第26章 二次函数——抛物线与存在性（7）正方形 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形综合，通过阶梯式设问培养几何直观与推理能力，构建代数几何融合的解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线与几何综合|5道大题|含解析式求解、点坐标确定、特殊四边形存在性探究的阶梯式综合题|二次函数概念（解析式、对称轴、顶点）→几何性质（正方形边长与坐标关系）→代数几何综合推理|

1. 如图，抛物线经过点，， 三点，设点 是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）当点 运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值？ （ 3 ）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形？若存在，求点，点的坐标．若不存在，请说明理由． 2. 如图，在正方形中，，点为边的中点，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，，交轴于点，连接．y x O （ 1 ）求经过、、三点的抛物线的表达式． （ 2 ）若（ ）中的抛物线对称轴与轴交于点，过点的直线，将四边形的面积分为的两个部分，求直线的表达式． （ 3 ）平移（ ）中的抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上，平移后的抛物线与直线的另一个交点为，点 在轴上，点在平面直角坐标系中，当以、、 、四点为顶点的四边形是正方形时，求此时 点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 如图，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，，过点，的抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的另一交点为点． （ ）图 （ 1 ）求该抛物线的解析式． （ 2 ）如图，如果将三角板的直角顶点在轴上滑动，一直角所在的直线过点，另一条直角边与抛物线交点为，其横坐标为，试求点的坐标． 图 （ 3 ）如图，点为抛物线对称轴上一动点， 为抛物线在轴上方图象上一点，为平面内一动点，是否存在、 、，使得以、、 、为顶点的四边形为正方形？若存在，求出 的坐标．若不存在，说明理由． 图 4. 如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接． （ 1 ）求抛物线的解析式．y x O （ 2 ）若点在直线上，当时，求点的坐标． y x O （ 3 ）在（）的条件下，作轴于，点 为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，， 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 的坐标．y x O 5. 如图，对称轴为直线 的抛物线经过点和．y x O （ 1 ）求抛物线解析式及顶点坐标． （ 2 ）设点 是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 当平行四边形的面积为时，请判断平行四边形 是否为菱形？1 是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2 $ 1. 如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）若点在直线上，当时，求点的坐标． （ 3 ）在（）的条件下，作轴于，点 为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，， 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 的坐标． （ 1 ）抛物线的解析式为 ． （ 2 ） （ 3 ）点 ． 的坐标为 ， ， ， ． （ 1 ）∵抛物线 ∴ 的图象经过点 ， ， ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 （ 2 ）由（ ）知，抛物线的解析式为 ． ． ∴ ∴ 设直线 ∴ ，抛物线的顶点 ， 的解析式为 ， ， ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 1 学科网（北京）股份有限公司 设点 ， ∵ ， ， 根据勾股定理得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）如图，作 轴于 ， ∴ ， 设 ， ∴ ， ， ∵以点 ， ， ， 四点为顶点的四边形为正方形，必有 ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴点 的坐标为 ， ， ， ． 【知识点】二次函数与动点问题 2. 如图，已知抛物线过点，，点 、为抛物线上的动点，过点作 轴，交直线于点，交轴于点．过点作轴，垂足为点．y A x O B C （ 1 ）求二次函数的表达式． （ 2 ）若 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 为正方形，求该正方形的面积． （ 3 ）若 点是抛物线上对称轴左侧的点，且， ，请直接写出点 的横坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． 或 ． （ 3 ） 或 ． （ 1 ）把 得： ， 代入 ， ， 解得 ， 故该抛物线解析式为： （ 2 ）由（ ）知，抛物线解析式为： ． ， ∴该抛物线的对称轴是 如图，设点 坐标为 ∴ ，顶点坐标为 ，其中 ， ． ， ∵ 、 关于 对称，且点 ， ， 在对称轴右侧， ∴点 的横坐标为 ∴ ∵四边形 ∴ ∴ 分两种情况： 为正方形， ， ， ①当 去），当 ②当 舍去），当 时，解得： 、 （不符合题意，舍 时，正方形的面积为 时，解得： ； ， （不符合题意， 时，正方形的面积为 ； 综上所述，正方形的面积为 （ 3 ）设 把点 得： 所在直线解析式为 或 ， ． 、 代入表达式， ，解得： ， ∴直线 设点则点 ∴ 的函数表达式为 的坐标为 ， ，其中 ，点 ， ， ， ． ∵ ∴ 分两种情况： ①当 ②当 ， ， 时，解得 时，解得 ， （不符合题意，舍去）． ， （不符合题意，舍去）． 综上所述，点 的横坐标为 或 ． 【知识点】二次函数与面积 3. 已知：抛物线的顶点为，与轴的交点为，（点在点的左侧）． （ 1 ）直接写出抛物线对称轴方程． （ 2 ）若抛物线经过原点，且为直角三角形，求，的值． （ 3 ）若为抛物线对称轴上一点，则以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出，满足的关系式，若不能，说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ）当 时， ，当 时， ． （ 3 ） ． （ 1 ）由抛物线解析式 ， 可直接得到抛物线对称轴为直线 ． （ 2 ）∵抛物线过原点且对称轴为直线 ．在 左侧． ∴ 与 重合． ∴ ， ． 由抛物线解析式可得到 的坐标为 ， ∵ 为直角三角形． ∴ 得， ， 解得 ， 当 时，把 代入抛物线解析式中得， ， 解得 ． 当 时，把 代入抛物线解析式中得， ， 解得 ． ∴当 时， ，当 时， ． （ 3 ）要使四边形 为正方形． 则 为等腰直角三角形， ．把抛物线的解析式化成一般式为， ． 令 ，解得 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． ∴以 、 、 、 为顶点的四边形能为正方形． 、 满足关系式 ． 【知识点】二次函数与直角三角形结合 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过，，三点，且 ． （ 1 ）求，的值； （ 2 ）在抛物线上求一点，使得四边形是以为对角线的菱形； （ 3 ）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ， ； （ 3 ）在抛物线上存在一点 ，使得四边形 是以 为对角线的菱形，四 边形 是 不能成为正方形，因为如果四边形 ，但这一点不在抛物线上． 为正方形，点 的坐标只能 （ 1 ）∵抛物线 ，经过 ， ∴ ， 由题意可知， ∴ 由已知，得 ∴ ∴ 解得： ， ， 是方程 的两个根， ， ， ， ，即 ， ， 当 ∴ 时，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，不合题意，舍去， ； （ 2 ）∵若四边形 上， 又∵ 是以 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 必在抛物线的对称轴 ， ∴抛物线的顶点 （ 3 ）若四边形 必是直线 是以 即为所求的点 ； 为对角线的菱形，点 ∴在抛物线上存在一点 ，使得四边形 的坐标为 的交点， ， 是以 ，根据菱形的性质，点 与抛物线 ∴当 时， 为对角线的菱形，四边形 不能成为正方形，因为如果四边形 为正方形，点 的坐标只能是 ，但这一点不在抛物线上． 【知识点】二次函数与平行四边形 5. 如图，对称轴为的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一交点为． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ） 为抛物线上的动点，直线交抛物线对称轴于点，连接，，，若与 面积之比为 ，求点的坐标． （ 3 ）点 在抛物线上，点在对称轴上，点在坐标平面内，当四边形为正方形时，直接写出点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． 或 或 或 ． （ 1 ）∵抛物线的对称轴为 ， ， ∴ ， 设抛物线解析式为 ， 把 代入得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 ， 即 ． （ 2 ）作 ， 为垂足，对称轴与 轴相交于点 ，如图，设 ， ∵ 与 面积之比为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在如图 中， ，解得 ，此时 点坐标为 ； 图 在如图 中， ，解得 ，此时 点坐标为 ． 图 （ 3 ）作 直线 于 ， 轴于 ，设 ，如图图 ，易得 ≌ ， 图 ∴ ， ∴ ， 整理得 ，解得 ， ， ∴ 或 ， 把 点绕 点顺时针旋转 得到点 ，则 点的坐标为 或 ； 如图图 ，易得 ≌ ， 图 ∴ ， ∴ ， 整理得 ，解得 ， ， ∴ 或 ， 把 点绕 点逆时针旋转 得到点 ，则 点的坐标为 或 ， 综上所述， 点坐标为 或 或或 ． 【知识点】二次函数与平行四边形 $ 1. 如图，已知抛物线 的图象经过点 ， ，与轴交于点，抛物线的顶 点为，对称轴与轴相交于点 ，连接． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）若点在直线上，当时，求点的坐标． （ 3 ）在（）的条件下，作轴于，点 为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，， 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 的坐标． 2. 如图，已知抛物线过点，，点 、为抛物线上的动点，过点作 轴，交直线于点，交轴于点．过点作轴，垂足为点．y A x O B C （ 1 ）求二次函数的表达式． （ 2 ）若 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 为正方形，求该正方形的面积． （ 3 ）若 点是抛物线上对称轴左侧的点，且， ，请直接写出点 的横坐标． 3. 已知：抛物线的顶点为，与轴的交点为，（点在点的左侧）． （ 1 ）直接写出抛物线对称轴方程． （ 2 ）若抛物线经过原点，且为直角三角形，求，的值． （ 3 ） 1 学科网（北京）股份有限公司 若为抛物线对称轴上一点，则以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出，满足的关系式，若不能，说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过，，三点，且 ． （ 1 ）求，的值； （ 2 ）在抛物线上求一点，使得四边形是以为对角线的菱形； （ 3 ）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 5. 如图，对称轴为的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一交点为． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ） 为抛物线上的动点，直线交抛物线对称轴于点，连接，，，若与 面积之比为 ，求点的坐标． （ 3 ）点 在抛物线上，点在对称轴上，点在坐标平面内，当四边形为正方形时，直接写出点的坐标． $ 1. 如图，抛物线经过点，， 三点，设点 是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）当点 运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值？ （ 3 ）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形？若存在，求点，点的坐标．若不存在，请说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ） 与 之间的函数关系式为： ， 的最大值 为 ． （ 3 ）点 ， 坐标为 ． （ 1 ）设所求抛物线的解析式为 ∵将 、 、 三点代入，得： ， ，解得 ， ∴抛物线的解析式为： ． （ 2 ）∵点 ∴即 ∵ ∴ 是抛物线上一动点，且在 轴下方， ， ， 表示点 到 是平行四边形 的距离． 的对角线， 10 学科网（北京）股份有限公司 ， ∵ ∴ 与 之间的函数关系式为： ， 的最大值为 ． （ 3 ）∵当 ∴此时点 ∴存在点 ，且 坐标只能 时，平行四边形 ，而坐标为 是正方形， 点在抛物线上， 此时点 坐标为 ，使平行四边形 ． 为正方形， 【知识点】二次函数与动点问题 2. 如图，在正方形中，，点为边的中点，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，，交轴于点，连接．y x O （ 1 ）求经过、、三点的抛物线的表达式． （ 2 ）若（ ）中的抛物线对称轴与轴交于点，过点的直线，将四边形的面积分为的两个部分，求直线的表达式． （ 3 ）平移（ ）中的抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上，平移后的抛物线与直线的另一个交点为，点 在轴上，点在平面直角坐标系中，当以、、 、四点为顶点的四边形是正方形时，求此时 点坐标． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． 或点的坐标为 ． ， ， ， ． （ 1 ）方法一：由题 令 ，将 ， 代入， 解得 ， ∴ ． 方法二：如图 中， 图 由题意 ， ， 设抛物线的解析式为 ，把 代入得到 ， ∴经过 、 、 三点的抛物线的表达式为 ，即 ． （ 2 ）方法一：令 ，∴ ， 四边形 四边形 ， 1 与 相交于 ， ， 2 与 轴相交于 ， ． 方法二：如图 中，设直线 交 于 ． 图 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ 四边形 ， ∵直线 ，将四边形 的面积分为 的两个部分， ∴ ， ∴点 是纵坐标为 ． 当点 在直线 上时，∵直线 的解析式为 ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ． 当点 在 上时， ，此时直线 的解析式为 ．综上所述，直线 的解析式为 或 ． （ 3 ）方法一： ，以 为边向外作正方形，则两个正方形顶点，或对角线处 为点 ，且需满足 在 轴上． 过 作 轴交 于点 ， ， 则 是由 向右平移 个单位得到， ． ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 综上所述， 点的坐标为 ， ， ， ．方法二：如图 中，当 是正方形 的对角线时， ； 图 如图 中，当当 与 重合， 是正方形 的边时， ； 图 如图 中，当 是正方形 或正方形 的边时， ； 图 如图 中，当 是正方形 的对角线时， ； 图 综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ． 【知识点】二次函数与平行四边形 3. 如图，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，，过点，的抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的另一交点为点． （ ）图 （ 1 ）求该抛物线的解析式． （ 2 ）如图，如果将三角板的直角顶点在轴上滑动，一直角所在的直线过点，另一条直角边与抛物线交点为，其横坐标为，试求点的坐标． 图 （ 3 ）如图，点为抛物线对称轴上一动点， 为抛物线在轴上方图象上一点，为平面内一动点，是否存在、 、，使得以、、 、为顶点的四边形为正方形？若存在，求出 的坐标．若不存在，说明理由． 图 （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 3 ）存在满足题意的点． 点 的坐标为 ， ， ， ， ． （ 1 ）∵抛物线对称轴为直线 ∴设抛物线解析式为： ， ， 由题意可知： 代入上式得： 、 ， ， 解得： ∴ （ 2 ）令 ， ， ，则 ． ，∴ ． 如图 ，过点 作 轴于点 ， 图 则 ， ． 设 （ ）， 则 ， ． 易证 ， 则有 ， 即 ， 解得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）（i）若以 、 为正方形的两边： ①若点 在对称轴右侧，如图 所示． 图 设 （ ） 过 作 轴于点 ， 易证 ≌ ， ∴ ， ∴ ， 解方程得： （负值舍去）， ∴ ． ②若点 在对称轴左侧，如图 所示． 图 同理可求得： ． （ii） 若以 、 为正方形的两边： ①若点 在对称轴右侧，如图 所示． 图 设 （ ） 过 作 轴于点 ， 易证 ≌ ， ∴ ，∴ ， 即 ． ∴ ， 解方程得： （负值舍去）， ∴ ． ②若点 在对称轴左侧，如图 所示． 图 同理可求得： ． （iii） 若以 为正方形的对角线：如图 所示，可求得 ． 图 综上所述，存在满足题意的点． 点 的坐标为 ， ， ， ， ． 【知识点】二次函数与动点问题 4. 如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接．y x O （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）若点在直线上，当时，求点的坐标． y x O （ 3 ）在（）的条件下，作轴于，点 为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，， 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 的坐标． y x O （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） 的坐标为 ， ， ， ． （ 1 ）∵抛物线 的图象经过点 ， ， 抛物线的解析式为 ． （ 2 ）由（ ）知，抛物线的解析式为 ； ，抛物线的顶点 ， ， 设直线 的解析式为 ， 直线 的解析式为 ，设点 ， ， ， 根据勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ． （ 3 ）如图，作 轴于 ， y x O ， 设 ， ， ， 以点 ， ， ， 四点为顶点的四边形为正方形，必有 ， ， 或 ， 点 的坐标为 ， ， ， ． 【知识点】方程思想在勾股定理的应用 【知识点】勾股定理 【知识点】已知两点求一次函数解析式 【知识点】二次函数与平行四边形 【知识点】二次函数一般式 【知识点】正方形的性质 【思想】方程思想 【思想】转化与化归思想 【思想】函数思想 【思想】数形结合思想 【能力】抽象概括能力 【能力】运算能力 【方法】待定系数法 5. 如图，对称轴为直线 的抛物线经过点 和 ． y x O （ 1 ）求抛物线解析式及顶点坐标． （ 2 ）设点 是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 当平行四边形的面积为时，请判断平行四边形 是否为菱形？1 是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2 （ 1 ）抛物线解析式为 ，顶点为 ． （ 2 ）1 点 点 满足 不满足 ，平行四边形 ，平行四边形 是菱形； 不是菱形． 2 不存在这样的点 ，使平行四边形 为正方形． （ 1 ）因为抛物线的对称轴是 ， 设解析式为 ， 将 ， 两点坐标代入上式，得 ， 解得 ， ， 故抛物线解析式为 ，顶点为 ． （ 2 ）1 ∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标满足 ， ∴ 即 ∵ ∴ ， ， 是 表示点 到 的距离， 的对角线， ， ∵抛物线与 轴的两个交点是 和 ， ∴自变量 的取值范围是 ． 根据题意，当 时，即 ， 化简，得 ， 解得 ， ， 故所求的点 有两个，分别为 ， ， 点 满足 ， ∴平行四边形 是菱形； 点 不满足 ， ∴平行四边形 不是菱形． 2 ∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标满足 ， ∴ 即 ∵ ∴ ， ， 表示点 到 的对角线， 的距离， 是 ， ∵抛物线与 轴的两个交点是 ∴自变量 的取值范围是 和 ． ， 当 ，且 此时点 的坐标只能是 时，平行四边形 ， 是正方形， 而坐标为 的点不在抛物线上， 故不存在这样的点 ，使平行四边形 为正方形． 【知识点】二次函数与动点问题 $