第二单元 周长和面积（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 以长方形正方形为载体，构建从概念辨析到奥数进阶的系统性训练，提炼平移转化、分割添补等7大解题方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|概念+公式+规律|维度对比法/扩倍规律法|从一维到二维建立概念体系，推导公式及变化规律| |基础应用|4类基础题型|公式正逆用法/生活场景转化法|衔接教材基础，训练公式直接应用与生活问题建模| |奥数进阶|8类综合题型|平移转化/分割求和/差不变原理|通过组合图形、最值问题等培养空间观念与创新意识| |方法汇总|7大核心方法|容斥原理/方阵公式法|系统整合解题策略，形成从基础到拔高的方法论链条|

第二单元 周长和面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是小学平面几何从 “一维线段” 向 “二维平面” 进阶的核心单元，以长方形、正方形为研究载体，系统建立周长与面积的概念体系，掌握两类基本图形的计算方法。 周长：封闭图形一周的总长度，本质是一维线段长度的累加，描述图形的边界长度。 面积：物体表面或封闭图形所占平面的大小，本质是二维平面的覆盖范围，描述图形的面的规模。 核心本质：周长与面积是从两个不同维度刻画图形属性的量，二者分别对应长度度量与面积度量，没有直接的大小可比性，是平面几何最基础的两个核心度量维度。 2. 核心概念辨析：周长与面积的核心区别 维度 周长 面积 意义 封闭图形一周的长度，描述边界长短 封闭图形所占平面的大小，描述面的规模 单位类型 长度单位（米、分米、厘米等） 面积单位（平方米、平方分米、平方厘米等） 计算逻辑 所有边的长度求和 二维维度的乘积计算，对应单位面积的总个数 变化规律 仅与边界长度相关 与长、宽两个维度的数值均相关 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接长方形、正方形的图形认识，是小学平面几何计算的入门单元，为后续平行四边形、三角形、梯形的面积计算，以及组合图形、立体图形表面积知识筑牢底层基础。 奥数价值：以长方形、正方形为基础，延伸出组合图形巧算、最值构造、差不变原理、重叠容斥、裁剪优化等经典几何题型，训练平移转化思维、几何巧算能力与方案优化意识，是小升初几何模块的必考基础核心。 二、核心公式与基础性质 1. 基础周长计算公式 长方形周长：周长 =（长 + 宽）× 2，字母公式： 变形公式：长 = 周长 ÷2 − 宽；宽 = 周长 ÷2 − 长 正方形周长：周长 = 边长 × 4，字母公式： 变形公式：边长 = 周长 ÷4 2. 基础面积计算公式 长方形面积：面积 = 长 × 宽，字母公式： 变形公式：长 = 面积 ÷ 宽；宽 = 面积 ÷ 长 正方形面积：面积 = 边长 × 边长，字母公式： 3. 常用单位与进率 长度单位（相邻进率为 10） 1 米 = 10 分米，1 分米 = 10 厘米，1 米 = 100 厘米 面积单位（相邻进率为 100） 1 平方米 = 100 平方分米，1 平方分米 = 100 平方厘米，1 平方米 = 10000 平方厘米 核心提醒：长度单位与面积单位属于不同维度的度量，无法直接比较大小；计算时必须先统一单位再代入公式。 4. 核心变化规律 （1）单维度变化规律 长方形中，宽不变、长增加时： 周长增加； 面积增加。 同理，长不变、宽增加时，周长增加，面积增加。 （2）同步扩倍规律 长方形的长和宽同时扩大到原来的倍： 周长扩大到原来的倍； 面积扩大到原来的倍。 正方形边长扩大倍，规律与长方形完全一致。 （3）周长与面积的最值关系 周长相等的长方形与正方形，正方形的面积更大；周长相等的长方形中，长和宽越接近，面积越大。 面积相等的长方形与正方形，长方形的周长更长；面积相等的长方形中，长和宽越接近，周长越短。 三、基础应用题型与标准解法 1. 基础公式正向计算 题型特征：直接给出长方形的长与宽、正方形的边长，求对应的周长或面积。 解题策略：严格对应公式代入计算，注意区分周长与面积的公式，避免混淆；计算完成后标注对应单位。 2. 公式逆用计算 题型特征：已知长方形周长与长（或宽），求宽（或长）；已知长方形面积与长（或宽），求对应边长；已知正方形周长，求面积。 解题策略：根据基础公式反向推导，核心是先求出关键边长；长方形周长逆用必须先除以 2，得到长与宽的和，这是高频易错点。 3. 生活场景基础应用 围篱笆问题：给长方形菜地围篱笆，或一面靠墙围篱笆，求篱笆总长度。 解题要点：靠墙时只需计算三条边的长度，通常长靠墙时篱笆总长度更短。 铺地砖问题：给长方形房间铺地砖，已知房间长宽与地砖边长，求需要的地砖总数。 解题要点：先统一单位，算出房间总面积与单块地砖面积，用总面积 ÷ 单块面积得到总块数。 边框与镜面问题：给相框做边框求总长度（周长），配玻璃求玻璃大小（面积），区分清楚所求维度即可。 4. 简单拼接与切割问题 拼接型：两个相同的长方形拼成一个大长方形，有 “长重合” 和 “宽重合” 两种拼法。 核心结论：拼接后总面积不变，等于两个小图形面积之和；总周长比两个小图形周长和减少，重合的边越长，总周长减少越多。 切割型：一个大长方形切成两个小长方形。 核心结论：切割后总面积不变；总周长比原图形增加，切一刀增加两条对应边的长度。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）组合图形周长巧算 1. 平移法解凹凸图形周长 题型特征：阶梯状、凹凸形等不规则多边形，边长数据不全，无法直接求和计算周长。 核心方法：平移转化法 将所有横向线段向上、下平移，所有纵向线段向左、右平移； 使不规则图形的外轮廓转化为一个完整的长方形 / 正方形； 凸起图形：平移后周长恰好等于对应长方形周长； 凹陷图形：平移后周长等于长方形周长，再加上凹陷处的两条竖直边（或水平边）。 核心原则：平移过程中线段总长度不变，仅改变位置，因此周长保持不变。 2. 多正方形拼接的周长最值 题型特征：用固定个数的小正方形拼成长方形或不规则图形，求最大周长、最小周长。 解题规律： 周长最大：将所有小正方形排成一排，重合的边最少，总周长最长； 周长最小：拼成的图形越接近正方形，重合的边越多，总周长越短； 通用计算：总周长 = 所有小正方形周长和 − 2× 重合边总长度。 （二）组合图形面积巧算 1. 分割求和法 题型特征：凸多边形、拼接型组合图形，可拆分为多个长方形 / 正方形。 解题策略：沿辅助线将组合图形拆分成 2~3 个规则图形，分别计算每个图形的面积，再相加得到总面积。 操作要点：分割线尽量少，分割后每个图形都要有完整的边长数据；优先选择数据最完整的分割方式。 2. 添补求差法 题型特征：凹多边形、缺角型图形，补全后可形成完整的大长方形 / 正方形。 解题策略：给不规则图形补上一个小规则图形，使其变为大规则图形，用大图形面积减去补上的小图形面积，得到原图形面积。 适用场景：图形凹陷、有缺口，直接分割步骤繁琐，补全后计算更简便。 3. 割补平移法 题型特征：图形对称，某一部分切割后可平移到另一侧，恰好拼成规则图形。 解题策略：将图形的局部切割下来，通过平移、旋转拼接成完整的长方形 / 正方形，直接计算面积；割补前后总面积保持不变。 （三）周长与面积最值问题 1. 固定周长求最大面积 基础题型：用固定长度的铁丝围长方形，围出的最大面积是多少。 核心结论：长与宽的和固定时，长和宽越接近面积越大，围成正方形时面积达到最大。 进阶题型：一面靠墙围长方形菜地，篱笆长度固定，求最大面积。 核心结论：长恰好等于宽的 2 倍时，围成的长方形面积最大。 2. 固定面积求最小周长 题型特征：长方形面积固定，求周长的最小值，或最节省材料的边框设计。 解题规律：长和宽越接近，周长越短；当长和宽相等（正方形）时，周长达到最小值。 （四）差不变原理进阶 题型特征：求两个不规则图形的面积差，两个图形分别计算面积条件不足，但存在公共的重叠 / 空白区域。 核心原理：两个图形同时加上或减去同一个公共部分，它们的面积差保持不变。 解题步骤： 定位两个图形共有的公共区域； 给两个图形同时补上公共区域，转化为两个规则图形的面积差； 直接计算两个规则图形的面积差，结果与原面积差完全相等。 （五）裁剪与铺砖进阶 1. 大图形剪小图形的极值问题 题型特征：给定大长方形的长和宽，剪边长固定的小正方形，求最多能剪多少个。 易错提醒：不能直接用大面积除以小面积，必须分别计算长、宽方向能容纳的小图形个数，再将两个方向的数量相乘。 解题步骤： 长 ÷ 小正方形边长，取整数商，得到长边最多剪几个； 宽 ÷ 小正方形边长，取整数商，得到宽边最多剪几个； 两个商相乘，即为最多可裁剪的总个数。 2. 铺砖方案优化 题型特征：给定长方形地面尺寸，有多种规格的地砖可选，或地砖有不同价格，求最省钱的铺设方案。 解题策略： 分别计算纯用单一种类地砖的总费用； 考虑混合铺设方案，大面积用大规格地砖，边角用小地砖补齐； 对比所有方案的总费用，选择成本最低的方案。 （六）重叠与覆盖问题 题型特征：两个长方形 / 正方形交叉重叠放置，已知单个图形面积，求覆盖桌面的总面积；或已知总覆盖面积，反求重叠部分面积。 核心公式（两图重叠）： 变形公式： 解题逻辑：两个图形面积相加时，重叠部分被重复计算了一次，因此需要减去一次重叠面积，得到实际覆盖的总面积。 （七）和差倍模型综合 题型特征：已知长方形的周长，以及长与宽的和差关系、倍数关系，求长方形的面积。 解题步骤： 用周长 ÷2，得到长与宽的和； 根据和差、和倍公式，分别求出长和宽的具体数值； 代入面积公式计算最终结果。 核心公式： 和差问题：大数 =（和 + 差）÷2，小数 =（和−差）÷2 和倍问题：小数 = 和 ÷（倍数 + 1） （八）方阵中的周长与面积 1. 实心方阵 总人数（总面积对应量）= 每边人数 × 每边人数 最外层总人数（周长对应量）= 4 ×（每边人数 − 1） 2. 空心方阵 总人数 = 外层大实心方阵人数 − 内部空心小实心方阵人数 最外层人数计算规则与实心方阵一致。 五、核心解题方法汇总 公式代入法：基础规则图形的通用解法，直接对应周长、面积公式代入计算。 平移转化法：不规则周长的核心巧算方法，通过平移线段将不规则轮廓转化为规则长方形周长。 分割求和法：组合图形面积通用解法，拆分为多个规则图形分别计算后求和。 添补求差法：凹形、缺角类图形的常用解法，补全为大规则图形，再减去补上的部分。 最值规律法：周长面积最值问题的核心思路，利用 “长和宽越接近，面积越大、周长越短” 的规律快速求解。 差不变原理：面积差类问题的巧算方法，通过加减公共区域转化为规则图形的面积差。 容斥原理法：重叠覆盖类问题的通用解法，面积和减去重叠面积得到实际总覆盖面积。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 概念维度混淆：混淆周长与面积的意义，求面积用长度单位、求周长用面积单位，或错误比较二者的大小。 面积进率记错：误将相邻面积单位的进率当作 10，正确进率为 100；平方米与平方厘米的进率易误记为 100，实际为 10000。 拼接变化认知错误：误认为图形拼接后周长和面积都不变，实际面积和保持不变，周长和会因重合边减少。 单位不统一计算：长和宽单位不一致时，未换算直接代入公式，导致结果数量级完全错误。 2. 计算类易错点 长方形周长漏乘 2：直接用 “长 + 宽” 当作周长，忘记乘以 2，是本单元最高频计算错误。 正方形公式混淆：将正方形面积算成边长 ×4，周长算成边长 × 边长，公式对应关系错位。 平移周长漏边：凹陷图形平移后，忘记加上凹陷处的两条边，导致计算出的周长比实际偏小。 扩倍规律记错：长和宽同时扩大 n 倍时，误将面积也按 n 倍计算，正确应为扩大倍。 3. 应用类易错点 靠墙篱笆多算边：一面靠墙围篱笆的场景，仍按四条边计算总长度，多算了靠墙的一条边。 裁剪问题直接除面积：大图形剪小图形时，用总面积除以小面积得到个数，忽略长、宽方向的实际排列限制，结果偏多。 铺砖数量直接整除：实际铺砖场景忽略边角切割的损耗，直接用面积相除取整，导致实际砖量不足。 方阵最外层多算 4：计算方阵最外层人数时，直接用边长 ×4，忽略四个角的人被重复计算，正确应为 4×(每边人数−1)。 培优练习 一、选择题 1．一张长12分米，宽5分米的长方形纸，可以剪出（    ）张边长为2分米的正方形纸。 A．12 B．15 C．30 【答案】A 【分析】先看长方形的长：长12分米，小正方形边长2分米，长的方向能剪出12÷2＝6个小正方形。再看长方形的宽：宽5分米，小正方形边长2分米，5÷2＝21，剩下的1分米不够再剪出1个边长2分米的正方形，所以宽的方向只能剪出2个小正方形。可以剪正方形的个数＝长边剪的个数×宽边剪的个数。 【详解】12÷2＝6（个） 5÷2＝2（个）……1（分米） 6×2＝12（张） 一张长12分米，宽5分米的长方形纸，可以剪出12张边长为2分米的正方形纸。 2．下面与“面积”相关的活动是（    ）。 A．绕操场跑两圈 B．值日生擦黑板 C．给相框贴花边 【答案】B 【分析】区分面积和周长的概念：面积指物体表面或封闭图形的大小，周长指封闭图形一周的长度，据此判断各选项对应的相关量即可。 【详解】A．绕操场跑两圈是跑操场2周的长度，属于周长相关活动，不符合题意； B．擦黑板是擦拭黑板的整个表面，属于面积相关活动，符合题意； C．给相框贴花边是装饰相框一周的边，属于周长相关活动，不符合题意。 3．小温在三块边长是10分米的铁皮上，分别切掉了一个长4分米、宽2分米的长方形。剩下部分的周长和面积，下列说法正确的是（    ）。 A．面积都不相等，图3周长最长 B．面积都相等，图3周长最长 C．面积都相等，图2周长最长 【答案】B 【分析】长方形面积＝长×宽，减去的长方形长、宽都相等，所以减去长方形的面积相等，即剩下部分的面积也相等。 剩下部分的周长需要逐个讨论，原正方形周长： 分米 图1（在正方形角落切掉长方形）把缺口处短边平移后，周长和原正方形周长完全相等，周长分米。 图2（底边中间向内切长方形）平移后，相比原正方形，多了2条宽（2分米），增加长度：分米，周长分米。 图3（上边中间向内切长方形）平移后，相比原正方形，多了2条长（4分米），增加长度：分米，周长分米。 【详解】图1、图2、图3的面积：（平方分米） 图1的周长：（分米） 图2的周长：（分米）； 图3的周长：（分米） 周长：40＜44＜48，即面积都相等，图3周长最长。 4．公园中有一处正方形休闲步道，奇奇沿着步道走一圈刚好400米，这处休闲步道的边长是（    ）米。 A．100 B．200 C．400 【答案】A 【分析】奇奇走一圈的长度就是正方形休闲步道的周长，已知正方形周长求边长，边长＝周长÷4。 【详解】400÷4＝100（米） 5．一个长方形周长是20厘米，这个长方形的长和宽可能分别是（    ）和（    ）。 A．10厘米；2厘米 B．7厘米；3厘米 C．12厘米；8厘米 【答案】B 【分析】根据长方形周长公式先求出长与宽的和，再验证各选项即可。 【详解】长方形长与宽的和为：（厘米） A．，不符合； B． ，符合要求； C．，不符合。 故答案为:B 二、填空题 6．在括号里填上合适的单位或数。 3年＝( )个月                600平方厘米＝( )平方分米 乐乐的腰围是0.62( )            一张A4纸的面积约是600( ) 【答案】 36 6 米/m 平方厘米/cm2 【分析】（1）1年＝12个月，将年换算成月，是高级单位转化为低级单位，需要乘进率； （2）面积单位换算：1平方分米＝100平方厘米，将平方厘米换算成平方分米，是低级单位转化为高级单位，需要除以进率。 （3）、（4）选择合适的单位：根据生活经验及对数据大小的感知，结合长度单位和面积单位的实际大小进行判断。 【详解】1年＝12个月，3年就是3个12个月，3×12＝36，所以3年＝36个月； 1平方分米＝100平方厘米，600里面有6个100，所以600平方厘米＝6平方分米； 小朋友腰围差不多半米多，0.62米和课桌的宽度差不多，符合腰围的实际大小，所以乐乐的腰围是0.62米； 一张A4纸的面积接近600平方厘米，若填平方分米，600平方分米，相当于一个大桌子的面积，太大，若填平方米则更大，所以一张A4纸的面积约是600平方厘米。 7．在括号里填上合适的单位名称。 教室黑板的周长是10( )    小区草坪的面积是500( ) 一片树叶的周长约是13( )    一张A4纸的面积约是6( ) 【答案】 米/ 平方米/ 厘米/ 平方分米/ 【分析】教室里双人课桌的长度大约1米，教室黑板的周长比教室里双人课桌的长度长，选择米作单位比较合适； 一个篮球场的面积约420平方米，小区草坪的面积和一个篮球场的面积相当，选择平方米作单位比较合适； 成人大拇指指甲盖的宽度约1厘米，一片树叶的周长比成人大拇指指甲盖的宽度长，选择厘米作单位比较合适； 粉笔盒一个面的面积约1平方分米，一张A4纸的面积比粉笔盒一个面的面积大，选择平方分米作单位比较合适。 【详解】教室黑板的周长是10米，小区草坪的面积是500平方米，一片树叶的周长约是13厘米，一张A4纸的面积约是6平方分米。 8．爷爷想用20米长的篱笆围成一个长方形或正方形（长和宽都取整米数）的鸡圈，20米指围成这个鸡圈的( )，最大是( )平方米。 【答案】 周长 25 【分析】篱笆是完全围在鸡圈四周的总长度，所以20米指的是这个长方形/正方形鸡圈的周长。长方形的周长是20米，那么长加宽的和就是20÷2＝10米。长和宽都是整米数时，长和宽的数值越接近，图形的面积就越大，当长和宽都为10÷2＝5米时，也就是围成正方形的时候，面积最大，是5×5＝25平方米。 【详解】20÷2÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 5×5＝25（平方米） 爷爷想用20米长的篱笆围成一个长方形或正方形（长和宽都取整米数）的鸡圈，20米指围成这个鸡圈的周长，最大是25平方米。 9．把一个边长为8厘米的正方形对折成两个完全一样的长方形，每个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 24 32 【分析】正方形对折之后，长方形的长等于原来正方形的边长，长方形的宽等于正方形边长的一半；长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，据此解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 2×（8＋4） ＝2×12 ＝24（厘米） 8×4＝32（平方厘米） 每个长方形的周长是24厘米，面积是32平方厘米。 10．学校运动会文化长廊里，长方形主题展板相邻两条边的长度之和是17分米，这个展板的周长是( )分米。 【答案】34 【分析】长方形相邻两条边的长度之和是17分米，则长＋宽是17分米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可求出长方形的周长。 【详解】（分米） 11．长15厘米、宽9厘米的长方形纸与正六边形纸的周长相等，正六边形的每条边长( )厘米；在长方形中剪掉一个最大的正方形，剩下的纸还能剪出( )个面积是1平方厘米的小正方形。 【答案】 8 54 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可求出正六边形的周长，再除以6即可求得正六边形的每条边长。 在长方形中剪掉一个最大的正方形，正方形的边长等于原长方形的宽，正方形的面积＝边长×边长，依此计算出正方形的面积；剩下部分为长方形，面积为1平方厘米的正方形的边长是1厘米，（厘米），该长方形的长是9厘米，宽是6厘米，根据长方形的面积＝长×宽求出这个小长方形的面积，小长方形的面积是多少就能剪出多少个1平方厘米的小正方形。 【详解】 （厘米） （厘米） （厘米） （个） 长15厘米、宽9厘米的长方形纸与正六边形纸的周长相等，正六边形的每条边长8厘米；在长方形中剪掉一个最大的正方形，剩下的纸还能剪出54个面积是1平方厘米的小正方形。 12．用( )个1平方厘米的小正方形可以拼成一个面积是1平方分米的大正方形。 【答案】 100 【分析】1平方分米＝100平方厘米。大正方形的面积是1平方分米，即100平方厘米，小正方形的面积是1平方厘米，求个数就是看大正方形面积里包含多少个小正方形面积，用除法计算。 【详解】1平方分米＝100平方厘米，（个）。 13．一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，周长是( )厘米； 一个正方形的周长是12厘米，边长是( )厘米。 【答案】 26 3 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2；正方形的周长＝边长×4，故边长＝周长÷4；分别列式计算即可。 【详解】长方形的周长： ＝（8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 正方形的边长＝12÷4＝3（厘米） 14．竹简是古代用来写字的竹片，它的出现使文字记载不再受甲骨、青铜的限制。乐乐在博物馆看到了一片长23厘米、宽1厘米的长方形竹简，这个竹简的面积是( )平方厘米。 【答案】23 【分析】已知长方形竹简的长是23厘米，宽是1厘米。根据长方形的面积公式：长方形面积＝长×宽，代入数据计算即可求出面积。 【详解】23×1＝23（平方厘米） 这个竹简的面积是23平方厘米。 15．把一块正方形菜地平均分成9块小正方形地，已知中间小正方形的周长是13米，那大正方形菜地的周长是( )米。 【答案】39 【分析】正方形的周长＝边长×4。由图可知，中间小正方形的周长是13米，说明小正方形的4条边长和为13米；大正方形菜地的周长为12条小正方形的边长，用12除以4求出大正方形菜地的周长里面有几个小正方形的周长，再乘13求出大正方形菜地的周长是多少米。 【详解】12÷4＝3（个） 3×13＝39（米） 三、判断题 16．1m2的正方形内大约能站下50名小学生。( ) 【答案】× 【分析】边长为1米的正方形的面积是1平方米，对应地面区域的大小为长1米，宽1米的正方形范围，从而推断推断1平方米的正方形区域内能容纳的学生人数，再进行判断即可。 【详解】1平方米的正方形是边长1米的区域，根据生活经验可知，1平方米的地面大约只能站10名左右的小学生，远远达不到50名，所以原题说法不对。 故答案为：× 17．用1平方厘米的小正方形拼大正方形，最少需8个。( ) 【答案】 × 【分析】正方形四条边长度相等，拼大正方形时每条边上至少需要2个小正方形，最少需要个。 【详解】（个） 原题说法错误。 故答案为：× 18．两个长度单位之间的进率是10，两个面积单位之间的进率是100。( ) 【答案】 × 【分析】只有相邻的两个常用长度单位之间的进率是，相邻的两个常用面积单位之间的进率是，据此判断。 【详解】米厘米，二者都是长度单位，进率为；平方米平方厘米，二者都是面积单位，进率为。 故答案为：× 19．一个正方形的周长是20分米，它的面积是25平方分米。( ) 【答案】√ 【分析】根据正方形的周长÷4＝边长，求出正方形边长，再利用正方形面积＝边长×边长计算面积，然后与题目所给面积进行比较，即可解答。 【详解】20÷4＝5（分米） 5×5＝25（平方分米） 对比可知，周长20分米的正方形，它的面积是25平方分米。题目说法正确。 故答案为：√ 20．图中甲、乙两部分的面积和周长都相等。( ) 【答案】× 【分析】封闭图形一周的长度，是它的周长；物体的表面或围成的平面图形的大小，叫面积。由图可知，甲和乙的周长都是由长方形的一条长、一条宽和中间的公共边组成，所以它们的周长相等。甲部分的大小大于乙部分，所以甲的面积大于乙的面积。 【详解】由分析得，甲、乙两部分的周长相等，面积不相等。 故答案为：× 四、计算题 21．计算下面图形的周长和面积。（单位：厘米）                  【答案】（1）24厘米；36平方厘米 （2）44厘米；85平方厘米 【分析】（1）根据正方形周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长计算出正方形的周长和面积； （2）观察图形，通过平移，这个图形的周长相当于一个长13厘米，宽9厘米的长方形的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，将数据代入即可计算出图形的周长；图形可以分割成一个长8厘米、宽5厘米和一个长9厘米、宽厘米的长方形，长方形的面积＝长×宽，将数据代入分别求出两个长方形的面积，再相加即可。 【详解】（1）周长：（厘米） 面积：（平方厘米） （2） （厘米） （平方厘米） 22．计算如图图形的面积。（单位：厘米） 【答案】36平方厘米；36平方厘米 【分析】长方形面积＝长×宽，用9×4即可求出左边图形的面积；正方形面积＝边长×边长，用6×6即可求出右边图形的面积。 【详解】9×4＝36（平方厘米） 6×6＝36（平方厘米） 左边长方形的面积是36平方厘米，右边正方形的面积是36平方厘米。 五、解答题 23．科技馆的一个火箭展示区长24米，宽9米，用边长3分米的方砖铺地，这个展示区用多少块方砖才能铺满？如果展示区一面靠墙，用围栏将展示区围起来最少需要多少米围栏？ 【答案】2400块；42米 【分析】先计算长方形展示区的面积（长×宽），换算单位后除以单块方砖的面积（边长×边长），得到方砖总数量；一面靠墙时，让较长的边靠墙，所需围栏长度最短，用1条长加2条宽的长度计算围栏长度。 【详解】24×9＝216（平方米） 216平方米＝21600平方分米 3×3＝9（平方分米） 21600÷9＝2400（块） 24＋9×2 ＝24＋18 ＝42（米） 答：这个展示区用2400块方砖才能铺满；用围栏将展示区围起来最少需要42米围栏。 24．小区公园铺设了一块面积为30平方米的长方形草地，应广大居民要求，进行了扩建，扩建后的长是原来的2倍，宽不变。扩建后草地的面积是多少平方米？ 【答案】 60平方米 【分析】长方形的面积等于长乘宽，宽不变时，长扩大到原来的2倍，面积也扩大到原来的2倍，用原来的面积乘2即可求出扩建后的面积。 【详解】（平方米） 答：扩建后草地的面积是60平方米。 25．学校为了更好地开展劳动实践课，用86米长的围栏将一块长方形实践基地的四周围起来，量得这块实践基地的长是38米。这块实践基地的占地面积是多少平方米？ 【答案】190平方米 【分析】先根据长方形周长公式求出宽，再用长乘宽计算实践基地的占地面积。 【详解】 ＝43－38 （米） （平方米） 答：这块实践基地的占地面积是190平方米。 26．一台扫地机器人充满电后可以续航90分钟，每分钟能清扫4平方米的地面。明明家的客厅长8米，宽6米，扫地机器人清扫完这个客厅需要多少分钟？ 【答案】 12分钟 【分析】先计算客厅的总面积，再用总面积除以每分钟清扫的面积，就能得到清扫所需的时间。 【详解】 （分钟） 答：扫地机器人清扫完这个客厅需要12分钟。 27．为了装修新房，爸爸买了个正方形的插座，它的周长是40厘米，插座的面积是多少平方厘米？合多少平方分米？ 【答案】100平方厘米；1平方分米 【分析】根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积。平方厘米和平方分米之间的进率是100，据此将正方形的面积换算成平方分米。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 100平方厘米＝1平方分米 答：插座的面积是100平方厘米，合1平方分米。 28．任务三：要在足球场馆内用围栏围出一个长方形场地，作为队员的准备场所，长方形场地长8米，宽4米，且一面靠墙，最少需要多长的围栏？ 【答案】16米 【分析】要使围栏长度最短，应让长方形较长的边靠墙，这样省去的边最长，需要围的总长度就最短。 【详解】 （米） 答：最少需要16米的围栏。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 周长和面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是小学平面几何从 “一维线段” 向 “二维平面” 进阶的核心单元，以长方形、正方形为研究载体，系统建立周长与面积的概念体系，掌握两类基本图形的计算方法。 周长：封闭图形一周的总长度，本质是一维线段长度的累加，描述图形的边界长度。 面积：物体表面或封闭图形所占平面的大小，本质是二维平面的覆盖范围，描述图形的面的规模。 核心本质：周长与面积是从两个不同维度刻画图形属性的量，二者分别对应长度度量与面积度量，没有直接的大小可比性，是平面几何最基础的两个核心度量维度。 2. 核心概念辨析：周长与面积的核心区别 维度 周长 面积 意义 封闭图形一周的长度，描述边界长短 封闭图形所占平面的大小，描述面的规模 单位类型 长度单位（米、分米、厘米等） 面积单位（平方米、平方分米、平方厘米等） 计算逻辑 所有边的长度求和 二维维度的乘积计算，对应单位面积的总个数 变化规律 仅与边界长度相关 与长、宽两个维度的数值均相关 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接长方形、正方形的图形认识，是小学平面几何计算的入门单元，为后续平行四边形、三角形、梯形的面积计算，以及组合图形、立体图形表面积知识筑牢底层基础。 奥数价值：以长方形、正方形为基础，延伸出组合图形巧算、最值构造、差不变原理、重叠容斥、裁剪优化等经典几何题型，训练平移转化思维、几何巧算能力与方案优化意识，是小升初几何模块的必考基础核心。 二、核心公式与基础性质 1. 基础周长计算公式 长方形周长：周长 =（长 + 宽）× 2，字母公式： 变形公式：长 = 周长 ÷2 − 宽；宽 = 周长 ÷2 − 长 正方形周长：周长 = 边长 × 4，字母公式： 变形公式：边长 = 周长 ÷4 2. 基础面积计算公式 长方形面积：面积 = 长 × 宽，字母公式： 变形公式：长 = 面积 ÷ 宽；宽 = 面积 ÷ 长 正方形面积：面积 = 边长 × 边长，字母公式： 3. 常用单位与进率 长度单位（相邻进率为 10） 1 米 = 10 分米，1 分米 = 10 厘米，1 米 = 100 厘米 面积单位（相邻进率为 100） 1 平方米 = 100 平方分米，1 平方分米 = 100 平方厘米，1 平方米 = 10000 平方厘米 核心提醒：长度单位与面积单位属于不同维度的度量，无法直接比较大小；计算时必须先统一单位再代入公式。 4. 核心变化规律 （1）单维度变化规律 长方形中，宽不变、长增加时： 周长增加； 面积增加。 同理，长不变、宽增加时，周长增加，面积增加。 （2）同步扩倍规律 长方形的长和宽同时扩大到原来的倍： 周长扩大到原来的倍； 面积扩大到原来的倍。 正方形边长扩大倍，规律与长方形完全一致。 （3）周长与面积的最值关系 周长相等的长方形与正方形，正方形的面积更大；周长相等的长方形中，长和宽越接近，面积越大。 面积相等的长方形与正方形，长方形的周长更长；面积相等的长方形中，长和宽越接近，周长越短。 三、基础应用题型与标准解法 1. 基础公式正向计算 题型特征：直接给出长方形的长与宽、正方形的边长，求对应的周长或面积。 解题策略：严格对应公式代入计算，注意区分周长与面积的公式，避免混淆；计算完成后标注对应单位。 2. 公式逆用计算 题型特征：已知长方形周长与长（或宽），求宽（或长）；已知长方形面积与长（或宽），求对应边长；已知正方形周长，求面积。 解题策略：根据基础公式反向推导，核心是先求出关键边长；长方形周长逆用必须先除以 2，得到长与宽的和，这是高频易错点。 3. 生活场景基础应用 围篱笆问题：给长方形菜地围篱笆，或一面靠墙围篱笆，求篱笆总长度。 解题要点：靠墙时只需计算三条边的长度，通常长靠墙时篱笆总长度更短。 铺地砖问题：给长方形房间铺地砖，已知房间长宽与地砖边长，求需要的地砖总数。 解题要点：先统一单位，算出房间总面积与单块地砖面积，用总面积 ÷ 单块面积得到总块数。 边框与镜面问题：给相框做边框求总长度（周长），配玻璃求玻璃大小（面积），区分清楚所求维度即可。 4. 简单拼接与切割问题 拼接型：两个相同的长方形拼成一个大长方形，有 “长重合” 和 “宽重合” 两种拼法。 核心结论：拼接后总面积不变，等于两个小图形面积之和；总周长比两个小图形周长和减少，重合的边越长，总周长减少越多。 切割型：一个大长方形切成两个小长方形。 核心结论：切割后总面积不变；总周长比原图形增加，切一刀增加两条对应边的长度。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）组合图形周长巧算 1. 平移法解凹凸图形周长 题型特征：阶梯状、凹凸形等不规则多边形，边长数据不全，无法直接求和计算周长。 核心方法：平移转化法 将所有横向线段向上、下平移，所有纵向线段向左、右平移； 使不规则图形的外轮廓转化为一个完整的长方形 / 正方形； 凸起图形：平移后周长恰好等于对应长方形周长； 凹陷图形：平移后周长等于长方形周长，再加上凹陷处的两条竖直边（或水平边）。 核心原则：平移过程中线段总长度不变，仅改变位置，因此周长保持不变。 2. 多正方形拼接的周长最值 题型特征：用固定个数的小正方形拼成长方形或不规则图形，求最大周长、最小周长。 解题规律： 周长最大：将所有小正方形排成一排，重合的边最少，总周长最长； 周长最小：拼成的图形越接近正方形，重合的边越多，总周长越短； 通用计算：总周长 = 所有小正方形周长和 − 2× 重合边总长度。 （二）组合图形面积巧算 1. 分割求和法 题型特征：凸多边形、拼接型组合图形，可拆分为多个长方形 / 正方形。 解题策略：沿辅助线将组合图形拆分成 2~3 个规则图形，分别计算每个图形的面积，再相加得到总面积。 操作要点：分割线尽量少，分割后每个图形都要有完整的边长数据；优先选择数据最完整的分割方式。 2. 添补求差法 题型特征：凹多边形、缺角型图形，补全后可形成完整的大长方形 / 正方形。 解题策略：给不规则图形补上一个小规则图形，使其变为大规则图形，用大图形面积减去补上的小图形面积，得到原图形面积。 适用场景：图形凹陷、有缺口，直接分割步骤繁琐，补全后计算更简便。 3. 割补平移法 题型特征：图形对称，某一部分切割后可平移到另一侧，恰好拼成规则图形。 解题策略：将图形的局部切割下来，通过平移、旋转拼接成完整的长方形 / 正方形，直接计算面积；割补前后总面积保持不变。 （三）周长与面积最值问题 1. 固定周长求最大面积 基础题型：用固定长度的铁丝围长方形，围出的最大面积是多少。 核心结论：长与宽的和固定时，长和宽越接近面积越大，围成正方形时面积达到最大。 进阶题型：一面靠墙围长方形菜地，篱笆长度固定，求最大面积。 核心结论：长恰好等于宽的 2 倍时，围成的长方形面积最大。 2. 固定面积求最小周长 题型特征：长方形面积固定，求周长的最小值，或最节省材料的边框设计。 解题规律：长和宽越接近，周长越短；当长和宽相等（正方形）时，周长达到最小值。 （四）差不变原理进阶 题型特征：求两个不规则图形的面积差，两个图形分别计算面积条件不足，但存在公共的重叠 / 空白区域。 核心原理：两个图形同时加上或减去同一个公共部分，它们的面积差保持不变。 解题步骤： 定位两个图形共有的公共区域； 给两个图形同时补上公共区域，转化为两个规则图形的面积差； 直接计算两个规则图形的面积差，结果与原面积差完全相等。 （五）裁剪与铺砖进阶 1. 大图形剪小图形的极值问题 题型特征：给定大长方形的长和宽，剪边长固定的小正方形，求最多能剪多少个。 易错提醒：不能直接用大面积除以小面积，必须分别计算长、宽方向能容纳的小图形个数，再将两个方向的数量相乘。 解题步骤： 长 ÷ 小正方形边长，取整数商，得到长边最多剪几个； 宽 ÷ 小正方形边长，取整数商，得到宽边最多剪几个； 两个商相乘，即为最多可裁剪的总个数。 2. 铺砖方案优化 题型特征：给定长方形地面尺寸，有多种规格的地砖可选，或地砖有不同价格，求最省钱的铺设方案。 解题策略： 分别计算纯用单一种类地砖的总费用； 考虑混合铺设方案，大面积用大规格地砖，边角用小地砖补齐； 对比所有方案的总费用，选择成本最低的方案。 （六）重叠与覆盖问题 题型特征：两个长方形 / 正方形交叉重叠放置，已知单个图形面积，求覆盖桌面的总面积；或已知总覆盖面积，反求重叠部分面积。 核心公式（两图重叠）： 变形公式： 解题逻辑：两个图形面积相加时，重叠部分被重复计算了一次，因此需要减去一次重叠面积，得到实际覆盖的总面积。 （七）和差倍模型综合 题型特征：已知长方形的周长，以及长与宽的和差关系、倍数关系，求长方形的面积。 解题步骤： 用周长 ÷2，得到长与宽的和； 根据和差、和倍公式，分别求出长和宽的具体数值； 代入面积公式计算最终结果。 核心公式： 和差问题：大数 =（和 + 差）÷2，小数 =（和−差）÷2 和倍问题：小数 = 和 ÷（倍数 + 1） （八）方阵中的周长与面积 1. 实心方阵 总人数（总面积对应量）= 每边人数 × 每边人数 最外层总人数（周长对应量）= 4 ×（每边人数 − 1） 2. 空心方阵 总人数 = 外层大实心方阵人数 − 内部空心小实心方阵人数 最外层人数计算规则与实心方阵一致。 五、核心解题方法汇总 公式代入法：基础规则图形的通用解法，直接对应周长、面积公式代入计算。 平移转化法：不规则周长的核心巧算方法，通过平移线段将不规则轮廓转化为规则长方形周长。 分割求和法：组合图形面积通用解法，拆分为多个规则图形分别计算后求和。 添补求差法：凹形、缺角类图形的常用解法，补全为大规则图形，再减去补上的部分。 最值规律法：周长面积最值问题的核心思路，利用 “长和宽越接近，面积越大、周长越短” 的规律快速求解。 差不变原理：面积差类问题的巧算方法，通过加减公共区域转化为规则图形的面积差。 容斥原理法：重叠覆盖类问题的通用解法，面积和减去重叠面积得到实际总覆盖面积。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 概念维度混淆：混淆周长与面积的意义，求面积用长度单位、求周长用面积单位，或错误比较二者的大小。 面积进率记错：误将相邻面积单位的进率当作 10，正确进率为 100；平方米与平方厘米的进率易误记为 100，实际为 10000。 拼接变化认知错误：误认为图形拼接后周长和面积都不变，实际面积和保持不变，周长和会因重合边减少。 单位不统一计算：长和宽单位不一致时，未换算直接代入公式，导致结果数量级完全错误。 2. 计算类易错点 长方形周长漏乘 2：直接用 “长 + 宽” 当作周长，忘记乘以 2，是本单元最高频计算错误。 正方形公式混淆：将正方形面积算成边长 ×4，周长算成边长 × 边长，公式对应关系错位。 平移周长漏边：凹陷图形平移后，忘记加上凹陷处的两条边，导致计算出的周长比实际偏小。 扩倍规律记错：长和宽同时扩大 n 倍时，误将面积也按 n 倍计算，正确应为扩大倍。 3. 应用类易错点 靠墙篱笆多算边：一面靠墙围篱笆的场景，仍按四条边计算总长度，多算了靠墙的一条边。 裁剪问题直接除面积：大图形剪小图形时，用总面积除以小面积得到个数，忽略长、宽方向的实际排列限制，结果偏多。 铺砖数量直接整除：实际铺砖场景忽略边角切割的损耗，直接用面积相除取整，导致实际砖量不足。 方阵最外层多算 4：计算方阵最外层人数时，直接用边长 ×4，忽略四个角的人被重复计算，正确应为 4×(每边人数−1)。 培优练习 一、选择题 1．一张长12分米，宽5分米的长方形纸，可以剪出（    ）张边长为2分米的正方形纸。 A．12 B．15 C．30 2．下面与“面积”相关的活动是（    ）。 A．绕操场跑两圈 B．值日生擦黑板 C．给相框贴花边 3．小温在三块边长是10分米的铁皮上，分别切掉了一个长4分米、宽2分米的长方形。剩下部分的周长和面积，下列说法正确的是（    ）。 A．面积都不相等，图3周长最长 B．面积都相等，图3周长最长 C．面积都相等，图2周长最长 4．公园中有一处正方形休闲步道，奇奇沿着步道走一圈刚好400米，这处休闲步道的边长是（    ）米。 A．100 B．200 C．400 5．一个长方形周长是20厘米，这个长方形的长和宽可能分别是（    ）和（    ）。 A．10厘米；2厘米 B．7厘米；3厘米 C．12厘米；8厘米 二、填空题 6．在括号里填上合适的单位或数。 3年＝( )个月                600平方厘米＝( )平方分米 乐乐的腰围是0.62( )            一张A4纸的面积约是600( ) 7．在括号里填上合适的单位名称。 教室黑板的周长是10( )    小区草坪的面积是500( ) 一片树叶的周长约是13( )    一张A4纸的面积约是6( ) 8．爷爷想用20米长的篱笆围成一个长方形或正方形（长和宽都取整米数）的鸡圈，20米指围成这个鸡圈的( )，最大是( )平方米。 9．把一个边长为8厘米的正方形对折成两个完全一样的长方形，每个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 10．学校运动会文化长廊里，长方形主题展板相邻两条边的长度之和是17分米，这个展板的周长是( )分米。 11．长15厘米、宽9厘米的长方形纸与正六边形纸的周长相等，正六边形的每条边长( )厘米；在长方形中剪掉一个最大的正方形，剩下的纸还能剪出( )个面积是1平方厘米的小正方形。 12．用( )个1平方厘米的小正方形可以拼成一个面积是1平方分米的大正方形。 13．一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，周长是( )厘米； 一个正方形的周长是12厘米，边长是( )厘米。 14．竹简是古代用来写字的竹片，它的出现使文字记载不再受甲骨、青铜的限制。乐乐在博物馆看到了一片长23厘米、宽1厘米的长方形竹简，这个竹简的面积是( )平方厘米。 15．把一块正方形菜地平均分成9块小正方形地，已知中间小正方形的周长是13米，那大正方形菜地的周长是( )米。 三、判断题 16．1m2的正方形内大约能站下50名小学生。( ) 17．用1平方厘米的小正方形拼大正方形，最少需8个。( ) 18．两个长度单位之间的进率是10，两个面积单位之间的进率是100。( ) 19．一个正方形的周长是20分米，它的面积是25平方分米。( ) 20．图中甲、乙两部分的面积和周长都相等。( ) 四、计算题 21．计算下面图形的周长和面积。（单位：厘米）                  22．计算如图图形的面积。（单位：厘米） 五、解答题 23．科技馆的一个火箭展示区长24米，宽9米，用边长3分米的方砖铺地，这个展示区用多少块方砖才能铺满？如果展示区一面靠墙，用围栏将展示区围起来最少需要多少米围栏？ 24．小区公园铺设了一块面积为30平方米的长方形草地，应广大居民要求，进行了扩建，扩建后的长是原来的2倍，宽不变。扩建后草地的面积是多少平方米？ 25．学校为了更好地开展劳动实践课，用86米长的围栏将一块长方形实践基地的四周围起来，量得这块实践基地的长是38米。这块实践基地的占地面积是多少平方米？ 26．一台扫地机器人充满电后可以续航90分钟，每分钟能清扫4平方米的地面。明明家的客厅长8米，宽6米，扫地机器人清扫完这个客厅需要多少分钟？ 27．为了装修新房，爸爸买了个正方形的插座，它的周长是40厘米，插座的面积是多少平方厘米？合多少平方分米？ 28．任务三：要在足球场馆内用围栏围出一个长方形场地，作为队员的准备场所，长方形场地长8米，宽4米，且一面靠墙，最少需要多长的围栏？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $