专题03 绝对值化简问题（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦绝对值化简问题核心知识点，涵盖代数定义、非负性等核心性质、运算公式及几何意义，通过零点分段四步（求零点、划区间、判正负、去绝对值）构建化简方法，结合分类讨论思想形成从定义到应用的学习支架。 资料特色为典例与变式结合，代几综合题型融合数轴体现几何直观，培养抽象能力与推理意识。标准化步骤规范思维，助力教师系统授课，学生可通过分层练习查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题 03 绝对值化简问题 1. 掌握绝对值定义与零点分段化简法，能化简单重、多重绝对值，求解绝对值最值； 2. 结合数轴条件快速判断符号，处理含字母、含参绝对值题型； 3．依托分类讨论思想规范去绝对值，突破多绝对值嵌套化简难点； 4. 综合解决绝对值几何最值压轴题。 （一）基础核心知识点 绝对值代数定义： 核心性质：（非负性）；若，则； 运算公式：； 几何意义：表示到原点距离；表示数轴上两点距离。 （二）零点分段标准化步骤与结论 零点分段四步：①令绝对值内式子=0求零点；②数轴排序零点划分区间；③区间内判断代数式正负；④去绝对值后合并同类项； 最值结论：最小值0；最小值为，在之间取到最小值。 （三）核心数学思想 分类讨论思想：根据零点划分字母取值区间，分情况去掉绝对值符号，杜绝符号判断错误。 题型 01 与绝对值相关的方程求解 【典例1】若|x﹣1|＝2026，则x的值为（　　） A．2027 B．﹣2025 C．﹣2027 D．2027或﹣2025 【变式】若|m|＝|﹣1|，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 题型 02 与绝对值相关的最值问题 【典例2】式子2026﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【变式】已知a为有理数，则式子2+|a﹣3|的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 题型 03 与绝对值相关的代数式求值 【典例3】若|a|＝2，|b|＝7，则|a+b|的值是（　　） A．5 B．9 C．5或9 D．±5或±9 【变式】若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a﹣2b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 题型 04 与绝对值相关的代几综合问题 【典例4】我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　　 ，如果|AB|＝2，那么x是　　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　　 ． 【变式】【阅读】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是 　　 ；式子|a+5|的几何意义是 　　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝ 　　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值是 　　 ． 【巩固训练】 1. 当x为任意实数时，|x﹣1|的值都（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不小于0 2. 如果|x|＝﹣x，那么x的值可以是（　　） A．3 B．2 C．﹣1 D．1 3. 下列结论中，正确的是（　　） A．|a|一定是正数 B．﹣|a|一定是负数 C．﹣|﹣a|一定是非正数 D．﹣|﹣a|一定是负数 4. 已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 5. 已知|x|＜π（x是整数），则x的所有可能值中，最大值是 　　 ． 6. 如果，则m的值为　　 ；如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝　　 ． 7. 已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）已知|y+z|＝2025，求z的值． 8. 已知|a﹣2|+|b+1|+|c+3|＝0，求：（1）a，b，c的值；（2）（a﹣b+c）2的值． 【强化训练】 1. （2026•宁夏模拟）已知|a﹣2|＝2﹣a，则a的最大整数值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 2. （2026春•锡山区校级期末）如果a＞2，那么|﹣1.5|+|a﹣2|等于（　　） A．1.5﹣a B．a﹣3.5 C．a﹣0.5 D．3.5﹣a 3. （2026•无为市一模）实数m，n同时满足m﹣|n|＝1，|m|﹣n＝5，则mn值为（　　） A． B．9 C． D．8 4. （2026春•丰都县校级月考）已知|x+1|﹣y＝2，2|x|+y＝0，求xy的值为　　 ． 5. （2025秋•太和县月考）已知|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0．（1）求x，y，z的值； （2）求|x|+|y|+|z|的值． 6. （2025秋•顺庆区期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，求的值． （2）当a＝﹣5时，求的值． （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 03 绝对值化简问题 1. 掌握绝对值定义与零点分段化简法，能化简单重、多重绝对值，求解绝对值最值； 2. 结合数轴条件快速判断符号，处理含字母、含参绝对值题型； 3．依托分类讨论思想规范去绝对值，突破多绝对值嵌套化简难点； 4. 综合解决绝对值几何最值压轴题。 （一）基础核心知识点 绝对值代数定义： 核心性质：（非负性）；若，则； 运算公式：； 几何意义：表示到原点距离；表示数轴上两点距离。 （二）零点分段标准化步骤与结论 零点分段四步：①令绝对值内式子=0求零点；②数轴排序零点划分区间；③区间内判断代数式正负；④去绝对值后合并同类项； 最值结论：最小值0；最小值为，在之间取到最小值。 （三）核心数学思想 分类讨论思想：根据零点划分字母取值区间，分情况去掉绝对值符号，杜绝符号判断错误。 题型 01 与绝对值相关的方程求解 【典例1】若|x﹣1|＝2026，则x的值为（　　） A．2027 B．﹣2025 C．﹣2027 D．2027或﹣2025 D【解析】∵|x﹣1|＝2026， ∴x﹣1＝±2026， ∴x＝2027或﹣2025． 故选：D． 【变式】若|m|＝|﹣1|，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 C【解析】∵|﹣1|＝1，∴|m|＝1， ∴m＝±1， 故选：C． 题型 02 与绝对值相关的最值问题 【典例2】式子2026﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 B【解析】根据绝对值的非负性可知： 2026﹣|x+4|≤2026， ∴最大值是2026． 故选：B． 【变式】已知a为有理数，则式子2+|a﹣3|的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 D【解析】∵|a﹣3|≥0，a为有理数， ∴2+|a﹣3|≥2， ∴式子2+|a﹣3|的最小值为2． 故选：D． 题型 03 与绝对值相关的代数式求值 【典例3】若|a|＝2，|b|＝7，则|a+b|的值是（　　） A．5 B．9 C．5或9 D．±5或±9 C【解析】∵|a|＝2，∴a＝±2， ∵|b|＝7， ∴b＝±7， 当a＝2，b＝7时，|a+b|＝|2+7|＝9； 当a＝2，b＝﹣7时，|a+b|＝|2﹣7|＝5； 当a＝﹣2，b＝7时，|a+b|＝|﹣2+7|＝5； 当a＝﹣2，b＝﹣7时，|a+b|＝|﹣2﹣7|＝9； 综上，|a+b|的值是5或9． 【变式】若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a﹣2b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 B【解析】∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴a﹣2b＝﹣3．故选：B． 题型 04 与绝对值相关的代几综合问题 【典例4】我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　　 ，如果|AB|＝2，那么x是　　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　　 ． 解:（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是|﹣20﹣（﹣5）|＝15．数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是|15﹣（﹣30）|＝45． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3． （3）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和， 当x在﹣1和3之间的2时有最小值是4．故答案为：3，15，45；|x+1|，1或﹣3；4． 【变式】【阅读】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是 　　 ；式子|a+5|的几何意义是 　　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝ 　　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值是 　　 ． 解:（1）∵数轴上点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|， ∴表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|或|﹣3﹣2|， ∴式子|a+5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离， 故答案为：|2﹣（﹣3）|或|﹣3﹣2|，数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； （2）∵|x﹣2|＝3的几何意义是在数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离是3， ∴x＝2+3＝5或x＝2﹣3＝﹣1，故答案为：5或﹣1； （3）∵表示x的点在﹣2与5之间移动时， ∴﹣2＜x＜5， ∴|x﹣5|+|x+2|＝5﹣x+x+2＝7，故答案为：7． 【巩固训练】 1. 当x为任意实数时，|x﹣1|的值都（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不小于0 D【解析】根据绝对值定义，数轴上表示数|x﹣1|的点与原点的距离记作|x﹣1|，距离不可能为负数， ∴|x﹣1|≥0， 即|x﹣1|不小于0， 故选：D． 2. 如果|x|＝﹣x，那么x的值可以是（　　） A．3 B．2 C．﹣1 D．1 C【解析】∵|x|＝﹣x∴x≤0，即x为非正数， A、3＞0，正数； B、2＞0，正数； C、﹣1＜0，负数； D、1＞0，正数．故选：C． 3. 下列结论中，正确的是（　　） A．|a|一定是正数 B．﹣|a|一定是负数 C．﹣|﹣a|一定是非正数 D．﹣|﹣a|一定是负数 C【解析】由非负数的性质|a|＝|﹣a|≥0，﹣|a|＝﹣|﹣a|≤0， ∴﹣|﹣a|一定是非正数．故选：C． 4. 已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． C【解析】由于|a|＝﹣a，|b|＝b，即a为非正数，b为非负数， 又∵|a|＞|b|＞0， ∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 5. 已知|x|＜π（x是整数），则x的所有可能值中，最大值是 　　 ． 3【解析】∵|x|＜π（x是整数）， ∴﹣π＜x＜π， ∴x的取值有﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3． 则x的最大值为3．故答案为：3． 6. 如果，则m的值为　　 ；如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝　　 ． ，5【解析】∵，∴， ∵|y+3|＝﹣|2x﹣4|， ∴|y+3|+|2x﹣4|＝0， ∵|y+3|≥0，|2x﹣4|≥0，∴y+3＝0，2x﹣4＝0， ∴x＝2，y＝﹣3，∴x﹣y＝2﹣（﹣3）＝5，故答案为：，5． 7. 已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）已知|y+z|＝2025，求z的值． 解（1）∵|x﹣2|+|y+3|＝0， 又∵|x﹣2|≥0，|y+3|≥0， ∴|x﹣2|＝0，|y+3|＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3； （2）∵|y+z|＝2025， ∴y+z＝±2025， 即y+z＝2025或y+z＝﹣2025， 由（1）知y＝﹣3， ∴﹣3+z＝2025或﹣3+z＝﹣2025，∴z＝2028或z＝﹣2022． 8. 已知|a﹣2|+|b+1|+|c+3|＝0，求：（1）a，b，c的值；（2）（a﹣b+c）2的值． 解:（1）∵|a﹣2|+|b+1|+|c+3|＝0， ∴a﹣2＝0，b+1＝0，c+3＝0， 解得a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3； （2）当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3时，（a﹣b+c）2＝（2+1﹣3）2＝0． 【强化训练】 1. （2026•宁夏模拟）已知|a﹣2|＝2﹣a，则a的最大整数值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 A【解析】∵|a﹣2|＝2﹣a， ∴a﹣2≤0， ∴a≤2， ∴a的最大整数值是2，故选：A． 2. （2026春•锡山区校级期末）如果a＞2，那么|﹣1.5|+|a﹣2|等于（　　） A．1.5﹣a B．a﹣3.5 C．a﹣0.5 D．3.5﹣a C【解析】因为a＞2，所以a﹣2＞0， 所以|﹣1.5|+|a﹣2|＝1.5+a﹣2＝a﹣0.5． 故选：C． 3. （2026•无为市一模）实数m，n同时满足m﹣|n|＝1，|m|﹣n＝5，则mn值为（　　） A． B．9 C． D．8 A【解析】由题意，∵m﹣|n|＝1，|m|﹣n＝5，∴m＝|n|+1≥1， ∴|m|＝m，∴m﹣n＝5， ∴m＝5+n，∴n+5﹣|n|＝1，∴n﹣|n|＝1﹣5＝﹣4， ∴①当n≥0时，n﹣n＝﹣4，无解； ②当n＜0时，n+n＝﹣4，∴n＝﹣2，∴m＝3，∴，故选：A． 4. （2026春•丰都县校级月考）已知|x+1|﹣y＝2，2|x|+y＝0，求xy的值为　　 ． 或xy＝2【解析】由2|x|+y＝0得y＝﹣2|x|，代入第一个方程： |x+1|+2|x|＝2，按x的取值范围分类讨论去绝对值，情况一：x≥0， 此时|x|＝x，x+1＞0，∴|x+1|＝x+1，（x+1）+2x＝2，3x+1＝2， ， 满足x≥0，，； 情况二：﹣1≤x＜0，此时|x|＝﹣x，x+1≥0， ∴|x+1|＝x+1，（x+1）+2（﹣x）＝2， x+1﹣2x＝2， 1﹣x＝2， x＝﹣1， 满足﹣1≤x＜0．y＝﹣2×|﹣1|＝﹣2， xy＝（﹣1）×（﹣2）＝2；情况三：x＜﹣1，此时|x|＝﹣x，x+1＜0， ∴|x+1|＝﹣（x+1），﹣（x+1）+2（﹣x）＝2，x＝﹣1， 不满足x＜﹣1，舍去，故答案为：或xy＝2． 5. （2025秋•太和县月考）已知|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0．（1）求x，y，z的值； （2）求|x|+|y|+|z|的值． 解:（1）∵|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0， 又∵|x+4|≥0，|y﹣7|≥0，|z﹣3|≥0， ∴x+4＝0，y﹣7＝0，z﹣3＝0， 解得x＝﹣4，y＝7，z＝3； （2）由（1）得x＝﹣4，y＝7，z＝3，∴|x|+|y|+|z|＝|﹣4|+|7|+|3|＝4+7+3＝11+3＝14． 6. （2025秋•顺庆区期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，求的值． （2）当a＝﹣5时，求的值． （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 解:（1）由条件可知； （2）由条件可知； （3）当a＞0，b＜0时，； 当a＞0，b＞0时，； 当a＜0，b＜0时，； 当a＜0，b＞0时，；综上，的值为2或0或﹣2． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $