第一单元 两、三位数除以两位数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 聚焦两、三位数除以两位数，构建“概念-算理-应用-进阶”四层体系，提炼试商调商等七大解题方法，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与算理|系统梳理|试商调商法（四舍五入/同头无除等）|从一位数除法延伸，通过位值均分原理构建两位数除法算理| |基础应用题型|5类基础题|归一归总法|结合“平均分”“包含除”本质，建立除法与实际问题的模型| |奥数进阶题型|8类奥数题|逆推还原法/周期余数法等|以商不变规律、余数性质为核心，延伸错中求解等综合应用| |解题方法与易错点|7大方法+3类易错点|数位推理法/枚举对比法|通过算理-方法-易错点闭环，强化推理意识与应用能力|

第一单元 两、三位数除以两位数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是整数除法体系的核心进阶内容，在除数是一位数的除法基础上，拓展为除数是两位数的除法运算，完整覆盖两、三位数除以两位数的所有计算场景。 核心本质：延续除法 “平均分” 与 “包含除” 的底层逻辑，通过试商、调商的操作，实现更大数值范围的整数均分运算，核心是对 “除数位数增加后如何快速确定商” 的方法突破。 两大基本意义： 平均分：把一个总数平均分成若干份，求每份是多少； 包含除：求一个总数里包含多少个固定的每份数。 2. 与除数是一位数除法的联系与区别 核心联系：算理完全一致，均遵循 “从高位除起、除到哪一位商到哪一位、余数小于除数” 的基本规则，验算方法统一为 “商 × 除数 + 余数 = 被除数”。 核心区别：除数从一位数变为两位数，无法直接口算确定商，需要引入试商与调商的步骤；对估算能力、数感要求更高，是整数除法计算能力的全面升级。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是小学整数除法的收尾与收官单元，承接表内除法、除数是一位数的除法，为后续小数除法、整数四则混合运算、分数运算筑牢计算基础，是小学计算能力的关键分水岭。 奥数价值：以两位数除法为载体，延伸出试商巧算、错中求解、周期推理、双归一问题、有余数极值、除法数字谜等经典题型，强化估算数感、逆向推理与实际建模能力，是小升初计算与应用模块的高频核心考点。 二、核心算理与计算法则 1. 核心算理：位值均分原理 基于十进制位值原则，从被除数的高位到低位逐级平均分配；某一位不够商 1 时，与下一位数字合并后继续除；每一步除得的余数必须小于除数，保证均分的公平性与唯一性。 核心对应：商的每一位都与被除数的对应数位对齐，确保计数单位一一对应。 2. 标准计算四步法则 看两位：先看被除数的前两位，如果前两位比除数大，就直接除；如果前两位比除数小，就看被除数的前三位。 商对位：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；不够商 1 时，要在该位商 0 占位。 余要小：每一步除完后，余下的数必须比除数小，这是除法计算的核心校验规则。 续下位：当前位除完有余数时，把被除数下一位的数字落下来，和余数合并后继续除。 3. 试商与调商核心方法 试商是两位数除法的核心难点，本质是通过估算快速锁定商的范围，再调整到准确值。 （1）基础试商法：四舍五入法 把除数看作和它接近的整十数来试商，是最通用的试商方法： 四舍试商：除数个位是 1、2、3、4 时，舍去个位看作整十数试商；把除数看小了，初商容易偏大，需要调小。 五入试商：除数个位是 5、6、7、8、9 时，向十位进 1 看作整十数试商；把除数看大了，初商容易偏小，需要调大。 （2）巧算试商法 同头无除商八九：被除数与除数首位数字相同，且被除数前两位小于除数，商通常是 8 或 9。 除数折半商四五：被除数前两位约等于除数的一半时，商通常是 4 或 5。 4. 商的位数判断规律 被除数的前两位 ≥ 除数：商是两位数，最高位在十位； 被除数的前两位 ＜ 除数：商是一位数，最高位在个位。 拓展：三位数除以两位数，商最多是两位数，最少是一位数。 5. 核心运算性质与规律 （1）商不变规律 被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商保持不变；若有余数，余数会同步乘或除以这个数。 示例：，，商不变，余数缩小到原来的。 （2）连除的性质 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 公式：（均不为 0） 逆用：，可将复杂除法拆分为两次简单除法。 （3）商的变化规律 除数不变，被除数扩大 / 缩小几倍，商同步扩大 / 缩小几倍； 被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；除数缩小几倍，商反而扩大几倍。 三、基础应用题型与标准解法 1. 竖式计算与试商调商 题型特征：两、三位数除以两位数的竖式计算，包含无余数、有余数、需要调商等多种类型。 解题策略：先按四舍五入法把除数看作整十数试商，计算后对比余数与除数，余数大了就调大商，商大了就调小，最终保证余数小于除数。 2. 商的位数判断与估算 题型特征：不计算直接判断商是几位数，或估算除法的商大约是多少。 解题策略：位数判断直接比较被除数前两位与除数的大小；估算时将被除数、除数分别看作接近的整十整百数，口算得出近似结果。 3. 基础平均分与包含除应用 题型特征：平均分物品、分组、装箱、租车等生活场景，求每份数量或份数。 解题策略：求每份数用 “总数 ÷ 份数”，求份数用 “总数 ÷ 每份数”；有余数时结合实际场景判断是否需要进一。 4. 简单归一归总问题 归一问题：已知几份的总量，先求单一量，再求多份对应的总量，核心是先除后乘。 归总问题：已知每份数与份数，先求总量，再求新的每份数或份数，核心是先乘后除，总量不变。 5. 有余数除法基础应用 题型特征：物品平均分有剩余、周期分组等场景，涉及余数的处理。 核心关系式：被除数 = 商 × 除数 + 余数，余数 ＜ 除数。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）计算巧算类 1. 商不变规律凑整巧算 题型特征：除数为 25、125、5 等特殊数字，或除数可通过乘一个数凑成整十、整百、整千数。 解题策略：利用商不变规律，被除数和除数同时乘同一个数，将除数转化为整十、整百、整千数，大幅简化计算。 示例： 2. 连除性质巧算 题型特征：一个数连续除以两个两位数，或一个数除以两个数的积，直接计算繁琐。 解题策略： 连除凑整：当两个除数相乘能凑成整十、整百数时，将连除转化为除以两个除数的积； 拆分除数：当除数是两个易算数字的积时，拆分为连除，分步口算。 示例： （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 看错除数类 题型特征：计算时将除数看错，得到错误的商和余数，被除数不变，求正确的结果。 解题策略：根据 “错误的除数 × 错误的商 + 错误的余数 = 被除数”，先求出不变的被除数，再用被除数除以正确的除数，得到正确的商和余数。 2. 看错被除数类 题型特征：将被除数的数字看错，除数不变，得到错误的商，求正确的结果或除数。 解题策略：计算被除数看错前后的差值，被除数的差 ÷ 商的差 = 不变的除数；求出除数后，再用正确的被除数计算正确的商。 3. 余数偏差类 题型特征：已知正确与错误结果的余数差、商的差，结合除数变化反推未知量。 核心逻辑：除数不变时，被除数的变化量 = 商的变化量 × 除数 + 余数的变化量。 （三）周期问题进阶 1. 题型特征 事物按固定周期循环排列、重复出现，求第若干个是什么、第几次重合是什么，或指定位置对应的序号。 典型场景：图形循环、颜色循环、日期星期循环、报数转圈、摆花排队等。 2. 核心解题步骤 确定一个完整周期包含的数量，即周期长度； 用总数量 ÷ 周期长度，算出完整周期数和余数； 余数是几，就对应周期里的第几个；没有余数则对应周期的最后一个。 3. 高频拓展类型 日期周期：计算若干天后是星期几，用总天数 ÷7，根据余数推算；注意跨月、跨年的天数计算。 循环报数：多人围成圈按顺序报数，求某数是谁报的，用总次数 ÷ 人数，结合余数定位。 （四）归一归总进阶 1. 双归一问题 题型特征：涉及两个维度的数量，如 “3 台机器 4 小时生产零件 120 个”，求 5 台机器 6 小时生产多少个。 解题策略：用连除先求出单一量（1 台 1 小时的产量），再用连乘求出目标总量；核心是逐步归一到最小单位。 2. 归总变形问题 题型特征：总量固定，改变每份数或份数，求新的对应量；或带有剩余、损耗的归总场景。 解题策略：先根据原始条件算出总量，再结合新的条件计算对应结果；有剩余时总量需扣除剩余部分。 （五）有余数除法进阶 1. 被除数极值问题 题型特征：已知除数、商，或除数与余数的关系，求被除数的最大值、最小值。 解题依据：余数必须小于除数，因此余数最大为 “除数 - 1”，最小为 1（整除除外）。 核心公式：被除数最大 = 商 × 除数 + (除数 - 1)；被除数最小 = 商 × 除数 + 1。 2. 同余问题初步 题型特征：一个数分别除以两个不同的除数，余数相同，求满足条件的最小数，或指定范围内的数。 解题思路：余同加余。先求出两个除数的最小公倍数，再加上相同的余数，即为满足条件的最小数；所有满足条件的数为 “最小公倍数的倍数 + 余数”。 （六）除法竖式数字谜 题型特征：除法竖式中部分数字被遮挡或用字母、汉字代替，推理出完整的数字。 解题策略： 从确定信息入手：先找能直接确定的数位，如商的某一位乘除数得到确定位数的积； 利用余数规则：余数小于除数，可锁定除数的范围； 结合乘法与减法的关系，逐步推导每一步的积、余数，最终补全所有数字。 （七）和差倍与除法综合 题型特征：已知两个数的和或差，以及两个数的倍数关系（商），求这两个数分别是多少。 核心公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 解题关键：将较小数看作 1 份，较大数对应倍数份，用除法求出 1 份量，是和差倍问题的核心。 （八）方案优化类除法应用 题型特征：租车、租船、购票、购买套餐等场景，有不同的价格方案，求最省钱的方案。 解题策略： 用除法算出每种方案的人均 / 单件价格，优先选择单价更低的方案； 优先满员使用低价方案，剩余部分对比单独买、换另一种方案的成本，选择更优的组合； 枚举所有可行方案，对比总费用，确认最优解。 五、核心解题方法汇总 试商调商法：两位数除法的核心计算方法，四舍五入估整十，根据余数调大小。 商不变巧算法：利用商不变规律凑整除数，将复杂除法转化为口算级计算。 逆推还原法：错中求解问题的核心思路，抓住不变量，从错误结果反推原始数据再计算正确结果。 周期余数法：周期类问题通用解法，总量除以周期长，余数对应位置。 归一归总法：先求单一量、先求固定总量，是除法应用题的核心建模思路。 数位推理法：除法数字谜的核心，结合乘除关系、余数范围逐步推导数位数字。 枚举对比法：方案优化类题目，逐一计算各方案成本，对比选择最优。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 余数大于除数：试商偏小导致余数比除数大，没有调商就直接结束计算，是最高频错误。 商的位数判断颠倒：被除数前两位大于除数时误判为一位数，小于除数时误判为两位数。 商不变余数误解：误认为被除数除数同时扩大后余数不变，实际余数会同步扩大相同倍数。 商 0 规则遗漏：除到某一位不够商 1 时忘记商 0 占位，导致商的数位错位、数值偏大。 2. 计算类易错点 试商后不调商：四舍试商偏大、五入试商偏小时，没有根据余数调整商的大小，结果错误。 商的位置写错：除到被除数的个位，商却写在十位上，数位错位导致结果差 10 倍。 落数步骤遗漏：前一位除完有余数，忘记落下被除数的下一位，直接继续除，计算完全偏离。 连除性质误用：括号前面是除号时，去括号后括号内的乘号没有变除号，导致结果错误。 3. 应用类易错点 进一去尾混淆：租车、装货等场景用去尾法，做衣服、买东西等场景用进一法，场景与取整规则匹配错误。 归一问题漏维度：双归一问题只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度，导致单一量算大。 周期余数对应错：余数为 0 时对应第一个元素，正确应为对应周期的最后一个元素。 方案优化漏组合：只计算纯方案的费用，忽略混合搭配方案，导致找不到真正的最优解。 培优练习 一、选择题 1．两个数相除，商是20，如果除数不变，被除数扩大到原数的2倍，商是（    ）。 A．15 B．30 C．40 2．计算495÷58试商时把58看作60，得到的商容易偏（    ）。 A．大 B．小 C．无法确定 3．军军家装修客厅，如果用面积8平方分米的方砖450块正好铺满客厅的地面，如果改用边长3分米的方砖，需要（    ）块。 A．1200 B．600 C．400 4．□3的商是两位数，□中共有几种不同的填法？（    ）。 A．4 B．5 C．6 5．计算“638÷22”时，可以把22看做20估商。这样估出的商跟准确的结果相比，通常会（    ）。 A．偏大 B．偏小 C．可能偏大也可能偏小 二、填空题 6．小丽家2025年共用水156吨，平均每月用水( )吨，平均每个季度用水( )吨。 7．从551里连续减去( )个29，得数是0；甲数是乙数的16倍，如果甲数是208，那么乙数是( )。 8．甲数÷乙数＝12⋯⋯5，如果把甲、乙两数都乘10，这时的商是( )，余数是( )。 9．如果。那么( )；那么( )。 10．416÷□2，要使商是两位数，□里最大填( )；4□4÷42，如果商的末尾是0，□里填最大填( )。 11．4□2÷42，要使商是一位数，□里最大填( )；此时把除数看作40来试商，初商可能会偏( )。 12．从12时到1时，分针旋转了( )°，时针旋转了( )°，4时整，时针和分针组成的较小角是( )°，它是( )角。 13．在条形统计图中，如果用4厘米长的直条表示200人，平均1厘米长的直条表示( )人。照这样计算，要表示500人需要画( )厘米长的直条。 14．要使□68÷66的商是两位数，□中可以填的数字有( )；要使747÷□5的商是一位数，□中最小填( )。 15．土产品公司生产了2400个咸鸭蛋，每8个装一盒，每4盒装一箱，每箱售价64元。如果要求出一共装几箱，列出的综合算式是( )。算式64÷（8×4）解决的问题是( )。 三、判断题 16．最小的三位数除以一个两位数的商，不可能是两位数。( ) 17．830÷50＝83÷5＝16……3。( ) 18．计算除数是两位数的除法，如果用“四舍五入”法试商，初商容易偏大。( ) 19．计算498÷65时，把65看作60来试商，会出现商偏大的情况。( ) 20．计算315除以38时，如果把38看作40来试商，商容易偏大。( ) 四、计算题 21．口算。 30×50＝          400÷80＝               120×30＝              720÷90＝ 25×40＝          630÷70＝               450÷50＝              80×20＝ 390÷30＝         80×60＝                700÷20＝               240÷40＝ 102×30＝         400÷25＝               560÷80＝               360÷60＝ 22．用竖式计算，带※的要验算。 756÷16＝                            ※532÷13＝                            980÷40＝ 五、解答题 23．全校有6个年级，每个年级有4个班，现在要把624本图书分给各班，平均每班分到多少本？ 24．李阿姨买了400克洗衣液，她想分装在小袋里。如果每个小袋装30克，那么至少要准备多少个小袋？ 25．班级订阅《小学生数学报》。六（1）班订了35份，用630元；照这样计算，六（2）班订了25份，需要多少元？ 26．为庆祝六一儿童节，三年级一共要做300朵红花，3天做了66朵，照这样计算，5天后还剩多少朵没做？ 27．某电影院原来有15排座位，平均每排坐18人，扩建后增加到20排，比原来多坐170人。扩建后平均每排坐多少人？ 28．绿化环境能让我们的生活更加美好！绿城小区有一块1200平方米的长方形绿地，现要把绿地扩大，准备将宽从原来的24米增加到48米（长不变），扩大后的绿地面积是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 两、三位数除以两位数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是整数除法体系的核心进阶内容，在除数是一位数的除法基础上，拓展为除数是两位数的除法运算，完整覆盖两、三位数除以两位数的所有计算场景。 核心本质：延续除法 “平均分” 与 “包含除” 的底层逻辑，通过试商、调商的操作，实现更大数值范围的整数均分运算，核心是对 “除数位数增加后如何快速确定商” 的方法突破。 两大基本意义： 平均分：把一个总数平均分成若干份，求每份是多少； 包含除：求一个总数里包含多少个固定的每份数。 2. 与除数是一位数除法的联系与区别 核心联系：算理完全一致，均遵循 “从高位除起、除到哪一位商到哪一位、余数小于除数” 的基本规则，验算方法统一为 “商 × 除数 + 余数 = 被除数”。 核心区别：除数从一位数变为两位数，无法直接口算确定商，需要引入试商与调商的步骤；对估算能力、数感要求更高，是整数除法计算能力的全面升级。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是小学整数除法的收尾与收官单元，承接表内除法、除数是一位数的除法，为后续小数除法、整数四则混合运算、分数运算筑牢计算基础，是小学计算能力的关键分水岭。 奥数价值：以两位数除法为载体，延伸出试商巧算、错中求解、周期推理、双归一问题、有余数极值、除法数字谜等经典题型，强化估算数感、逆向推理与实际建模能力，是小升初计算与应用模块的高频核心考点。 二、核心算理与计算法则 1. 核心算理：位值均分原理 基于十进制位值原则，从被除数的高位到低位逐级平均分配；某一位不够商 1 时，与下一位数字合并后继续除；每一步除得的余数必须小于除数，保证均分的公平性与唯一性。 核心对应：商的每一位都与被除数的对应数位对齐，确保计数单位一一对应。 2. 标准计算四步法则 看两位：先看被除数的前两位，如果前两位比除数大，就直接除；如果前两位比除数小，就看被除数的前三位。 商对位：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；不够商 1 时，要在该位商 0 占位。 余要小：每一步除完后，余下的数必须比除数小，这是除法计算的核心校验规则。 续下位：当前位除完有余数时，把被除数下一位的数字落下来，和余数合并后继续除。 3. 试商与调商核心方法 试商是两位数除法的核心难点，本质是通过估算快速锁定商的范围，再调整到准确值。 （1）基础试商法：四舍五入法 把除数看作和它接近的整十数来试商，是最通用的试商方法： 四舍试商：除数个位是 1、2、3、4 时，舍去个位看作整十数试商；把除数看小了，初商容易偏大，需要调小。 五入试商：除数个位是 5、6、7、8、9 时，向十位进 1 看作整十数试商；把除数看大了，初商容易偏小，需要调大。 （2）巧算试商法 同头无除商八九：被除数与除数首位数字相同，且被除数前两位小于除数，商通常是 8 或 9。 除数折半商四五：被除数前两位约等于除数的一半时，商通常是 4 或 5。 4. 商的位数判断规律 被除数的前两位 ≥ 除数：商是两位数，最高位在十位； 被除数的前两位 ＜ 除数：商是一位数，最高位在个位。 拓展：三位数除以两位数，商最多是两位数，最少是一位数。 5. 核心运算性质与规律 （1）商不变规律 被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商保持不变；若有余数，余数会同步乘或除以这个数。 示例：，，商不变，余数缩小到原来的。 （2）连除的性质 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 公式：（均不为 0） 逆用：，可将复杂除法拆分为两次简单除法。 （3）商的变化规律 除数不变，被除数扩大 / 缩小几倍，商同步扩大 / 缩小几倍； 被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；除数缩小几倍，商反而扩大几倍。 三、基础应用题型与标准解法 1. 竖式计算与试商调商 题型特征：两、三位数除以两位数的竖式计算，包含无余数、有余数、需要调商等多种类型。 解题策略：先按四舍五入法把除数看作整十数试商，计算后对比余数与除数，余数大了就调大商，商大了就调小，最终保证余数小于除数。 2. 商的位数判断与估算 题型特征：不计算直接判断商是几位数，或估算除法的商大约是多少。 解题策略：位数判断直接比较被除数前两位与除数的大小；估算时将被除数、除数分别看作接近的整十整百数，口算得出近似结果。 3. 基础平均分与包含除应用 题型特征：平均分物品、分组、装箱、租车等生活场景，求每份数量或份数。 解题策略：求每份数用 “总数 ÷ 份数”，求份数用 “总数 ÷ 每份数”；有余数时结合实际场景判断是否需要进一。 4. 简单归一归总问题 归一问题：已知几份的总量，先求单一量，再求多份对应的总量，核心是先除后乘。 归总问题：已知每份数与份数，先求总量，再求新的每份数或份数，核心是先乘后除，总量不变。 5. 有余数除法基础应用 题型特征：物品平均分有剩余、周期分组等场景，涉及余数的处理。 核心关系式：被除数 = 商 × 除数 + 余数，余数 ＜ 除数。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）计算巧算类 1. 商不变规律凑整巧算 题型特征：除数为 25、125、5 等特殊数字，或除数可通过乘一个数凑成整十、整百、整千数。 解题策略：利用商不变规律，被除数和除数同时乘同一个数，将除数转化为整十、整百、整千数，大幅简化计算。 示例： 2. 连除性质巧算 题型特征：一个数连续除以两个两位数，或一个数除以两个数的积，直接计算繁琐。 解题策略： 连除凑整：当两个除数相乘能凑成整十、整百数时，将连除转化为除以两个除数的积； 拆分除数：当除数是两个易算数字的积时，拆分为连除，分步口算。 示例： （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 看错除数类 题型特征：计算时将除数看错，得到错误的商和余数，被除数不变，求正确的结果。 解题策略：根据 “错误的除数 × 错误的商 + 错误的余数 = 被除数”，先求出不变的被除数，再用被除数除以正确的除数，得到正确的商和余数。 2. 看错被除数类 题型特征：将被除数的数字看错，除数不变，得到错误的商，求正确的结果或除数。 解题策略：计算被除数看错前后的差值，被除数的差 ÷ 商的差 = 不变的除数；求出除数后，再用正确的被除数计算正确的商。 3. 余数偏差类 题型特征：已知正确与错误结果的余数差、商的差，结合除数变化反推未知量。 核心逻辑：除数不变时，被除数的变化量 = 商的变化量 × 除数 + 余数的变化量。 （三）周期问题进阶 1. 题型特征 事物按固定周期循环排列、重复出现，求第若干个是什么、第几次重合是什么，或指定位置对应的序号。 典型场景：图形循环、颜色循环、日期星期循环、报数转圈、摆花排队等。 2. 核心解题步骤 确定一个完整周期包含的数量，即周期长度； 用总数量 ÷ 周期长度，算出完整周期数和余数； 余数是几，就对应周期里的第几个；没有余数则对应周期的最后一个。 3. 高频拓展类型 日期周期：计算若干天后是星期几，用总天数 ÷7，根据余数推算；注意跨月、跨年的天数计算。 循环报数：多人围成圈按顺序报数，求某数是谁报的，用总次数 ÷ 人数，结合余数定位。 （四）归一归总进阶 1. 双归一问题 题型特征：涉及两个维度的数量，如 “3 台机器 4 小时生产零件 120 个”，求 5 台机器 6 小时生产多少个。 解题策略：用连除先求出单一量（1 台 1 小时的产量），再用连乘求出目标总量；核心是逐步归一到最小单位。 2. 归总变形问题 题型特征：总量固定，改变每份数或份数，求新的对应量；或带有剩余、损耗的归总场景。 解题策略：先根据原始条件算出总量，再结合新的条件计算对应结果；有剩余时总量需扣除剩余部分。 （五）有余数除法进阶 1. 被除数极值问题 题型特征：已知除数、商，或除数与余数的关系，求被除数的最大值、最小值。 解题依据：余数必须小于除数，因此余数最大为 “除数 - 1”，最小为 1（整除除外）。 核心公式：被除数最大 = 商 × 除数 + (除数 - 1)；被除数最小 = 商 × 除数 + 1。 2. 同余问题初步 题型特征：一个数分别除以两个不同的除数，余数相同，求满足条件的最小数，或指定范围内的数。 解题思路：余同加余。先求出两个除数的最小公倍数，再加上相同的余数，即为满足条件的最小数；所有满足条件的数为 “最小公倍数的倍数 + 余数”。 （六）除法竖式数字谜 题型特征：除法竖式中部分数字被遮挡或用字母、汉字代替，推理出完整的数字。 解题策略： 从确定信息入手：先找能直接确定的数位，如商的某一位乘除数得到确定位数的积； 利用余数规则：余数小于除数，可锁定除数的范围； 结合乘法与减法的关系，逐步推导每一步的积、余数，最终补全所有数字。 （七）和差倍与除法综合 题型特征：已知两个数的和或差，以及两个数的倍数关系（商），求这两个数分别是多少。 核心公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 解题关键：将较小数看作 1 份，较大数对应倍数份，用除法求出 1 份量，是和差倍问题的核心。 （八）方案优化类除法应用 题型特征：租车、租船、购票、购买套餐等场景，有不同的价格方案，求最省钱的方案。 解题策略： 用除法算出每种方案的人均 / 单件价格，优先选择单价更低的方案； 优先满员使用低价方案，剩余部分对比单独买、换另一种方案的成本，选择更优的组合； 枚举所有可行方案，对比总费用，确认最优解。 五、核心解题方法汇总 试商调商法：两位数除法的核心计算方法，四舍五入估整十，根据余数调大小。 商不变巧算法：利用商不变规律凑整除数，将复杂除法转化为口算级计算。 逆推还原法：错中求解问题的核心思路，抓住不变量，从错误结果反推原始数据再计算正确结果。 周期余数法：周期类问题通用解法，总量除以周期长，余数对应位置。 归一归总法：先求单一量、先求固定总量，是除法应用题的核心建模思路。 数位推理法：除法数字谜的核心，结合乘除关系、余数范围逐步推导数位数字。 枚举对比法：方案优化类题目，逐一计算各方案成本，对比选择最优。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 余数大于除数：试商偏小导致余数比除数大，没有调商就直接结束计算，是最高频错误。 商的位数判断颠倒：被除数前两位大于除数时误判为一位数，小于除数时误判为两位数。 商不变余数误解：误认为被除数除数同时扩大后余数不变，实际余数会同步扩大相同倍数。 商 0 规则遗漏：除到某一位不够商 1 时忘记商 0 占位，导致商的数位错位、数值偏大。 2. 计算类易错点 试商后不调商：四舍试商偏大、五入试商偏小时，没有根据余数调整商的大小，结果错误。 商的位置写错：除到被除数的个位，商却写在十位上，数位错位导致结果差 10 倍。 落数步骤遗漏：前一位除完有余数，忘记落下被除数的下一位，直接继续除，计算完全偏离。 连除性质误用：括号前面是除号时，去括号后括号内的乘号没有变除号，导致结果错误。 3. 应用类易错点 进一去尾混淆：租车、装货等场景用去尾法，做衣服、买东西等场景用进一法，场景与取整规则匹配错误。 归一问题漏维度：双归一问题只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度，导致单一量算大。 周期余数对应错：余数为 0 时对应第一个元素，正确应为对应周期的最后一个元素。 方案优化漏组合：只计算纯方案的费用，忽略混合搭配方案，导致找不到真正的最优解。 培优练习 一、选择题 1．两个数相除，商是20，如果除数不变，被除数扩大到原数的2倍，商是（    ）。 A．15 B．30 C．40 【答案】C 【分析】根据商的变化规律，除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商就乘几或除以几。据此解答即可。 【详解】由分析可知：20×2＝40 故答案为：C 【点睛】本题考查商的变化规律，熟练运用商的变化规律是解题的关键。 2．计算495÷58试商时把58看作60，得到的商容易偏（    ）。 A．大 B．小 C．无法确定 【答案】B 【分析】在除数是两位数除法计算中，把除数看作与它接近的整十数，如果把除数看大了，商容易偏小，调商时就要调大一些，如果把除数看小了，商容易偏大，调商时就要调小一些，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，计算495÷58试商时把58看作60，得到的商容易偏小，调商时就要调大一些。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查学生对整数除法试商方法的掌握。 3．军军家装修客厅，如果用面积8平方分米的方砖450块正好铺满客厅的地面，如果改用边长3分米的方砖，需要（    ）块。 A．1200 B．600 C．400 【答案】C 【分析】根据题意，用方砖的面积乘用方砖的块数，即可求出客厅的面积；用客厅的面积除以边长是3分米的方砖的面积，即可求出需要方砖的块数。 【详解】8×45÷（3×3） ＝8×450÷9 ＝3600÷9 ＝400（块） 所以，需要400块。 故答案为：C 【点睛】求出客厅的面积，是解答此题的关键。 4．□3的商是两位数，□中共有几种不同的填法？（    ）。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】要使商是两位数，那么被除数的前两位组成的数就要大于或等于除数，由此找出□里面可以填的数即可求解。 【详解】要使612÷□3的商是两位数， 61≥□3，则□里面可以填：1、2、3、4、5，共有5种填法。 故答案为：B 【点睛】三位数除以两位数，被除数百位和十位组成的数字和除数比较大小，组成的数比除数大或相等，商就是两位数，比除数小，商就是一位数。 5．计算“638÷22”时，可以把22看做20估商。这样估出的商跟准确的结果相比，通常会（    ）。 A．偏大 B．偏小 C．可能偏大也可能偏小 【答案】A 【分析】除数是两位数试商时，将除数估大，初商可能偏小。将除数估小，初商可能偏大。据此解答即可。 【详解】把22看做20估商，除数变小，则估出的商跟准确的结果相比，通常会偏大。 故答案为：A 【点睛】本题考查除数是两位数的试商，需熟练掌握。 二、填空题 6．小丽家2025年共用水156吨，平均每月用水( )吨，平均每个季度用水( )吨。 【答案】 13 39 【分析】根据1年有12个月，1年有4个季度，用156除以12即可求出平均每月用水量；再用156除以4即可求出平均每个季度用水量。 【详解】156÷12＝13（吨） 156÷4＝39（吨） 7．从551里连续减去( )个29，得数是0；甲数是乙数的16倍，如果甲数是208，那么乙数是( )。 【答案】 19 13 【分析】从551里连续减去多少个29得数是 0，就是求551里面包含多少个29，用除法计算；根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】 ，则从551里连续减去19个29，得数是0。 ，则乙数是13。 8．甲数÷乙数＝12⋯⋯5，如果把甲、乙两数都乘10，这时的商是( )，余数是( )。 【答案】 12 50 【分析】根据商的变化规律，被除数和除数同时乘几，则商不变，余数应乘相同的数。 【详解】甲数÷乙数＝12⋯⋯5，如果把甲、乙两数都乘10，商不变，余数是5×10＝50。 甲数÷乙数＝12⋯⋯5，如果把甲、乙两数都乘10，这时的商是12，余数是50。 9．如果。那么( )；那么( )。 【答案】 7 35 【分析】根据商不变性质：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。A扩大到原来的5倍，商也会随之扩大到原来的5倍。 【详解】被除数A乘3，除数B也乘3，因此商不变。 A扩大到原来的5倍，商也会随之扩大到原来的5倍。 如果。那么7；那么35。 10．416÷□2，要使商是两位数，□里最大填( )；4□4÷42，如果商的末尾是0，□里填最大填( )。 【答案】 3 5 【分析】416÷□2，要使商是两位数，则41＞□2，据此解答；4□4÷42，如果商的末尾是0，也就是商是两位数，则4□≥42，4□除以42的商是1，当余下的数与被除数个位的4合起来小于42时，此时商的末尾一定是0。 【详解】416÷□2，要使商是两位数，41＞□2，□里可以填1、2、3，则□里最大填3； 4□4÷42，如果商的末尾是0，42÷42＝1；43÷42＝1……1，14＜42；44÷42＝1……2，24＜42；45÷42＝1……3，34＜42；46÷42＝1……4，44＞42；□里可以填2、3、4、5，则□里最大填5。 11．4□2÷42，要使商是一位数，□里最大填( )；此时把除数看作40来试商，初商可能会偏( )。 【答案】 1 大 【分析】4□2÷42，要使商是一位数，被除数前两位数要小于除数，4□＜42；根据除法计算中试商的方法：把除数看大了，商就容易变小，调商时要调大一点，把除数看小了，商就容易变大，调商时要调小一点。据此解答即可。 【详解】4□2÷42，要使商是一位数，被除数前两位数要小于除数，4□＜42，□里可填0、1，□里最大填1；此时把除数看作40来试商，初商可能会偏大。 12．从12时到1时，分针旋转了( )°，时针旋转了( )°，4时整，时针和分针组成的较小角是( )°，它是( )角。 【答案】 360 30 120 钝 【分析】从12时到1时，经过1小时，分针旋转了一整圈，即360°；时针移动了1小时，即钟表上的一大格，即30°。4时整，时针指向4，分针指向12，中间有4个大格，每个大格30°，所以夹角为30°×4＝120°，120°大于90°且小于180°，是钝角。 【详解】从12时到1时，经过1小时。分针1小时旋转一整圈，因此分针旋转了360°。 钟面共12个大格，每个大格的角度为360°÷12＝30°。时针每小时旋转一大格，即30度，因此从12时到1时，时针旋转了30度。 4时整，分针指向12，时针指向4。从12到4有4个大格，因此时针和分针的较小夹角为30°×4＝120°。120°是钝角。 从12时到1时，分针旋转了360°，时针旋转了30°，4时整，时针和分针组成的较小角是120°，它是钝角。 13．在条形统计图中，如果用4厘米长的直条表示200人，平均1厘米长的直条表示( )人。照这样计算，要表示500人需要画( )厘米长的直条。 【答案】 50 10 【分析】由题意得，4厘米长的直条表示200人，直接用200除以4可以算出平均1厘米长的直条表示多少人。要表示500人，直接用500除以前面的得数即可算出需要画多少厘米长的直条。 【详解】200÷4＝50（人） 500÷50＝10（厘米） 在条形统计图中，如果用4厘米长的直条表示200人，平均1厘米长的直条表示50人。照这样计算，要表示500人需要画10厘米长的直条。 14．要使□68÷66的商是两位数，□中可以填的数字有( )；要使747÷□5的商是一位数，□中最小填( )。 【答案】 6、7、8、9 7 【分析】三位数除以两位数，先用被除数前两位上的数去除以两位数，看够不够除，就是说被除数前两位上的数和除数比较，如果比除数大或相等就够除，商在十位上，就是两位数；否则商在个位上，就是一位数。 【详解】要使□68÷66的商是两位数，则□6≥66，所以□中可以填的数字有6、7、8、9； 要使747÷□5的商是一位数，则74＜□5，所以□中可以填的数字有7、8、9，最小填7。 15．土产品公司生产了2400个咸鸭蛋，每8个装一盒，每4盒装一箱，每箱售价64元。如果要求出一共装几箱，列出的综合算式是( )。算式64÷（8×4）解决的问题是( )。 【答案】 2400÷8÷4 每个咸鸭蛋多少钱 【分析】咸鸭蛋总个数除以每盒咸鸭蛋个数，可以算出这些咸鸭蛋可以装（2400÷8）盒，咸鸭蛋可以装的盒数除以每箱盒数，可以算出一共可以装（2400÷8÷4）箱。 也可以这样算：每盒咸鸭蛋个数乘每箱盒数，可以算出每箱有（8×4）个咸鸭蛋，咸鸭蛋总个数除以每箱咸鸭蛋个数，可以算出一共有2400÷（8×4）（箱）。 每盒咸鸭蛋个数乘每箱盒数，可以算出每箱有（8×4）个咸鸭蛋，每箱咸鸭蛋售价除以每箱咸鸭蛋个数，可以算出每个咸鸭蛋售价是64÷（8×4）（元）。 【详解】土产品公司生产了2400个咸鸭蛋，每8个装一盒，每4盒装一箱，每箱售价64元。如果要求出一共装几箱，列出的综合算式是2400÷8÷4或2400÷（8×4）。算式64÷（8×4）解决的问题是每个咸鸭蛋多少钱？ 三、判断题 16．最小的三位数除以一个两位数的商，不可能是两位数。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，可以用举例的方法解答：当除数最小的时候，商最大，即用最小的三位数除以最小的两位数，商会最大，最小的三位数是100，除以最小的两位数10，商是两位数，据此判断解答。 【详解】根据分析得：最小的三位数100除以两位数10，即100÷10＝10，商是两位数；所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题解答的关键是用举例的方法，并明确最小的三位数是100。 17．830÷50＝83÷5＝16……3。( ) 【答案】× 【分析】有余数的除法，余数要扩大相应的倍数，830除以50商是16，余数是30，据此解答。 【详解】 故答案为：× 【点睛】熟练掌握有余数的除法并正确计算是解答本题的关键。 18．计算除数是两位数的除法，如果用“四舍五入”法试商，初商容易偏大。( ) 【答案】× 【分析】用“四舍”法试商，也就是除数变小，根据被除数不变，除数变小，所得的商会变大；用“五入”法试商，也就是除数变大，根据被除数不变，除数变大，所得的商会变小，由此可以解决本题。 【详解】计算除数是两位数的除法，如果用“四舍五入”法试商，初商可能偏大，也可能偏小，所以判断错误。 【点睛】解决此题的关键是要明确用“四舍五入”法试商包含两种情况。 19．计算498÷65时，把65看作60来试商，会出现商偏大的情况。( ) 【答案】√ 【分析】除数是两位数的除法在进行试商时，可把这个数看作是和它接近的整十数来试商。 【详解】计算“498÷65”时，65接近60和70，把65看作60来试商，因为是把除数估小了，所以初商可能偏大。 此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了学生对试商方法的掌握情况。 20．计算315除以38时，如果把38看作40来试商，商容易偏大。( ) 【答案】× 【分析】除数是两位数的除法在进行试商时，可把这个数看作是和它接近的整十数来试商，由此判断即可。 【详解】把除数38看作40试商，因为是把除数看大了，商就会变小，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查在计算整数除法时，如果把除数看小了来试商，除数就会偏大，如果把除数看大了来试商，除数就会偏小。 四、计算题 21．口算。 30×50＝          400÷80＝               120×30＝              720÷90＝ 25×40＝          630÷70＝               450÷50＝              80×20＝ 390÷30＝         80×60＝                700÷20＝               240÷40＝ 102×30＝         400÷25＝               560÷80＝               360÷60＝ 【答案】1500；5；3600；8 1000；9；9；1600 13；4800；35；6 3060；16；7；6 【解析】略 22．用竖式计算，带※的要验算。 756÷16＝                            ※532÷13＝                            980÷40＝ 【答案】47……4；40……12；24……20 【分析】除数是两位数的除法， 试商时看被除数的前两位，被除数的前两位≥除数，商写在对应的十位上，被除数的前两位＜除数，就看被除数的前三位，商写在对应的个位上； 再用商乘除数，把乘积写在被除数对应的部分下面，然后做减法，得到余数，余数必须比除数小，如果余数≥除数，说明商小了，要调大再试；如果还有未除尽的数位，把下一位数字落下来，和余数组成新的数，继续重复试商、乘减的步骤，直到所有数位都除完。最后用商×除数＋余数进行验算。 【详解】756÷16＝47……4          ※532÷13＝40……12              980÷40＝24……20         验算：       五、解答题 23．全校有6个年级，每个年级有4个班，现在要把624本图书分给各班，平均每班分到多少本？ 【答案】26本 【分析】可以先算出全校一共有多少个班级，用年级数乘每个年级的班数；再用图书总本数除以班级总数，得到平均每班分到的本数；也可以分步连除计算。 【详解】方法一：6×4＝24（个） 624÷24＝26（本） 方法二： 答：平均每班分到26本。 24．李阿姨买了400克洗衣液，她想分装在小袋里。如果每个小袋装30克，那么至少要准备多少个小袋？ 【答案】 个 【分析】用总量每一小袋的重量可以求出小袋的数量。求克里有几个克，用除法计算。剩余的洗衣液也需要个小袋盛装，需用进一法取整。 【详解】（袋）（克） （个） 答：至少要准备个小袋。 25．班级订阅《小学生数学报》。六（1）班订了35份，用630元；照这样计算，六（2）班订了25份，需要多少元？ 【答案】450元 【分析】“照这样计算”，说明每份报纸的单价是固定不变的。已知六（1）班订了35份，用630元，根据“总价数量单价”求出每份报纸的价格，再利用“单价数量总价”求出六（2）班需要的钱数。 【详解】630÷35＝18（元） 18×25＝450（元） 答：需要450元。 26．为庆祝六一儿童节，三年级一共要做300朵红花，3天做了66朵，照这样计算，5天后还剩多少朵没做？ 【答案】 朵 【分析】本题考查整数乘除混合运算解决实际问题的能力，属于归一问题。先求出单一量，平均每天做红花的朵数。根据已知条件“天做了 朵”，用除法计算每天做的朵数。再用每天做的朵数乘 天，求出 天一共做的朵数。最后用计划做的总朵数减去 天已经做的朵数，即可求出还剩多少朵没做。 【详解】 （朵） 答：天后还剩朵。 27．某电影院原来有15排座位，平均每排坐18人，扩建后增加到20排，比原来多坐170人。扩建后平均每排坐多少人？ 【答案】 22人 【分析】解题思路是先根据“排数平均每排人数总人数”求出原来的总人数，再加上比原来多坐的人数得到扩建后的总人数，最后根据“总人数排数平均每排人数”求出扩建后平均每排坐的人数。 【详解】 （人） 答：扩建后平均每排坐22人。 28．绿化环境能让我们的生活更加美好！绿城小区有一块1200平方米的长方形绿地，现要把绿地扩大，准备将宽从原来的24米增加到48米（长不变），扩大后的绿地面积是多少？ 【答案】2400平方米 【分析】根据题意，用原来长方形绿地的面积除以原来的宽，求出长方形绿地的长，再用长方形绿地的长乘现在的宽，即可求出扩大后的绿地面积。 【详解】1200÷24×48 ＝50×48 ＝2400（平方米） 答：扩大后的绿地面积是2400平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $