专题05 比较二次根式的大小（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式大小比较的8种核心方法，通过题型分类与梯度训练构建系统性解题体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|32题（含8种题型）|作差法、作商法、平方法、移动因式法、分母有理化、分子有理化、倒数法、中间值比较法|基于二次根式性质，从直接比较（作差/商）到转化比较（有理化/中间值），形成完整方法链| |综合攻坚·知能拔高|15题（含选择/填空/解答）|方法综合应用与实际问题转化|结合几何应用（矩形截正方形）与代数推理，体现从知识到能力的迁移，发展应用意识|

专题05 比较二次根式的大小 常考题型·精准突破 题型1 作差法 题型2 作商法 题型3 平方法 题型4 移动因式法 题型5 分母有理化 题型6 分子有理化 题型7 倒数法 题型8 中间值比较法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1作差法 1.（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 2.比较大小  ______（填“”“”或者“”） 3.（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 4.（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． ◆题型2 作商法 5.（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 6.（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 7.（2025八年级上·全国·专题练习）作商法比较与的大小． 8.（2025八年级上·全国·专题练习）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． ◆题型3 平方法 9.若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 _________． 10.比较大小： ________． 11.（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 12.将从小到大排列_______________________． ◆题型4 移动因式法 13.比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 14.（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）比较大小：______． 15.比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 16.（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） ◆题型5 分母有理化 17.比较大小：______（填“”，“”，“”）． 18.（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 19.（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小：_______； 20.比较大小：_________（用或填空） ◆题型6 分子有理化 21.（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 22.（26-27八年级上·北京·课后作业）比较大小：_______． 23.比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 24.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料： 二次根式中有一种方法叫做“分子有理化”，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如： 分子有理化通常有以下两个用途： 一、比较某些二次根式的大小 例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下： 因为，所以． 二、处理一些二次根式的最值问题 例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知， 而． 当时，分母有最小值，所以的最大值是2． 请解决下述问题： (1)由材料可知，，则______； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值为______． ◆题型7 倒数法 25.比较大小：______． 26.（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 27.（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 28.（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． ◆题型8 中间值比较法 29.（2026·江苏南京·三模）比较大小：_____（填“>、<或=”）． 30.比较大小：________. 31.（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 32.如图，要在长、宽的矩形木板上截两个面积为和的正方形，是否可行？___________．(填“行”或“不行”)    综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（     ） A．周长变小 B．面积变大 C．两条对角线的夹角的度数变大 D．两条对角线长度的和变小 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知直线（为常数，）经过，两点，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 6．（20-21八年级下·河北承德·期末）一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．甲、乙两名同学说的都对 D．无法判断 二、填空题 7．（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）比较大小：____．（用“”或“”填空）． 8．（21-22八年级上·福建漳州·期末）比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 9．（24-25八年级上·广东茂名·期中）比较大小：____________（请用<， >或=填空） 10．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小：5___________（填“>”，“=”或“<”） 三、解答题 11．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 12．（25-26八年级下·广东中山·期末）现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如题图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． (1)求矩形木板的面积； (2)乙木工想采用如题图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 13．（25-26八年级下·江西新余·期末）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”）； (3)计算：． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 15．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）一块长方形纸片的面积是，长、宽之比为． (1)求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号） (2)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 ◆题型1作差法 1.< 2.> 3.> 4.< ◆题型2作商法 5.< 6.5V7<75 20>35 1.3 V12 qa+1 a+2 8.可a+2 Va+3 ◆题型3平方法 9.a<b<c 10.> 11.> 12 76 7 65 ◆题型4移动因式法 13.> 14.< 15.> 16.< ◆题型5分母有理化 17.> 18.< 19.> www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05比较二次根式的大小 常考题型精准突破 1/3 函学科网·上好课 20.< ◆题型6分子有理化 2 21.(15+3 (2)V15-2V3<V14-V11 22.< 23.< 24.(1)只/3+V2 (2)3V2-4<2V3-10 (3)R/3 ◆题型7倒数法 25.> 26.(1)只17+4 (2)< (3)3 (4)4 27.> 28.(1)1,1;(2)n+1+√n: ◆题型8中间值比较法 29.< 30.> 31.b>a>c 32.行 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)4-9V13<2V3-3 综合攻坚·知能拔高 2/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 7.< 8.> 9.> 10.> 11.(1)解：n+1-Vnn+1+Vn=1(n为正整数)，证明如下： :左边=Vn+1-VmVn+1+Vn)=Vn+1}-Vn2=(n+1)-n=1 等式成立： ->10-3.1 (2可10+3 12.(1)56dm (2)不能截出，理由如下： 假设根据乙木工采用的方式知两个相同正方形的面积为25dm是可行的， 个相同正方形的总长为10dm .79/2=V98<V100=10, .乙木工采用的方式不能截出. 13.(1)V2-1 (2)< (3)只V2026-1 14.(1)>；= (2) 猜想：a+b≥2aba≥0，b≥0. 理由：.a≥0，b≥0 ∴.a+b-2Vab =a}-2Va.6+62 =a-6}≥0， .a+b≥2只ab: (3)120厘米 15.(1)面积为90cm的长方形的长为315cm,宽为2V15cm (2)小丽不能用这块正方形纸片截出符合要求的长方形纸片 313 上好每一堂课 右边， 则正方形的边长为5dm,可知两 专题05 比较二次根式的大小 常考题型·精准突破 题型1 作差法 题型2 作商法 题型3 平方法 题型4 移动因式法 题型5 分母有理化 题型6 分子有理化 题型7 倒数法 题型8 中间值比较法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1作差法 1.（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2.比较大小  ______（填“”“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 3.（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 4.（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解： ， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． ◆题型2 作商法 5.（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 6.（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，分母有理化，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7.（2025八年级上·全国·专题练习）作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则．用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 8.（2025八年级上·全国·专题练习）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，见解析 【分析】此题考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】解：，证明如下： ， ∵， ∴， ∴． ◆题型3 平方法 9.若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 _________． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 10.比较大小： ________． 【答案】 【分析】算术平方根的大小比较可以通过比较它们的平方的大小来判断． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了平方根的意义和数的大小比较，关键是通过平方根的意义转化为有理数的大小比较． 11.（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】利用平方法以及作差法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12.将从小到大排列_______________________． 【答案】 【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可． 【详解】，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法． ◆题型4 移动因式法 13.比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解： ， ， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 14.（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）比较大小：______． 【答案】 【分析】根据得到，继而得到，解答即可． 本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握无理数大小比较，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 15.比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 16.（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系． 【详解】解：， ∵ ∴． ◆题型5 分母有理化 17.比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 18.（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 19.（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小：_______； 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．做题关键是要掌握分母有理化，负数比较大小的方法． 分母有理化后，根据两个负数绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 20.比较大小：_________（用或填空） 【答案】< 【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案是：<． 【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法． ◆题型6 分子有理化 21.（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用题干中的方法将分子有理化即可； （）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 22.（26-27八年级上·北京·课后作业）比较大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算、实数的大小比较，利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23.比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】 < 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 24.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料： 二次根式中有一种方法叫做“分子有理化”，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如： 分子有理化通常有以下两个用途： 一、比较某些二次根式的大小 例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下： 因为，所以． 二、处理一些二次根式的最值问题 例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知， 而． 当时，分母有最小值，所以的最大值是2． 请解决下述问题： (1)由材料可知，，则______； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对做分子有理化即可得到的值． （2）将两个待比较的式子分别分子有理化，得到分子相同的正分数，通过比较分母大小，得到原式的大小关系． （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再对分子有理化变形，可知取最大值时分母最小，代入的最小值计算得到的最大值． 【详解】（1）解： （2） （3）解：依题意， 解得 当时，分母取得最小值 代入得， 分母最小值为 的最大值为 ◆题型7 倒数法 25.比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ，即， 故答案为：． 26.（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ，即； （3）解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； （4）解： ， ， ． 27.（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】通过估算和的取值范围，分别确定与的正负性，进而比较大小．本题主要考查了无理数的估算以及实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法和倒数法比较正数大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 又∵，， ∴，则． ∵；，， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：． 28.（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据（1）的规律，可得答案； （3）利用（2）的结论，可得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型8 中间值比较法 29.（2026·江苏南京·三模）比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，判断两个数的正负性，根据有理数大小比较法则“负数小于正数”即可比较大小． 【详解】解：， ， ，， 可得， 根据负数小于正数，得． 30.比较大小：________. 【答案】＞ 【分析】把两个根变形为两个根式相加的形式，再进行比较即可得答案. 【详解】 ∵＞0，＜0， ∴：＞. 故答案为＞ 31.（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 【详解】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 32.如图，要在长、宽的矩形木板上截两个面积为和的正方形，是否可行？___________．(填“行”或“不行”)    【答案】行 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2和3，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小及3与5的大小即可． 【详解】解：∵， 又∵＜1.5， ∴5＜5×1.5＝7.5，3＜3×1.5＝4.5＜5． 故答案为：行． 【点睛】此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（     ） A．周长变小 B．面积变大 C．两条对角线的夹角的度数变大 D．两条对角线长度的和变小 【答案】D 【分析】设正方形的边长为a，如图，连接，，，，再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角线的长，再逐一判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵将一个正方形变为一个含角的菱形， ∴前后变化边长不变，即它们的周长相等，故A错误； 如图，连接，，，， ∵四边形是正方形，四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形，， 它们的对角线的夹角都为，故C错误， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为，两条对角线的和为， ∵正方形的面积为，两条对角线的和为，且， ∴变形后面积变小了，故B错误， ∵，且， ∴， ∴变形后两条对角线的和变小了，故D正确． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知直线（为常数，）经过，两点，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线和直线的交点为，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵直线（为常数，）经过，， 又， ∴随着的增大而减小， 对于直线，随着的增大而增大，当时，， ∴直线和直线交于点， ∴关于的不等式的解集即的解集为． 3．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是 ． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出与之间的距离大于，小于等于，然后比较实数的大小即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2， ∴与之间的距离大于，小于等于， ，不符合题意； ，符合题意． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正数的算术平方根的性质即可求解，当时，若，则． 【详解】∵四个选项中二次根式的被开方数都是正数，且， ∴， ∴值最大的是． 6．（20-21八年级下·河北承德·期末）一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．甲、乙两名同学说的都对 D．无法判断 【答案】B 【分析】先利用算术平方根求出每个正方形的边长，求出两个小正方形的边长之和，与长方形的长比较即可． 【详解】解: ∵两个面积分别是和的正方形木板， 边长分别为，， ∵两个正方形边长之和为＞7dm， ∴乙同学说法想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出正确． 故选择B． 【点睛】本题考查正方形面积求边长，二次根式的和，比较无理数的大小，掌握以上知识是解题关键． 二、填空题 7．（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）比较大小：____．（用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较．先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴， 故答案为：． 8．（21-22八年级上·福建漳州·期末）比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 由题意知，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东茂名·期中）比较大小：____________（请用<， >或=填空） 【答案】> 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，根据得出，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， 故答案为：>． 10．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小：5___________（填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的性质，先整理，，则，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴， 故答案为：>． 三、解答题 11．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 【答案】(1)解：（为正整数），证明如下： ∵左边 右边， ∴等式成立； (2) 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 【详解】（1）略； （2）解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 12．（25-26八年级下·广东中山·期末）现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如题图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． (1)求矩形木板的面积； (2)乙木工想采用如题图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能截出，理由如下： 假设根据乙木工采用的方式知两个相同正方形的面积为是可行的，则正方形的边长为，可知两个相同正方形的总长为． ， 乙木工采用的方式不能截出． 【分析】（1）根据正方形的面积，求出边长，得出矩形木板的长和宽，即可解答； （2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：根据甲木工采用的方式可知：小正方形的面积为，大正方形的面积为， 小正方形的边长为，大正方形的边长为． 矩形木板的长为，宽为． 矩形木板的面积为． （2）略 13．（25-26八年级下·江西新余·期末）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为分母是 ，其有理化因式为 ，所以给分子分母同乘 ，利用平方差公式化去分母根号即可． （2）如果直接计算两个式子的值比较大小较复杂，那么可以对两个形如的式子分别进行分子有理化，将其转化为分子为1、分母为两个二次根式和的形式，再通过比较分母的大小判断两个原式的大小． （3）先仿照（1）的方法，将每一项都进行分母有理化，拆分后可发现相邻项能相互抵消，利用裂项相消的方法求和即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ，， ​ 因为，分子相同，分母越大分数越小， 所以​，即． （3）解：， ． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2) 猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）略 （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 15．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）一块长方形纸片的面积是，长、宽之比为． (1)求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号） (2)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？ 【答案】(1)面积为的长方形的长为，宽为 (2)小丽不能用这块正方形纸片截出符合要求的长方形纸片 【分析】（1）设面积为的长方形的长，宽分别为，，根据几何图形的面积的计算公式，求一个数的平方根的运算方法即可求解； （2）设面积为的正方形的边长为，根据几何图形的面积公式，可求出正方形的边长，与长方形的边长进行比较（无理数比较大小）即可求解． 【详解】（1）解：设面积为的长方形的长，宽分别为，， ∴， ∴，解得，（负值含去）， ∴，， ∴面积为的长方形的长为，宽为． （2）解：设面积为的正方形的边长为，则， ∴，（负值舍去）， ∴面积为的正方形的边长为， ∵， ∴，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴小丽不能用这块正方形纸片截出符合要求的长方形纸片． 【点睛】本题主要考查几何图形的面积与二次根式的计算，二次根式比较大小，利用平方根的含义解方程等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $