第六单元 三位数乘两位数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 以三位数乘两位数为载体，构建从基础概念到奥数进阶的完整知识体系，提炼分步笔算、凑整巧算等六大解题方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3大概念+4类性质|位值原理拆解法|从定义本质到运算定律，构建整数乘法理论基础| |基础应用|5类基础题型|估算校验法|依据“每份数×份数=总数”模型，实现算理到应用转化| |奥数进阶|6类进阶题型|差量对应法、位值推理法|从巧算到数字谜、极值构造，培养逆向思维与模型意识| |解题方法|6大核心方法|极值构造法、规律归纳法|方法与题型一一对应，形成“概念-性质-应用-拓展”逻辑链|

第六单元 三位数乘两位数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学整数笔算乘法体系的收官进阶内容，在两位数乘两位数的基础上，拓展为三位数乘两位数的笔算运算，完整覆盖整数乘法的核心笔算方法。 核心本质：依托十进制位值原理，将三位数乘两位数拆解为 “三位数乘个位” 与 “三位数乘十位” 两次分步乘法，再将两次部分积按数位对齐累加，最终得到完整乘积。核心是通过数位拆分实现复杂乘法向简单乘法的转化，是位值思想在乘法运算中的典型应用。 两大核心方向：一是计算维度，掌握笔算规则与巧算方法，提升运算效率与准确率；二是应用维度，以乘法为核心工具，解决复合数量关系问题与逻辑推理类问题。 2. 核心概念辨析 因数：相乘的两个数，三位数乘两位数的两个因数分别为三位数（被乘数）与两位数（乘数）。 部分积：用两位数的个位、十位分别去乘三位数得到的中间结果，也叫分层积，需按对应数位对齐。 最终积：两部分积按数位对齐相加后的结果，是乘法运算的最终输出。 估算积：通过将因数近似为整十、整百数得到的近似结果，用于快速判断结果范围、校验计算合理性。 核心区别：口算依赖数感直接得出结果，笔算依靠分步累加保障准确性，估算用于快速预判范围，三者适用场景与作用各不相同。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接两位数乘两位数的笔算方法，是小学整数乘法的最高阶与收官内容，为后续小数乘法、整数四则混合运算、复杂应用题筑牢计算基础，是小学计算能力的核心分水岭之一。 奥数价值：以三位数乘两位数为载体，延伸出乘法巧算、错中求解、竖式数字谜、积的极值构造、行程工程复合应用、特殊数规律探究等经典题型，强化运算巧算能力、逆向推理能力与几何建模思维，是小升初计算与应用模块的必考核心考点。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 三位数乘两位数笔算法则 （1）通用笔算步骤 相同数位对齐，通常将三位数写在上方，两位数写在下方，个位与个位对齐； 用两位数个位上的数去乘三位数，所得积的末位与两位数的个位对齐，得到第一部分积； 用两位数十位上的数去乘三位数，所得积的末位与两位数的十位对齐，得到第二部分积； 将两次部分积相加，得到最终的乘积。 （2）特殊情况笔算技巧 因数中间有 0：0 也要参与乘法运算，不能省略；与 0 相乘得 0 后，需加上低位的进位数，再写入对应数位。 因数末尾有 0：采用简便写法，先将 0 前面的数位对齐相乘，再看两个因数末尾一共有几个 0，就在积的末尾添上相同个数的 0。 2. 积的核心性质 （1）位数规律 三位数乘两位数，积最少是四位数，最多是五位数。 最小积：（四位数） 最大积：（五位数） 快速判断：若三位数百位与两位数十位相乘的结果≥10，则积一定是五位数；若小于 10，积通常为四位数。 （2）积的变化规律 同向变化：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也同步乘（或除以）几。 积不变规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0 除外），积保持不变。 双因数扩倍：两个因数分别扩大到原来的倍和倍，积扩大到原来的倍。 3. 乘法运算定律（巧算核心依据） 乘法交换律：两个因数交换位置，积不变。字母表示： 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。字母表示： 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可分别相乘再相加（减）。字母表示： 4. 估算方法与原则 常用方法：将两个因数分别看作与它们接近的整百、整十数，口算得出近似积。 估算原则：根据实际场景选择估大、估小或四舍五入估算；判断钱够不够时通常估大，判断容量上限时通常估小。 三、基础应用题型与标准解法 1. 标准竖式计算 题型特征：直接给出三位数乘两位数的算式，要求笔算求解，包含一般式、中间有 0、末尾有 0 等类型。 解题策略：严格遵循笔算四步法则，重点注意部分积的数位对齐；末尾有 0 时先算非 0 部分再补 0；计算完成后可通过估算快速校验结果范围是否合理。 2. 积的位数与大小判断 题型特征：不计算直接判断积是几位数，或比较多个乘法算式的积的大小。 解题策略：位数判断可通过最高位相乘是否进位快速判定；大小比较可利用积的变化规律，转化为相同因数的对比，无需计算完整结果。 3. 基础数量关系应用 题型特征：价格、行程、工程、产量等基础场景，已知每份数与份数，求总数，数据为三位数乘两位数量级。 解题策略：先识别数量模型，找准每份数与份数，代入 “每份数 × 份数 = 总数” 列式计算，注意单位统一。 4. 运算律基础简便计算 题型特征：算式中存在可凑整的组合，或因数接近整百整十数，可通过运算律简化计算。 解题策略：遇 25 找 4、遇 125 找 8，用结合律凑出整百、整千数；99、101 等接近整百的数，拆成 “整百 ±1” 的形式，用分配律口算。 5. 积的变化规律基础应用 题型特征：已知一个乘法算式的积，改变其中一个或两个因数，求变化后的积。 解题策略：根据积的变化规律，因数乘几积就乘几，因数除以几积就除以几；多个变化同步叠加时，将变化倍数相乘后再作用于原积。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）乘法巧算进阶 1. 题型特征 三位数乘两位数的算式数字存在特殊结构，或可通过运算律变形简化，直接笔算繁琐易错，通过巧算可大幅提升速度与准确率。 2. 核心巧算类型 凑整拆分型：将接近整百、整十的因数拆分为 “整百 ± 零头”，利用乘法分配律简化运算。 示例： 提取公因数型：乘加、乘减混合算式中存在公共因数，提取后合并计算；无明显公因数时，通过积不变规律构造相同因数再提取。 示例： 特殊因数巧算： 乘 11：三位数乘 11，遵循 “两边一拉，中间相加，满十进一” 的口诀，如。 乘 99：采用 “去一添补法”，原数减 1 作前半段，100 减原数作后半段，如。 乘 25、125：从另一个因数中拆分出 4、8，凑出整百、整千数，如。 重码数巧算：出现 101、1001 等特殊因数时，利用重复规律直接写结果，如，。 3. 乘除混合巧算 核心规则：同级运算可带符号搬家，优先计算能凑整、能整除的组合；括号前是乘号去括号不变号，括号前是除号去括号要变号。 示例： （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 看错数字类 题型特征：计算乘法时，将其中一个因数的某一位数字看错（如把个位的 3 看成 5），得到错误的积，求正确的积或不变的因数。 解题步骤： 结合数位权重，计算看错的因数与正确因数的实际差值； 积的差值 ÷ 因数的差值 = 不变的另一个因数； 用正确因数乘另一个因数，得到正确的积。 2. 漏写 / 多写 0 类 题型特征：将因数末尾的 0 漏写或多写，导致积扩大 / 缩小，求正确结果。 核心逻辑：因数末尾漏写一个 0，因数缩小 10 倍，积也同步缩小 10 倍，正确的积需将错误积乘 10；多写 0 则反之。 3. 因数增减类 题型特征：一个因数增加固定数值，另一个因数不变，已知积的增加量，求原因数或原积。 核心公式：不变的因数 = 积的增加量 ÷ 因数的增加量 （三）乘法竖式数字谜 1. 题型特征 三位数乘两位数的竖式中，部分数位用方框、字母或汉字代替，要求推理出所有未知数字，还原完整竖式，是培养位值推理能力的经典题型。 2. 核心解题技巧 末位突破：从个位相乘的末位数字入手，结合乘法口诀，锁定个位数字的可能取值。 首位估算：根据部分积、最终积的位数，估算最高位的数字范围，排除不可能的取值。 进位分析：每一步乘法都可能产生进位，两个一位数相乘最多进 8，结合进位约束缩小数字范围。 数位对齐验证：利用第二部分积末位对齐十位的规则，判断第二部分积的位数与对应数位。 全式验证：推理完成后，将所有数字代入完整竖式，重新计算验证每一步是否成立。 （四）积的极值构造 1. 数字组数求最值 题型特征：给定若干个不重复的数字（通常 5 个），组成一个三位数和一个两位数，求乘积最大、乘积最小的组合，是本小节经典奥数题型。 解题规律： 乘积最大：先将数字从大到小排序，遵循 “大配小、小配大” 原则，最大和次大的数字分别作两个因数的首位，剩余数字按 “大跟小首、小跟大首” 排列，确保两个因数的差值尽可能小。 乘积最小：先将数字从小到大排序，最小和次小的非 0 数字分别作两个因数的首位，剩余数字按 “小跟小首、大跟大首” 排列，确保两个因数的差值尽可能大。 示例：用 1、2、3、4、5 组成三位数乘两位数，最大为，最小为。 2. 和定积最大 题型特征：已知两个数的和固定，求它们乘积的最大值；对应几何场景为 “周长固定的长方形，求最大面积”。 核心结论：两个数的和一定时，两数越接近，乘积越大；当两数相等时，乘积达到最大值。 整数约束：若要求因数为整数，则选择数值最接近的一组，对应乘积最大。 （五）行程与工程复合应用 1. 相遇问题进阶 题型特征：两车从两地同时出发相向而行，已知速度与行驶时间，求总路程；或已知总路程与相遇时间，求速度。 核心公式：总路程 = 速度和 × 相遇时间 解题思路：先计算两车的速度和，再用乘法求出总路程，是乘法数量关系的复合应用。 2. 合作工程问题 题型特征：两队合作完成工程，已知各自的工作效率与工作时间，求工作总量。 核心公式：工作总量 = 效率和 × 合作时间 解题思路：先求出合作总效率，再乘工作时间得到总量，数据量级适配三位数乘两位数。 3. 归总问题变形 题型特征：已知单一量与份数，先求出总量，再根据新的条件求对应份数或单一量。 解题关键：总量不变，先用乘法求出固定总量，再用除法求解目标量，是乘除复合的典型应用。 （六）规律探究与定义新运算 1. 特殊数列乘法规律 题型特征：探究叠数、轮转数等特殊数的乘法规律，如、乘不同数的结果规律。 解题策略：先计算前几个简单算式，观察数字变化规律，归纳总结通用结论，再应用规律推导复杂算式的结果。 2. 乘法型定义新运算 题型特征：自定义包含乘法的新运算符号与规则，求指定算式的结果，或已知结果反求输入的数。 解题策略：严格按照定义规则代入数字，转化为常规三位数乘两位数运算；反求未知数时，根据乘除互逆关系逐步推导。 五、核心解题方法汇总 分步笔算法：基础乘法计算的通用方法，按个位乘、十位乘、累加求和三步执行，保障计算准确。 凑整巧算法：乘法巧算的核心思路，通过拆分、提取公因数、配对凑整等方式，将复杂运算转化为口算。 差量对应法：错中求解问题的核心方法，通过因数的变化量对应积的变化量，求出不变因数再推导正确结果。 位值推理法：竖式数字谜的核心思路，结合末位、首位、进位与数位对齐规则，逐步锁定未知数字。 极值构造法：乘积最值问题的通用方法，利用 “和定差小积大” 的规律，快速构造最优数字组合。 规律归纳法：规律探究类问题的核心方法，从简单算式入手归纳共性规律，再推广到复杂场景。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 积的位数判断错误：误认为三位数乘两位数积一定是五位数，忽略最小积为四位数的情况。 积不变规律记反：误认为两个因数同时乘相同的数积不变，正确应为一个乘、一个除以相同的数。 运算律混淆：乘法结合律与分配律混用，该用结合律时错误拆分，或分配律漏乘其中一项。 估算场景错配：判断钱够不够时估小，判断产量上限时估大，导致估算结论与实际相反。 2. 计算类易错点 部分积数位错位：用两位数十位去乘三位数时，积的末位与个位对齐，导致最终结果偏小 10 倍，是本单元最高频错误。 末尾 0 漏补：因数末尾有 0 时，计算完非 0 部分后，漏加对应个数的 0，导致积缩小 10 倍或 100 倍。 分配律漏项：计算时只计算，漏算；括号内有多个项时漏乘后面的项。 连续进位遗漏：多位数连续相乘时，忘记加上低位的进位，导致数位数字计算错误。 3. 应用类易错点 数字组数最值方法颠倒：求最大乘积时按 “大配大、小配小” 排列，导致两个因数差值过大，乘积偏小。 错中求解差值算错：计算因数的变化量时，直接用数字差代替位值差，忽略数位的权重，导致因数偏差计算错误。 行程问题速度单位不匹配：速度单位与时间单位不统一，未换算直接计算，导致路程结果数量级错误。 数字谜多解遗漏：只找出一组符合条件的数字，忽略其他可能的组合，导致答案不完整。 培优练习 一、选择题 1．145×12的结果比146×12的结果少（    ）。 A．1 B．12 C．145 D．146 【答案】B 【分析】145×12，表示145个12，146×12表示146个12，145个12比146个12少1个12，据此解答。 【详解】146×12－145×12 ＝（146－145）×12 ＝1×12 ＝12 2．用竖式计算下面第（    ）个算式的过程中，“5×8”表示的意思是500×80。 A．251×83 B．509×18 C．509×82 D．813×56 【答案】C 【分析】500×80代表数字5在百位，数字8在十位。 【详解】A．251×83，5在十位，8在十位，表示50×80，不符合； B．509×18，5在百位，8在个位，表示500×8，不符合； C．509×82，5在百位，8在十位，表示500×80，符合； D．813×56，5在十位，8在百位，表示50×800，不符合。 3．五年级280名学生手拉手围成一个正方形（如图），围成的这个正方形的面积接近（    ）平方米。 A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】D 【分析】根据“正方形的周长＝边长×4”求出每条边上有多少人，每个同学双臂展开的长度大约为1米～2米，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出围成正方形的面积，即可求得。 【详解】每条边上的间隔数：280÷4＝70（人） 边长：70×1＝70（米） 70×2＝140（米） 面积：70×70＝4900（平方米） 140×140＝19600（平方米） 因为4900平方米＜10000平方米＜19600平方米，所以面积大约是10000平方米。 4．已知“3□6×□8”是一个三位数乘两位数的算式，下面四个数中可能是它的得数的是（    ）。 A．2948 B．11046 C．17088 D．41058 【答案】C 【分析】3□6×□8，两个因数的个位上是6和8，所以积的个位上肯定是8，306×18＝5508，396×98＝38808，所以5508≤3□6×□8≤38808，找出符合条件的数即可解答。 【详解】A．2948＜5508，不符合条件。      B．11046的个位上不是8，不符合条件。      C．5508＜17088＜38808，并且个位上是8，符合条件。      D．41058＞38808，不符合条件。 四个数中可能是它的得数的是17088。 故答案为：C 5．《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》是中国四大名著。某书店优惠促销，这套四大名著的价格是243元。学校购买26套，竖式中②表示（    ）。 A．6套一共486元 B．20套一共486元 C．6套一共4860元 D．20套一共4860元 【答案】D 【分析】三位数乘两位数：先用第2个因数个位上的数去乘第1个因数的每一位，得数的末位和第2个因数的个位对齐；再用第2个因数十位上的数去乘第1个因数的每一位，得数的末位和第2个因数的十位对齐；然后把两次乘得的数加起来。 【详解】用第2个因数个位上的数6去乘第1个因数243，得1456； 用第2个因数十位上的数2（十位上的数2表示20）去乘第1个因数243，得4860（竖式中4860的个位0不写）。243×20＝4860 故答案为：D 【点睛】解题的关键点是第2个因数十位上的数2表示的是20。 二、填空题 6．775×16的积有( )个0；23×54的积是( )位数。 【答案】 2 四 【分析】计算三位数乘两位数的乘法时，先用两位数的个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的个位对齐，再用两位数的十位去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的十位对齐；然后把两次乘得的数加起来，就是所求的积； 两位数乘两位数的方法：先用两位数的个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数的十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来。据此分别求出两个算式的积，即可解答。 【详解】775×16＝12400，所以775×16的积有2个0； 23×54＝1242，所以23×54的积是四位数。 7．300×15的积的末尾有( )个0；若□35×24的积是四位数，则□里最大填( )。 【答案】 2 3 【分析】（1）计算300×15，3×15＝45，后面加两个0得4500，末尾有2个0。因数末尾有几个0，积的末尾就至少有几个0，再看因数中是否还会产生0。 （2）□35×24的积是四位数。估算：400×24＝9600，是四位数。300×24＝7200，也是四位数。要使积最大且是四位数，□从3开始试，若积是五位数则减小。 【详解】（1）300×15＝4500，末尾2个0。 （2）335×24＝8040，四位数。，435×24＝10440，五位数。 因此，□里最大填3。 8．绿草能更新空气，1平方米的草地每天释放氧气15克，吸收二氧化碳20克。长江路小学校园有绿草地250平方米，1天能释放( )克氧气，吸收( )千克二氧化碳。 【答案】 3750 5 【分析】根据题意，总释放氧气量＝每平方米释放量×草地面积，总吸收二氧化碳量＝每平方米吸收量×草地面积。注意第二问求的是吸收二氧化碳的千克数，根据“1千克＝1000克”进行单位换算即可。 【详解】250×15＝3750（克） 250×20＝5000（克） 5000克＝5千克 所以，1天能释放3750克氧气，吸收5千克二氧化碳。 9．算式□2中，□里最大填( )时，算式的结果是四位数。算式□中，□里最小填( )时，算式的结果是五位数。 【答案】 2 4 【分析】405×□2，要使算式的结果是四位数，可以从1开始尝试，逐步增大□的值，看看积是几位数，从而找出□的最大值； □2×263，要使算式的结果是五位数，可以从1开始尝试，逐步增大□的值，看看积是几位数，从而找出□的最小值。 【详解】当□＝1时，，积是四位数；当□＝2时，，积是四位数；当□＝3时，，积是五位数；所以□最大填2； 当□＝1时，，积是四位数；当□＝2时，，积是四位数；当□＝3时，，积是四位数；当□＝4时，，积是五位数；所以□最小填4。 10．某旅行社组织了一个旅行团，计划为36名团员购买车票，去时每人的车票是84元，返回时每人的车票是116元，购买往返车票共需花费( )元。 【答案】7200 【分析】先算出1名团员的往返车票总费用，往返车票总费用＝去时的车票＋返回时的车票，再算36名团员的总花费，总花费＝往返车票总费用×总人数。 【详解】（84＋116）×36 ＝200×36 ＝7200（元） 11．82×225的积是( )位数，80×125的积的末尾有( )个0。 【答案】 五 4 【分析】两位数乘三位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘的结果加起来。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零。先计算，再答题。 【详解】82×225＝18450 80×125＝10000 82×225的积是五位数，80×125的积的末尾有4个0。 12．要使215×□2的积是四位数，□里最大填( )；要使215×□2的积是五位数，□里最小填( )。 【答案】 4 5 【分析】把□2看成整十数估算，再通过试算验证。 【详解】把□2看成整十数估算，先看215×40＝8600，是四位数；215×50＝10750，是五位数。 215×42 ＝215×（40＋2） ＝8600＋430 ＝9030，仍是四位数； 215×52 ＝215×（50＋2） ＝10750＋430 ＝11180，仍是五位数。 因此积为四位数时，□最大填4；积为五位数时，□最小填5。 13．小明跟随旅游团去龙泉国家森林公园游玩，一共有21人，每人238元，小明帮导游计算出了一共需要( )元，他用到的数量关系是( )。 【答案】 4998 总价＝单价×数量 【分析】已知每人费用238元相当于单价，人数21相当于数量，总费用等于人数乘每人费用；数量关系：总价＝单价×数量。 【详解】238×21＝4998（元） 小明跟随旅游团去龙泉国家森林公园游玩，一共有21人，每人238元，小明帮导游计算出了一共需要4998元，他用到的数量关系是总价＝单价×数量。 14．两个数相乘的积是420，如果其中一个因数不变，另一个因数乘2，积应该变为( )。144×12的积是( )位数。280×50的积末尾有( )个0。 【答案】 840 四 3 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，积也乘或除以相同的数； 两位数乘三位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘得的结果加起来。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零，据此算出144×12和280×50的积即可解答。 【详解】根据分析得出： 420×2＝840 144×12＝1728 280×50＝14000 两个数相乘的积是420，如果其中一个因数不变，另一个因数乘2，积应该变为840。144×12的积是四位数。280×50的积末尾有3个0。 15．1平方米的草地每天能吸收20克二氧化碳，释放15克氧气。市民广场的草地约有960平方米，每天能吸收( )克二氧化碳，释放( )克氧气。 【答案】 19200 14400 【分析】用每平方米草地每天能吸收二氧化碳的克数乘草地的面积，就是每天能吸收二氧化碳的克数；用每平方米草地每天能释放氧气的克数乘草地的面积，就是每天能释放氧气的克数；据此解答。 【详解】960×20＝19200（克） 960×15＝14400（克） 1平方米的草地每天能吸收20克二氧化碳，释放15克氧气。市民广场的草地约有960平方米，每天能吸收19200克二氧化碳，释放14400克氧气。 三、判断题 16．的积末尾有2个0。( ) 【答案】√ 【分析】先根据整数乘法的计算法则算出得数，再看积的末尾一共有几个0即可。 【详解】435×40＝17400 积的末尾有2个0。 故答案为：√ 17．三位数乘两位数，积一定大于每个因数。( ) 【答案】√ 【分析】乘数都是非0数，如134乘12，表示134的12倍，积一定是大于这两个数的，若两个数末尾都有0，如200乘20，表示200的20倍，积也一定是大于这两个数的，据此来解答。 【详解】134×12＝1608 200×20＝4000 三位数乘两位数，积一定大于每个因数，这句话是对的。 故答案为：√ 18．如果一道乘法算式中的两个乘数末尾都没有0，那么积的末尾也没有0。( ) 【答案】× 【分析】124×25＝3100，124×11＝1364，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，如果一道乘法算式中的两个乘数末尾都没有0，那么积的末尾可能有0，也可能没有0，原说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题可以通过举例说明原说法错误。 19．根据53×40＝2120，可知53×400＝21200。( ) 【答案】√ 【分析】如果一个因数扩大若干倍或缩小为原来的几分之几，另一个因数不变，那么积也扩大相同的倍数或缩小为原来的几分之几。 【详解】53×40＝2120 53×400 ＝53×（40×10） ＝53×40×10 ＝2120×10 ＝21200 即：根据53×40＝2120，可知53×400＝21200。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握积的变化规律，是解答此题的关键。 20．用竖式计算三位数乘两位数时，用两位数哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就和那一位对齐。( ) 【答案】√ 【详解】根据整数乘法的竖式计算规则：先要用两位数个位和十位上的数依次去乘三位数，用两位数哪一位上的数去乘，乘得的数末位就和那一位对齐；再把两次乘得的数相加得到计算结果，所以原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．直接写出得数。 90×80＝    11×6＝    71×5＝ 200×40＝    23×3＝    48×2＝ 60×60＝    190×10＝    130×20＝ 【答案】7200；66；355； 8000；69；96； 3600；1900；2600 【解析】略 22．用竖式计算。 575×14＝        50×204＝      350×60＝       805×24＝ 【答案】8050；10200；21000；19320 【分析】三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数与三位数相乘，所得的积末尾与个位对齐；接着用两位数的十位上的数与三位数相乘，所得的积末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加；当乘数末尾有0时，可先不让0参与计算，最后将0的个数补在积的末尾处即可。 【详解】575×14＝8050          50×204＝10200          350×60＝21000       805×24＝19320                             五、解答题 23．“草船借箭”的故事中，诸葛亮神机妙算。假如诸葛亮一艘船上一共安排了120个草垛，等满载而归时，平均每个草垛有23支箭。那么一艘船能借到多少支箭？ 【答案】 2760支 【分析】求一艘船借箭的总数量，就是求120个23是多少，用乘法计算。 【详解】（支） 答：一艘船能借到2760支箭。 24．李叔叔做蔬菜批发生意，某天他购进大蒜和土豆各85筐。大蒜每筐55元，土豆每筐45元。李叔叔本次购进蔬菜共花了多少元？ 【答案】8500元 【分析】大蒜和土豆的筐数相同，先算出1筐大蒜与1筐土豆的总价钱，再乘筐数，即为共花的钱数。 【详解】（55＋45）×85 ＝100×85 ＝8500（元） 答：李叔叔本次购进蔬菜共花了8500元。 25．新华书店要给希望小学运送900本图书，每25本扎一捆，每4捆装一箱。准备10个箱子，够吗？请用计算加以说明。 【答案】 25×4×10 ＝100×10 ＝1000（本） 答：准备10个箱子够了。 【分析】要判断10个箱子是否够用，可以用一捆扎书的本数乘一箱装书的捆数，先求出一箱可以装书的本数，再乘10，可以求出10个箱子总共能装的图书数量，再与900本比较大小。 【详解】略 26．随着人工智能和机器人的迭代，近期机器人手办十分热销。某网店上午卖出机器人手办57件，下午卖出43件，每件售价230元。一天一共卖了多少元？ 【答案】23000元 【分析】先求出全天卖出的手办总件数，再用总件数乘每件的售价。 【详解】 （元） 答：一天一共卖了23000元。 27．大沙河果园有360行苹果树，每行棵树相等。如果再栽同样的5行，就比原来增加了120棵。果园里原来有苹果树多少棵？ 【答案】 8640棵 【分析】用增加的棵数除以增加的行数求出每行的棵数，再乘360即可求解。 【详解】120÷5＝24（棵） 360×24＝8640（棵） 答：果园里原来有苹果树8640棵。 28．2023泉城马拉松以“泉水之上·奔涌向前”为主题，来自山东省内外的3万名选手参与比赛。李叔叔平均每分钟跑368米，90分钟跑了多少米？ 【答案】33120米 【分析】根据速度×时间＝路程，代入数据计算即可。 【详解】368×90＝33120（米） 答：90分钟跑了33120米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 三位数乘两位数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学整数笔算乘法体系的收官进阶内容，在两位数乘两位数的基础上，拓展为三位数乘两位数的笔算运算，完整覆盖整数乘法的核心笔算方法。 核心本质：依托十进制位值原理，将三位数乘两位数拆解为 “三位数乘个位” 与 “三位数乘十位” 两次分步乘法，再将两次部分积按数位对齐累加，最终得到完整乘积。核心是通过数位拆分实现复杂乘法向简单乘法的转化，是位值思想在乘法运算中的典型应用。 两大核心方向：一是计算维度，掌握笔算规则与巧算方法，提升运算效率与准确率；二是应用维度，以乘法为核心工具，解决复合数量关系问题与逻辑推理类问题。 2. 核心概念辨析 因数：相乘的两个数，三位数乘两位数的两个因数分别为三位数（被乘数）与两位数（乘数）。 部分积：用两位数的个位、十位分别去乘三位数得到的中间结果，也叫分层积，需按对应数位对齐。 最终积：两部分积按数位对齐相加后的结果，是乘法运算的最终输出。 估算积：通过将因数近似为整十、整百数得到的近似结果，用于快速判断结果范围、校验计算合理性。 核心区别：口算依赖数感直接得出结果，笔算依靠分步累加保障准确性，估算用于快速预判范围，三者适用场景与作用各不相同。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接两位数乘两位数的笔算方法，是小学整数乘法的最高阶与收官内容，为后续小数乘法、整数四则混合运算、复杂应用题筑牢计算基础，是小学计算能力的核心分水岭之一。 奥数价值：以三位数乘两位数为载体，延伸出乘法巧算、错中求解、竖式数字谜、积的极值构造、行程工程复合应用、特殊数规律探究等经典题型，强化运算巧算能力、逆向推理能力与几何建模思维，是小升初计算与应用模块的必考核心考点。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 三位数乘两位数笔算法则 （1）通用笔算步骤 相同数位对齐，通常将三位数写在上方，两位数写在下方，个位与个位对齐； 用两位数个位上的数去乘三位数，所得积的末位与两位数的个位对齐，得到第一部分积； 用两位数十位上的数去乘三位数，所得积的末位与两位数的十位对齐，得到第二部分积； 将两次部分积相加，得到最终的乘积。 （2）特殊情况笔算技巧 因数中间有 0：0 也要参与乘法运算，不能省略；与 0 相乘得 0 后，需加上低位的进位数，再写入对应数位。 因数末尾有 0：采用简便写法，先将 0 前面的数位对齐相乘，再看两个因数末尾一共有几个 0，就在积的末尾添上相同个数的 0。 2. 积的核心性质 （1）位数规律 三位数乘两位数，积最少是四位数，最多是五位数。 最小积：（四位数） 最大积：（五位数） 快速判断：若三位数百位与两位数十位相乘的结果≥10，则积一定是五位数；若小于 10，积通常为四位数。 （2）积的变化规律 同向变化：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也同步乘（或除以）几。 积不变规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0 除外），积保持不变。 双因数扩倍：两个因数分别扩大到原来的倍和倍，积扩大到原来的倍。 3. 乘法运算定律（巧算核心依据） 乘法交换律：两个因数交换位置，积不变。字母表示： 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。字母表示： 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可分别相乘再相加（减）。字母表示： 4. 估算方法与原则 常用方法：将两个因数分别看作与它们接近的整百、整十数，口算得出近似积。 估算原则：根据实际场景选择估大、估小或四舍五入估算；判断钱够不够时通常估大，判断容量上限时通常估小。 三、基础应用题型与标准解法 1. 标准竖式计算 题型特征：直接给出三位数乘两位数的算式，要求笔算求解，包含一般式、中间有 0、末尾有 0 等类型。 解题策略：严格遵循笔算四步法则，重点注意部分积的数位对齐；末尾有 0 时先算非 0 部分再补 0；计算完成后可通过估算快速校验结果范围是否合理。 2. 积的位数与大小判断 题型特征：不计算直接判断积是几位数，或比较多个乘法算式的积的大小。 解题策略：位数判断可通过最高位相乘是否进位快速判定；大小比较可利用积的变化规律，转化为相同因数的对比，无需计算完整结果。 3. 基础数量关系应用 题型特征：价格、行程、工程、产量等基础场景，已知每份数与份数，求总数，数据为三位数乘两位数量级。 解题策略：先识别数量模型，找准每份数与份数，代入 “每份数 × 份数 = 总数” 列式计算，注意单位统一。 4. 运算律基础简便计算 题型特征：算式中存在可凑整的组合，或因数接近整百整十数，可通过运算律简化计算。 解题策略：遇 25 找 4、遇 125 找 8，用结合律凑出整百、整千数；99、101 等接近整百的数，拆成 “整百 ±1” 的形式，用分配律口算。 5. 积的变化规律基础应用 题型特征：已知一个乘法算式的积，改变其中一个或两个因数，求变化后的积。 解题策略：根据积的变化规律，因数乘几积就乘几，因数除以几积就除以几；多个变化同步叠加时，将变化倍数相乘后再作用于原积。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）乘法巧算进阶 1. 题型特征 三位数乘两位数的算式数字存在特殊结构，或可通过运算律变形简化，直接笔算繁琐易错，通过巧算可大幅提升速度与准确率。 2. 核心巧算类型 凑整拆分型：将接近整百、整十的因数拆分为 “整百 ± 零头”，利用乘法分配律简化运算。 示例： 提取公因数型：乘加、乘减混合算式中存在公共因数，提取后合并计算；无明显公因数时，通过积不变规律构造相同因数再提取。 示例： 特殊因数巧算： 乘 11：三位数乘 11，遵循 “两边一拉，中间相加，满十进一” 的口诀，如。 乘 99：采用 “去一添补法”，原数减 1 作前半段，100 减原数作后半段，如。 乘 25、125：从另一个因数中拆分出 4、8，凑出整百、整千数，如。 重码数巧算：出现 101、1001 等特殊因数时，利用重复规律直接写结果，如，。 3. 乘除混合巧算 核心规则：同级运算可带符号搬家，优先计算能凑整、能整除的组合；括号前是乘号去括号不变号，括号前是除号去括号要变号。 示例： （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 看错数字类 题型特征：计算乘法时，将其中一个因数的某一位数字看错（如把个位的 3 看成 5），得到错误的积，求正确的积或不变的因数。 解题步骤： 结合数位权重，计算看错的因数与正确因数的实际差值； 积的差值 ÷ 因数的差值 = 不变的另一个因数； 用正确因数乘另一个因数，得到正确的积。 2. 漏写 / 多写 0 类 题型特征：将因数末尾的 0 漏写或多写，导致积扩大 / 缩小，求正确结果。 核心逻辑：因数末尾漏写一个 0，因数缩小 10 倍，积也同步缩小 10 倍，正确的积需将错误积乘 10；多写 0 则反之。 3. 因数增减类 题型特征：一个因数增加固定数值，另一个因数不变，已知积的增加量，求原因数或原积。 核心公式：不变的因数 = 积的增加量 ÷ 因数的增加量 （三）乘法竖式数字谜 1. 题型特征 三位数乘两位数的竖式中，部分数位用方框、字母或汉字代替，要求推理出所有未知数字，还原完整竖式，是培养位值推理能力的经典题型。 2. 核心解题技巧 末位突破：从个位相乘的末位数字入手，结合乘法口诀，锁定个位数字的可能取值。 首位估算：根据部分积、最终积的位数，估算最高位的数字范围，排除不可能的取值。 进位分析：每一步乘法都可能产生进位，两个一位数相乘最多进 8，结合进位约束缩小数字范围。 数位对齐验证：利用第二部分积末位对齐十位的规则，判断第二部分积的位数与对应数位。 全式验证：推理完成后，将所有数字代入完整竖式，重新计算验证每一步是否成立。 （四）积的极值构造 1. 数字组数求最值 题型特征：给定若干个不重复的数字（通常 5 个），组成一个三位数和一个两位数，求乘积最大、乘积最小的组合，是本小节经典奥数题型。 解题规律： 乘积最大：先将数字从大到小排序，遵循 “大配小、小配大” 原则，最大和次大的数字分别作两个因数的首位，剩余数字按 “大跟小首、小跟大首” 排列，确保两个因数的差值尽可能小。 乘积最小：先将数字从小到大排序，最小和次小的非 0 数字分别作两个因数的首位，剩余数字按 “小跟小首、大跟大首” 排列，确保两个因数的差值尽可能大。 示例：用 1、2、3、4、5 组成三位数乘两位数，最大为，最小为。 2. 和定积最大 题型特征：已知两个数的和固定，求它们乘积的最大值；对应几何场景为 “周长固定的长方形，求最大面积”。 核心结论：两个数的和一定时，两数越接近，乘积越大；当两数相等时，乘积达到最大值。 整数约束：若要求因数为整数，则选择数值最接近的一组，对应乘积最大。 （五）行程与工程复合应用 1. 相遇问题进阶 题型特征：两车从两地同时出发相向而行，已知速度与行驶时间，求总路程；或已知总路程与相遇时间，求速度。 核心公式：总路程 = 速度和 × 相遇时间 解题思路：先计算两车的速度和，再用乘法求出总路程，是乘法数量关系的复合应用。 2. 合作工程问题 题型特征：两队合作完成工程，已知各自的工作效率与工作时间，求工作总量。 核心公式：工作总量 = 效率和 × 合作时间 解题思路：先求出合作总效率，再乘工作时间得到总量，数据量级适配三位数乘两位数。 3. 归总问题变形 题型特征：已知单一量与份数，先求出总量，再根据新的条件求对应份数或单一量。 解题关键：总量不变，先用乘法求出固定总量，再用除法求解目标量，是乘除复合的典型应用。 （六）规律探究与定义新运算 1. 特殊数列乘法规律 题型特征：探究叠数、轮转数等特殊数的乘法规律，如、乘不同数的结果规律。 解题策略：先计算前几个简单算式，观察数字变化规律，归纳总结通用结论，再应用规律推导复杂算式的结果。 2. 乘法型定义新运算 题型特征：自定义包含乘法的新运算符号与规则，求指定算式的结果，或已知结果反求输入的数。 解题策略：严格按照定义规则代入数字，转化为常规三位数乘两位数运算；反求未知数时，根据乘除互逆关系逐步推导。 五、核心解题方法汇总 分步笔算法：基础乘法计算的通用方法，按个位乘、十位乘、累加求和三步执行，保障计算准确。 凑整巧算法：乘法巧算的核心思路，通过拆分、提取公因数、配对凑整等方式，将复杂运算转化为口算。 差量对应法：错中求解问题的核心方法，通过因数的变化量对应积的变化量，求出不变因数再推导正确结果。 位值推理法：竖式数字谜的核心思路，结合末位、首位、进位与数位对齐规则，逐步锁定未知数字。 极值构造法：乘积最值问题的通用方法，利用 “和定差小积大” 的规律，快速构造最优数字组合。 规律归纳法：规律探究类问题的核心方法，从简单算式入手归纳共性规律，再推广到复杂场景。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 积的位数判断错误：误认为三位数乘两位数积一定是五位数，忽略最小积为四位数的情况。 积不变规律记反：误认为两个因数同时乘相同的数积不变，正确应为一个乘、一个除以相同的数。 运算律混淆：乘法结合律与分配律混用，该用结合律时错误拆分，或分配律漏乘其中一项。 估算场景错配：判断钱够不够时估小，判断产量上限时估大，导致估算结论与实际相反。 2. 计算类易错点 部分积数位错位：用两位数十位去乘三位数时，积的末位与个位对齐，导致最终结果偏小 10 倍，是本单元最高频错误。 末尾 0 漏补：因数末尾有 0 时，计算完非 0 部分后，漏加对应个数的 0，导致积缩小 10 倍或 100 倍。 分配律漏项：计算时只计算，漏算；括号内有多个项时漏乘后面的项。 连续进位遗漏：多位数连续相乘时，忘记加上低位的进位，导致数位数字计算错误。 3. 应用类易错点 数字组数最值方法颠倒：求最大乘积时按 “大配大、小配小” 排列，导致两个因数差值过大，乘积偏小。 错中求解差值算错：计算因数的变化量时，直接用数字差代替位值差，忽略数位的权重，导致因数偏差计算错误。 行程问题速度单位不匹配：速度单位与时间单位不统一，未换算直接计算，导致路程结果数量级错误。 数字谜多解遗漏：只找出一组符合条件的数字，忽略其他可能的组合，导致答案不完整。 培优练习 一、选择题 1．145×12的结果比146×12的结果少（    ）。 A．1 B．12 C．145 D．146 2．用竖式计算下面第（    ）个算式的过程中，“5×8”表示的意思是500×80。 A．251×83 B．509×18 C．509×82 D．813×56 3．五年级280名学生手拉手围成一个正方形（如图），围成的这个正方形的面积接近（    ）平方米。 A．10 B．100 C．1000 D．10000 4．已知“3□6×□8”是一个三位数乘两位数的算式，下面四个数中可能是它的得数的是（    ）。 A．2948 B．11046 C．17088 D．41058 5．《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》是中国四大名著。某书店优惠促销，这套四大名著的价格是243元。学校购买26套，竖式中②表示（    ）。 A．6套一共486元 B．20套一共486元 C．6套一共4860元 D．20套一共4860元 二、填空题 6．775×16的积有( )个0；23×54的积是( )位数。 7．300×15的积的末尾有( )个0；若□35×24的积是四位数，则□里最大填( )。 8．绿草能更新空气，1平方米的草地每天释放氧气15克，吸收二氧化碳20克。长江路小学校园有绿草地250平方米，1天能释放( )克氧气，吸收( )千克二氧化碳。 9．算式□2中，□里最大填( )时，算式的结果是四位数。算式□中，□里最小填( )时，算式的结果是五位数。 10．某旅行社组织了一个旅行团，计划为36名团员购买车票，去时每人的车票是84元，返回时每人的车票是116元，购买往返车票共需花费( )元。 11．82×225的积是( )位数，80×125的积的末尾有( )个0。 12．要使215×□2的积是四位数，□里最大填( )；要使215×□2的积是五位数，□里最小填( )。 13．小明跟随旅游团去龙泉国家森林公园游玩，一共有21人，每人238元，小明帮导游计算出了一共需要( )元，他用到的数量关系是( )。 14．两个数相乘的积是420，如果其中一个因数不变，另一个因数乘2，积应该变为( )。144×12的积是( )位数。280×50的积末尾有( )个0。 15．1平方米的草地每天能吸收20克二氧化碳，释放15克氧气。市民广场的草地约有960平方米，每天能吸收( )克二氧化碳，释放( )克氧气。 三、判断题 16．的积末尾有2个0。( ) 17．三位数乘两位数，积一定大于每个因数。( ) 18．如果一道乘法算式中的两个乘数末尾都没有0，那么积的末尾也没有0。( ) 19．根据53×40＝2120，可知53×400＝21200。( ) 20．用竖式计算三位数乘两位数时，用两位数哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就和那一位对齐。( ) 四、计算题 21．直接写出得数。 90×80＝    11×6＝    71×5＝ 200×40＝    23×3＝    48×2＝ 60×60＝    190×10＝    130×20＝ 22．用竖式计算。 575×14＝        50×204＝      350×60＝       805×24＝ 五、解答题 23．“草船借箭”的故事中，诸葛亮神机妙算。假如诸葛亮一艘船上一共安排了120个草垛，等满载而归时，平均每个草垛有23支箭。那么一艘船能借到多少支箭？ 24．李叔叔做蔬菜批发生意，某天他购进大蒜和土豆各85筐。大蒜每筐55元，土豆每筐45元。李叔叔本次购进蔬菜共花了多少元？ 25．新华书店要给希望小学运送900本图书，每25本扎一捆，每4捆装一箱。准备10个箱子，够吗？请用计算加以说明。 26．随着人工智能和机器人的迭代，近期机器人手办十分热销。某网店上午卖出机器人手办57件，下午卖出43件，每件售价230元。一天一共卖了多少元？ 27．大沙河果园有360行苹果树，每行棵树相等。如果再栽同样的5行，就比原来增加了120棵。果园里原来有苹果树多少棵？ 28．2023泉城马拉松以“泉水之上·奔涌向前”为主题，来自山东省内外的3万名选手参与比赛。李叔叔平均每分钟跑368米，90分钟跑了多少米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $