第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试-培优卷）高一数学人教A版第一册

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元培优卷，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，通过基础辨析、综合应用及创新题型梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|命题否定（题1）、集合关系（题2）、充分条件（题4）|单选夯实概念，多选综合辨析（题9结合集合运算与真子集个数）| |填空题|3题15分|必要条件（题13）、命题真假（题14）|小综合设计，如题14通过p、q真假讨论参数范围| |解答题|5题77分|集合运算（题15）、新定义“分划”（题19）|突出创新应用，题19以“分划”概念考察抽象能力，题18结合充分条件与命题真假培养逻辑推理|

第一章 集合与常用逻辑用语（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 4．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 6．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为 10．成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则_____. 13．已知，其中．若是的必要条件，则实数的取值范围是_____． 14．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）集合，. (1)求； (2)求. 16．（15分）已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 17．（15分）设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 18．（17分）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 19．（17分）若存在集合是集合的非空子集（其中），且满足，，则称为的一个分划． (1)当时，，，试判断是否为的一个2分划，试判断是否为的一个2分划； (2)若，规定和是的同一种2分划，请写出的所有2分划； (3)若，集合是的非空子集，且中任意两个不同元素之和不被5整除，求集合元素个数的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合补集与交集定义计算即可. 【详解】由，则或， 又，则. 故选：A. 3．已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出集合后即可得. 【详解】，故. 故选：B. 4．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 5．已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】由和分类讨论即可求解. 【详解】由得, 又， 当时，，符合题意， 当时，， 则或，解得或， 所以a的值是或， 故选：D 6．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 7．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定集合、的“长度”，根据它们都是的子集，且“长度”最小，所以集合、应该在集合的两端，可求“长度”的最小值. 【详解】易得：集合的“长度”为， 集合的 “长度”为. 因为它们都是的子集，要使“长度”最小， 集合、应该在的两端. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的 “长度”为：. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的“长度”为：. 综上可知，“长度”的最小值为. 故选：C 8．对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为 【答案】AC 【分析】利用交集、并集、补集的概念及真子集的概念计算即可. 【详解】由已知全集，集合，， 对于A，，即A正确 对于B，，所以B错误 对于C，，所以C正确 对于D，集合的真子集有：，，，，，，共个， 所以D错误． 故选：AC． 10．成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求得的等价条件，再利用充分不必要条件的性质得到集合的包含关系，从而得解. 【详解】令，， 由得，故， 若是成立的充分不必要条件，则是的真子集， 对于A，不是的真子集，故A错误； 对于B，是的真子集，故B正确； 对于C，是的真子集，故C正确； 对于D，不是的真子集，故D错误； 故选：BC. 11．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项. 【详解】当时，，即，此时，符合题意， 当时，，即， 由可得或， 因为，所以或，可得或， 因为，所以， 所以实数的取值范围为或， 所以选项ABC正确，选项D不正确； 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则_____. 【答案】2 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 13．已知，其中．若是的必要条件，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】记集合，由题意得，进而得，解出即可. 【详解】记集合． 因为是的必要条件，所以， 即，所以， 故答案为：. 14．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．集合，. (1)求； (2)求. 【详解】（1）由，解得，所以， 又，所以. （2）因为，则或， 又由（1）知，则. 16．已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 【详解】（1）由题知，解得， 此时，满足， 故； （2）由题知，因为， 当，即时，解得，满足题意； 当，即时，， 要满足. 则，解得，故. 综上，的取值范围是. 17． 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 18．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 19．若存在集合是集合的非空子集（其中），且满足，，则称为的一个分划． (1)当时，，，试判断是否为的一个2分划，试判断是否为的一个2分划； (2)若，规定和是的同一种2分划，请写出的所有2分划； (3)若，集合是的非空子集，且中任意两个不同元素之和不被5整除，求集合元素 【详解】（1）根据定义，，所以是的一个2分划， ，即，所以不是的一个2分划. （2）由题意，可按中元素个数，分成一元集，三元集，或者二元集，二元集． 则的所有2分划有： . （3）由题意，集合中的元素按被5除所得的余数进行分类， 记 ， 显然满足，， 则为的一个5分划． 若中各取一元素，之和必能被5整除，故集合不能同时选取中元素； 若中各取一元素，之和必能被5整除，故集合不能同时选取中元素； 若中任取两个元素，之和必不能被5整除，亦然， 若中任取两个元素，之和必能被5整除，故集合至多在中选取一个元素． 综上，要使集合元素个数的最大，则集合可选中的所有元素，（或）中的所有元素，中的1个元素， 即集合元素个数的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $