专题03 绝对值的几何意义与最值问题11大题型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以绝对值几何意义为核心，构建"概念-方法-应用"三阶训练体系，通过11类题型系统培养抽象能力与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最值问题|3类/15题|数轴中点法、奇偶数段规律|从两点距离到n点距离和差，构建距离模型| |化简运算|3类/15题|符号判断四步法、分类讨论|由已知范围到未知范围，渗透逻辑推理| |综合应用|5类/20题|新定义转化、非负性性质|结合数轴动态问题，培养数学表达与模型意识|

专题03 绝对值的几何意义与最值问题 题型一：两个绝对值的和的最值 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值 题型四：绝对值中最值问题的应用 题型五：已知范围的绝对值化简 题型六：未知范围的绝对值化简 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型九：绝对值方程 题型十：绝对值非负性问题 题型十一：数轴与绝对值问题综合 题型一：两个绝对值的和的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点距离公式的几何意义，利用绝对值的几何意义可简化计算． 表示到的距离，表示到2的距离；当在和2之间时，距离之和最小，为固定值3． 【详解】解：由于，表示到的距离， 则表示到2的距离， 所以表示到和到2的距离之和。 当在和2之间时，距离之和最小，即为与2之间的距离， ∴的取值范围是． 故选：B． 3．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 4．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 题型二：两个绝对值的差的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 7．（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 8．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 9．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：． 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________， 数轴上表示3和的两点的距离是_________， 数轴上表示和4的两点之间的距离是____________， 数轴上表示和的两点之间的距离是____________； (2)写出时的取值范围是_______________； (3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)4，，，； (2)； (3)取值范围为，最小值为． 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）当、、时，分别讨论求解即可； （3）表示的几何意义，数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵两点之间的距离为：． ∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是， 数轴上表示3和的两点之间的距离是， 数轴上表示和4的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是． 故答案为：4，，，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，． ∴当代数式时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：∵表示的几何意义是：数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， ∴当时，代数式取最小值，最小值为． 10．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 【答案】(1)或1 (2)，，,0,1；4 (3)；7 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离计算，有理数加减计算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据绝对值的几何意义，然后画数轴，即可得到答案； （2）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，当时，有最大值，然后即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，当时，有最小值0，则当时，有最小值，据此求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离为6，在数轴上表示为： 由图可得，点表示的数为或1， ∴则的值为或1， 故答案为：或1； （2）解；根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离加上有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离之和，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离减去有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离，在数轴上表示： ∴①当时，取最小值，通过数轴可得：可以取整数有，，，0，1； ②当，可化简为；当，可化简为，此时最大值小于4；当，可化简为， 综上所述，当取最小值时，可以取整数有，，，0，1；的最大值为4， 故答案为：，，，0，1；4； （3）解：根据题意可得，表示数轴上表示数的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为7， 故答案为：；7； 题型三：多个绝对值的和的最值 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 11．（重庆市第八中学校2025-2026学年七年级上学期数学定时作业）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 12．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·吉林长春·期中）探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 【答案】（1）3，4，x，； （2）①作图见解析，A与B之间；②作图见解析，B处；③作图见解析，之间； （3）①1；3、4；②8，；③16；1、2、3、4． 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离的意义、绝对值化简等知识点，灵活运用数形结合思想求最小的距离之和是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离以及绝对值的意义求解即可； （2）①通过观察，比较可得点P设在A与B之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长即可；②通过观察，比较可得点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长；③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为3和4之间的距离；②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离；③结合（2）中的③，可得最小距离为和6与1和4的距离之和． 【详解】解：（1）探索材料1（填空）： ，， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离． 故答案为：3，4，x，． （2）探索材料2（填空）： ①如图： 则当材料供应点P应设在A与B之间，P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小， 故答案为：①A与B之间；②B处；③之间． （3）结论应用（填空）： ①代数式表示x到3的距离与x到4的距离之和， ∴的最小值是，所有x的整数值为3、4． 故答案为：1；3、4； ②代数式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是，此时x的值为． 故答案为：8，； ③代数式表示x到的距离与x到4与x到1与x到6的距离之和， ∴最小值是．此时x的所有整数值是1到4之间的整数，即1、2、3、4． 故答案为：；1、2、3、4． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为________． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是________． (3)根据数轴，若的最小值是8，请直接写出的值． (4)由以上探索直接写出的最小值，并求出所有符合条件的整数的和． 【答案】(1) (2)，，， (3)或10 (4)最小值为，和为 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点间的距离等知识，熟练掌握两点间的距离公式，会利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． （1）利用两点间的距离公式即可求解； （2）表示在数轴上，有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和为， 据此解答即可； （3）理解为：在数轴上表示数的点到表示数的点的距离之和，然后对进行讨论，根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据题意可得，在数轴上表示到、及两个的距离之和，从而得到在和之间时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、， 故答案为：、、、； （3）解：理解为：在数轴上表示数的点到表示数的点的距离之和， 当时，最小值在处取得，即，解得； 当时，最小值在处取得，即，解得； 当，最小值为，不符合题意， ∴的值为或10； （4）解：理解为：在数轴上表示到、及两个的距离之和， 当在和之间时，取得最小值， ， 最小值为：， 符合条件的整数为，，，； 所有符合条件的整数的和为． 题型四：绝对值中最值问题的应用 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． [简单应用] （1）根据两点之间的距离公式即可解答； （2）利用题中定义即可解答； （3）分类讨论，即点在左边或点在右边 [关联应用] （1）根据两点之间距离公式即可解答； （2）求出每个因式的最小值，即可得到的取值范围，求得最大值即可； [实际应用]由题意可得得落在间才会得到距离之和，再计算即可． 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时， ，解得； 当点在右边时， ，解得， 综上，或； 故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为， 故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为， 在时，取最小值为， ， ，，， ，，， 的最大值为； [实际应用] 解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小， 设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值， 在时，取最小值， 的最小值为， 综上，距离之和最小值为． 17．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如的几何意义是数轴上x对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)填空：若，则x的值为 ； (2)直接写出式子的最小值为 ； (3)如图，在一条笔直的街道上有A，B，C，D，E五个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知A，B，C，D，E五个小区各有1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这5个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)1或3 (2)6 (3)C， 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． (1)根据绝对值的几何意义求解即可； (2)根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； (3) A，B，C，D，E分别在数轴上表示，，0，，，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点C上时，A、B、D、E到C的距离之和最小，则，A、B、D、E到C的最小距离之和为∶，即可求解． 【详解】（1）解∶ 表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， 或． （2）解∶ 表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时|有最小值， 的最小值为． 故答案为∶6． （3）解：设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为∶ 表示x所对应的点到、、0、、五个点的距离之和， 奇数个点时在正中间的数时有最小值，即时，， 当M在点C上时，四个点到C的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 18．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为___________；当取最小值时，可取的全部整数值有___________． (2)当的值最小时，的取值为___________，最小值是___________． (3)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．站点P每天向A小区，B小区，C小区运送购买物资各2次．物资运送车每往返1千米路程共需花费10元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1)或3；或或0或1或2 (2)，6 (3)站点P建在B处，才能使总运送费用最少，最少费用是360元． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）表示数轴上x与有理数的点之间的距离等于5的点，结合数轴找到点即可；表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在与2之间的线段上，找到满足条件的点即可； （2）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （3）以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，根据绝对值几何意义分析判断取得最小值时的情况即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于5，由数轴可知为：或3； 当取最小值时， 表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在与2之间的线段上， 所以x可以取整数或或0或1或2； 故答案为：或或0或1或2； （2）解：表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和， 所以表示x的点应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离6； 故答案为：，6； （3）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离、x到4的距离、x到的距离的总和， ∴当时，取得最小值， ∴（元）． ∴站点P建B处，才能使总运送费用最少，最少费用是360元． 19．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 20．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 【答案】(1)5； (2)5；9；5，4或； (3)5秒或秒． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，行程问题，数形结合思想等。理解并掌握材料中两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上点A和点B表示的数计算即可； （2）根据数轴数形结合即可； （3）设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度，分相遇前相遇后进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：5； （2）由数轴可知： 当时，到A、B两点的距离之和为5， 所以；     当时，到A、B两点的距离之和为9， 所以；     若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离之和为5， 所以； 因为，所以点P不在A、B两点之间， 因为，所以点P表示的有理数x为4或； 故答案为：5；9；5，4或； （3）由题可知，， 设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度， 相遇前： ，    相遇后： ，        答：综上可知，经过5秒或7.5秒时点M与点N相距1个单位长度 题型五：已知范围的绝对值化简 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 21．（25-26六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 22．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由绝对值的定义可得，然后分四种情况求值验证各选项即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，，即A选项不符合题意； 当时，，即B选项不符合题意； 当时，，即C选项不符合题意； 当时，，即D选项符合题意． 故选D． 23．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，那么多项式的值为___________． 【答案】或3 【分析】由绝对值方程求解x和y的可能取值，再根据得到确定符合条件的x和y组合，最后计算的值． 本题考查了绝对值的化简，代数式的求值，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或；或， 解得或；或， ∵， ∴， ∴，或，， ∴或． 故答案为：3或4053． 24．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 25．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 题型六：未知范围的绝对值化简 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 26．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的化简， 利用已知条件和，结合，推导出和，从而简化原表达式并计算值． 【详解】解：∵， ∴. 原式 ． ∵且， ∴，故， ∵， ∴. 由和，得，即， ∴. ∴原式． 故选：A． 27．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数符号的分析和绝对值的化简，判断绝对值的正负是解题的关键． 首先由和可得a，b，c中只有一个负数，再将原式化简为，再分三种情况讨论符号即可求出x的值，进而求最大值和最小值的乘积． 【详解】解：∵且， ∴a，b，c中只有一个负数， ∵， ∴，，， ∴， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴x的最大值为，最小值为， ∴x的最大值与最小值的乘积为， 故选：A． 28．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了化简含绝对值的式子，利用已知条件将绝对值表达式简化，结合确定变量符号组合，计算所有可能值后比较得出最小值． 【详解】解：由，得，，，故，，， ∴原式化为， 令，则， 由和可知，a，b，c中一正两负， ①若，，，则，，，原式 ， ②若，，，则，，，原式 ， ③若，，，则，，，原式 ， 通过比较得最小值为． 故答案为：． 29．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，最小的值为，则_____． 【答案】7 【分析】本题考查了带有字母的绝对值化简问题，由可得， ， ，代入得；结合 可知 为两负一正，分类讨论三种情况计算的值即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ∴， ∵ 且 ， ∴ 为两负一正； 设，则 （）或（）， ∴ ； 分三种情况： 1. ：， 2. ：， 3. ：， ∴ 有3个不同值：， 即，，， ∴ ； 故答案为：7． 30．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的序号是______． ①已知是有理数，且，时，则的值为或； ②四个数、、、满足，则最小的数是，最大的数是； ③如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③ 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键．根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴两个为正一个为负， 当两个为正一个为负时，不妨假设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴各式同时加上得： ， 即， ∴最小的数是，最大的数是，即②正确； ③∵， ∴异号， 又∵， ∴负数的绝对值大于正数的绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据定义， ∴，即③正确． 故答案为：②③． 题型七：绝对值化简的新定义问题 31．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，，进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（    ） ①对，，进行“运算”结果是 ②对，，1进行“运算”的结果是，则或； ③对，，，，，，进行“运算”，当其结果取最小时对应的范围是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．根据“运算”的运算方法进行运算，根据计算结果判定；首先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定；先分析得出为使两两差绝对值最小，则位于不含的数列的中间时运算结果最小． 【详解】解：对，，进行“运算”， 可得：， 故错误； 对，，1进行“运算”的结果是， ， 整理得：， ， 当时， 可得：， 解得：， 当时， 可得：不成立， 当时， 可得：， 解得：， 对，，1进行“运算”的结果是，则或， 故正确； ，，，，，，共项， 插后共项， 要使两两差的绝对值最小，则， ， 故错误 综上所述，说法正确的个数是个． 故选：B． 32．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，绝对值的几何意义，整式的加减运算，理解新定义运算是解题的关键． 根据“F运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“F运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：①由题意得， ，解得 或3，故①错误； ②由题意得，即， ∴当，等式成立；故②正确； ③对进行“运算”得， 当 ，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， ∴进行“运算”化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故③错误； 故选：B． 33．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是_______． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 34．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”规则如下： 对于两个有理数，， ． (1)计算： ； (2)判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由； (3)若，，如果直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)满足交换律 (3) 或 【分析】本题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算． （1）利用规定的运算方法代入求得数值即可； （2）把（1）中的数字位置调换，计算后进一步比较得出结论即可； （3）分情况讨论求出求解即可. 【详解】（1）解：； （2）具有交换律，理由如下： 把（1）中的数字位置调换有 （3）因为， 所以 当时 ； 当时 即 解得或均不在范围内舍去； 当时 解得 所以 或 ． 35．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 【答案】(1)① ，②或 (2)或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1 ）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2 ）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】（1）解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）解：∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 题型八：绝对值化简问题综合 36．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 37．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）若，且，以下结论：①；②；③的所有可能取值为0或4；④在数轴上点、、表示数，且，则线段与线段的大小关系是，其中正确结论的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查绝对值．由条件且，可推得，，而可能为正或负．结论①中，故错误；结论②通过绝对值化简验证成立；结论③分和两种情况计算表达式值，结果为0或4；结论④利用数轴上线段长度比较，结合条件推导成立． 【详解】解：∵且， ∴，． ①∵，， ∴，故①错误． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确． ③令， 若，，， ，，，， ∴． 若，，， ，，，， ∴． 故③正确． ④∵， ∴， 线段， 线段， ∵， ∴， 若，则，即，即，即，即， 符合题意，故④正确． 综上，②③④正确． 故选：B． 38．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 39．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④，，则的值为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴或或或， 当时，，∴是正数； 当时，，∴是正数； 当时，，∴是正数； 当时，，∴是正数；故②正确； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故④错误； 综上正确的②，共个； 故选：A． 40．（25-26七年级上·浙江台州·期末）对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则______．（用含的式子表示） 【答案】9﹣3|x﹣1| 【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果． 【详解】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，① |x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，② |x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③ |x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④ 由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立， 由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立， 同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5， ∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤ x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥ x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦ 3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6， ∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|． 故答案为：9﹣3|x﹣1|． 【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确． 题型九：绝对值方程 41．（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【答案】 0或 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，理解题意，掌握绝对值方程的计算是关键． 从数的角度，通过分类讨论绝对值内表达式的正负性求解；从形的角度，利用数轴上两点距离的意义理解方程． 【详解】解：方程为， 绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论： 当时，，，方程化为， 整理得，解得，不符合题意，舍去； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 故方程为或． 从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍， ∴方程的几何意义为：， 当时，方程为，解得(舍去)； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 故答案为：0或． 42．（25-26七年级上·四川眉山·期中）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 【答案】或1.5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，表示x与1的距离，表示x与的距离，因此表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和为4；当或时，距离之和大于4，通过解方程求解x的值． 【详解】解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 当时，，不等于5， 故答案为：或1.5． 43．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【答案】(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 44．（25-26七年级上·山西晋中·期末）阅读下列材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数、点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，根据绝对值的定义，表示数轴上表示数的点与原点的距离，那么，数轴上两点表示的数分别为时，点与点之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 已知数在数轴上表示的点分别是点且满足． (1)求a、b、c的值；并在数轴上表示出A、B、C三个点； (2)_____个单位长度，若数m在数轴上表示点M； ①若M在A、C之间，求的值． ②若，求的值． 【答案】(1)，，，见解析 (2)5；①5；②或 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，绝对值和完全平方公式的非负性，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简，解一元一次方程， 对于（1），根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，c，进而求出b，然后在数轴上表示出来即可； 对于（2），①，先求出，再根据，去掉绝对值计算即可； ②分两种情况讨论得出两个方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 在数轴上表示如下： （2）解：①结合（1）可得：， ∵点M在A、C之间， ∴， 则； ②解：∵， ∴结合（2）得：或， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：，     综上：的值为：或． 45．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解绝对值方程，理解题干中解绝对值方程的方法是解题的关键． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （3）分为三种情况：①当时，②当时，③当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，解得， 方程的解是或， 故答案为：或； （2）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，它的解是， 方程的解为或； （3）①当时，， 原方程可化为，解得； ②当时，， 原方程可化为 ，化简得 ，该等式不成立，故方程在此范围内无解 ③当时，， 原方程可化为，解得； 综上，方程：的解为或． 题型十：绝对值非负性问题 46．（2026七年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，正确求解是解决此题的关键． 47．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意易得，将原式整理后解得的值即可． （2）由绝对值的性质可得，将的值代入解得的值，然后代入中计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴等式可化为， 解得． （2）解：∵， ∴， 即， 解得， 则． 【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 48．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 49．（2022七年级下·重庆涪陵·竞赛）设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． 50．（2024七年级·全国·竞赛）已知整数满足，则的值为____________． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 题型十一：数轴与绝对值问题综合 51．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 【答案】（1）；（2）①；②不存在；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解友好点的定义． （1）根据友好点的定义求解即可； （2）①当是的友好点时，则，可得方程，再解方程即可；②当是的友好点时，则，可得方程，再解方程，判断解是否符合题意即可； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，由点是的友好点，得到，即可建立方程求解． 【详解】解：（1）由数轴可得，，， 此时，则点B不是的友好点； 此时，则点C是的友好点， 故答案为：； （2）①当是的友好点时，则 ∴， 解得：； ②当是的友好点时，则， ∴， 解得：， 当时，， 不满足点到的距离大于点到点的距离，舍去， 即不存在的值，使是的友好点； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的友好点， ∴， ∴， 解得或 综上所述，的值为或． 52．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【答案】（1）3；2；7；（2）①10或；②7；③，，，，0，1 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的性质与绝对值方程的求解，熟练掌握“数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值”是解题的关键． （1）①利用数轴上两点距离公式，计算和的距离； ②同理，计算和的距离； ③同理，计算和的距离； （2）①根据绝对值方程，分情况求解； ②根据的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析的取值，结合为整数求解． 【详解】（1）解：①数轴上表示和的两点之间的距离：； ②数轴上表示和的两点之间的距离：； ③数轴上表示和的两点之间的距离：， 故答案为：3；2；7； （2）解：①， 或， 当时，； 当时，， 即或， 故答案为：10或； ②， ，， ， 故答案为：； ③表示数轴上到和的距离之和， 到的距离为， 当时，距离和为 又为整数， ， 故答案为：． 53．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)或1 (3)①2 ②当时，的最小值为6 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据表示x的点与表示的点之间的距离解答； 对于（2），分两种情况表示x的点与表示的点之间的距离是2解答即可； 对于（3），①分三种情况讨论表示x的点与表示和1的点之间的距离最小解答； ②分五种情况讨论表示x的点与表示，2，3的点之间的距离和最小，并求出最小值． 【详解】（1）解：表示x的点与表示的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：若，可知表示x的点与表示的点之间的距离为2， ∴x的值是或1； 故答案为：或1； （3）解：①当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在1的右边时，； 当表示x的数在和1之间时，， 所以最小值为2； ②当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在3的右边时，； 当表示x的数在和2之间时，， 当表示x的数在3和2之间时，， 当表示x的数是2时，， 所以最小值为6． 54．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 【答案】(1)；8；16 (2)或 (3) 【分析】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值； （2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ，， ， ． 故答案为：；8；16． （2）解：由（1）可知，，，， 点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， 或 ∴或 即当为或时，、之间的距离为． （3）解：由题意得：、、、， 点P运动到点O时，所需时间为，运动到点B的时间为，运动到点C的时间为； 点Q运动到点C的时间为，运动到点B的时间为，运动到点O的时间为， ∴、两点有可能在上坡时相遇，即在线段上相遇， ∴， 解得：， ∴相遇点所表示的数为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 55．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②，；③ (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）①根据相反数的定义解答即可； ②根据特征值的定义进行计算即可； ③根据特征值的定义，结合②进行比较即可； （2）根据特征值的定义进行解答即可，注意有两种情况； （3）根据题意，用代数式表示运动的长度，从而代入求值计算即可； （4）根据新定义，用不同的求出的值，找出规律，计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，点的数是，点与表示的数互为相反数， 则点表示的数为， 故答案为：； ②点表示的数是，点表示的数是， 则， 由于， 即 因此 同理得， 因此， 故答案为：，； ③由图可知， 因此， 故答案为：； （2）解：由、得， 则、或 因此或； （3）解：根据题意得，点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，运动时间为， 则运动距离为， 根据得， 即 即或 解得或； （4）解：根据得，， 由于且【】为整数，得，为1到99的自然数， 则且为的整数倍， ， 当时，或（舍去），此时， 当时，或，此时或， 当时，或，此时或， 以此类推，所有满足条件的的倒数之和是 ． 【点睛】本题考查有理数的加减运算、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值的几何意义与最值问题 题型一：两个绝对值的和的最值 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值 题型四：绝对值中最值问题的应用 题型五：已知范围的绝对值化简 题型六：未知范围的绝对值化简 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型九：绝对值方程 题型十：绝对值非负性问题 题型十一：数轴与绝对值问题综合 题型一：两个绝对值的和的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 4．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 5．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 题型二：两个绝对值的差的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 7．（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 8．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 9．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：． 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________， 数轴上表示3和的两点的距离是_________， 数轴上表示和4的两点之间的距离是____________， 数轴上表示和的两点之间的距离是____________； (2)写出时的取值范围是_______________； (3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值． 10．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 题型三：多个绝对值的和的最值 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 11．（重庆市第八中学校2025-2026学年七年级上学期数学定时作业）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）的最小值为______ 14．（25-26七年级上·吉林长春·期中）探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为________． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是________． (3)根据数轴，若的最小值是8，请直接写出的值． (4)由以上探索直接写出的最小值，并求出所有符合条件的整数的和． 题型四：绝对值中最值问题的应用 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 17．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如的几何意义是数轴上x对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)填空：若，则x的值为 ； (2)直接写出式子的最小值为 ； (3)如图，在一条笔直的街道上有A，B，C，D，E五个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知A，B，C，D，E五个小区各有1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这5个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 18．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为___________；当取最小值时，可取的全部整数值有___________． (2)当的值最小时，的取值为___________，最小值是___________． (3)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．站点P每天向A小区，B小区，C小区运送购买物资各2次．物资运送车每往返1千米路程共需花费10元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 19．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 20．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 题型五：已知范围的绝对值化简 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 21．（25-26六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 22．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，那么多项式的值为___________． 24．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 25．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 题型六：未知范围的绝对值化简 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 26．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 27．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 28．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，则的最小值为______． 29．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，最小的值为，则_____． 30．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的序号是______． ①已知是有理数，且，时，则的值为或； ②四个数、、、满足，则最小的数是，最大的数是； ③如果定义，当，，时，的值为． 题型七：绝对值化简的新定义问题 31．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，，进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（    ） ①对，，进行“运算”结果是 ②对，，1进行“运算”的结果是，则或； ③对，，，，，，进行“运算”，当其结果取最小时对应的范围是． A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是_______． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 34．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”规则如下： 对于两个有理数，， ． (1)计算： ； (2)判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由； (3)若，，如果直接写出的值． 35．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 题型八：绝对值化简问题综合 36．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 37．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）若，且，以下结论：①；②；③的所有可能取值为0或4；④在数轴上点、、表示数，且，则线段与线段的大小关系是，其中正确结论的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①③④ 38．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 39．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④，，则的值为． A．个 B．个 C．个 D．个 40．（25-26七年级上·浙江台州·期末）对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则______．（用含的式子表示） 题型九：绝对值方程 41．（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 42．（25-26七年级上·四川眉山·期中）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 43．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 44．（25-26七年级上·山西晋中·期末）阅读下列材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数、点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，根据绝对值的定义，表示数轴上表示数的点与原点的距离，那么，数轴上两点表示的数分别为时，点与点之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 已知数在数轴上表示的点分别是点且满足． (1)求a、b、c的值；并在数轴上表示出A、B、C三个点； (2)_____个单位长度，若数m在数轴上表示点M； ①若M在A、C之间，求的值． ②若，求的值． 45．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 题型十：绝对值非负性问题 46．（2026七年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 47．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 48．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 49．（2022七年级下·重庆涪陵·竞赛）设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 50．（2024七年级·全国·竞赛）已知整数满足，则的值为____________． 题型十一：数轴与绝对值问题综合 51．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 52．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 53．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 54．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 55．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $