正确，该选项不符合题意；根据图示可得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a﹣（﹣2a）+c＞0，即3a+c＞0，故②结论错误，该选项符合题意；∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为x＝1，∴当x＝1时，二次函数有最小值，最小值为y＝a+b+c，∴实数m（m≠1）时，a+b+c＜am2+bm+c，故③结论错误，该选项符合题意；由二次函数图示可得，x＝﹣2时，二次函数y＝ax2+bx+c＞0，∵对称轴直线为x＝1，∴当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相等，∴不等式ax2+bx+c＜n 的解集是﹣2＜x＜4，故④结论正确，该选项不符合题意；若，且x1≠x2，∴，a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣b（x1﹣x2）＝0，（x1﹣x2）[a（x1+x2）﹣b]＝0， ∵x1≠x2，∴x1﹣x2≠0，∴a（x1+x2）﹣b＝0，∴，故⑤结论正确，该选项不符合题意，综上所述，错误的有②③，共2个. 40．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40.B【解析】由题意，∵a+b＝﹣1，∴b＝﹣1﹣a．把b＝﹣1﹣a代入y＝ax2+bx+1，∴y＝ax2﹣（a+1）x+1． 又∵图象过点（﹣1，0），∴a•（﹣1）2﹣（a+1）•（﹣1）+1＝0，则a+a+1+1＝0．∴a＝﹣1＜0．∴二次函数图象开口向下，必有最大值，故①正确；∵二次函数为y＝ax2﹣（a+1）x+1，∴对称轴是直线x，又∵当0＜x＜1时，y随x增大而减小，∴分两种情况讨论：当a＞0时，∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小，∴对称轴直线x，∴0＜a≤1；当a＜0时，∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小，∴对称轴是直线x0，∴a≥﹣1．∵a＜0，∴﹣1≤a＜0．综上，﹣1≤a＜0或0＜a≤1，故②错误；由题意，∵函数图象过点（4，1），∴16a﹣4（a+1）+1＝1．∴a，则b＝﹣1，∴不等式ax2+bx＞0化为：x2﹣4x＞0．∴x＜0或x＞4，故③正确；由题意，方程ax2+bx+1＝0可化为ax2﹣（a+1）x+1＝0， ∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0．∴x1，x2＝1．又∵一根x1满足﹣2＜x1＜﹣1，即﹣2，∴a＜0．∴﹣1，∴﹣1＜2a+1＜0．又∵b＝﹣1﹣a，则a﹣b＝a﹣（﹣1﹣a）＝2a+1，∴a﹣b＜0，则a＜b，故④错误． 41．（2026•龙海区校级模拟）在平面直角坐标系中，y＝x2﹣2x﹣3的图象交x轴于点A、B（A在B的左侧）若抛物线上有一点P，连接PA，∠PAB＝45°，则PA的长为（　　） A． B． C．或 D．或 41.D【解析】y＝x2﹣2x﹣3的图象交x轴于点A、B（A在B的左侧）若抛物线上有一点P，对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，因式分解得（x+1）（x﹣3）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∵A在B的左侧， ∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，OA＝1，分两种情况讨论：①P在x轴上方，如图，过点B作BD⊥AB交AP于点D，∵∠PAB＝45°，∴DB＝AB＝4，∴D（3，4），设直线PA的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣1，0），D（3，4）代入得，，解得，∴直线PA的解析式为y＝x+1，联立， 整理得x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1（对应A点，舍去），x2＝4，代入得y＝5，即P（4，5），由勾股定理得；②P在x轴下方，如图，设AP交y轴于点E， ∵∠PAB＝45°，∴OE＝OA＝1，∴E（0，﹣1），设直线PA的解析式为y＝k1x+b1，由题意可得：，解得，∴直线PA的解析式为y＝﹣x﹣1，联立，整理得x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1（对应A点，舍去），x2＝2，代入得y＝﹣3，即P（2，﹣3），由勾股定理得. 42．（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 42.解：（1）解不等式﹣x2+2x+3≥0，我们构造函数y＝﹣x2+2x+3， 作出它的图象如图所示，可知它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）和（3，0）， 结合图象可知不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； （2）∵对于任意实数b，关于x的方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根， ∴方程ax2+bx+b﹣1＝0恒有两个不等实数根对任意的b恒成立． ∴b2﹣4a（b﹣1）＞0对任意的实数b恒成立． 令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，则有（﹣4a）2﹣4×4a＜0，即a2﹣a＜0． 令y＝a2﹣a作出其函数图象如图所示， 对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，当a2﹣a＜0时，实数a的取值范围为0＜a＜1． 真 题 提 前 练 43.（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 43.B【解析】∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x1.5，已知根0.75＜x1＜1，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣1＜x2＜﹣1.5×2﹣0.75，即﹣4＜x2＜﹣3.75，∴另一根更接近的是﹣4． 44.（2026•无锡）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 44.C【解析】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c），∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n，∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n），∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，c＝n．则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n，∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 45.（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 45.A【解析】∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线，∴b＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴c＜0，∴abc＞0，①错；∵对称轴为直线，∴b＝﹣4a，∴4a+b＝0，②正确；∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），∴a+b+c＝0，∵b＝﹣4a，∴a﹣4a+c＝0，∴c＝3a，∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2，∴，③正确；∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2， ∴点B的坐标为（3，0），∵c＝3a，∴点C的坐标为（0，3a），当x＝2，可得y＝4a+2b+c，将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a，∴点P的坐标为 （2，﹣a），∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，∵∠CPB＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，可得4+16a2+1+a2＝9+9a2，解得或， ∵a＜0，∴，④正确． 46.（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为c．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 46.B【解析】由二次函数图象可得：∵抛物线开口向下，∴a＜0；顶点坐标为（1，n），则对称轴为直线x＝1，由对称轴公式，整理得b＝﹣2a，结合a＜0，得b＞0；抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0；抛物线与x轴正半轴交点B（m，0）满足3＜m＜4．∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据二次函数轴对称性质：对称轴为x＝1，则y（﹣1）＝y（3），将x＝3代入解析式得，y（3）＝9a+3b+c，把b＝﹣2a代入，化简得，y（3）＝9a+3（﹣2a）+c＝3a+c，∵3＜m＜4，说明直线x＝3在交点B左侧，此位置抛物线图象在x轴上方，∴y（3）＞0，即3a+c＞0，故②错误；∵顶点坐标为（1，n），∴， ∴4an＝4ac﹣b2，b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），故③正确；抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大．点P到对称轴x＝1的距离：|t﹣1|，点Q到对称轴x＝1的距离：|（3﹣t）﹣1|＝|2﹣t|，平方作差比较距离大小：|t﹣1|2﹣|2﹣t|2＝（t2﹣2t+1）﹣（t2﹣4t+4）＝2t﹣3，∵，∴2t﹣3＜0，即|t﹣1|2＜|2﹣t|2，得|t﹣1|＜|2﹣t|，∴点P离对称轴更近，y1＞y2，故④正确；由A（0，c）得OA＝c，由B（m，0）得OB＝m，∵OA＝OB，∴m＝c，即B（c，0），将B（c，0）代入抛物线解析式：ac2+bc+c＝0，∵c≠0，∴ac+b+1＝0，b+1＝﹣ac，设一元二次方程ax2+（b+1）x＝0的两根为x1，x2，由韦达定理可得：，将b+1＝﹣ac代入得：，故⑤正确；综上所述正确结论一共有3个. 47．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：　　 ． 47.0＜a＜m＜1【解析】一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，设，，则两个函数都经过点（0，1），对称轴分别为和，∵一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，∴x1，x2为抛物线y1与x轴的交点的横坐标，x3，x4为抛物线y2与x轴的交点的横坐标，∵x1＜x3＜x4＜x2＜0，∴抛物线y1与抛物线y2的对称轴均在y轴的左侧，∴，，∴a＞0，m＞0，∴两条抛物线的开口向上，∵x1＜x3＜x4＜x2＜0，∴抛物线y1的开口大于抛物线y2的开口，∴a＜m，∵两条抛物线与x轴都有两个交点，∴，，∴a＜1，m＜1，综上：0＜a＜m＜1． 学科网（北京）股份有限公司 $26.3二次函数与一元二次方程 考点1二次函数与坐标轴的交点问题 考点2根据二次函数图像确定相应方程根的情况 考点3图像法求一元二次方程的近似根 考点5利用不等式求自变量或函数值的范围 考点6根据交点确定不等式的解集 基础达标练 考点1二次函数与坐标轴的交点问题 1.（2026·兴庆区校级一模)若二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为() A.4 B.8 C.16 D.64 2.(2026·新城区校级模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴只有 一个交点，且经过点A(1,m),B(3,),则△AOB的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 3.(2026·陕西校级模拟)已知抛物线y=x2-2x+2+m-4(是常数)，下列说法不正确的是() A.若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=4 B.当=0时，抛物线的对称轴是y轴 C.抛物线的顶点坐标是(，-4) D.若点A(m-2,y1),B(叶1，y2)在抛物线上，则y1<2 考点2根据二次函数图像确定相应方程根的情况 4.(2025秋单县期末)已知抛物线y=x2-bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),则关于x的方程x2 -bx+c=0的解是() A.x1=-1,x2=-3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=1,x2=3 5.(2026·咸阳校级模拟)己知二次函数y=-5x+bx+2(b为常数)，当x<0时，y的值随x值的增大而增 大，则下列结论一定正确的是() A.b>0 B.该函数图象的顶点位于第四象限 C.该函数的最大值大于2 D.方程-5x2+bx+2=0有两个不相等的实数根 6.(2026沙市区校级模拟)已知二次函数y=m2+（a-2)x-2(a为常数，且a≠0).下列结论： ①该函数图象经过点(-1,0)： ②若a=-1,则当x>-1时，y随x增大而减小： ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点： ④若a>2,则关于x的方程x+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1. 其中正确的结论的个数有() A.4 B.3 C.2 D.1 7.(2025秋·蔡甸区校级月考)已知抛物线y1=Qx2+bx+c的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4, 0),下列结论中正确的是（) A.abc0 B.抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0) C.方程ax2+br+c=3有两个相等的实数根 D.2a+b+c<0 8.(2026青秀区校级模拟)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴是直线x=1,若该图象与y 轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在点(2,0)和（3,0)之间.则下列结论：①2+b=0;② 方程am2+bxtc=0中一定有一个根在-2和-1之间：③方程ar2+bx+c=号定有两个不相等的实数 根；④b-a>2.其中，正确结论的有() y x= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点3图像法求一元二次方程的近似根 9.(2026·柳江区模拟)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象如图所示，A（2.18,-0.51),B(2.68,0.54) 为图象上的两点，则方程ax+bx+c=0(a≠0)的一个解可能是() 3 B(2.68,0.54) -2-10 134x A(2.18,-0.51) A.2.75 B.2.68 C.2.45 D.2.18 10.(2026·项城市校级模拟)下列表格中是二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应 值，可以判断一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的一个近似根是( 6.7 6.8 6.9 7.0 y=ax2+bx+c -0.3 -0.1 0.2 0.6 A.6.7 B.6.8 C.6.9 D.7.0 11.(2025秋·高平市期末)设二次函数y=+bx+c(a≠0)，下表列出了x与y的6对对应值： -1 0 1 2 3 4 y -7 -5 -1 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax+bx+c=0的一个解的大致范围是() A.-7<x<-5 B.1<x<2 C.-5<x<-1 D.-1<x<0 12.(2025秋·上城区期末)二次函数y=ax2+br+c(a>0)的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x 的方程ax+bx+c=0的一个根的取值范围为( 2.01 2.02 2.03 2.04 y -0.03 -0.01 0.02 0.06 A.2.01<x<2.02 B.2.02<x<2.03 C.2.03<x<2.04 D.x>2.04 13.（2025秋·呈贡区期末)二次函数y=m2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 则一元二次方程x+bx+c=0的一个根的取值范围是( A.1.3<x<1.4 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.4<x<1.5 14.（2025秋·贵州期末)二次函数y=m2-2+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程mr2-2r+c =0的较大的根的取值范围是() -0.5 -0.4 A.0.4<x<0.5 B.0.5<x<0.6 C.2.4<x<2.5 D.2.5<x<2.6 15.(2025秋·南海区期末)观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解是() 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4 D.1.4<x<1.5 16.(2025秋·潮安区期末)如图，点A(2.26,-0.32),B(2.56,0.41)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象上，则方程ax+bx+c=0的一个根的近似值可能是() A.2.67 B.2.56 C.2.39 D.2.26 17.(2025秋·莲湖区期末)小强利用二次函数图象估计一元二次方程x2-2x-2=0的近似解，下表是小强 探究过程中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在( 1.5 2 2.5 3 3.5 y=x2-2x-2 -2.75 -2 -0.75 3.25 A.1.5和2之间 B.2和之2.5间 C.2.5和3之间 D.3和3.5之间 18.(2025秋·惠城区期末)观察下列表格，则一元二次方程x2-x=1.1的一个近似解a所在的范围是() 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2-x -0.24 -0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A.0.9<a<1.2 B.1.2<a<1.5 C.1.5<a<1.8 D.1.8<a<2.1 考点4利用不等式求自变量或函数值的范围 19.(2025秋·湖北期末)已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若2+bx+c≥0，则x的取值范围 是() A.x≥1 B.x≤-3 C.-3≤x≤1 D.x≤-3或x≥1 20.（2025秋•冷水滩区期末)如图所示，二次函数y1=ax2+bx-3的图象与一次函数.2=-x+m的图 象交于A(-1,0),B(2,-3)两点，当2>y1时，自变量x的取值范围是() 4-2 A.x<-1 B.x>2 C.-3<x<0 D.-1<x<2 21.(2026·石家庄一模)已知一次函数y1=x+什k(a≠0)的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为y2= a(x-1)2+k(a≠0)，则当y1<2时，x的取值范围是() A.0<x<3 B.x>0 C.x>3 D.任意实数 22.(2026春·越秀区校级月考)如图，二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象经过点A,B,C.下列四个 结论中，所有正确结论的序号是() ①抛物线开口向上： ②当x=-2时，y取最大值： ③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根： ④直线y=kx+c经过点A,C,当+c<+br+c时，x的取值范围是-4<x<0. B-4 3+C A。------1-----2- 1 -4-3-2-10 12 1 A.③④ B.②③ c.②④ D.①②③④ 23.(2026·淄博一模)己知二次函数y=ax2-bx(a≠0)，经过点P(,2).当y>-1时，x的取值范围为 x<t-1或x>-3-t.则如下四个值中有可能为m的是() A.1 B.2 C.3 D.4 24.(2026~萧山区校级模拟)已知二次函数y1=2-Qx+a2-5的顶点在一次函数=+ab-5上，且 当1<x<时，都有1<，a的取值范围是（) Aa≤号 B.a≥3 C.1≤a≤2 D.a≤1或a≥2 25.(2026·成武县三模)小张用描点法画二次函数y=2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象时，部分列 表如表： 比 … -1 0 1 2 … y … t 3 4 3 依据以上信息，判断以下结论中错误的是() A.图象顶点在第一象限 B.-1和3是关于x的方程m2+bx+c=t的两根 C.若ax+bx+c<2x+p恒成立，则p≥3 D.点M(m,n)在该图象上，若0<m<4,则-5<n≤4 考点5根据交点确定不等式的解集 26.(2026管城区校级模拟)如图是二次函数y=m+bx+c的部分图象，由图象可知不等式+bx+c≥0的 解集是() y 0 2 A.1<x<5 B.x≤5 C.-1≤x≤5 D.x<-1或x>5 27.(2025秋·青阳县期末)一次函数y1=x+n(≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示，则不等式ax2+(b-m)x+c<n的解集为() O 4 A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 28.(2026常州校级模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=+h交于A,B两点，下列是关于x的不 等式或方程，结论正确的是() B A.ax2+bx+c>kx+h的解集是2<x<4 B.am2+bx+c>xr+h的解集是x>4 C.2+bx+c>kx+h的解集是x<2 D.ax+bx+c=kx+h的解是x=2或x=4 29.(2026·科尔沁区二模)一次函数y1=x+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示，则不等式2+(b-m)x+c>n的解集为() A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 30.(2026德州二模)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=m2-4a上，且当0<x1<x2时，y1>y2, 则不等式axr3-4r>0的解集是() A.-2<x<2 B.-2<x<0或x>2 C.x<-2或0<x<2 D.x<-2或x>2 31.(2026·宿城区一模)已知二次函数y=2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0:②b2-4ac >0;③4tb=0:④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1≤x<3,正确的结论个数是() 013 A.1 B.2 C.3 D.4 32.（2026·阳谷县校级模拟)己知二次函数y=x+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1,则下列结论 正确的是() A.ac>0 B.方程x2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3 C.不等式ax2+bx+c<0的解集是-1<x<3 D.当x>0时，y随x的增大而减小 33.(2026·芜湖二模)一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=ax2+2ax+c(a≠0)在同一平面直角坐标系 中的图象如图所示，则下列说法错误的是() A.ax2+2ax-b>kx-c时，n<x< B.当x≥0时，ax+2ax+c≤c C.若(-V2,y1)在二次函数y=am2+2ax+c图象上，则y1<c D.-ac+bk>0 34.(2026·石河子一模)二次函数y=am2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对 应值如表，其中>0，则：①abc<0,②2atb=0,③mu=4,④不等式+bx+c>-5的解集为0<x <2,⑤对于任意实数t,at2-a≥b-bt.其中结论正确的个数是() -2 0 2 m y=ax2+bx+c -5 -5 … A.4 B.3 C.2 D.1 能力提升练 35.(2026·渭滨区校级模拟)己知二次函数y=ar+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值如下表： -4 0 1 5 y 0 8 5 -27 则下列关于该二次函数的说法正确的是() A.图象开口向上 B.当-4<x<1时，y的取值范围为0<y≤8 C.一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根 D.图象的对称轴是直线x=一号 36.(2026·渭滨区校级模拟)己知二次函数y=x2-2x+2+m-4(是常数)，下列说法正确的是() A.当m=1时，函数图象的对称轴是直线x=2 B.函数的最小值为m2-4 C.若点A(m-2,y1),B(叶1，y2)在函数图象上，则y1>2 D.若函数图象与x轴只有一个公共点，则m=-4 37.(2026·眉山一模)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(-1， n)且n>0.下列结论正确的是() A.abc<0 B.4a-2b+c<0 C.当x=1和x=-3时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值相等 D.函数y=x+1与y=m+bx+c（a≠0)的图象总有两个不同的交点 38.(2026·齐齐哈尔三模)已知抛物线y=+bx+c(a>0)与x轴交于点(x1,0),(-3,0),其中0< 1<2,下列结论：①ac<0:②b>a:③函数的最小值大于c-: ④不等式ax2+bx+c>x+c 的解集为-3<x<0.其中正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 39.(2026·旌阳区校级模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论： ①abc>0: ②3atc<0; ③a什b≤m2+b（实数m≠1)： ④若方程ax2+bx+c=n有一根为-2，则不等式ax2+bx+c<n的解集是-2<x<4: ⑤若ax-bx1=ax3-bx2,且x1≠x2,则x1+x2=-2. 其中结论错误的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 40.(2026·建邺区一模)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=+br+1(a≠0)，其中什b=-1. ①若这个函数的图象经过点(-1,0)，则函数必有最大值： ②若0<x<1时，y随x的增大而减小，则必有a>0: ③若这个函数的图象经过点(4,1)，则不等式m2+bx>0的解集为x<0或x>4: ④若方程ar2+bx+1=0(a≠0)有一根为x1,且-2<x1<-1,则必有a>b. 上述四个结论中：所有正确的个数() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 41.(2026·龙海区校级模拟)在平面直角坐标系中，y=x2-2x-3的图象交x轴于点A、B(A在B的左侧) 若抛物线上有一点P,连接PA,∠PAB=45°，则PA的长为() A.5V2 B.4v2 C.5V2或4W2 D.5V2或3V2 42.(2026春·柘城县校级月考)数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂 的问题结合图形能够快速直观得到结论.在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式 简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的 图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题. 【特例感知】 如解不等式x2-x-6>0,我们构造函数y=x2-x-6,作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为 (-2,0)和(3,0)，结合图象易得不等式x2-x-6>0的解集为x>3或x<-2,同时易知函数与x 轴交点的横坐标-2和3为方程x2-x-6=0的两个根， 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式-x2+2x+3≥0的解集为 (2)对任意实数b,关于x的一元二次方程x=x+(b+1)x+(b-1)恒有两个不等的实数根，求实数 a的取值范围. 3 真题提前练 43.（2026江西)如图，观察函数y=x2+3x-3的图象，可以发现方程x2+3x-3=0在0,1之间有根.取0， 1的平均数0.5，当x=0.5时，y<0,进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x-3=0另一根 更接近的是() A.-4.5 B.-4 C.-3.5 D.-3 44.(2026无锡)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一次函数y=x+n的图象交于A,B两点，已知 点A（-3,-1),点B在y轴上，则不等式2+bx-x≤0的解集是（) y y=ax2+bx+c B 2 y=mx+n A A.x≤-3或x≥0B.x≤-1或x≥0 C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 45.(2026烟台)如图，二次函数y=ar+bx+c的部分图象与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点C位于(0， -2)和(0，-3)之间，顶点为P,对称轴为直线x=2.下列说法：①abc<0:②4+b=0:③-1 <a<- @设抛物线与x轴的另一交点为B,当∠CPB=90时，：-号其中正确的是() =2 A.②③④ B.②③ c.②④ D.①③④ 46.（2026齐齐哈尔)如图所示的是二次函数y=+bx+c（a,b,c为常数，a≠0)的部分图象，其顶点 坐标为(1，n),与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B(m,0)(3<m<4).下列结论：①abc>0: ②3a+c<0:③b=4a(c-:④若点P红，1)，Q(3-t,)(1<都在抛物线y=a2+bx+c上， 则y1>y2:⑤若OA=OB,则关于x的方程ax+(叶1)x=0的两根之和为c.其中正确结论的个数是 () y B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 47.(2026贵州)一元二次方程ar2+2x+1=0的两根分别是x1,x2,一元二次方程x2+2x+1=0的两根分别 是x3,4,若x1<3<4<x2<0,把a,,0,1这四个数按从小到大的顺序用“<”连接起来：一 26.3 二次函数与一元二次方程 考点1 二次函数与坐标轴的交点问题 考点2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 考点3 图像法求一元二次方程的近似根 考点5 利用不等式求自变量或函数值的范围 考点6 根据交点确定不等式的解集 基 础 达 标 练 考点1 二次函数与坐标轴的交点问题 1.（2026•兴庆区校级一模）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 2.（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 3.（2026•陕西校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法不正确的是（　　） A．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝4 B．当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴 C．抛物线的顶点坐标是（m，m﹣4） D．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2 考点2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 4.（2025秋•单县期末）已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 5．（2026•咸阳校级模拟）已知二次函数y＝﹣5x2+bx+2（b为常数），当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，则下列结论一定正确的是（　　） A．b＞0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值大于2 D．方程﹣5x2+bx+2＝0有两个不相等的实数根 6．（2026•沙市区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列结论： ①该函数图象经过点（﹣1，0）； ②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1． 其中正确的结论的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7.（2025秋•蔡甸区校级月考）已知抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0 B．抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0） C．方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根 D．2a2+b+c＜0 8.（2026•青秀区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，若该图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0中一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3 图像法求一元二次方程的近似根 9.（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 10.（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 11．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 12．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 13．（2025秋•呈贡区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围是（　　） A．1.3＜x＜1.4 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.4＜x＜1.5 14．（2025秋•贵州期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 15.（2025秋•南海区期末）观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x﹣15＝0的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．1.4＜x＜1.5 16．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 17．（2025秋•莲湖区期末）小强利用二次函数图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解，下表是小强探究过程中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 y＝x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和之2.5间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 18.（2025秋•惠城区期末）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 考点4 利用不等式求自变量或函数值的范围 19．（2025秋•湖北期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若ax2+bx+c≥0，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤﹣3 C．﹣3≤x≤1 D．x≤﹣3或x≥1 20．（2025秋•冷水滩区期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．y2＝﹣x+m的图象交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣3＜x＜0 D．﹣1＜x＜2 21．（2026•石家庄一模）已知一次函数y1＝ax+a+k（a≠0）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为，则当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．x＞0 C．x＞3 D．任意实数 22．（2026春•越秀区校级月考）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（　　） ①抛物线开口向上； ②当x＝﹣2时，y取最大值； ③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根； ④直线y＝kx+c经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0． A．③④ B．②③ C．②④ D．①②③④ 23.（2026•淄博一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y＞﹣1时，x的取值范围为x＜t﹣1或x＞﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24.（2026•萧山区校级模拟）已知二次函数的顶点在一次函数y2＝ax+ab﹣5上，且当时，都有y1＜y2，a的取值范围是（　　） A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2 25．（2026•成武县三模）小张用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象时，部分列表如表： x … ﹣1 0 1 2 … y … t 3 4 3 … 依据以上信息，判断以下结论中错误的是（　　） A．图象顶点在第一象限 B．﹣1和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根 C．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，则p≥3 D．点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4 考点5 根据交点确定不等式的解集 26．（2026•管城区校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（　　） A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5 27.（2025秋•青阳县期末）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＜n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 28．（2026•常州校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（　　） A．ax2+bx+c＞kx+h的解集是2＜x＜4 B．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＞4 C．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＜2 D．ax2+bx+c＝kx+h的解是x＝2或x＝4 29．（2026•科尔沁区二模）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 30．（2026•德州二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4a上，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则不等式ax3﹣4ax＞0的解集是（　　） A．﹣2＜x＜2 B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．x＜﹣2或x＞2 31．（2026•宿城区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32.（2026•阳谷县校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3 C．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 33.（2026•芜湖二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 34．（2026•石河子一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表，其中n＞0，则：①abc＜0，②2a+b＝0，③m＝4，④不等式ax2+bx+c＞﹣5的解集为0＜x＜2，⑤对于任意实数t，at2﹣a≥b﹣bt．其中结论正确的个数是（　　） x … ﹣2 0 2 m … y＝ax2+bx+c … n ﹣5 ﹣5 n … A．4 B．3 C．2 D．1 能 力 提 升 练 35.（2026•渭滨区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x ﹣4 0 1 5 y 0 8 5 ﹣27 则下列关于该二次函数的说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤8 C．一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 36.（2026•渭滨区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，函数图象的对称轴是直线x＝2 B．函数的最小值为m2﹣4 C．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在函数图象上，则y1＞y2 D．若函数图象与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4 37．（2026•眉山一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）且n＞0．下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．当x＝1和x＝﹣3时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值相等 D．函数y＝kx+1与y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象总有两个不同的交点 38．（2026•齐齐哈尔三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（x1，0），（﹣3，0），其中0＜x1＜2，下列结论：①abc＜0；②b＞a；③函数的最小值大于；④不等式的解集为﹣3＜x＜0．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（2026•旌阳区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＜0； ③a+b≤am2+bm（实数m≠1）； ④若方程ax2+bx+c＝n有一根为﹣2，则不等式ax2+bx+c＜n的解集是﹣2＜x＜4； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2． 其中结论错误的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（2026•龙海区校级模拟）在平面直角坐标系中，y＝x2﹣2x﹣3的图象交x轴于点A、B（A在B的左侧）若抛物线上有一点P，连接PA，∠PAB＝45°，则PA的长为（　　） A． B． C．或 D．或 42．（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 真 题 提 前 练 43.（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 44.（2026•无锡）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 45.（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 46.（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为c．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 47．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $