第五单元 十进制计数法（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 以位值原理为核心，系统构建十进制计数法从概念辨析到奥数进阶的方法体系，通过分层题型实现知识逻辑与解题能力的协同提升，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|核心概念+性质|位值本质解析|从定义（位值制+十进制）到性质（进率/数位/数字和）递进| |基础应用|5类基础题型|进率换算/位值差值等标准解法|概念直接应用，巩固底层逻辑| |奥数进阶|6类高频题型|位值拆解/分级统计/进位规律等6大方法|从基础到拓展，训练推理与迁移能力| |方法汇总|系统方法提炼|提炼通用解题策略|方法与题型对应，形成完整解题体系|

第五单元 十进制计数法（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是整数认知体系的底层原理单元，以 “满十进一” 为核心规则，系统讲解十进制位值计数法的运行逻辑，是认识万以上大数的理论依据，也是整个整数运算体系的基石。 核心本质：十进制计数法是位值制 + 十进制的结合体，一方面通过数位位置决定数字的权重（计数单位），另一方面规定相邻计数单位进率为 10，低位满 10 向高位进 1，高位退 1 可抵 10 个低位单位，实现了用有限数字表示无穷大数的可能。 核心研究方向：计数单位的层级关系、位值的数量意义、进位退位的底层规律、不同计数法的对比与转换。 2. 核心概念辨析 计数法：记录与表示数的规则体系，十进制计数法是最通用的整数计数方法。 位值制：同一个数字在不同的数位上代表不同的数值大小，位置越靠左权重越高，是十进制计数法的核心机制。 进位制：计数时满多少向高位进 1 的规则，十进制的进位基数是 10，即 “满十进一”。 核心区别：位值制解决 “数字位置的意义” 问题，进位制解决 “低位满额如何升级” 问题，二者共同构成完整的十进制计数规则。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接万以内数的认识与万以上大数的读写，从 “会用大数” 深入到 “理解大数的计数原理”，完善整数认知的底层逻辑，为后续大数运算、数论知识提供原理支撑。 奥数价值：延伸出位值原理计算、数字和规律、进制转换、特殊数规律、位值型数字谜等经典数论题型，训练抽象位值思维、归纳推理能力与进制迁移能力，是小学数论入门的核心基础考点，也是小升初数字问题的高频命题方向。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 十进制计数法的核心规则 （1）满十进一规则 每相邻两个计数单位之间的进率是 10：10 个一等于 1 个十，10 个十等于 1 个百，10 个千万等于 1 个亿，以此类推。 正向进位：低位计数单位累计满 10，就向相邻高位进 1，低位清零。 反向退位：高位的 1 个单位，等于相邻低位的 10 个单位，用于退位减法。 （2）数位与计数单位对应体系 从右到左形成完整的数位层级，数位与计数单位一一对应： 数级 亿级 万级 个级 数位 千亿位、百亿位、十亿位、亿位 千万位、百万位、十万位、万位 千位、百位、十位、个位 计数单位 千亿、百亿、十亿、亿 千万、百万、十万、万 千、百、十、个 （3）四位一级的分层规则 为简化大数读写，从右往左每 4 个数位划分为一个数级：个级、万级、亿级。 每一级内部都遵循完整的十进制结构，计数逻辑与个级完全一致； 相邻数级之间的进率是 10000，即 1 万 = 10000 个一，1 亿 = 10000 个万。 2. 位值原理核心内涵 位值原理是十进制计数法的灵魂，也是所有位值类奥数题的核心依据。 双重决定因素：一个数位上的数值，由 “数字本身的大小” 和 “数位的权重（计数单位）” 共同决定。 示例：数字 “6” 在个位表示 6 个一，在万位表示 6 个万，数值相差 10000 倍。 位值表达式：任意多位数都可以拆分为 “各数位数字 × 对应计数单位” 的和。 示例：五位数 位值差规律：同一个数字从低位移到高位，数值增加量 = 数字 ×（高位计数单位 − 低位计数单位）。 3. 不相邻计数单位的进率计算 计算方法：两个数位之间间隔几个数位，进率就是 10 的几次方。 示例：个位到万位间隔 4 个数位，进率是；十万位到亿位间隔 3 个数位，进率是。 通用结论：高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 4. 数字和的基础性质 十进制下，数字和与数的整除性存在天然关联，是奥数高频考点： 一个数除以 3 的余数，等于它的各位数字之和除以 3 的余数； 一个数除以 9 的余数，等于它的各位数字之和除以 9 的余数（弃九法原理）； 推论：能被 3 整除的数，数字和一定是 3 的倍数；能被 9 整除的数，数字和一定是 9 的倍数。 5. 进位对数字和的影响 加法运算中，进位会直接改变数字和的大小，是核心规律： 每发生 1 次进位，相加后的数字和会比两个数的数字和总和减少 9； 原理：低位满 10 向高位进 1，低位减少 10，高位增加 1，总计减少。 三、基础应用题型与标准解法 1. 计数单位进率换算 题型特征：判断不同计数单位的换算关系，如 “多少个十万是一千万”“100 个百万是多少”。 解题策略：先定位两个计数单位对应的数位，数出间隔位数确定进率，再通过乘除法完成换算；牢记 “相邻进率 10，隔位逐级乘 10”。 2. 数位位值差值计算 题型特征：同一个数字在不同数位上，求它们的数值差；或已知位值差反推数字。 解题策略：分别计算两个数位上的位值（数字 × 计数单位），再求差值；逆向求解时，用位值差除以数位进率差，得到对应的数字。 3. 数的组成与拆分 题型特征：给出若干个计数单位的数量，组合成完整的数；或把一个大数按数级拆分为亿、万、个的组合。 解题策略：借助数位顺序表，按级填充数字，缺位补 0；拆分时从右往左四位分级，每级的数值对应 “多少个该级单位”。 4. 十进制概念辨析判断 题型特征：判断关于计数法、进率、数位的表述是否正确。 解题策略：紧扣核心定义，重点排查 “相邻”“位值”“数级” 等关键词；常见陷阱是省略 “相邻” 直接说 “计数单位进率都是 10”。 5. 基础数字和计算 题型特征：计算一个多位数的数字和，或已知数字和补全某一位的数字。 解题策略：直接将各位数字相加求和；补全数位时，用目标数字和减去已知数字和，得到空缺位的数字，注意单个数位最大为 9。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）位值原理进阶应用 1. 数字换位和差问题 题型特征：交换多位数中两个数字的位置，已知新数与原数的和或差，求数字的差值、和值，或还原原数。 核心规律： 两位数交换十位与个位：两数之差是 9 的倍数，差值 = 9×(十位数字与个位数字的差)；两数之和是 11 的倍数，和值 = 11×(两个数字的和)。 三位数交换百位与个位：两数之差是 99 的倍数，差值 = 99×(百位数字与个位数字的差)。 解题策略：用位值表达式写出原数与新数，通过化简得到差 / 和与数字差 / 和的倍数关系，直接计算即可。 2. 整体位值代换 题型特征：已知数位数字的和差关系，求多位数组合的数值，无需算出每个数字的具体值。 解题策略：将目标多位数拆解为位值表达式，整理提取公共系数，把已知的数字和 / 差整体代入计算，实现简化运算。 示例：已知，则。 3. 数位倍数关系推理 题型特征：已知多位数各数位之间的倍数、和差关系，求完整的多位数。 解题策略：从最高位入手，结合 “数位数字取值 0-9、最高位不为 0” 的约束，先确定最高位的可能范围，再依次推导后续数位，枚举验证所有符合条件的组合。 （二）数字和专题（奥数高频核心考点） 1. 连续自然数数字和求和 题型特征：求 1 到 n 所有自然数的数字之和，如求 1~100 的所有数字总和。 解题方法：按数位分级统计法 分别统计个位、十位、百位上每个数字出现的次数； 计算每一数位的数字总和（数字和 × 出现次数）； 将各数位的总和相加，得到总数字和。 技巧：整十、整百范围可按周期对称计算，0 不影响数字和，可补位后统一计算。 2. 进位与数字和变化 题型特征：已知两个数的数字和，或已知一个数加上固定数值，求运算后的数字和；或已知数字和变化，求进位次数。 核心公式：最终数字和 = 原数字和总和 − 进位次数 × 9 解题策略：先计算无进位时的数字和，再根据实际进位次数扣除对应数值；逆向求解时，用数字和的减少量除以 9，得到总进位次数。 3. 弃九法的应用 题型特征：快速校验多位数加减法的计算结果是否正确，或判断多位数能否被 3、9 整除。 解题方法： 校验计算：分别计算等式两边的数字和除以 9 的余数，若余数不同则计算一定错误。 整除判断：数字和是 3/9 的倍数，则原数能被 3/9 整除；补全数位时，根据余数反推空缺数字。 （三）进制转换与拓展 1. 十进制转二进制 / 八进制 题型特征：将十进制整数转换为二进制、八进制等其他进制数。 通用方法：除基取余法 用十进制数反复除以目标进制的基数（二进制除 2，八进制除 8）； 记录每一次的余数，直到商为 0； 从最后一次的余数到第一次的余数倒序排列，即为转换结果。 2. 其他进制转十进制 题型特征：将二进制、八进制数转换为十进制数。 解题方法：位值求和法 从右往左给每一位标注位次（从 0 开始）； 每一位数字乘 “进制的对应位次次方”； 将所有位的计算结果相加，即为对应的十进制数。 3. 进制应用初步 典型场景：砝码称重问题、信息编码问题，理解不同进制的实际价值。 核心认知：二进制只用 0 和 1 两个数字，是计算机的基础计数法；进制基数越小，表示相同数需要的数位越多，但数字符号越少。 （四）十进制特殊数规律 1. 重码数规律 特征：数字段重复出现的多位数，如 123123、454545。 核心规律： 原理：基于位值拆分推导，可用于大数巧算、数字拆分。 2. 叠数规律 特征：相同数字组成的多位数，如 333、7777。 核心规律： 应用：叠数乘一位数可快速口算，叠数相关计算可提取公共系数简化。 3. 轮转数初步 特征：数字按顺序循环移位的数，典型如 142857。 规律：特定轮转数乘 1~6 的结果，仍是原数字的循环移位，本质是位值循环的十进制特性。 （五）位值型数字谜 1. 两位数位值谜 题型特征：如 “学习 + 习学 = 99”“”，通过位值关系求解字母代表的数字。 解题策略：将两位数拆解为位值表达式，化简后得到数字和或数字差，再枚举验证。 2. 多位数竖式数字谜 题型特征：加减法竖式中，结合进位退位与位值关系，推理每个符号代表的数字。 解题技巧： 从首位、末位突破，确定边界数字； 利用进位次数与数字和的关系辅助判断； 求出结果后代入完整竖式，验证所有数位均成立。 （六）限定条件组数进阶 1. 数字和固定的组数计数 题型特征：用数字组成指定位数的数，要求数字和为固定值，求符合条件的数的总个数。 解题策略：按最高位从小到大分类枚举，每一类中有序列举剩余数位的组合；严格遵守 “首位不为 0、单个数位 0-9” 的约束。 2. 数字和固定的极值组数 题型特征：位数固定、数字和固定，求能组成的最大数、最小数。 解题规律： 最大数：高位数字尽可能大，低位补 0，把数字和集中在左侧数位； 最小数：最高位取最小非 0 数，剩余数字和集中在右侧低位，让低位数字尽可能大。 五、核心解题方法汇总 位值拆解法：位值类问题的核心方法，将多位数按数位拆分为 “数字 × 计数单位” 的和，转化为代数等式推理。 分级统计法：计算连续数数字和的标准方法，按个位、十位、百位分别统计，累加得到总数字和。 进位规律法：利用 “每进位一次数字和减 9” 的规律，快速求解数字和变化、进位次数问题。 除基取余法：十进制转其他进制的通用方法，反复除以进制基数记录余数，倒序读取结果。 弃九校验法：利用数字和与 9 的余数关系，快速校验计算结果、判断整除性、补全数位数字。 有序枚举法：组数、数位推理类问题的基础方法，结合取值范围分类讨论，避免重复与遗漏。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 进率忽略 “相邻” 前提：误认为任意两个计数单位的进率都是 10，忽略不相邻单位的进率是 10 的 n 次方。 数位与计数单位混淆：将 “万位” 表述为计数单位，或将 “万” 表述为数位，概念对应关系错位。 位值理解片面：只关注数字本身，忽略数位权重，误以为相同数字在不同数位代表的数值相同。 进制转换顺序错误：十进制转其他进制时，按余数出现的正序排列结果，正确应为从最后一次余数向前倒序读取。 2. 计算类易错点 不相邻进率算错：计算两个数位的进率时，数错间隔的数位个数，导致进率相差 10 倍。 数字和漏扣进位：计算加法后的数字和时，忘记扣除进位带来的减少量，导致结果偏大。 换位差倍数记错：两位数交换数位的差误记为 10 倍数字差，正确应为 9 倍；三位数交换百位个位的差误记为 90 倍，正确应为 99 倍。 重码数系数错配：拆分重复结构大数时，重复段与固定系数不匹配，导致拆分后的等式不成立。 3. 应用类易错点 组数忽略首位非 0：数字和固定组数时，允许最高位取 0，导致出现位数不足的数，计数结果偏多。 数字和统计重复：按数位统计连续数数字和时，某一数位的数字出现次数算错，导致总和偏差。 数字谜多进位遗漏：连续数位发生进位时，只计算一次进位，忽略进位的传递性，推理出错误数字。 弃九法误用范围：用数字和判断能否被 2、5、4 整除，混淆了不同数的整除判定依据。 培优练习 一、选择题 1．下面各数中的“5”表示5个万的是（    ）。 A．345000 B．1356700 C．481760588 D．306518200 2．下面各数中，一个“零”也不读的是（    ）。 A．50608000 B．56008000 C．56000800 D．50068000 3．一个数改写成用“万”作单位的数是803万，这个数是（    ）位数。 A．四 B．五 C．六 D．七 4．一个数由4个千万、9个十万和1个万组成，这个数是（    ）。 A．4091万 B．4910万 C．4091000 D．4910000 5．远古时期人们用结绳来计数，猎人在从右往左依次排列的绳子上打结来表示猎物的数量。如果按照满七进一的方法，图上表示有18只猎物，如果按照满五进一的方法，图中猎物的只数应该是（    ）。 A．14 B．24 C．22 D．42 二、填空题 6．截至2020年12月4日，全球新冠确诊患者累计确诊65605632人，这是一个________位数，最高位是________位，读作__________；从右往左数，第一个5表示________，第二个5表示__________。 7．2026年春节荆州文旅彻底火出圈，直接跻身全国热门旅游城市20强，实现旅游综合收入7025100000元，将这个数改写成用“万”作单位的数是( )万元，改写成用“亿”作单位的数是( )亿元。 8．一个数的亿位、千万位和十万位上都是8，其他数位上都是0，这个数写作( )，把这个数改写成用“万”作单位的数是( )万。 9．一个数由8个十亿、5个百万、9个百和4个一组成，这个数写作( )，读作( )，它是一个( )位数。 10．正阳是全国重要的花生大县，高峰时年产花生达5060000000kg，画横线的数读作( )改写成用“万吨”作单位的数是( )万吨。 11．如图1，从右到左依次在绳子上打结，满六进一，它表示的数是91（1＋3×6＋2×6×6＝91）。按同样的方法，图2表示的数是( )。 12．宝鸡青铜器博物院的镇馆之宝何尊，重约14.6千克，这个数的整数部分是( )，表示( )个1，十分位上的数是( )，表示( )个0.1。 13．2025年春运期间，铁路12306系统单日售票量最高达21626000张。横线上的数从右往左数第一个“2”表示( )，第二个“2”表示( )。 14．两个相邻自然数中，如果较小的数为x，则较大的数是( )，如果这两个数的和是109，这两个数分别是( )和( )。 15．一个自然数，各个数位上的数之和是15，并且各个数位上的数都不相同，符合条件的数中，最小是( )，最大是( )。 三、判断题 16．演唱会宣传海报上写着数字“80000”和“8万”大小相等，计数单位也相同。( ) 17．一个多位数含有亿级、万级和个级，那么这个多位数最少是十位数。( ) 18．一千万里面有10个百万，十万里面有10个一万。( ) 19．一个数的最高位是千万位，这个数一定是八位数。( ) 20．一个数的最高位是十亿位，这是一个九位数。( ) 四、解答题 21．一个七位数，个位上是6，十位上是7，且任意相邻的三个数位上的数字之和都是16，这个七位数是多少？ 22．小马虎抄写一个七位数，将最高位上的8写成了3，将十位上的1写成了7，写成的七位数比原来的数小了多少？ 23．一个七位数的百万位、万位和个位上的数字都不为0，且这三个数字的和是5，其他各数位上的数字都是0。这个七位数可能是多少？ 24．一个四位数的密码，它的大小在6000与7000之间，百位数字是8，十位数字与个位数字相同，它们两个的和为4，这个密码是多少？ 25．一个六位数最高位是最大的一位数，万位、百位、个位上的数字都是最小的自然数，千位和十位上的数差为4且千位和十位上的数均不为0，该六位数可能是多少？ 26．一个四位数，它的十位上的数字是6，百位上的数比十位上的数少3，千位上的数比十位上的数多1，个位上是最大的一位数，这个数是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 十进制计数法（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是整数认知体系的底层原理单元，以 “满十进一” 为核心规则，系统讲解十进制位值计数法的运行逻辑，是认识万以上大数的理论依据，也是整个整数运算体系的基石。 核心本质：十进制计数法是位值制 + 十进制的结合体，一方面通过数位位置决定数字的权重（计数单位），另一方面规定相邻计数单位进率为 10，低位满 10 向高位进 1，高位退 1 可抵 10 个低位单位，实现了用有限数字表示无穷大数的可能。 核心研究方向：计数单位的层级关系、位值的数量意义、进位退位的底层规律、不同计数法的对比与转换。 2. 核心概念辨析 计数法：记录与表示数的规则体系，十进制计数法是最通用的整数计数方法。 位值制：同一个数字在不同的数位上代表不同的数值大小，位置越靠左权重越高，是十进制计数法的核心机制。 进位制：计数时满多少向高位进 1 的规则，十进制的进位基数是 10，即 “满十进一”。 核心区别：位值制解决 “数字位置的意义” 问题，进位制解决 “低位满额如何升级” 问题，二者共同构成完整的十进制计数规则。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接万以内数的认识与万以上大数的读写，从 “会用大数” 深入到 “理解大数的计数原理”，完善整数认知的底层逻辑，为后续大数运算、数论知识提供原理支撑。 奥数价值：延伸出位值原理计算、数字和规律、进制转换、特殊数规律、位值型数字谜等经典数论题型，训练抽象位值思维、归纳推理能力与进制迁移能力，是小学数论入门的核心基础考点，也是小升初数字问题的高频命题方向。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 十进制计数法的核心规则 （1）满十进一规则 每相邻两个计数单位之间的进率是 10：10 个一等于 1 个十，10 个十等于 1 个百，10 个千万等于 1 个亿，以此类推。 正向进位：低位计数单位累计满 10，就向相邻高位进 1，低位清零。 反向退位：高位的 1 个单位，等于相邻低位的 10 个单位，用于退位减法。 （2）数位与计数单位对应体系 从右到左形成完整的数位层级，数位与计数单位一一对应： 数级 亿级 万级 个级 数位 千亿位、百亿位、十亿位、亿位 千万位、百万位、十万位、万位 千位、百位、十位、个位 计数单位 千亿、百亿、十亿、亿 千万、百万、十万、万 千、百、十、个 （3）四位一级的分层规则 为简化大数读写，从右往左每 4 个数位划分为一个数级：个级、万级、亿级。 每一级内部都遵循完整的十进制结构，计数逻辑与个级完全一致； 相邻数级之间的进率是 10000，即 1 万 = 10000 个一，1 亿 = 10000 个万。 2. 位值原理核心内涵 位值原理是十进制计数法的灵魂，也是所有位值类奥数题的核心依据。 双重决定因素：一个数位上的数值，由 “数字本身的大小” 和 “数位的权重（计数单位）” 共同决定。 示例：数字 “6” 在个位表示 6 个一，在万位表示 6 个万，数值相差 10000 倍。 位值表达式：任意多位数都可以拆分为 “各数位数字 × 对应计数单位” 的和。 示例：五位数 位值差规律：同一个数字从低位移到高位，数值增加量 = 数字 ×（高位计数单位 − 低位计数单位）。 3. 不相邻计数单位的进率计算 计算方法：两个数位之间间隔几个数位，进率就是 10 的几次方。 示例：个位到万位间隔 4 个数位，进率是；十万位到亿位间隔 3 个数位，进率是。 通用结论：高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 4. 数字和的基础性质 十进制下，数字和与数的整除性存在天然关联，是奥数高频考点： 一个数除以 3 的余数，等于它的各位数字之和除以 3 的余数； 一个数除以 9 的余数，等于它的各位数字之和除以 9 的余数（弃九法原理）； 推论：能被 3 整除的数，数字和一定是 3 的倍数；能被 9 整除的数，数字和一定是 9 的倍数。 5. 进位对数字和的影响 加法运算中，进位会直接改变数字和的大小，是核心规律： 每发生 1 次进位，相加后的数字和会比两个数的数字和总和减少 9； 原理：低位满 10 向高位进 1，低位减少 10，高位增加 1，总计减少。 三、基础应用题型与标准解法 1. 计数单位进率换算 题型特征：判断不同计数单位的换算关系，如 “多少个十万是一千万”“100 个百万是多少”。 解题策略：先定位两个计数单位对应的数位，数出间隔位数确定进率，再通过乘除法完成换算；牢记 “相邻进率 10，隔位逐级乘 10”。 2. 数位位值差值计算 题型特征：同一个数字在不同数位上，求它们的数值差；或已知位值差反推数字。 解题策略：分别计算两个数位上的位值（数字 × 计数单位），再求差值；逆向求解时，用位值差除以数位进率差，得到对应的数字。 3. 数的组成与拆分 题型特征：给出若干个计数单位的数量，组合成完整的数；或把一个大数按数级拆分为亿、万、个的组合。 解题策略：借助数位顺序表，按级填充数字，缺位补 0；拆分时从右往左四位分级，每级的数值对应 “多少个该级单位”。 4. 十进制概念辨析判断 题型特征：判断关于计数法、进率、数位的表述是否正确。 解题策略：紧扣核心定义，重点排查 “相邻”“位值”“数级” 等关键词；常见陷阱是省略 “相邻” 直接说 “计数单位进率都是 10”。 5. 基础数字和计算 题型特征：计算一个多位数的数字和，或已知数字和补全某一位的数字。 解题策略：直接将各位数字相加求和；补全数位时，用目标数字和减去已知数字和，得到空缺位的数字，注意单个数位最大为 9。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）位值原理进阶应用 1. 数字换位和差问题 题型特征：交换多位数中两个数字的位置，已知新数与原数的和或差，求数字的差值、和值，或还原原数。 核心规律： 两位数交换十位与个位：两数之差是 9 的倍数，差值 = 9×(十位数字与个位数字的差)；两数之和是 11 的倍数，和值 = 11×(两个数字的和)。 三位数交换百位与个位：两数之差是 99 的倍数，差值 = 99×(百位数字与个位数字的差)。 解题策略：用位值表达式写出原数与新数，通过化简得到差 / 和与数字差 / 和的倍数关系，直接计算即可。 2. 整体位值代换 题型特征：已知数位数字的和差关系，求多位数组合的数值，无需算出每个数字的具体值。 解题策略：将目标多位数拆解为位值表达式，整理提取公共系数，把已知的数字和 / 差整体代入计算，实现简化运算。 示例：已知，则。 3. 数位倍数关系推理 题型特征：已知多位数各数位之间的倍数、和差关系，求完整的多位数。 解题策略：从最高位入手，结合 “数位数字取值 0-9、最高位不为 0” 的约束，先确定最高位的可能范围，再依次推导后续数位，枚举验证所有符合条件的组合。 （二）数字和专题（奥数高频核心考点） 1. 连续自然数数字和求和 题型特征：求 1 到 n 所有自然数的数字之和，如求 1~100 的所有数字总和。 解题方法：按数位分级统计法 分别统计个位、十位、百位上每个数字出现的次数； 计算每一数位的数字总和（数字和 × 出现次数）； 将各数位的总和相加，得到总数字和。 技巧：整十、整百范围可按周期对称计算，0 不影响数字和，可补位后统一计算。 2. 进位与数字和变化 题型特征：已知两个数的数字和，或已知一个数加上固定数值，求运算后的数字和；或已知数字和变化，求进位次数。 核心公式：最终数字和 = 原数字和总和 − 进位次数 × 9 解题策略：先计算无进位时的数字和，再根据实际进位次数扣除对应数值；逆向求解时，用数字和的减少量除以 9，得到总进位次数。 3. 弃九法的应用 题型特征：快速校验多位数加减法的计算结果是否正确，或判断多位数能否被 3、9 整除。 解题方法： 校验计算：分别计算等式两边的数字和除以 9 的余数，若余数不同则计算一定错误。 整除判断：数字和是 3/9 的倍数，则原数能被 3/9 整除；补全数位时，根据余数反推空缺数字。 （三）进制转换与拓展 1. 十进制转二进制 / 八进制 题型特征：将十进制整数转换为二进制、八进制等其他进制数。 通用方法：除基取余法 用十进制数反复除以目标进制的基数（二进制除 2，八进制除 8）； 记录每一次的余数，直到商为 0； 从最后一次的余数到第一次的余数倒序排列，即为转换结果。 2. 其他进制转十进制 题型特征：将二进制、八进制数转换为十进制数。 解题方法：位值求和法 从右往左给每一位标注位次（从 0 开始）； 每一位数字乘 “进制的对应位次次方”； 将所有位的计算结果相加，即为对应的十进制数。 3. 进制应用初步 典型场景：砝码称重问题、信息编码问题，理解不同进制的实际价值。 核心认知：二进制只用 0 和 1 两个数字，是计算机的基础计数法；进制基数越小，表示相同数需要的数位越多，但数字符号越少。 （四）十进制特殊数规律 1. 重码数规律 特征：数字段重复出现的多位数，如 123123、454545。 核心规律： 原理：基于位值拆分推导，可用于大数巧算、数字拆分。 2. 叠数规律 特征：相同数字组成的多位数，如 333、7777。 核心规律： 应用：叠数乘一位数可快速口算，叠数相关计算可提取公共系数简化。 3. 轮转数初步 特征：数字按顺序循环移位的数，典型如 142857。 规律：特定轮转数乘 1~6 的结果，仍是原数字的循环移位，本质是位值循环的十进制特性。 （五）位值型数字谜 1. 两位数位值谜 题型特征：如 “学习 + 习学 = 99”“”，通过位值关系求解字母代表的数字。 解题策略：将两位数拆解为位值表达式，化简后得到数字和或数字差，再枚举验证。 2. 多位数竖式数字谜 题型特征：加减法竖式中，结合进位退位与位值关系，推理每个符号代表的数字。 解题技巧： 从首位、末位突破，确定边界数字； 利用进位次数与数字和的关系辅助判断； 求出结果后代入完整竖式，验证所有数位均成立。 （六）限定条件组数进阶 1. 数字和固定的组数计数 题型特征：用数字组成指定位数的数，要求数字和为固定值，求符合条件的数的总个数。 解题策略：按最高位从小到大分类枚举，每一类中有序列举剩余数位的组合；严格遵守 “首位不为 0、单个数位 0-9” 的约束。 2. 数字和固定的极值组数 题型特征：位数固定、数字和固定，求能组成的最大数、最小数。 解题规律： 最大数：高位数字尽可能大，低位补 0，把数字和集中在左侧数位； 最小数：最高位取最小非 0 数，剩余数字和集中在右侧低位，让低位数字尽可能大。 五、核心解题方法汇总 位值拆解法：位值类问题的核心方法，将多位数按数位拆分为 “数字 × 计数单位” 的和，转化为代数等式推理。 分级统计法：计算连续数数字和的标准方法，按个位、十位、百位分别统计，累加得到总数字和。 进位规律法：利用 “每进位一次数字和减 9” 的规律，快速求解数字和变化、进位次数问题。 除基取余法：十进制转其他进制的通用方法，反复除以进制基数记录余数，倒序读取结果。 弃九校验法：利用数字和与 9 的余数关系，快速校验计算结果、判断整除性、补全数位数字。 有序枚举法：组数、数位推理类问题的基础方法，结合取值范围分类讨论，避免重复与遗漏。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 进率忽略 “相邻” 前提：误认为任意两个计数单位的进率都是 10，忽略不相邻单位的进率是 10 的 n 次方。 数位与计数单位混淆：将 “万位” 表述为计数单位，或将 “万” 表述为数位，概念对应关系错位。 位值理解片面：只关注数字本身，忽略数位权重，误以为相同数字在不同数位代表的数值相同。 进制转换顺序错误：十进制转其他进制时，按余数出现的正序排列结果，正确应为从最后一次余数向前倒序读取。 2. 计算类易错点 不相邻进率算错：计算两个数位的进率时，数错间隔的数位个数，导致进率相差 10 倍。 数字和漏扣进位：计算加法后的数字和时，忘记扣除进位带来的减少量，导致结果偏大。 换位差倍数记错：两位数交换数位的差误记为 10 倍数字差，正确应为 9 倍；三位数交换百位个位的差误记为 90 倍，正确应为 99 倍。 重码数系数错配：拆分重复结构大数时，重复段与固定系数不匹配，导致拆分后的等式不成立。 3. 应用类易错点 组数忽略首位非 0：数字和固定组数时，允许最高位取 0，导致出现位数不足的数，计数结果偏多。 数字和统计重复：按数位统计连续数数字和时，某一数位的数字出现次数算错，导致总和偏差。 数字谜多进位遗漏：连续数位发生进位时，只计算一次进位，忽略进位的传递性，推理出错误数字。 弃九法误用范围：用数字和判断能否被 2、5、4 整除，混淆了不同数的整除判定依据。 培优练习 一、选择题 1．下面各数中的“5”表示5个万的是（    ）。 A．345000 B．1356700 C．481760588 D．306518200 【答案】B 【分析】要判断各数中的“5”是否表示5个万，只需看“5”是否在万位上即可。 【详解】A．345000中“5”在千位，表示5个千，不符合题意； B．1356700中“5”在万位，表示5个万，符合题意； C．481760588中“5”在百位，表示5个百，不符合题意； D．306518200中“5”在十万位，表示5个十万，不符合题意。 2．下面各数中，一个“零”也不读的是（    ）。 A．50608000 B．56008000 C．56000800 D．50068000 【答案】B 【分析】读数前先将数从右往左每四位分为一级，分别是个级、万级、亿级；读数时每一级末尾的0都不读，其余数位上有1个0或者连续多个0，都只读1个零。 【详解】A． ，分级为万级5060、个级8000，读作：五千零六十万八千，读1个零，不符合要求。 B． ，分级为万级5600、个级8000，读作：五千六百万八千，一个零都不读，符合要求。 C． ，分级为万级5600、个级0800，读作：五千六百万零八百，读1个零，不符合要求。 D． ，分级为万级5006、个级8000，读作：五千零六万八千，读1个零，不符合要求。 3．一个数改写成用“万”作单位的数是803万，这个数是（    ）位数。 A．四 B．五 C．六 D．七 【答案】D 【分析】整万数改写时，去掉末尾的0，直接加“万”字，数的大小不变。1万，即表示末尾有4个0。将万还原为整数，即在后面补上4个 ，再数出总位数即可。 【详解】万。数出 的数字个数，共有7个数字。所以这个数是七位数。 4．一个数由4个千万、9个十万和1个万组成，这个数是（    ）。 A．4091万 B．4910万 C．4091000 D．4910000 【答案】A 【分析】根据计数单位确定各个数位上的数字，利用数位顺序表写出这个数，再将其改写成用“万”作单位的数，最后与选项进行对比。 【详解】1．这个数由4个千万、9个十万和1个万组成。也就是千万位上的数字是4，十万位上的数字是9，万位上的数字是1。百万位、千位、百位、十位、个位上没有计数单位，用0占位。 2．按照数位顺序表，从高位到低位一级一级地写，这个数写作：40910000。 3．改写成用“万”作单位：去掉个级里的4个0，同时在后面加上“万”字。40910000＝4091万。 5．远古时期人们用结绳来计数，猎人在从右往左依次排列的绳子上打结来表示猎物的数量。如果按照满七进一的方法，图上表示有18只猎物，如果按照满五进一的方法，图中猎物的只数应该是（    ）。 A．14 B．24 C．22 D．42 【答案】A 【分析】如果按照满七进一的方法，左边绳子上一个绳结代表7只猎物，右边绳子上一个绳结代表1只猎物，猎物总只数为7×2＋4＝14＋4＝18只，据此解答。 【详解】5×2＋4 ＝10＋4 ＝14（只） 所以，如果按照满五进一的方法，图中猎物的只数应该是14只。 故答案为：A 【点睛】理解每个绳结代表猎物的数量是解答题目的关键。 二、填空题 6．截至2020年12月4日，全球新冠确诊患者累计确诊65605632人，这是一个________位数，最高位是________位，读作__________；从右往左数，第一个5表示________，第二个5表示__________。 【答案】 八 千万 六千五百六十万五千六百三十二 5个千 5个百万 【分析】先数“65605632”这个数有几个数字，这个数就是几位数。 按照数位顺序表，八位数的最高位是千万位。 整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。 从右往左数，第一个5在千位，表示5个千。第二个5在百万位，表示5个百万。 【详解】“65605632”这个数有8个数字，是一个八位数，最高位是千万位，这个数读作六千五百六十万五千六百三十二。从右往左数，第一个5表示5个千，第二个5表示5个百万。 7．2026年春节荆州文旅彻底火出圈，直接跻身全国热门旅游城市20强，实现旅游综合收入7025100000元，将这个数改写成用“万”作单位的数是( )万元，改写成用“亿”作单位的数是( )亿元。 【答案】 702510 70.251 【分析】先明确“万”和“亿”对应的单位换算量级，1万等于10000，1亿等于100000000。 如果要将原数改写成用“万”作单位的数，那么将原数除以10000，也就是把原数的小数点向左移动4位，之后添加“万”单位。 如果要将原数改写成用“亿”作单位的数，那么将原数除以100000000，也就是把原数的小数点向左移动8位，之后添加“亿”单位。 【详解】7025100000改写成用“万”作单位的数是702510万，改写成用“亿”作单位的数是70.251亿。 8．一个数的亿位、千万位和十万位上都是8，其他数位上都是0，这个数写作( )，把这个数改写成用“万”作单位的数是( )万。 【答案】 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写， 哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0，即可写出此数； 改写成用“万”作单位的数，就是去掉万位后面的4个0，再在数的后面写上“万”字。 【详解】一个数的亿位、千万位和十万位上都是8，其他数位上都是0，这个数写作880800000，把这个数改写成用“万”作单位的数是88080万。 9．一个数由8个十亿、5个百万、9个百和4个一组成，这个数写作( )，读作( )，它是一个( )位数。 【答案】 8005000904 八十亿零五百万零九百零四 十 【分析】根据数的组成写数，先确定各个数位对应的计数单位，其余数位补0；读数按照四位分级法，从高位依次读出；最后数出数字总个数确定位数。 【详解】8个十亿：十亿位写8 5个百万：百万位写5 9个百：百位写9 4个一：个位写4 其余数位填0 这个数写作：8005000904 读作：八十亿零五百万零九百零四 这个数一共有10个数字，是十位数。 10．正阳是全国重要的花生大县，高峰时年产花生达5060000000kg，画横线的数读作( )改写成用“万吨”作单位的数是( )万吨。 【答案】 五十亿六千万 506 【分析】这个数是10位数，从右往左每4个数为一级，分为个级、万级、亿级，亿级是“50”读作五十亿，万级是“6000”读作六千万，个级都是0不用读，据此读数； 根据1吨＝1000千克，先转化单位，再将末尾的4个零去掉，加上“万”字即可。 【详解】5060000000读作五十亿六千万； 5060000000千克＝5060000吨＝506万吨 11．如图1，从右到左依次在绳子上打结，满六进一，它表示的数是91（1＋3×6＋2×6×6＝91）。按同样的方法，图2表示的数是( )。 【答案】451 【分析】根据题意可知，满六进一类似于现在我们的十进制“满十进一”，从右到左依次排列的绳子上打结，个位上的绳结数＋十位上的绳结数×6＋百位上的绳结数×6×6＋千位上的绳结数×6×6×6即可。 【详解】1＋3×6＋2×6×6×6 ＝1＋18＋432 ＝451 12．宝鸡青铜器博物院的镇馆之宝何尊，重约14.6千克，这个数的整数部分是( )，表示( )个1，十分位上的数是( )，表示( )个0.1。 【答案】 14 14 6 6 【分析】个位上是几表示几个一，小数点后面第一位是十分位，十分位上是几表示几个0.1；第二位是百分位，百分位上是几就表示几个0.01；以此类推。 【详解】题目给出的14.6千克，小数点左边是整数部分，小数点右边为小数部分，所以整数部分是14，且计数单位是个，所以表示14个1；小数点右边第一位是十分位，十分位上是6，计数单位是0.1，就表示6个0.1。 13．2025年春运期间，铁路12306系统单日售票量最高达21626000张。横线上的数从右往左数第一个“2”表示( )，第二个“2”表示( )。 【答案】 2个万 2个千万 【分析】整数数位从右往左依次排列，每个数位上的数字表示有几个相应的计数单位。解题时需先确定数字21626000中两个“2”分别所在的数位，再根据数位确定其表示的意义。 【详解】2025年春运期间，铁路12306系统单日售票量最高达21626000张。横线上的数从右往左数第一个“2”表示2个万，第二个“2”表示2个千万。 14．两个相邻自然数中，如果较小的数为x，则较大的数是( )，如果这两个数的和是109，这两个数分别是( )和( )。 【答案】 （x＋1）/（1＋x） 54 55 【分析】相邻的两个自然数之间相差1，据此用字母表示出较大的数；（两个相邻自然数的和－1）÷2＝较小数，两个相邻自然数的和－较小数＝较大数。 【详解】（109－1）÷2 ＝108÷2 ＝54 109－54＝55 两个相邻自然数中，如果较小的数为x，则较大的数是（x＋1），如果这两个数的和是109，这两个数分别是54和55。 15．一个自然数，各个数位上的数之和是15，并且各个数位上的数都不相同，符合条件的数中，最小是( )，最大是( )。 【答案】 69 543210 【分析】要使组成的数最小，即位数最少，从最大数字9入手，15－9＝6，则这个数由6和9组成的两位数，把9放在个位，6放在十位即可。 要使组成的数最大，即位数最多，从最小数字0入手，0＋1＋2＋3＋4＋5＝15，从最高位依次按从大到小顺序排列，组成六位数。 【详解】一个自然数，各个数位上的数之和是15，并且各个数位上的数都不相同，符合条件的数中，最小是69，最大是543210。 三、判断题 16．演唱会宣传海报上写着数字“80000”和“8万”大小相等，计数单位也相同。( ) 【答案】× 【分析】数字80000和8万的大小相等，但计数单位不同：80000的计数单位是一（个），8万的计数单位是万。以此判断即可。 【详解】演唱会宣传海报上在数字“80000”和“8万”大小相等，计数单位不相同。原题说法错误。 故答案为：× 17．一个多位数含有亿级、万级和个级，那么这个多位数最少是十位数。( ) 【答案】× 【分析】根据我国计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。个级、万级、亿级各包含四个数位。亿级的最低位是亿位，是从右往左数的第九位。因此，含有亿级的数，最高位至少是亿位，即最少是九位数。可以通过举最小的九位数进行验证，判断原题说法是否正确。 【详解】按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。 个级包括个位、十位、百位、千位，共 4 个数位； 万级包括万位、十万位、百万位、千万位，共 4 个数位； 亿级包括亿位、十亿位、百亿位、千亿位。 要使一个多位数含有亿级、万级和个级，其最高位至少要在亿级。 亿级的最低位是亿位，亿位是从右往左数的第 9 位。 所以，含有亿级的多位数最少是九位数，例如 100000000（一亿）。 因此，一个多位数含有亿级、万级和个级，那么这个多位数最少是十位数的说法错误。 故答案为：× 18．一千万里面有10个百万，十万里面有10个一万。( ) 【答案】√ 【分析】每两个计数单位间的进率是10；据此判断即可。 【详解】因为10个一百万是一千万，所以一千万里面有10个百万；因为10个一万是十万，所以十万里面有10个一万。因此，该说法正确。 故答案为：√ 19．一个数的最高位是千万位，这个数一定是八位数。( ) 【答案】√ 【分析】整数的数位从右往左依次为：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、……，依此判断。 【详解】根据分析可知，一个数的最高位是千万位，这个数一定是八位数。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握对整数的数位的认识是解答此题的关键。 20．一个数的最高位是十亿位，这是一个九位数。( ) 【答案】× 【分析】根据对整数的数位的认识进行判断即可，整数的数位从右往左依次为：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位、……，依此判断。 【详解】一个数的最高位是十亿位，这是一个十位数。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握对整数的数位的认识是解答此题的关键。 四、解答题 21．一个七位数，个位上是6，十位上是7，且任意相邻的三个数位上的数字之和都是16，这个七位数是多少？ 【答案】6376376 【分析】根据个位上的数字是6，十位上的数字是7，任意相邻的三个数位上数字的和都是16，即可确定百位上的数字，同理根据十位上与百位上的数字可确定千位上数字，根据百位上与千位上的数字可确定万位上数字……，据此解答。 【详解】由分析可知， 个位上的数字是6， 十位上的数字是7， 百位上的数字是：16－6－7＝3 千位上的数字是：16－3－7＝6 万位上的数字是：16－6－3＝7 十万位上的数字是：16－7－6＝3 百万位上的数字是：16－3－7＝6 答：这个七位数是6376376。 【点睛】根据题意，依次求百位、千位、万位、十万位、百万位上的数，是解答此题的关键。 22．小马虎抄写一个七位数，将最高位上的8写成了3，将十位上的1写成了7，写成的七位数比原来的数小了多少？ 【答案】4999940 【分析】根据题意，七位数的最高位上的8写成了3，少了5000000，将十位上的1写成了7，多了60，小了多少两数相减即为结果。 【详解】5000000－60＝4999940 【点睛】此类题先比较结果和原来相差多少，最后把多的和少的结果相减即可。 23．一个七位数的百万位、万位和个位上的数字都不为0，且这三个数字的和是5，其他各数位上的数字都是0。这个七位数可能是多少？ 【答案】这个七位数可能是3010001，2010002，2020001，1010003，1020002，1030001。 【分析】我们可以运用列举法解决此题，在列举的过程中要注意百万位、万位和个位上的数字都不为0，且和是5，可以是3、1、1三个数，或者是2、2、1依次列举填表即可解答。 【详解】根据分析填表如下： 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 3 1 1 2 1 2 2 1 1 1 3 2 2 3 1 答：这个七位数可能是3010001，2010002，2020001，1010003，1020002，1030001。 【点睛】本题主要考查数位以及计数单位，用列举法解决比较适合。 24．一个四位数的密码，它的大小在6000与7000之间，百位数字是8，十位数字与个位数字相同，它们两个的和为4，这个密码是多少？ 【答案】6822 【详解】略 25．一个六位数最高位是最大的一位数，万位、百位、个位上的数字都是最小的自然数，千位和十位上的数差为4且千位和十位上的数均不为0，该六位数可能是多少？ 【答案】905010、901050、906020、902060、903070、907030、908040、904080、909050、905090 【分析】一个六位数，最高位是十万位；根据题意，最大的一位数是9，十万位上是9；最小的自然数是0，万位、百位、个位上是0；5－1＝4、6－2＝4、7－3＝4、8－4＝4、9－5＝4，根据千位和十位上的数差为4且千位和十位上的数均不为0，据此解答即可。 【详解】十万位上是9，万位、百位、个位上是0，千位上是5时，十位上是1；千位上是1时，十位上是5；千位上是6时，十位上是2；千位上是2时，十位上是6；千位上是3时，十位上是7；千位上是7时，十位上是3；千位上是8时，十位上是4；千位上是4时，十位上是8；千位上是9时，十位上是5；千位上是5时，十位上是9； 答：该六位数可能是905010、901050、906020、902060、903070、907030、908040、904080、909050、905090。 【点睛】解答本题的关键是确定千位、十位上的数字，再进一步解答。 26．一个四位数，它的十位上的数字是6，百位上的数比十位上的数少3，千位上的数比十位上的数多1，个位上是最大的一位数，这个数是多少？ 【答案】7369 【分析】十位上的数字是6，百位上的数比十位上的数少3，那么百位上的数是；千位上的数比十位上的数多1，那么千位上的数是；最大的一位数是9，据此写出。 【详解】百位上的数是：； 千位上的数是：； 最大的一位数是9； 所以这个数是7369。 【点睛】本题主要考查整数的写法，要牢记数位。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $