21.3二次根式的加减（题型专练）数学华东师大版九年级上册

21.3 二次根式的加减 题型一 同类二次根式的判断 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）下列二次根式化简后与的被开方数相同的二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简． 先将各选项化简为最简形式，判断被开方数是否为3即可． 【详解】A.，无平方数因子，无法化简，被开方数为6，故不符合题意； B. ，被开方数为2，故不符合题意； C.，被开方数为3，故符合题意； D. ，无平方数因子，无法化简，被开方数为21，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·广西防城港·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； 与不是同类二次根式，故C选项不合题意； 与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·山西朔州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减，先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项不符合题意； 、与能合并，原选项符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）若最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，最简二次根式，二次根式的加减，解题关键是利用二次根式的性质化简． 先利用二次根式的性质化简，再列出关于的方程求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴， 解得：， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列各组根式中，同类二次根式为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、与不是同类根式，不符合题意； B、，故和是同类根式，符合题意； C、，，故和不是同类根式，不符合题意； D、与不是同类根式，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同类二次根式，二次根式的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义得出，变形即可得出答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）最简二次根式和是同类二次根式，的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 二次根式的加减运算 1．（24-25八年级下·河南商丘·期中）若，则P的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查二次根式加法与乘方运算，先合并同类二次根式，再两边同时平方即可得到答案，熟记二次根式加法与乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 两边平方得，即， 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算和二次根式的性质，根据二次根式加减运算法则和二次根式性质，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．二次根式相加时，被开方数需相同才能合并，与的被开方数不同，无法直接相加，故A错误； B．左边为整数与二次根式相加，无法直接合并为，故B错误； C．被开方数相同，合并系数：，故C正确； D．，算术平方根结果非负，故D错误． 故选：C． 3．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·云南·期中）计算： 【答案】 【分析】分别计算各项，立方根、算术平方根、绝对值，再进行加减运算．本题主要考查了立方根、算术平方根、绝对值的运算，熟练掌握各自的定义和性质是解题的关键． 【详解】解： ． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）（1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）将字母的值代入，根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 7．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A：，计算正确； B：，计算正确； C：，计算正确； D：，选项计算错误； 故选：D 2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算括号二次根式的减法，然后计算除法； （2）首先化简二次根式，计算二次根式的乘法，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ． 3．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算乘法，再进行减法运算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，以及运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）根据完全平方公式进行展开计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级下·河南商丘·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，二次根式的性质，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质以及运算乘法，再运算减法，即可作答． （2）先移项再合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， 移项可得， 即， ∴， 即， 解得． 6．（2025·甘肃陇南·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后根据二次根式加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 7．（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 8．（23-24八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义和绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型四 比较二次根式的大小 1．（20-21八年级下·山东临沂·期中）比较大小： ．（填>，<或=） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·广西崇左·期中） （填“>、=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式比较大小．根据，，而即可判断． 【详解】解：∵，，而， ∴． 故答案为：＞ 3．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，解题关键是将数都放到根号内，再作比较． 先将两个数都化为一个根号下的二次根式，再通过比较补开方数，然后得出原数的大小． 【详解】解：∵，， ， ∴， 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式分别平方，谁平方的结果大，则谁大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 故答案为：． 题型一 已知字母的值，化简求值 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出和的值，因式分解后，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】此题考查了代数式的值、二次根式的性质等知识，整体代入是解题的关键． 先求出，把变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接将，代入式子计算即可； （2）先利用完全平方式将变形为，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·广东中山·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式加减运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 5．（2025·安徽六安·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．先通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到最简分式，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 6．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知：，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 先把所求代数式变形为，再代值计算即可． 【详解】解：当，时， 原式 ． （注：运算过程不唯一，方法合理，运算结果正确即可） 7．（24-25九年级下·山东滨州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．先根据异分母分式加减运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 代入x、y的值，得： 原式． 8．（2025·福建漳州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值. 先通分，再去括号，约分，最后将代入即可. 【详解】 ， 当时，原式 题型二 已知条件式，化简求值 1．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 3．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式，再代入求值即可． 根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4 ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 7．（21-22八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 题型一 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点A、C、E在一条直线上； (3)25 【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法． （1）利用勾股定理分别求出，，即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解； （3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由， 则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． （3）解： 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小， 延长至G，使，连接， 同理可证四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25， ∴代数式的最小值是25． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ，即： ，即： ，即． (1)根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； (2)猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究； （1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案； （2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当为不小于2的自然数时，总有：，由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子． 【详解】（1）解：； 即； （2）解：观察、分析前面四个式子可知： 当为不小于2的自然数时：，理由如下： ． 故当为不小于2的自然数时：． 4．（24-25八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①画图见解析，② 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， . 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 二次根式的加减 题型一 同类二次根式的判断 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）下列二次根式化简后与的被开方数相同的二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西防城港·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西朔州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）若最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列各组根式中，同类二次根式为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（24-25八年级下·广西南宁·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）最简二次根式和是同类二次根式，的值是 题型二 二次根式的加减运算 1．（24-25八年级下·河南商丘·期中）若，则P的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．36 2．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 4．（24-25七年级下·云南·期中）计算： 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）（1）计算： （2）已知，求的值． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)． (2)． 7．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 题型三 二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算 (1) (2) 3．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）计算：． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算 (1) (2) 5．（24-25八年级下·河南商丘·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 6．（2025·甘肃陇南·模拟预测）计算： 7．（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算： 8．（23-24八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)． 题型四 比较二次根式的大小 1．（20-21八年级下·山东临沂·期中）比较大小： ．（填>，<或=） 2．（24-25八年级下·广西崇左·期中） （填“>、=”或“<”） 3．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填“”“”或“”）． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 5．（2025·陕西西安·模拟预测）比较大小： （填“”，“”或“”）． 6．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）比较大小： （填“或或”）． 题型一 已知字母的值，化简求值 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，，则 ． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25八年级下·广东中山·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 5．（2025·安徽六安·三模）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知：，，求． 7．（24-25九年级下·山东滨州·期中）先化简，再求值：，其中，． 8．（2025·福建漳州·二模）先化简，再求值：，其中． 题型二 已知条件式，化简求值 1．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）若，则代数式的值为 ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 7．（21-22八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 题型一 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ，即： ，即： ，即． (1)根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； (2)猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 4．（24-25八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$