4.3.4解决实际问题（课件）2026-2027学年六年级上册人教版数学

该小学数学课件聚焦“外方内圆”“外圆内方”中正方形与圆的面积关系，课堂导入先复习正方形和圆的面积计算，通过建筑设计实例引出探究问题，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于运用假设法、列表归纳及转化思想，引导学生发现面积关系规律，渗透传统文化激发民族自豪感。结合数学思维（推理归纳）和数学语言（公式表达），如铜镜问题应用结论解决实际问题，课堂小结明确核心关系。助力学生提升分析解决问题能力，为教师提供系统高效的教学资源。

人教版数学六年级（上） 圆 第4课时 解决实际问题 四 3.圆的面积 1 学习目标 1. 运用转化、添加辅助线等方法引导学生利用问题中的可用信息计算不规则图形的面积。 2. 在解决实际问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，并对解决方法进行归纳总结。 3. 适时渗透“外方内圆”“外圆内方”的中国传统文化，激发民族自豪感。 【难点】 在解决问题的过程中积累一般性的问题 解决经验。 【重点】 学会用不同思考角度解决问题。 3 课堂导入 计算下面各图形的面积。(单位：cm) 10 10 10 S = a² = 10² = 100(cm²) S = πr² = 3.14 ×()² = 78.5(cm²) 4 探究新知 课本第64页例4 4 许多建筑和物品上都可以见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。你能研究一下这两种设计中正方形和圆面积之间的关系吗？ 阅读理解 “外方内圆”就是研究正方形内最大的圆。 “外圆内方”就是研究圆内最大的正方形。 要研究的是正方形和圆之间的关系。 从题中你获得了哪些数学信息？ 分析解答 我们先研究“外方内圆”。圆的半径和正方形的边长都不知道，可以假设圆的半径分别是1 cm、2 cm、3 cm、……、a cm。列表研究圆和正方形的面积。 “外方内圆”中正方形的边长与圆的直径长度相等。 圆的半径/cm …… 圆的面积/cm² …… 正方形的面积/cm² …… 圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示) …… 1 2 3 a π 4π 9π πa² 4 16 36 4a² “外方内圆”中圆面积是正方形面积的 。 “外方内圆”中正方形的边长与圆的直径长度相等。 “外圆内方”中的正方形可以看作两个三角形，它们的底和高分别是外圆的直径和半径。 还可以继续假设圆的半径分别是1 cm、2 cm、3 cm、……、a cm。S正方形=三角形的面积×2， S三角形=2a×a÷2=a2（cm2）， S正方形= 2a2（cm2）。 “外圆内方”中的正方形可以看作两个三角形，它们的底和高分别是外圆的直径和半径。 圆的半径/cm …… 圆的面积/cm² …… 正方形的面积/cm² …… 圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示) …… 1 2 3 a π 4π 9π πa² 2 8 18 2a² “外圆内方”中圆面积是正方形面积的 。 “外圆内方”中，圆面积是正方形面积的 。 “外方内圆”中，圆面积是正方形面积的 。 答： 我发现“外方内圆”和“外圆内方”中，无论图形有多大，正方形和圆的面积之间倍数关系是一定的。 回顾反思 如果把“外方内圆”和“外圆内方”的两个图形重叠在一起，你能发现什么？ 根据“外方内圆”的图形中，圆面积是正方形面积的，而“外圆内方”的图形中，圆面积是正方形面积的，可以得出大正方形的面积是小正方形的2倍。 把里面的小正方形旋转一下，就能更明显地看出两个正方形面积之间的倍数关系了。 已知图中正方形的面积是20 cm²，圆的面积是多少平方厘米？涂色部分的面积是多少？ 课本第65页“做一做” “外方内圆”中圆面积是正方形面积的 。 圆的面积: 20× = 5π =15.7(cm²) 涂色部分的面积: 20 - 15.7 = 4.3(cm²) 答：圆的面积是15.7 cm² ，涂色部分的面积是 4.3 cm² 。 课堂练习 1 右图是一面我国唐代铜镜的背面。铜镜的直径是24 cm。外面的圆与内部的正方形之间部分的面积是多少？ 2 求外面的圆和内部正方形之间部分的面积，就是求外圆与内正方形面积之差。 答:外面的圆与内部的正方形之间部分的面积是164.16 cm²。 圆的面积：3.14×(24÷2)²=452.16(cm²) 圆比正方形多的面积：452.16-288=164.16(cm²) 正方形的面积： ×24 × 12 × 2 = 288(cm²) 1 2 根据“外圆内方”中圆面积是正方形面积的 ，也可以求出正方形的面积。 圆的面积：π×(24÷2)²=144π(cm²) 正方形的面积：144π÷ =144π× = 288(cm²) 圆比正方形多的面积：144π-288 = 452.16-288 = 164.16(cm²) 答:外面的圆与内部的正方形之间部分的面积是164.16 cm²。 王师傅做一个零件，零件的形状是圆内接正方形，已知圆的直径为12 cm , 你能计算出正方形的面积吗？ 答：正方形的面积是72 cm²。 圆的半径：12÷2 = 6(cm) 正方形的面积： ×6×12×2 = 72(cm²) 1 2 3 答：正方形的面积是72 cm²。 圆的半径：12÷2=6(cm) π×6²÷ π 2 正方形的面积： =π×36× π 2 =72(cm²) 根据“外圆内方”中圆面积是正方形面积的 ，也可以求出正方形的面积。 王师傅做一个零件，零件的形状是圆内接正方形，已知圆的直径为12 cm , 你能计算出正方形的面积吗？ 3 如图，已知半圆的直径是10cm，涂色部分的面积是多少？ 4 涂色部分的面积=长方形面积-半圆的面积。 10× - 3.14×( )2 = 10.75(cm2) 答：涂色部分的面积是10.75 cm2。 把涂色部分看作是外方内圆的一半。 [10×10 - 3.14×( )2 = 10.75(cm2) 如图，已知半圆的直径是10cm，涂色部分的面积是多少？ 4 答：涂色部分的面积是10.75 cm2。 右图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知 △ABC 是一个等腰直角三角形，AB = BC = 10 dm。图中涂色部分的面积是多少平方分米？ 拓展提升 通过转化，发现最后几个涂色部分成了外圆内方之间的部分。 课本第69页“练习十二”第16题 A B C D 涂色部分的面积 = 圆的面积 - 正方形面积 3.14×(10÷2)2 –(×10 ×) 2 = 28.5(dm2) 答：图中涂色部分的面积是28.5 dm2 。 右图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知 △ABC 是一个等腰直角三角形，AB = BC = 10 dm。图中涂色部分的面积是多少平方分米？ A B C D 通过拆分，把图分成相同的两部分：一个半圆挖去一个三角形。 半圆的半径：10÷2 = 5(dm) 答：图中涂色部分的面积是28.5 dm2 。 ( 3.14×52 -10×5 × )×2 = 28.5(dm2) 课本第69页“练习十二”第16题 右图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知 △ABC 是一个等腰直角三角形，AB = BC = 10 dm。图中涂色部分的面积是多少平方分米？ A B C D 通过拆分，把图分成相同的四部分：一个圆挖去一个三角形。 半圆的半径：10÷2 = 5(dm) 答：图中涂色部分的面积是28.5 dm2 。 ( 3.14×52 - 5×5 × )×4 = 28.5(dm2) 课本第69页“练习十二”第16题 21 课堂小结 通过这节课的学习，你学会了什么？ “外圆内方”中，圆面积是正方形面积的 。 “外方内圆”中，圆面积是正方形面积的 。 22 课后作业 自主进行解决实际问题的练习。 02 01 相关练习。 $