第四单元 小数乘整数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学五年级上册(新教材)

**基本信息** 以转化思想为核心，系统整合基础算理与奥数思维，构建从概念到应用的完整解题方法体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|定义、算理、性质等|转化法（小数→整数）|从整数乘法延伸，通过十进制位值原理构建小数乘整数本质，推导积的变化规律| |基础应用题型|4类（计算、单位换算等）|归一归总法、倍数关系法|结合生活场景，应用“单一量×数量=总量”模型，强化运算能力| |奥数进阶题型|12小类（凑整巧算、错中求解等）|凑整分配法、差量对应法、分段计算法|以基础算理为依托，渗透转化凑整、逻辑推理，提升问题解决能力| |核心解题方法|6种（转化、凑整等）|枚举对比法、份数法|从基础方法到奥数策略，形成阶梯式方法链，培养模型意识与创新意识|

第四单元 小数乘整数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 小数乘整数的定义与本质 小数乘整数的意义与整数乘法完全一致，是求几个相同小数加数和的简便运算，核心是将相同小数的连加转化为乘法计算。 本质属性：属于整数乘法在小数域的延伸，底层遵循十进制位值原理，通过转化思想将未知的小数乘法转化为已学的整数乘法求解，是小数运算体系的入门基石。 运算本质：计数单位个数的累加。例如，本质是 3 个 0.1 乘 4，得到 12 个 0.1，即 1.2。 2. 与整数乘法的联系与区别 核心联系：乘法意义完全相同，均为求相同加数和的简便运算；整数乘法的运算律、积的变化规律同样适用于小数乘整数。 核心区别：因数包含小数，计算完成后需根据因数的小数位数给积点上小数点；积可能是小数，也可能通过化简为整数。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是小数乘法单元的起始小节，承接整数乘法、小数的意义与性质，为后续小数乘小数、小数四则混合运算、小数应用题打基础，是小学计算从整数向小数过渡的关键节点。 奥数价值：以小数乘整数为载体，渗透转化凑整、错中求解、差量对应、分段计费、方案优化等核心思维，可延伸出计算巧算、生活综合应用、逻辑推理类题型，是小升初计算与应用模块的高频考点。 二、核心算理与计算法则 1. 核心算理：转化思想 利用积的变化规律实现 “小数→整数” 的转化，将陌生的小数乘法转化为熟练的整数乘法计算： 把小数因数扩大 10 倍、100 倍、1000 倍…… 转化为整数； 按整数乘法的规则算出积； 因为因数被扩大了若干倍，算出的积也对应扩大了相同倍数，需要把积反向缩小到原来的、、……，得到正确结果。 示例：计算 ① 把 3.26 扩大 100 倍变为 326； ② 算整数乘法：； ③ 把积缩小到原来的，得，化简为 16.3。 2. 标准计算法则 算整数积：先忽略小数点，按整数乘法的计算法则算出积； 点小数点：看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； 去尾化简：积的小数部分末尾有 0 的，根据小数的性质去掉末尾的 0，化简结果。 3. 竖式计算规范 对齐规则：将小数因数与整数因数的末尾对齐，而非小数点对齐，这是与小数加减法的核心区别。 计算过程：全程按整数乘法竖式计算，计算过程中不考虑小数点； 收尾操作：计算出整数积后，统一根据小数因数的小数位数点小数点，再化简末尾的 0。 4. 积的小数位数规律 未化简前，积的小数位数与小数因数的小数位数完全相同。 特殊情况：若积的末尾有 0，去掉末尾 0 后，积的小数位数会少于因数的小数位数。例如，因数有 1 位小数，最终积为整数。 补充结论：小数乘整数，积最多有和因数相同的小数位数，最少为 0 位（整数）。 三、核心性质与变化规律 1. 积与因数的大小关系（整数因数） 当整数因数＞1 时，积＞原小数因数； 当整数因数＝1 时，积＝原小数因数； 当整数因数＝0 时，积＝0。 2. 积的变化规律（奥数核心基础） 单因数变化：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的倍（或缩小到原来的），积也同步扩大到原来的倍（或缩小到原来的）。 双因数变化：一个因数扩大倍，另一个因数扩大倍，积扩大倍；同理同时缩小则积缩小倍。 3. 积不变规律 一个因数扩大到原来的倍，另一个因数缩小到原来的，积保持不变。 示例：，三个算式的积完全相等。 4. 小数点移动与积的对应关系 小数因数的小数点向右移动一位，积扩大 10 倍；向右移动两位，积扩大 100 倍，以此类推。 小数因数的小数点向左移动一位，积缩小到原来的；向左移动两位，积缩小到原来的，以此类推。 四、基础应用题型与标准解法 1. 基础计算类 口算题：简单一位小数乘整数，利用数的组成或小数点移动规律直接口算。 竖式计算题：按规范步骤计算，重点训练小数点定位与末尾 0 化简，涵盖两位、三位小数乘整数。 小数点定位题：给出整数乘法的积，直接给小数乘整数的积点小数点，强化小数位数对应规则。 2. 单位换算类应用 题型特征：结合长度、重量、货币、面积等单位换算，利用小数乘整数计算总量。 解题策略：先明确单位进率，将高级单位转化为低级单位用乘法；统一单位后代入 “单一量 × 数量 = 总量” 计算。 典型场景：单价 × 数量 = 总价、单产量 × 面积 = 总产量、速度 × 时间 = 路程。 3. 简单归一归总问题 归一问题：已知单一量和数量，求总量，直接用 “单一量 × 数量 = 总量” 计算。 归总问题：已知单一量和数量先求出总量，再根据新的单一量求对应数量。 核心原则：归一问题抓 “单一量不变”，归总问题抓 “总量不变”。 4. 基础倍数问题 求一个小数的整数倍是多少，直接用乘法计算，是小数乘整数的直接应用。 延伸：已知一个数的整数倍是多少，求这个数，用除法反向计算，为后续小数除法铺垫。 五、奥数进阶题型与解题策略 （一）计算巧算类 1. 凑整巧算（乘法分配律初步） 题型特征：接近整数的小数乘整数，如、，直接列竖式计算繁琐且易出错。 解题策略：将小数拆成 “整数 + 纯小数” 或 “整数 - 纯小数”，利用乘法分配律拆分计算，再求和或差。 核心公式： 示例： 2. 积不变规律巧算 题型特征：算式中因数可通过小数点移动凑整，或多个算式对比、提取公因数。 解题策略：利用积不变规律，将一个因数扩大、另一个对应缩小，转化为整数或更简便的数字计算；也可构造相同因数，为提取公因数简算做准备。 3. 乘加乘减逆向简算 题型特征：多个小数乘整数的算式相加减，且含有相同的整数因数。 解题策略：提取相同的整数因数，将所有小数部分先加减，再乘整数因数，简化计算步骤。 本质：乘法分配律的逆向应用，即。 （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 看错数字类 题型特征：计算时将小数因数的某个数字看错，得到错误的积，要求求出正确的积。 解题策略： 分析看错后因数的增减变化量，对应算出积的增减变化量； 用 “积的变化量 ÷ 因数的变化量 = 不变的整数因数”； 用正确的小数因数乘整数因数，得到正确的积。 2. 小数点错位类 题型特征：计算时漏掉了小数因数的小数点，或点错了小数点位置，导致结果偏大或偏小，求正确结果。 解题策略： 判断小数点错误后，因数扩大或缩小了多少倍，对应积也扩大或缩小了相同倍数； 将错误的积反向缩小或扩大对应倍数，得到正确的积。 示例：计算一个整数时，漏掉了 2.35 的小数点，得到积 940，正确的积为。 3. 积的偏差推理 题型特征：已知错误积与正确积的差值，结合因数的错误变化，求正确的因数或积。 解题策略：差倍对应思路，积的差 ÷ 因数的倍数差 = 不变的另一个因数，再反推正确结果。 （三）实际应用进阶类 1. 复杂归一归总问题 题型特征：多主体、多维度的归一问题，如 “3 台机器每小时生产 4.5 吨零件”，或归总后改变条件求新数量。 解题策略： 归一：先求出最小单位单一量（如 1 台 1 小时产量），再根据目标条件乘对应份数； 归总：先计算出固定总量，再根据新的单一量求对应数量，核心是总量不变。 2. 分段计费问题 题型特征：水费、电费、出租车费、快递费等分段计价场景，不同区间单价不同，求总费用；或已知总费用反推用量。 解题策略： 明确分段节点与对应区间的单价； 将总数量按节点拆分到对应计价区间； 分别计算每段的费用，再相加得到总费用。 易错提醒：起步量包含在第一档，超出部分才按第二档计价，避免重复计算起步部分。 3. 方案优化与最优选择 题型特征：同一商品有多种优惠方案（满减、买几送几、固定套餐等），已知单价与购买数量，求最省钱的购买方案。 解题策略： 分别计算每种纯方案下的总花费； 考虑混合搭配方案，如部分享受买赠、部分单独购买； 对比所有方案的结果，选择费用最低的方案。 4. 间隔与周期型应用 题型特征：事物按固定间隔排列、按固定周期循环，单个间隔 / 周期对应的数量是小数，求若干数量的总长度、总重量等。 解题策略：先算间隔数或完整周期数，再结合小数乘整数计算总量；首尾都有的场景，间隔数 = 个数 - 1。 （四）拓展提升类 1. 和差倍问题结合小数 题型特征：已知两个数的和或差，以及两个数的整数倍关系，求这两个小数分别是多少。 解题公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 核心思路：将较小数看作 1 份，较大数对应倍数份，用和或差对应总份数，求出 1 份量。 2. 定义新运算 题型特征：自定义新的运算符号，运算规则包含小数乘整数，求指定算式的结果。 解题策略：严格按照定义的运算规则，将数字对应代入，转化为常规小数乘整数与加减运算，按顺序计算即可。 3. 极值与范围问题 题型特征：已知积的取值范围，求因数的最大 / 最小值；或已知因数的取值范围，求积的极值。 解题策略：乘法中积随因数同向变化，求最大积就取最大的因数组合，求最小积就取最小的因数组合；结合四舍五入、近似数知识可进一步缩小范围。 六、核心解题方法汇总 转化法：将小数乘整数转化为整数乘法计算，是本单元的核心算理基础。 凑整分配法：接近整数的小数拆分后用乘法分配律巧算，提升计算速度与准确率。 差量对应法：错中求解问题的核心，用积的变化量对应因数的变化量，求出不变量再推导正确结果。 分段计算法：分段计费类问题的通用解法，按节点拆分区间，分别计算再求和。 枚举对比法：方案优化类题目，逐一计算各方案费用，对比后选择最优解。 份数法：和差倍问题的通用思路，将数量关系转化为份数对应，简化计算。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 竖式对齐错误：模仿小数加减法将小数点对齐，正确应为末尾对齐，按整数乘法规则计算。 小数位数规律误解：认为积的小数位数一定和因数完全相同，忽略末尾有 0 时需要化简，化简后小数位数会减少。 积与因数大小混淆：误以为乘任何整数积都比原数大，忽略乘 0、乘 1 的特殊情况。 2. 计算类易错点 小数点定位错误：数小数位数时从左往右数，正确应从积的右边起向左数对应位数；积的位数不够时，忘记在前面补 0 占位。 去 0 顺序错误：先去掉末尾的 0 再点小数点，正确操作是先点小数点，再去掉小数末尾的 0。 分配律拆分错误：凑整拆分时漏乘整数部分或小数部分，导致结果出现偏差。 单位不统一：应用题中单价与数量单位不匹配，未换算就直接计算，结果数量级错误。 3. 应用类易错点 分段计费节点算错：起步部分重复计算，或超出部分数量算错，如出租车计费忽略起步包含的里程。 买赠数量计算错误：优惠问题中误将赠送的数量计入付费数量，导致总费用算多。 归一问题份数遗漏：多主体归一问题中，求单位量时只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度的份数。 间隔问题首尾偏差：植树、排队类间隔题，直接用间隔长度乘个数，忽略 “间隔数 = 个数 - 1” 的规则。 培优练习 一、选择题 1．罗湖一公园计划修建一个梯形广场供游客休息。广场上底长12米，下底是上底的1.5倍，高为8米，这个广场的占地面积是（    ）平方米。 A．96 B．120 C．144 D．160 【答案】B 【分析】上底长度×1.5＝下底长度，利用梯形面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算广场占地面积。 【详解】（米） （平方米） 故广场的占地面积是120平方米。 2．唐代诗人李白在《赠汪伦》一诗中用“桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情”表达了诗人和汪伦深厚的友情。已知唐代“一尺”约为0.307米，那么“千尺”约是（    ）米。 A．3.07 B．30.7 C．307 D．3070 【答案】C 【分析】“千尺”就是1000尺，求千尺的总长度用一尺的长度乘1000即可，一个数乘1000，小数点向右移动三位。 【详解】（米） 所以“千尺”约是307米。 3．李老师为同学们购买奖品，每本作业本4.6元，共买了15本，下面说法正确的是（    ）。 A．应付的钱数一定是60元 B．应付的钱数不到60元 C．应付的钱数超过了75元 D．付100元，找回31元 【答案】D 【分析】总价＝单价×数量，先计算购买15本作业本的总费用，用李老师付的钱数减去买作业本花的钱数，求出应找回多少钱即可。 【详解】总费用：（元） A．69元≠60元，应付的钱数不是60元，错误； B．69元＞60元，应付的钱数超过60元，错误； C．69元＜75元，应付的钱数没超过75元，错误； D．（元），正确。 4．数7.64去掉小数点后，得到的新数比原来的数大（    ）倍。 A．1 B．10 C．99 D．100 【答案】C 【分析】去掉小数点后，7.64变为764，相当于将原数的小数点向右移动两位，扩大到原来的100倍。题目要求“大多少倍”，即新数比原数多出的部分是原数的多少倍，因此需用100－1＝99倍。 【详解】原数7.64去掉小数点后得到764。 小数点向右移动两位，新数是原数的100倍。 计算大的倍数：100－1＝99倍。 故答案为：C 5．聪聪看一本书，原计划每天看30页，实际每天看的页数是原计划的1.5倍，结果4天就看完了。这本书共（    ）页。 A．20 B．45 C．190 D．180 【答案】D 【分析】根据求一个数的几倍用乘法，则原计划每天看的页数×1.5＝实际每天看的页数，再用实际每天看的页数×实际看完整本书需要的天数4天＝这本书总页数，代入数据计算即可。 【详解】30×1.5×4 ＝45×4 ＝180（页） 所以这本书共180页。 故答案为：D 二、填空题 6．某超市举办促销活动，一种毛巾买5条送1条。每条毛巾售价6.5元，王阿姨想买12条毛巾，需要花( )元。 【答案】 65 【分析】先理解“买5条送1条”的促销规则，即付5条毛巾的钱可以得到6条毛巾；再计算12条毛巾里包含几组6条，从而求出实际需要付费的毛巾数量；最后根据“总价＝单价×数量”算出总花费。用一个数乘10，把这个数扩大到原来的10倍，小数点就向右移动一位，据此即可解答。 【详解】 （组） （元） 某超市举办促销活动，一种毛巾买5条送1条。每条毛巾售价6.5元，王阿姨想买12条毛巾，需要花65元。 7．把一个小数的小数点向左移动两位是0.036，这个小数原来是( )。 【答案】3.6 【分析】小数点向左移动两位，相当于把原数除以100得到0.036，要找回原来的数，只要把0.036的小数点往相反方向（右）移动两位，也就是乘100，就能得到原数3.6。 【详解】0.036×100＝3.6 把一个小数的小数点向左移动两位是0.036，这个小数原来是3.6。 8．文轩书店“六一”儿童节大促销，所有图书买5本赠1本。《智慧小百科》每本13.65元，李老师想买12本，需要付( )元。 【答案】136.5 【分析】根据“买5本赠1本”的促销规则，买10本赠2本，10＋2＝12，李老师想买12本只需花10本的钱即可，根据总金额＝数量×单价，计算出总价即可。 【详解】12÷5＝2（组）……2（本） 2×5＝10（本） 13.65×10＝136.5（元） 9．公园计划修建一个长28米、宽16.7米的草坪。实际修建草坪的宽比计划减少了2.2米。草坪的实际面积是( )平方米。 【答案】406 【分析】先根据已知条件用计划的宽减去2.2米，求出实际的宽；再利用长方形面积＝长×宽，用长乘实际的宽得到草坪的实际面积。 【详解】16.7－2.2＝14.5（米） 28×14.5＝406（平方米） 因此，公园计划修建一个长28米、宽16.7米的草坪。实际修建草坪的宽比计划减少了2.2米。草坪的实际面积是406平方米。 10．用12吨大豆可以榨油2.4吨，照这样计算，2吨大豆可以榨油( )吨，榨4吨油需要( )吨大豆。 【答案】 0.4 20 【分析】根据12吨大豆可以榨油2.4吨，则每吨大豆的榨油量＝榨油的吨数÷大豆的吨数，每吨油所需的大豆量＝大豆的吨数÷榨油的吨数，代入数据计算即可。 【详解】2.4÷12＝0.2（吨），2×0.2＝0.4（吨） 12÷2.4＝5（吨），4×5＝20（吨） 则2吨大豆可以榨油0.4吨，榨4吨油需要20吨大豆。 11．把2.5＋2.5＋2.5改写成乘法算式是( )；把3.5×4改写成加法算式是( )。 【答案】 2.5×3 3.5＋3.5＋3.5＋3.5 【分析】3个2.5相加等于2.5乘3，等于4个3.5相加，据此解答。 【详解】由分析可知： 把改写成乘法算式是；把改写成加法算式是。 12．陕西特色的茯茶压制很讲究，已知压制4.5千克的茯茶需要用2.25平方米的棉纸包装。照这样，压制18千克的茯茶需用( )平方米的棉纸包装。 【答案】9 【分析】已知压制4.5千克茯茶需要2.25平方米棉纸， 用“总棉纸面积÷对应茯茶重量”计算，得出每千克茯茶需要的棉纸。用每千克茯茶需要的棉纸乘18千克，即可计算18千克茯茶的棉纸总用量。 【详解】2.25÷4.5×18 ＝0.5×18 ＝9（平方米） 所以压制18千克的茯茶需用9平方米的棉纸包装。 13．0.36去掉小数点后是( )，相当于扩大到原来的( )倍，也就是把原数的小数点向( )移动( )位。 【答案】 36 100 右 两 【分析】本题主要考查小数点位置移动引起数的大小变化规律：一个数的小数点向右移动一位、两位、三位…，这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍…，反之也成立。把一个数的小数点向左移动一位、两位、三位……就是将这个数缩小到它的、、……，反之也成立，由此解答即可。 【详解】由分析可知，0.36去掉小数点后是36，相当于扩大到原来的100倍，也就是把原数的小数点向右移动两位。 14．“丈”、“尺”、“寸”是中国传统的长度单位，《三国演义》中记载，关羽“身高九尺”，关羽的身高是( )厘米。 【答案】208.8 【分析】根据题意可知，三国时一尺约合23.2厘米，而关羽“身高九尺”，也就是9个23.2厘米，所以用乘法计算，可列式为23.2×9，计算出结果即可。 【详解】23.2×9＝208.8（厘米） 所以关羽的身高是208.8厘米。 15．缫丝机可以将蚕茧中的蚕丝抽出，形成丝线。杭州缫丝厂购进了一台价值900欧元的自动缫丝机，相当于( )元人民币。（1欧元兑换人民币7.80元） 【答案】 7020 【分析】根据人民币外汇兑换标准可知：1欧元可以兑换7.80元人民币，本题就是求900欧元可兑换的人民币的金额，即求7.80元的900倍是多少，直接用7.80×900即可。 【详解】7.80×900＝7020（元） 即杭州缫丝厂购进了一台价值900欧元的自动缫丝机，相当于7020元人民币。 三、判断题 16．把3.18的小数点向右移动两位是318。( ) 【答案】 √ 【分析】把一个数扩大10倍、100倍、1000倍……，只要把这个数的小数点向右移动一位、两位、三位……，据此即可解答。 【详解】把3.18的小数点向右移动两位，也就是把3.18扩大100倍，即，题干说法正确。 故答案为：√ 17．10kg大豆可以榨1.9kg豆油，1t大豆可以榨190kg豆油。( ) 【答案】 √ 【分析】先把1t换算成1000kg，算出1000kg里有多少个10kg，再乘每10kg大豆的榨油量，和题干给出的190kg对比即可判断。用一个数乘100，把这个数扩大到原来的100倍，小数点就向右移动两位。 【详解】 （kg） 计算结果与题干表述一致。 故答案为：√ 18．甲地到乙地的公路长是180千米，一辆汽车上午8时10分从甲地出发，每小时行驶75千米，则到乙地的时间是上午10时50分。( ) 【答案】× 【分析】根据“时间＝路程÷速度”求出行驶所需的时间，再将行驶时间加到出发时刻上，得出实际到达时刻，最后与题干给出的时刻进行对比。 【详解】行驶所需时间：180÷75＝2.4（小时） 0.4小时＝0.4×60＝24分钟，即行驶时间为2小时24分； 到达时刻：8时10分＋2小时24分钟＝10时34分； 10时34分≠10时50分，所以原题说法错误。 故答案为：× 19．巧家县出产的小碗红糖，如果一小块重0.05千克，100块这样的小碗红糖重5千克。( ) 【答案】 √ 【分析】已知一小块红糖重量，求100块这样的红糖重量，根据“总质量＝单块质量数量”计算，结果与题干中给出的 5 千克进行比较可判断正误。 【详解】100×0.05＝5（千克） 5千克＝5千克，原题干说法正确。 故答案为：√ 20．小数乘法的意义与整数乘法的意义完全相同。( ) 【答案】× 【分析】整数乘法是求几个相同加数的和的简便运算，或者是求一个数的几倍是多少；当小数乘整数时，小数乘法的意义和整数乘法的意义相同；当小数乘小数时，表示求一个数的十分之几、百分之几……是多少，它是整数乘法意义的进一步扩展，二者的意义并不完全相同，据此解答。 【详解】分析可知，小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，如：3×4和0.3×8都表示求几个相同加数的和，而小数乘小数的意义与整数乘法的意义有所不同，如：0.5×0.3表示求0.5的十分之三是多少，所以小数乘法的意义与整数乘法的意义不完全相同，题目说法错误。 故答案为：× 四、计算题 21．算一算。                                                                                                                                                                                                                                                    【答案】0.5；1.6；3； 0.72；0.25；20； 8；0.8；11； 10；21.6；4； 12；10.4；22.5； 11.5；9；39； 14；1；6.3； 10；9.99；100； 8；254；67.2； 129.6；2.6；1270； 0.6；7.2；1.1 【解析】略 22．用竖式计算。 5.68×17＝    0.92×21＝    2.05×340＝ 【答案】96.56；19.32；697 【分析】根据“小数乘整数的竖式计算方法”，先按整数乘法算出积，再看乘数中有几位小数，就在积中从右往左数出几位，点上小数点；最后一题340末尾有0，可先不看0，算2.05×34，再在积的末尾添上一个0。 【详解】 五、解答题 23．一瓶饮料1.5升，3瓶这样的饮料一共多少升？如果每升饮料售价4元，买3瓶饮料需要多少元？ 【答案】4.5升；18元 【分析】每瓶体积瓶数总体积；每升的单价3瓶的总升数总价；代入数据即可。 【详解】3瓶饮料的总体积：1.5×3＝4.5（升） 买3瓶饮料需要的钱数：4.5×4＝18（元） 答：3瓶这样的饮料一共4.5升，买3瓶饮料需要18元。 24．爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价成人24.5元，儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 【答案】122元 【分析】根据题意，一家三口包括2位成人和1位儿童，往返意味着每人需要购买2张票（去程和回程各一张）。先计算单程的总票价，再乘2得到往返总费用；注意儿童票价是固定的12元，不是成人票价的一半。 【详解】（24.5×2＋12）×2 ＝（49＋12）×2 ＝61×2 ＝122（元） 答：一家三口往返交通费需要122元。 25．新区一家光电信息企业生产的“高端光谱成像设备”核心部件，每个质量为0.66千克。科研所订购了125个这样的部件。这批部件的总质量是多少千克？是否符合技术规范要求？（该科研所的技术规范要求：该批次部件的总质量不能超过85千克） 【答案】 82.5千克；符合 【分析】根据“总质量＝单个质量×数量”求出这批部件的总质量，再将计算出的总质量与技术规范要求的85千克进行比较，若总质量小于或等于85千克，则符合要求，否则不符合。 【详解】0.66×125＝82.5（千克） 82.5＜85 答：这批部件的总质量是82.5千克，符合技术规范要求。 26．某景区每张儿童票20.5元，成人票是儿童票的2倍，爸爸、妈妈、淘气和妹妹一起去游玩，景区门票共花多少元？ 【答案】 123元 【分析】已知儿童票每张元，成人票价格是儿童票的倍，先计算成人票的价格。爸爸和妈妈需要购买成人票，淘气和妹妹需要购买儿童票，即需要购买张成人票和张儿童票。最后把张成人票的总价和张儿童票的总价相加，列综合算式计算即可。 【详解】 （元） 答 ：景区门票共花元。 27．养鸡场养了200只小鸡，每只小鸡每天要吃0.08千克饲料，50千克饲料够这些小鸡吃3天吗？ 【答案】够 【分析】根据题意，用每只小鸡每天要吃饲料的质量乘小鸡的只数，求出200只小鸡一天吃饲料的质量，再乘3，求出200只小鸡3天吃饲料的质量，再与50千克进行比较即可解题。 【详解】200×0.08＝16（千克）     16×3＝48（千克）      48＜50 答：50千克饲料够吃3天。 28．唐代“诗仙”李白曾作诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”。唐代“一尺”约合现在的0.307米，请算一算瀑布是从多高处急冲而下。 【答案】921米 【分析】瀑布是从多高处急冲而下是多少米，用一尺的高度0.307乘3000，即可算出瀑布从多高处急冲而下。 【详解】0.307×3000＝921（米） 答：瀑布是从921米的多高处急冲而下。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 小数乘整数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 小数乘整数的定义与本质 小数乘整数的意义与整数乘法完全一致，是求几个相同小数加数和的简便运算，核心是将相同小数的连加转化为乘法计算。 本质属性：属于整数乘法在小数域的延伸，底层遵循十进制位值原理，通过转化思想将未知的小数乘法转化为已学的整数乘法求解，是小数运算体系的入门基石。 运算本质：计数单位个数的累加。例如，本质是 3 个 0.1 乘 4，得到 12 个 0.1，即 1.2。 2. 与整数乘法的联系与区别 核心联系：乘法意义完全相同，均为求相同加数和的简便运算；整数乘法的运算律、积的变化规律同样适用于小数乘整数。 核心区别：因数包含小数，计算完成后需根据因数的小数位数给积点上小数点；积可能是小数，也可能通过化简为整数。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是小数乘法单元的起始小节，承接整数乘法、小数的意义与性质，为后续小数乘小数、小数四则混合运算、小数应用题打基础，是小学计算从整数向小数过渡的关键节点。 奥数价值：以小数乘整数为载体，渗透转化凑整、错中求解、差量对应、分段计费、方案优化等核心思维，可延伸出计算巧算、生活综合应用、逻辑推理类题型，是小升初计算与应用模块的高频考点。 二、核心算理与计算法则 1. 核心算理：转化思想 利用积的变化规律实现 “小数→整数” 的转化，将陌生的小数乘法转化为熟练的整数乘法计算： 把小数因数扩大 10 倍、100 倍、1000 倍…… 转化为整数； 按整数乘法的规则算出积； 因为因数被扩大了若干倍，算出的积也对应扩大了相同倍数，需要把积反向缩小到原来的、、……，得到正确结果。 示例：计算 ① 把 3.26 扩大 100 倍变为 326； ② 算整数乘法：； ③ 把积缩小到原来的，得，化简为 16.3。 2. 标准计算法则 算整数积：先忽略小数点，按整数乘法的计算法则算出积； 点小数点：看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； 去尾化简：积的小数部分末尾有 0 的，根据小数的性质去掉末尾的 0，化简结果。 3. 竖式计算规范 对齐规则：将小数因数与整数因数的末尾对齐，而非小数点对齐，这是与小数加减法的核心区别。 计算过程：全程按整数乘法竖式计算，计算过程中不考虑小数点； 收尾操作：计算出整数积后，统一根据小数因数的小数位数点小数点，再化简末尾的 0。 4. 积的小数位数规律 未化简前，积的小数位数与小数因数的小数位数完全相同。 特殊情况：若积的末尾有 0，去掉末尾 0 后，积的小数位数会少于因数的小数位数。例如，因数有 1 位小数，最终积为整数。 补充结论：小数乘整数，积最多有和因数相同的小数位数，最少为 0 位（整数）。 三、核心性质与变化规律 1. 积与因数的大小关系（整数因数） 当整数因数＞1 时，积＞原小数因数； 当整数因数＝1 时，积＝原小数因数； 当整数因数＝0 时，积＝0。 2. 积的变化规律（奥数核心基础） 单因数变化：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的倍（或缩小到原来的），积也同步扩大到原来的倍（或缩小到原来的）。 双因数变化：一个因数扩大倍，另一个因数扩大倍，积扩大倍；同理同时缩小则积缩小倍。 3. 积不变规律 一个因数扩大到原来的倍，另一个因数缩小到原来的，积保持不变。 示例：，三个算式的积完全相等。 4. 小数点移动与积的对应关系 小数因数的小数点向右移动一位，积扩大 10 倍；向右移动两位，积扩大 100 倍，以此类推。 小数因数的小数点向左移动一位，积缩小到原来的；向左移动两位，积缩小到原来的，以此类推。 四、基础应用题型与标准解法 1. 基础计算类 口算题：简单一位小数乘整数，利用数的组成或小数点移动规律直接口算。 竖式计算题：按规范步骤计算，重点训练小数点定位与末尾 0 化简，涵盖两位、三位小数乘整数。 小数点定位题：给出整数乘法的积，直接给小数乘整数的积点小数点，强化小数位数对应规则。 2. 单位换算类应用 题型特征：结合长度、重量、货币、面积等单位换算，利用小数乘整数计算总量。 解题策略：先明确单位进率，将高级单位转化为低级单位用乘法；统一单位后代入 “单一量 × 数量 = 总量” 计算。 典型场景：单价 × 数量 = 总价、单产量 × 面积 = 总产量、速度 × 时间 = 路程。 3. 简单归一归总问题 归一问题：已知单一量和数量，求总量，直接用 “单一量 × 数量 = 总量” 计算。 归总问题：已知单一量和数量先求出总量，再根据新的单一量求对应数量。 核心原则：归一问题抓 “单一量不变”，归总问题抓 “总量不变”。 4. 基础倍数问题 求一个小数的整数倍是多少，直接用乘法计算，是小数乘整数的直接应用。 延伸：已知一个数的整数倍是多少，求这个数，用除法反向计算，为后续小数除法铺垫。 五、奥数进阶题型与解题策略 （一）计算巧算类 1. 凑整巧算（乘法分配律初步） 题型特征：接近整数的小数乘整数，如、，直接列竖式计算繁琐且易出错。 解题策略：将小数拆成 “整数 + 纯小数” 或 “整数 - 纯小数”，利用乘法分配律拆分计算，再求和或差。 核心公式： 示例： 2. 积不变规律巧算 题型特征：算式中因数可通过小数点移动凑整，或多个算式对比、提取公因数。 解题策略：利用积不变规律，将一个因数扩大、另一个对应缩小，转化为整数或更简便的数字计算；也可构造相同因数，为提取公因数简算做准备。 3. 乘加乘减逆向简算 题型特征：多个小数乘整数的算式相加减，且含有相同的整数因数。 解题策略：提取相同的整数因数，将所有小数部分先加减，再乘整数因数，简化计算步骤。 本质：乘法分配律的逆向应用，即。 （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 看错数字类 题型特征：计算时将小数因数的某个数字看错，得到错误的积，要求求出正确的积。 解题策略： 分析看错后因数的增减变化量，对应算出积的增减变化量； 用 “积的变化量 ÷ 因数的变化量 = 不变的整数因数”； 用正确的小数因数乘整数因数，得到正确的积。 2. 小数点错位类 题型特征：计算时漏掉了小数因数的小数点，或点错了小数点位置，导致结果偏大或偏小，求正确结果。 解题策略： 判断小数点错误后，因数扩大或缩小了多少倍，对应积也扩大或缩小了相同倍数； 将错误的积反向缩小或扩大对应倍数，得到正确的积。 示例：计算一个整数时，漏掉了 2.35 的小数点，得到积 940，正确的积为。 3. 积的偏差推理 题型特征：已知错误积与正确积的差值，结合因数的错误变化，求正确的因数或积。 解题策略：差倍对应思路，积的差 ÷ 因数的倍数差 = 不变的另一个因数，再反推正确结果。 （三）实际应用进阶类 1. 复杂归一归总问题 题型特征：多主体、多维度的归一问题，如 “3 台机器每小时生产 4.5 吨零件”，或归总后改变条件求新数量。 解题策略： 归一：先求出最小单位单一量（如 1 台 1 小时产量），再根据目标条件乘对应份数； 归总：先计算出固定总量，再根据新的单一量求对应数量，核心是总量不变。 2. 分段计费问题 题型特征：水费、电费、出租车费、快递费等分段计价场景，不同区间单价不同，求总费用；或已知总费用反推用量。 解题策略： 明确分段节点与对应区间的单价； 将总数量按节点拆分到对应计价区间； 分别计算每段的费用，再相加得到总费用。 易错提醒：起步量包含在第一档，超出部分才按第二档计价，避免重复计算起步部分。 3. 方案优化与最优选择 题型特征：同一商品有多种优惠方案（满减、买几送几、固定套餐等），已知单价与购买数量，求最省钱的购买方案。 解题策略： 分别计算每种纯方案下的总花费； 考虑混合搭配方案，如部分享受买赠、部分单独购买； 对比所有方案的结果，选择费用最低的方案。 4. 间隔与周期型应用 题型特征：事物按固定间隔排列、按固定周期循环，单个间隔 / 周期对应的数量是小数，求若干数量的总长度、总重量等。 解题策略：先算间隔数或完整周期数，再结合小数乘整数计算总量；首尾都有的场景，间隔数 = 个数 - 1。 （四）拓展提升类 1. 和差倍问题结合小数 题型特征：已知两个数的和或差，以及两个数的整数倍关系，求这两个小数分别是多少。 解题公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 核心思路：将较小数看作 1 份，较大数对应倍数份，用和或差对应总份数，求出 1 份量。 2. 定义新运算 题型特征：自定义新的运算符号，运算规则包含小数乘整数，求指定算式的结果。 解题策略：严格按照定义的运算规则，将数字对应代入，转化为常规小数乘整数与加减运算，按顺序计算即可。 3. 极值与范围问题 题型特征：已知积的取值范围，求因数的最大 / 最小值；或已知因数的取值范围，求积的极值。 解题策略：乘法中积随因数同向变化，求最大积就取最大的因数组合，求最小积就取最小的因数组合；结合四舍五入、近似数知识可进一步缩小范围。 六、核心解题方法汇总 转化法：将小数乘整数转化为整数乘法计算，是本单元的核心算理基础。 凑整分配法：接近整数的小数拆分后用乘法分配律巧算，提升计算速度与准确率。 差量对应法：错中求解问题的核心，用积的变化量对应因数的变化量，求出不变量再推导正确结果。 分段计算法：分段计费类问题的通用解法，按节点拆分区间，分别计算再求和。 枚举对比法：方案优化类题目，逐一计算各方案费用，对比后选择最优解。 份数法：和差倍问题的通用思路，将数量关系转化为份数对应，简化计算。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 竖式对齐错误：模仿小数加减法将小数点对齐，正确应为末尾对齐，按整数乘法规则计算。 小数位数规律误解：认为积的小数位数一定和因数完全相同，忽略末尾有 0 时需要化简，化简后小数位数会减少。 积与因数大小混淆：误以为乘任何整数积都比原数大，忽略乘 0、乘 1 的特殊情况。 2. 计算类易错点 小数点定位错误：数小数位数时从左往右数，正确应从积的右边起向左数对应位数；积的位数不够时，忘记在前面补 0 占位。 去 0 顺序错误：先去掉末尾的 0 再点小数点，正确操作是先点小数点，再去掉小数末尾的 0。 分配律拆分错误：凑整拆分时漏乘整数部分或小数部分，导致结果出现偏差。 单位不统一：应用题中单价与数量单位不匹配，未换算就直接计算，结果数量级错误。 3. 应用类易错点 分段计费节点算错：起步部分重复计算，或超出部分数量算错，如出租车计费忽略起步包含的里程。 买赠数量计算错误：优惠问题中误将赠送的数量计入付费数量，导致总费用算多。 归一问题份数遗漏：多主体归一问题中，求单位量时只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度的份数。 间隔问题首尾偏差：植树、排队类间隔题，直接用间隔长度乘个数，忽略 “间隔数 = 个数 - 1” 的规则。 培优练习 一、选择题 1．罗湖一公园计划修建一个梯形广场供游客休息。广场上底长12米，下底是上底的1.5倍，高为8米，这个广场的占地面积是（    ）平方米。 A．96 B．120 C．144 D．160 2．唐代诗人李白在《赠汪伦》一诗中用“桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情”表达了诗人和汪伦深厚的友情。已知唐代“一尺”约为0.307米，那么“千尺”约是（    ）米。 A．3.07 B．30.7 C．307 D．3070 3．李老师为同学们购买奖品，每本作业本4.6元，共买了15本，下面说法正确的是（    ）。 A．应付的钱数一定是60元 B．应付的钱数不到60元 C．应付的钱数超过了75元 D．付100元，找回31元 4．数7.64去掉小数点后，得到的新数比原来的数大（    ）倍。 A．1 B．10 C．99 D．100 5．聪聪看一本书，原计划每天看30页，实际每天看的页数是原计划的1.5倍，结果4天就看完了。这本书共（    ）页。 A．20 B．45 C．190 D．180 二、填空题 6．某超市举办促销活动，一种毛巾买5条送1条。每条毛巾售价6.5元，王阿姨想买12条毛巾，需要花( )元。 7．把一个小数的小数点向左移动两位是0.036，这个小数原来是( )。 8．文轩书店“六一”儿童节大促销，所有图书买5本赠1本。《智慧小百科》每本13.65元，李老师想买12本，需要付( )元。 9．公园计划修建一个长28米、宽16.7米的草坪。实际修建草坪的宽比计划减少了2.2米。草坪的实际面积是( )平方米。 10．用12吨大豆可以榨油2.4吨，照这样计算，2吨大豆可以榨油( )吨，榨4吨油需要( )吨大豆。 11．把2.5＋2.5＋2.5改写成乘法算式是( )；把3.5×4改写成加法算式是( )。 12．陕西特色的茯茶压制很讲究，已知压制4.5千克的茯茶需要用2.25平方米的棉纸包装。照这样，压制18千克的茯茶需用( )平方米的棉纸包装。 13．0.36去掉小数点后是( )，相当于扩大到原来的( )倍，也就是把原数的小数点向( )移动( )位。 14．“丈”、“尺”、“寸”是中国传统的长度单位，《三国演义》中记载，关羽“身高九尺”，关羽的身高是( )厘米。 15．缫丝机可以将蚕茧中的蚕丝抽出，形成丝线。杭州缫丝厂购进了一台价值900欧元的自动缫丝机，相当于( )元人民币。（1欧元兑换人民币7.80元） 三、判断题 16．把3.18的小数点向右移动两位是318。( ) 17．10kg大豆可以榨1.9kg豆油，1t大豆可以榨190kg豆油。( ) 18．甲地到乙地的公路长是180千米，一辆汽车上午8时10分从甲地出发，每小时行驶75千米，则到乙地的时间是上午10时50分。( ) 19．巧家县出产的小碗红糖，如果一小块重0.05千克，100块这样的小碗红糖重5千克。( ) 20．小数乘法的意义与整数乘法的意义完全相同。( ) 四、计算题 21．算一算。                                                                                                                                                                                                                                                    22．用竖式计算。 5.68×17＝    0.92×21＝    2.05×340＝ 五、解答题 23．一瓶饮料1.5升，3瓶这样的饮料一共多少升？如果每升饮料售价4元，买3瓶饮料需要多少元？ 24．爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价成人24.5元，儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 25．新区一家光电信息企业生产的“高端光谱成像设备”核心部件，每个质量为0.66千克。科研所订购了125个这样的部件。这批部件的总质量是多少千克？是否符合技术规范要求？（该科研所的技术规范要求：该批次部件的总质量不能超过85千克） 26．某景区每张儿童票20.5元，成人票是儿童票的2倍，爸爸、妈妈、淘气和妹妹一起去游玩，景区门票共花多少元？ 27．养鸡场养了200只小鸡，每只小鸡每天要吃0.08千克饲料，50千克饲料够这些小鸡吃3天吗？ 28．唐代“诗仙”李白曾作诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”。唐代“一尺”约合现在的0.307米，请算一算瀑布是从多高处急冲而下。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $