第四单元 小数除以整数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学五年级上册(新教材)

**基本信息** 以位值均分思想为核心，系统整合基础算理、性质规律与奥数进阶方法，构建“概念-算理-应用-拓展”四维训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |知识梳理|覆盖定义、算理、性质|位值均分法、四步计算法则|从十进制计数单位均分本质出发，推导算理与整数除法的联系区别，构建性质规律认知链| |基础应用|含单位换算、归一问题等|乘除验算法、单一量求解|依托算理解决实际问题，强化抽象能力与应用意识| |奥数进阶|错中求解、分段计费等|差量对应法、分段逆推法|结合商的变化规律，通过和差倍模型、方案优化提升推理意识| |解题方法|6大核心方法汇总|性质巧算法、份数法|方法与题型精准对应，形成从基础到拓展的完整解题策略体系|

第四单元 小数除以整数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 小数除以整数的定义与本质 小数除以整数的意义与整数除法完全一致：已知两个因数的积与其中一个整数因数，求另一个因数的运算；也可理解为把一个小数总量平均分成若干份，求每份对应的数量。 本质属性：十进制计数单位的逐级均分，当高位计数单位不够平均分配时，转化为更低一级的计数单位，与低位数字合并后继续均分，全程遵循平均分的公平性原则。 运算本质：计数单位个数的平均分。例如，本质是 1 个一不够分，转化为 10 个 0.1 与 5 个 0.1 合并为 15 个 0.1，平均分成 3 份，每份 5 个 0.1，即 0.5。 2. 与整数除法的联系与区别 核心联系：算理逻辑完全相通，都遵循 “从高位除起、除到哪一位商到哪一位、余数小于除数” 的基本规则；整数除法的运算性质、验算方法全部适用于小数除以整数。 核心区别：被除数包含小数部分，商需要对齐被除数的小数点标注小数点；整数部分不够除时需商 0 占位，可继续向下除小数部分，计算精度更高。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是小数除法单元的起始小节，承接整数除法、小数的意义与性质、小数乘整数知识，是小数运算体系的关键过渡，为后续小数除以小数、小数四则混合运算、复杂应用题筑牢基础。 奥数价值：以小数除法为载体，延伸出错中求解、商的变化规律巧算、差倍模型、分段计费反算、归一归总进阶等经典题型，强化逆向推理、规律迁移与实际问题建模能力，是小升初计算与应用模块的核心高频考点。 二、核心算理与计算法则 1. 核心算理：位值均分思想 基于十进制位值原则，从被除数的高位到低位逐级平均分配；某一位上的数不够商 1 时，就将该位的计数单位转化为下一级计数单位，与下一位的数字合并后继续除。商的小数点与被除数的小数点严格对齐，保证商与被除数的计数单位一一对应。 也可通过商的变化规律转化理解：把被除数扩大 10 倍、100 倍…… 转化为整数，按整数除法算出商后，再把商反向缩小到原来的、……，得到正确结果，与小数乘整数的转化思想形成互逆对应。 2. 标准计算四步法则 除高位：按整数除法法则从被除数的高位除起，除数是几位就先看被除数的前几位，不够除就多看一位； 商对齐：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；商的小数点必须和被除数的小数点对齐； 0 占位：如果某一位上的数不够商 1，要在该位商 0 占位，避免数位错位； 续除 0：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除，直到除尽或达到要求的计算精度。 3. 三类基础题型的竖式规范 （1）整数部分够除型 被除数整数部分大于或等于除数，按整数除法规则除完整数部分，对齐被除数小数点给商点小数点，继续计算小数部分。 示例： （2）整数部分不够除型 被除数整数部分小于除数，整数部分直接商 0，点上小数点后，将整数部分的余数与小数部分合并继续除。 示例： （3）末尾有余数补 0 型 除到被除数的末位仍有余数时，在余数后添 0 继续除，可不断补 0 直到除尽。 示例： 4. 验算方法 小数除以整数的验算依托乘除互逆关系，与整数除法验算逻辑一致： 无余数： 有余数： 注意：余数的计数单位与被除数当前数位一致，需对应小数点位置判断实际大小。 三、核心性质与变化规律 1. 商与被除数的大小关系（除数为正整数） 除数＞1 时，商＜被除数（被除数不为 0）； 除数＝1 时，商＝被除数； 除数不能为 0，对应除法无意义。 2. 商的变化规律（除数不变） 被除数扩大到原来的倍，除数不变，商也同步扩大到原来的倍； 被除数缩小到原来的，除数不变，商也同步缩小到原来的； 对应小数点移动：被除数小数点向右移动一位、两位…… 除数不变，商的小数点同步向右移动一位、两位……；向左移动同理。 3. 除法的运算性质 连除性质：一个数连续除以两个整数，等于除以这两个整数的积。 公式：（均不为 0） 同除数分配性质：两个数的和（或差）除以同一个整数，等于这两个数分别除以该整数，再相加（或相减）。 公式：（不为 0） 注意：仅除数相同时可拆分，被除数相同、除数不同时不可套用该规律。 4. 商不变规律 被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商保持不变。这是后续学习 “小数除以小数” 的核心依据，本小节中可用于将除数凑整，简化计算。 四、基础应用题型与标准解法 1. 基础计算类 口算题：简单一位小数、两位小数除以整数，利用数的组成或小数点移动规律直接口算。 竖式计算题：覆盖上述三类基础题型，重点训练小数点对齐、商 0 占位、末尾补 0 三个核心操作要点。 验算题：用乘法反向验证除法结果，强化乘除互逆认知，提升计算准确率。 2. 单位换算类应用 题型特征：低级单位数量换算为高级单位，如厘米转米、克转千克，利用小数除以进率计算结果。 解题策略：明确单位进率，低级单位转高级单位用除法，。 典型场景：长度、质量、面积单位的小化大，以及单价、单产量、速度等单一量的计算。 3. 简单平均分与归一问题 平均分问题：已知小数总量和份数，求每份的量，直接用 “总量 ÷ 份数 = 每份数”。 归一问题：已知总量和对应数量，先求出单一量，核心是 “单一量不变”，公式为 “总量 ÷ 数量 = 单一量”。 4. 基础倍数反向问题 已知一个数的整数倍是多少，求这个数，用除法计算，是小数乘整数倍数问题的逆运算。 五、奥数进阶题型与解题策略 （一）计算巧算类 1. 除法性质巧算 题型特征：一个小数连续除以多个整数，或多个小数的和差除以同一个整数，分步计算繁琐易出错。 解题策略： 连除凑整：当两个除数相乘能凑成整十、整百数时，将连除转化为除以两个除数的积，简化运算； 和差拆分：除数相同时，将被除数拆分后分别相除，再加减结果，避免复杂小数运算。 示例：； 2. 商不变规律凑整巧算 题型特征：除数为 5、25、125 等特殊整数，可通过乘对应数凑成整十、整百、整千数。 解题策略：利用商不变规律，被除数和除数同时乘相同的数，将除数转化为整十整百数，大幅简化计算。 示例： （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 小数点错位类 题型特征：计算时漏掉被除数的小数点、点错小数点位数，得到错误的商，求正确的商或被除数。 解题策略： 判断小数点错误后，被除数扩大或缩小的倍数，对应商也同步扩大或缩小相同倍数； 将错误的商反向缩小或扩大对应倍数，得到正确的商； 若求被除数，用 “正确的商 × 除数” 即可算出。 示例：计算一个两位小数除以 8 时，漏掉了被除数的小数点，得到商 45。正确的商为，正确被除数为。 2. 看错数字类 题型特征：将被除数的某一位数字看错，得到错误的商，求正确的计算结果。 解题策略： 计算被除数看错前后的差值，对应 “商的差值 = 被除数差值 ÷ 除数”； 用错误的商加减偏差量得到正确的商；也可通过 “被除数差 ÷ 商差 = 除数” 先求出不变的除数，再推导正确结果。 3. 差倍型商的偏差推理 题型特征：已知错误商与正确商的差值，结合被除数的倍数变化（如小数点右移一位），求正确的商与被除数。 解题策略：差倍模型，，再用 “商 × 除数” 反求被除数。 示例：被除数小数点右移一位后商扩大 10 倍，比正确商多 9 倍，对应差值除以 9 即为正确的商。 （三）实际应用进阶类 1. 复杂归一归总问题 题型特征：多主体、多维度的归一问题，如 “3 台机器 4 小时生产 18.6 吨零件”；或归总后改变条件求新数量。 解题策略： 归一：用连除逐步求最小单位单一量（如 1 台 1 小时的产量），再根据目标条件乘对应份数； 归总：先通过乘法算出固定总量，再除以新的单一量得到对应数量，核心是总量不变。 2. 分段计费反向计算 题型特征：已知分段计费的总费用，反求对应的用量，如已知水费求用水量、已知出租车费求行驶里程。 解题策略： 先对比总费用与起步价，判断用量是否超出第一档； 总费用减去起步费用，得到超出部分的费用，除以对应档位单价，算出超出的数量； 起步量 + 超出量 = 总用量。 3. 方案优化的除法应用 题型特征：已知总预算与不同方案的单价、套餐价，求最多可购买的数量，或选择性价比最高的购买方案。 解题策略：分别计算不同方案下的最大可购买数量，或相同数量的总花费，对比后选择最优解；实际场景中需结合规则用去尾法、进一法对结果取整。 4. 周期与间隔问题 题型特征：循环周期场景中，已知总长度、总重量与单个周期的量，求周期数与对应位置；或植树类间隔问题，已知总长度求间隔数、棵数。 解题策略：总长度 ÷ 单个间隔长度 = 间隔数，再结合首尾规则调整棵数；总量 ÷ 单周期量 = 周期数，余数对应周期内的第几个。 （四）拓展提升类 1. 小数点移动型和差倍问题 题型特征：已知两个小数的和或差，且两数存在小数点移动的倍数关系（如甲的小数点右移一位等于乙），求两个数分别是多少。 解题公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 核心思路：根据小数点移动确定倍数关系，将较小数看作 1 份，较大数对应倍数份，用和或差对应总份数，除法求出 1 份量。 2. 定义新运算 题型特征：自定义新的运算符号，运算规则包含小数除以整数，求指定算式的结果。 解题策略：严格按照定义的运算规则代入数字，转化为常规小数除法与四则运算，按运算顺序逐步计算即可。 3. 极值与范围问题 题型特征：已知商的近似值，求被除数的最大、最小值；或已知被除数的取值范围，求商的极值。 解题策略：根据四舍五入规则确定商的取值范围，再用 “商 × 除数 = 被除数” 反推被除数的最大、最小值；除数不变时，商随被除数同向变化。 4. 平均数进阶问题 题型特征：多组不均等的小数数据，求平均数；或通过移多补少使各组数量相等，求调整后的数值。 解题核心：，是除法平均分本质的延伸，可结合移多补少快速求解。 六、核心解题方法汇总 位值均分法：从高位到低位逐级均分，不够商 1 就转化为低一级单位继续除，是小数除以整数的核心算理方法。 性质巧算法：利用除法运算性质、商不变规律凑整简化计算，提升运算速度与准确率。 差量对应法：错中求解的核心思路，通过被除数的变化量对应商的变化量，求出不变量再推导正确结果。 分段逆推法：分段计费反算的通用方法，先扣除起步段，再计算超出段，最后求和得到总量。 份数法：和差倍、归一问题的通用思路，将数量关系转化为份数对应，用除法求出 1 份量。 乘除验算法：用乘法反向验证除法结果，是保证计算正确的通用验证方法。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 小数点不对齐：商的小数点没有和被除数的小数点对齐，导致结果量级错误，是本单元最高频错误。 忘记商 0 占位：整数部分不够除时忘记商 0，或中间某一位不够商 1 漏写 0，导致商的数位错位、数值偏大。 余数概念混淆：误认为补 0 后的余数是整数余数，忽略余数的计数单位随被除数数位同步变化。 2. 计算类易错点 末尾有余数不补 0：除到被除数末尾有余数时直接停止计算，未补 0 继续除，导致结果不完整、精度不足。 商的位置写错：除到哪一位，商没有写在对应数位的上方，出现数位错位，结果偏差十倍甚至百倍。 除法分配律误用：被除数相同、除数不同时，错误套用分配律（如），该等式不成立，仅除数相同时可拆分计算。 单位不统一：应用题中数量单位与进率不匹配，未换算直接做除法，结果数量级出现巨大偏差。 3. 应用类易错点 分段计费反算超界：未先判断用量所在档位，直接用总费用除以单价，导致结果与实际档位不符。 归一问题连除漏维度：多主体归一问题，只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度，导致单一量计算偏大。 取整规则用错：购买数量、人数等实际问题，未结合场景选择去尾法 / 进一法，直接四舍五入不符合实际逻辑。 间隔问题首尾混淆：植树类问题直接用总长度除以间隔长度得到棵数，忽略两端都栽要加 1、两端不栽要减 1 的规则。 培优练习 一、选择题 1．一个小数的小数点向右移动一位后，比原数大了7.2，原数是（    ）。 A．0.8 B．7.2 C．0.72 D．8 【答案】A 【分析】小数点向右移动一位，得到的数扩大到原来的10倍，新数比原数大的部分对应原数的倍数为：10－1＝9，已知新数比原数大7.2，对应原数的9倍，求原数，用除法计算。。 【详解】 2．《夜宿山寺》中有一句“危楼高百尺”，唐代的百尺约为现在的31米，那么唐代的一尺相当于现在的（    ）米。 A．31 B．3.1 C．0.31 D．0.031 【答案】C 【分析】已知唐代一百尺约等于现在31米，求一尺的长度，用总米数÷尺数，也就是用除法计算。 【详解】31÷100＝0.31（米） 3．当我们研究非常小的物体长度时，往往需要借助纳米、微米这样的单位，已知1微米＝1000纳米，那么300纳米＝（    ）微米。 A．0.3 B．0.03 C．30000 D．300000 【答案】A 【分析】将纳米换算为微米是低级单位换算为高级单位，需要除以两个单位之间的进率1000。 【详解】（微米） 300纳米＝0.3微米。 4．有90kg的菜籽油，每个瓶子装7kg，要用（    ）个瓶子才能装下。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】解答这道题需要明确：求一个数里面有几个另一个数，用除法。有90kg的菜籽油，每个瓶子装7kg，求几个瓶子才能装下，列式为，结果需用“进一法”取整。据此解答。 【详解】根据分析： （个） 所以，要用13个瓶子才能装下。 故答案为：B 5．哈尔滨某滑雪场去年12月份的降雪量是180.6厘米，平均每天降雪量大约是（    ）厘米。 A．583 B．15.1 C．5.83 D．0.6 【答案】C 【分析】解答这道题需明确，平均每天的降雪量＝降雪总量÷天数。题目中已知“12月份的降雪量是180.6厘米”，即降雪总量为180.6厘米，12月份有31天，用180.6除以31计算即可。 【详解】（厘米） 所以，平均每天降雪量大约是5.83厘米。 故答案为：C 二、填空题 6．把0.12扩大到它的10倍，再把小数点向左移动两位后，变成了( )。 【答案】 【分析】扩大倍即小数点先向右移动一位，再向左移动两位，相当于最终向左移动了一位，据此解答即可。 【详解】把0.12扩大到它的10倍，再把小数点向左移动两位后，变成了。 7．中国首辆火星车“祝融号”高1米85厘米，合( )米；质量约为0.24吨，合( )千克。天安门广场占地面积达44公顷，合( )平方千米。 【答案】 【分析】1米＝100厘米，1吨＝1000千克，1平方千米＝100公顷，把低级单位的名数改写成高级单位的名数，要除以进率；把高级单位的名数改写成低级单位的名数，要乘进率。 【详解】，85厘米＝0.85米，1米＋0.85米＝1.85米； ，所以0.24吨＝240千克； ，所以44公顷＝0.44平方千米。 8．7吨60千克＝( )吨    4.07公顷＝( )平方米 【答案】 7.06// 40700 【分析】低级单位换算成高级单位，要除以进率；高级单位换算成低级单位，要乘进率。吨与千克之间的进率是1000，公顷与平方米之间的进率是10000。 【详解】60÷1000＝0.06，所以7吨60千克＝7.06吨 4.07×10000＝40700，所以4.07公顷＝40700平方米 9．在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 60公顷( )      2.8公顷( )140000平方米      ( )2.1公顷 ( )100公顷      ( )7.5公顷      ( ) 【答案】 ＜ ＜ ＜ ＞ ＝ ＝ 【分析】1平方千米＝100公顷＝1000000平方米，1公顷＝10000平方米，高级单位转换成低级单位乘进率，低级单位转化成高级单位除以进率，再比较统一单位后两个数值的大小即可。 【详解】公顷，60公顷＜600公顷 140000平方米＝14公顷，2.8公顷＜14公顷 公顷，2公顷＜2.1公顷 公顷，999公顷＞100公顷 75000平方米＝7.5公顷，两边相等 ，两边相等 10．蜂鸟是世界上最小的鸟，身长约5厘米，合( )米；体重约2克，合( )千克。（括号里填小数） 【答案】 0.05 0.002 【分析】米和厘米进率是100，低级单位换高级单位除以100，小数点向左移动两位。 千克和克进率是1000，低级单位换高级单位除以1000，小数点向左移动三位。 【详解】5÷100，把5的小数点向左移动两位，得到0.05，5厘米＝0.05米 2÷1000，把2的小数点向左移动三位，得到0.002，2克＝0.002千克 11．赛龙舟是端午节最重要的民俗活动之一。一条龙舟重约320千克，全长18.06米，其中船身长15.5米。320千克＝_____吨，15.5米＝____米____分米。 【答案】 0.32 15 5 【分析】1吨＝1000千克，1米＝10分米。低级单位换算成高级单位，用低级单位的数除以进率，单名数改写成复名数，整数部分写在高级单位前，小数部分乘进率写在低级单位前。一个不是0的数除以10、100、1000……，就是把这个数的小数点向左移动一位、两位、三位……，一个不是0的数乘以10、100、1000……，就是把这个数的小数点向右移动一位、两位、三位……。 【详解】，把小数点向左移动三位是0.32，所以320千克＝0.32吨。 0.5×10，把小数点向右移动一位是5，所以15.5米＝15米5分米。 12．唐代诗人李白有诗云“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”唐代的一千尺约为现在的310米。照这样算，唐代的一尺相当于现在的( )米，三千尺相当于现在的( )米。 【答案】 【分析】把310米平均分成1000份，每一份的长度就是1尺对应的米数，用除法计算； 唐代的一千尺约为现在的310米，三千尺是3个一千尺，也就是3个310米，用乘法解决。 【详解】310÷1000＝0.31（米），唐代的一尺相当于现在的0.31米； 310×3＝930（米），三千尺相当于现在的930米。 13．把6.23的小数点去掉，得到的数就扩大到原来的( )倍。把3.8的小数点向左移动两位是( )。 【答案】 100 0.038 【分析】去掉6.23的小数点，相当于把小数点向右移动两位，根据规律，小数点向右移动两位，小数就扩大到原来的100倍；把3.8的小数点向左移动两位，直接根据移动规则写出新数即可。 【详解】把6.23的小数点去掉，得到的数就扩大到原来的100倍。把3.8的小数点向左移动两位是0.038。 14．我国自行研造的“复兴号”动车在世界上首次实现时速350km自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列“复兴号”动车10分钟行驶58300m，每分钟行驶( )km。 【答案】 【分析】根据数量关系“速度＝路程÷时间”，先计算出动车每分钟行驶的米数，再根据，将米换算成千米即可。 【详解】先求动车每分钟行驶多少米：（） 再将米换算成千米：（） 所以，每分钟行驶。 15．10千克大豆可以榨油1000克，那么1吨大豆可以榨油_______千克；要榨10千克油，需要_______千克大豆。 【答案】 100 100 【分析】根据1吨＝1000千克，1千克＝1000克，进行单位换算。用一个数乘1000，把这个数扩大到原来的1000倍，小数点就向右移动三位；一个数除以10，把这个数缩小到原来的十分之一，小数点就向左移动一位。先统一单位，然后计算出1千克大豆榨油的重量，然后乘1000即可求出1吨大豆可以榨油的重量。10千克是1千克的10倍，所以榨油10千克需要大豆的重量就是10千克大豆的10倍。 【详解】1吨＝1000千克，1千克＝1000克 1÷10×1000 ＝0.1×1000 ＝100（千克） 10÷1×10 ＝10×10 ＝100（千克） 10千克大豆可以榨油1000克，那么1吨大豆可以榨油100千克；要榨10千克油，需要100千克大豆。 三、判断题 16．把7.2缩小到它的，然后把得到的数再扩大到它的100倍，结果是72。( ) 【答案】√ 【分析】小数点向左移动一位，也就是小数除以10，小数缩小到原数的；小数扩大到原数的100倍，也就是小数乘100，小数点向右移动两位。根据题目信息，进行小数点移动，看最终结果是多少，即可解答。 【详解】7.2÷10×100＝72 把7.2缩小到它的，然后把得到的数再扩大到它的100倍，结果是72。题目说法正确。 故答案为：√ 17．把0.48的小数点向右移动两位后再除以100，结果仍是0.48。( ) 【答案】√ 【分析】把的小数点向右移动两位，就是将扩大到原来的倍，再除以，所得的数和原数大小相等。 【详解】 计算结果与原数相同 故答案为：√ 18．刘奶奶花了17.2元买瓜子，每千克瓜子4元，则刘奶奶买了4.3kg瓜子。( ) 【答案】√ 【分析】根据总价、单价和数量之间的关系，总价÷单价＝数量，代入数据计算即可。 【详解】17.2÷4＝4.3（千克） 原题说法正确。 故答案为：√ 19．某日100泰铢可以兑换人民币21.8元，当日标价是25泰铢的一个纪念品，折合人民币是5.45元。( ) 【答案】√ 【分析】先用100泰铢可以兑换人民币的钱数除以100，可得1泰铢相当于多少人民币，再用结果乘25，即可求得25泰铢相当于多少人民币，以此做判断即可。 【详解】21.8÷100×25 ＝0.218×25 ＝5.45（元） 当日标价是25泰铢的一个纪念品，折合人民币是5.45元。题干说法正确。 故答案为：√ 20．一位成年人每天大约需要5克食盐，100天大约需要0.05千克食盐。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，先用100×5求出100天大约需要多少克食盐，1千克＝1000克，将小数点向左移动三位即可换算成千克为单位，据此判断即可。 【详解】5×100＝500（克） 500克＝0.5千克 一位成年人每天大约需要5克食盐，100天大约需要0.5千克食盐，原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 21．口算。 4×0.5＝            6.6÷3＝        1.25×8＝            4.2×100＝ 0.7×0.6＝        0.48÷4＝        0.56÷0.7＝        3.9÷0.3＝ 【答案】2；2.2；10；420； 0.42；0.12；0.8；13 【详解】略 22．用竖式计算。 24.16÷8＝         3.06÷1.8＝ 【答案】； 【分析】计算小数除法时，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 【详解】24.16÷8＝3.02                               3.06÷1.8＝1.7                              五、解答题 23．鸡蛋富含蛋白质。每100克鸡蛋中约含有蛋白质0.013千克。照这样计算，10千克鸡蛋中约含有蛋白质多少千克？ 【答案】 1.3千克 【分析】先将鸡蛋总质量换算为以克为单位，计算总质量里包含多少个100克，再乘每100克鸡蛋的蛋白质含量，即可求出总蛋白质质量。 【详解】（克） （千克） 答：10kg鸡蛋中约含有蛋白质1.3千克。 24．一个三角形广告牌，底60分米，高50分米。将这个广告牌的正反面都刷上白漆，如果每平方米需要刷漆450克，准备10千克白漆够不够？ 【答案】不够 【分析】求单面三角形的面积，用底×高÷2，广告牌需刷正反两面，求正反两面的总面积，用单面的面积×2，注意单位要统一，求总用漆量，用每平方米需刷漆量×正反两面的总面积，比较总用漆量和准备的量，判断准备10千克白漆够不够。 【详解】60×50÷2 ＝3000÷2 ＝1500（平方分米） 1500×2＝3000（平方分米） 1平方米＝100平方分米 3000平方分米＝30平方米 450×30＝13500（克） 1千克＝1000克 13500克＝13.5千克 13.5千克＞10千克，因此准备的白漆不够。 答：准备10千克白漆不够。 25．数学竞赛中，五年级有16人获奖，六年级有31人获奖，学校给每位获奖学生奖励一套三角板，这样六年级买奖品比五年级多用去55.2元，每套三角板多少元？ 【答案】3.68元 【分析】六年级比五年级多获奖人数：31－16＝15（人），六年级买奖品比五年级多用去55.2元，多花费的这部分钱数÷六年级比五年级多买15套三角板＝每套三角板的单价，据此列式计算即可。 【详解】55.2÷（31－16） ＝55.2÷15 ＝3.68（元） 答：每套三角板3.68元。 26．蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效。已知每100克蓝莓果实中花青素含量高达0.163克，照这样计算，用1千克蓝莓可以提取多少克花青素？ 【答案】 1.63克 【分析】先把1千克换算成1000克，算出1000克里包含多少个100克，再用每100克蓝莓的花青素含量乘这个数量，得到总花青素含量。 【详解】1千克＝1000克 1000÷100×0.163 ＝10×0.163 ＝1.63（克） 答：用1千克蓝莓可以提取1.63克花青素。 27．李老师组织五（1）班的26名男生和24名女生开展“收集废报纸”活动，10月份他们共收集了41.5千克废报纸。平均每人收集了多少千克废报纸？ 【答案】 0.83千克 【分析】先将男生人数和女生人数求和计算出全班总人数；再用41.5除以全班总人数即可。 【详解】41.5÷（26＋24） ＝41.5÷50 ＝0.83（千克） 答：平均每人收集了0.83千克废报纸。 28．小丁丁测量自己走10步的路程，他测量了4次，结果分别为4.6米、5米、5.2米、5.4米。小丁丁从家出发走到体育馆门口要走634步。小丁丁家到体育馆门口大约是多少米？ 【答案】 320.17米 【分析】本题要求小丁丁家到体育馆门口的大约距离，已知他走634步。首先，根据小丁丁4次测量走10步的路程数据（4.6米、5米、5.2米、5.4米），通过求平均数的方法计算平均每10步的距离是5.05米，即平均每步的距离是0.505。最后，用平均每步的距离乘以总步数634得到总距离。 【详解】（米） （米） （米） （米） 答：小丁丁家到体育馆门口大约是320.17米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 小数除以整数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 小数除以整数的定义与本质 小数除以整数的意义与整数除法完全一致：已知两个因数的积与其中一个整数因数，求另一个因数的运算；也可理解为把一个小数总量平均分成若干份，求每份对应的数量。 本质属性：十进制计数单位的逐级均分，当高位计数单位不够平均分配时，转化为更低一级的计数单位，与低位数字合并后继续均分，全程遵循平均分的公平性原则。 运算本质：计数单位个数的平均分。例如，本质是 1 个一不够分，转化为 10 个 0.1 与 5 个 0.1 合并为 15 个 0.1，平均分成 3 份，每份 5 个 0.1，即 0.5。 2. 与整数除法的联系与区别 核心联系：算理逻辑完全相通，都遵循 “从高位除起、除到哪一位商到哪一位、余数小于除数” 的基本规则；整数除法的运算性质、验算方法全部适用于小数除以整数。 核心区别：被除数包含小数部分，商需要对齐被除数的小数点标注小数点；整数部分不够除时需商 0 占位，可继续向下除小数部分，计算精度更高。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是小数除法单元的起始小节，承接整数除法、小数的意义与性质、小数乘整数知识，是小数运算体系的关键过渡，为后续小数除以小数、小数四则混合运算、复杂应用题筑牢基础。 奥数价值：以小数除法为载体，延伸出错中求解、商的变化规律巧算、差倍模型、分段计费反算、归一归总进阶等经典题型，强化逆向推理、规律迁移与实际问题建模能力，是小升初计算与应用模块的核心高频考点。 二、核心算理与计算法则 1. 核心算理：位值均分思想 基于十进制位值原则，从被除数的高位到低位逐级平均分配；某一位上的数不够商 1 时，就将该位的计数单位转化为下一级计数单位，与下一位的数字合并后继续除。商的小数点与被除数的小数点严格对齐，保证商与被除数的计数单位一一对应。 也可通过商的变化规律转化理解：把被除数扩大 10 倍、100 倍…… 转化为整数，按整数除法算出商后，再把商反向缩小到原来的、……，得到正确结果，与小数乘整数的转化思想形成互逆对应。 2. 标准计算四步法则 除高位：按整数除法法则从被除数的高位除起，除数是几位就先看被除数的前几位，不够除就多看一位； 商对齐：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；商的小数点必须和被除数的小数点对齐； 0 占位：如果某一位上的数不够商 1，要在该位商 0 占位，避免数位错位； 续除 0：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除，直到除尽或达到要求的计算精度。 3. 三类基础题型的竖式规范 （1）整数部分够除型 被除数整数部分大于或等于除数，按整数除法规则除完整数部分，对齐被除数小数点给商点小数点，继续计算小数部分。 示例： （2）整数部分不够除型 被除数整数部分小于除数，整数部分直接商 0，点上小数点后，将整数部分的余数与小数部分合并继续除。 示例： （3）末尾有余数补 0 型 除到被除数的末位仍有余数时，在余数后添 0 继续除，可不断补 0 直到除尽。 示例： 4. 验算方法 小数除以整数的验算依托乘除互逆关系，与整数除法验算逻辑一致： 无余数： 有余数： 注意：余数的计数单位与被除数当前数位一致，需对应小数点位置判断实际大小。 三、核心性质与变化规律 1. 商与被除数的大小关系（除数为正整数） 除数＞1 时，商＜被除数（被除数不为 0）； 除数＝1 时，商＝被除数； 除数不能为 0，对应除法无意义。 2. 商的变化规律（除数不变） 被除数扩大到原来的倍，除数不变，商也同步扩大到原来的倍； 被除数缩小到原来的，除数不变，商也同步缩小到原来的； 对应小数点移动：被除数小数点向右移动一位、两位…… 除数不变，商的小数点同步向右移动一位、两位……；向左移动同理。 3. 除法的运算性质 连除性质：一个数连续除以两个整数，等于除以这两个整数的积。 公式：（均不为 0） 同除数分配性质：两个数的和（或差）除以同一个整数，等于这两个数分别除以该整数，再相加（或相减）。 公式：（不为 0） 注意：仅除数相同时可拆分，被除数相同、除数不同时不可套用该规律。 4. 商不变规律 被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商保持不变。这是后续学习 “小数除以小数” 的核心依据，本小节中可用于将除数凑整，简化计算。 四、基础应用题型与标准解法 1. 基础计算类 口算题：简单一位小数、两位小数除以整数，利用数的组成或小数点移动规律直接口算。 竖式计算题：覆盖上述三类基础题型，重点训练小数点对齐、商 0 占位、末尾补 0 三个核心操作要点。 验算题：用乘法反向验证除法结果，强化乘除互逆认知，提升计算准确率。 2. 单位换算类应用 题型特征：低级单位数量换算为高级单位，如厘米转米、克转千克，利用小数除以进率计算结果。 解题策略：明确单位进率，低级单位转高级单位用除法，。 典型场景：长度、质量、面积单位的小化大，以及单价、单产量、速度等单一量的计算。 3. 简单平均分与归一问题 平均分问题：已知小数总量和份数，求每份的量，直接用 “总量 ÷ 份数 = 每份数”。 归一问题：已知总量和对应数量，先求出单一量，核心是 “单一量不变”，公式为 “总量 ÷ 数量 = 单一量”。 4. 基础倍数反向问题 已知一个数的整数倍是多少，求这个数，用除法计算，是小数乘整数倍数问题的逆运算。 五、奥数进阶题型与解题策略 （一）计算巧算类 1. 除法性质巧算 题型特征：一个小数连续除以多个整数，或多个小数的和差除以同一个整数，分步计算繁琐易出错。 解题策略： 连除凑整：当两个除数相乘能凑成整十、整百数时，将连除转化为除以两个除数的积，简化运算； 和差拆分：除数相同时，将被除数拆分后分别相除，再加减结果，避免复杂小数运算。 示例：； 2. 商不变规律凑整巧算 题型特征：除数为 5、25、125 等特殊整数，可通过乘对应数凑成整十、整百、整千数。 解题策略：利用商不变规律，被除数和除数同时乘相同的数，将除数转化为整十整百数，大幅简化计算。 示例： （二）错中求解问题（奥数高频考点） 1. 小数点错位类 题型特征：计算时漏掉被除数的小数点、点错小数点位数，得到错误的商，求正确的商或被除数。 解题策略： 判断小数点错误后，被除数扩大或缩小的倍数，对应商也同步扩大或缩小相同倍数； 将错误的商反向缩小或扩大对应倍数，得到正确的商； 若求被除数，用 “正确的商 × 除数” 即可算出。 示例：计算一个两位小数除以 8 时，漏掉了被除数的小数点，得到商 45。正确的商为，正确被除数为。 2. 看错数字类 题型特征：将被除数的某一位数字看错，得到错误的商，求正确的计算结果。 解题策略： 计算被除数看错前后的差值，对应 “商的差值 = 被除数差值 ÷ 除数”； 用错误的商加减偏差量得到正确的商；也可通过 “被除数差 ÷ 商差 = 除数” 先求出不变的除数，再推导正确结果。 3. 差倍型商的偏差推理 题型特征：已知错误商与正确商的差值，结合被除数的倍数变化（如小数点右移一位），求正确的商与被除数。 解题策略：差倍模型，，再用 “商 × 除数” 反求被除数。 示例：被除数小数点右移一位后商扩大 10 倍，比正确商多 9 倍，对应差值除以 9 即为正确的商。 （三）实际应用进阶类 1. 复杂归一归总问题 题型特征：多主体、多维度的归一问题，如 “3 台机器 4 小时生产 18.6 吨零件”；或归总后改变条件求新数量。 解题策略： 归一：用连除逐步求最小单位单一量（如 1 台 1 小时的产量），再根据目标条件乘对应份数； 归总：先通过乘法算出固定总量，再除以新的单一量得到对应数量，核心是总量不变。 2. 分段计费反向计算 题型特征：已知分段计费的总费用，反求对应的用量，如已知水费求用水量、已知出租车费求行驶里程。 解题策略： 先对比总费用与起步价，判断用量是否超出第一档； 总费用减去起步费用，得到超出部分的费用，除以对应档位单价，算出超出的数量； 起步量 + 超出量 = 总用量。 3. 方案优化的除法应用 题型特征：已知总预算与不同方案的单价、套餐价，求最多可购买的数量，或选择性价比最高的购买方案。 解题策略：分别计算不同方案下的最大可购买数量，或相同数量的总花费，对比后选择最优解；实际场景中需结合规则用去尾法、进一法对结果取整。 4. 周期与间隔问题 题型特征：循环周期场景中，已知总长度、总重量与单个周期的量，求周期数与对应位置；或植树类间隔问题，已知总长度求间隔数、棵数。 解题策略：总长度 ÷ 单个间隔长度 = 间隔数，再结合首尾规则调整棵数；总量 ÷ 单周期量 = 周期数，余数对应周期内的第几个。 （四）拓展提升类 1. 小数点移动型和差倍问题 题型特征：已知两个小数的和或差，且两数存在小数点移动的倍数关系（如甲的小数点右移一位等于乙），求两个数分别是多少。 解题公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 核心思路：根据小数点移动确定倍数关系，将较小数看作 1 份，较大数对应倍数份，用和或差对应总份数，除法求出 1 份量。 2. 定义新运算 题型特征：自定义新的运算符号，运算规则包含小数除以整数，求指定算式的结果。 解题策略：严格按照定义的运算规则代入数字，转化为常规小数除法与四则运算，按运算顺序逐步计算即可。 3. 极值与范围问题 题型特征：已知商的近似值，求被除数的最大、最小值；或已知被除数的取值范围，求商的极值。 解题策略：根据四舍五入规则确定商的取值范围，再用 “商 × 除数 = 被除数” 反推被除数的最大、最小值；除数不变时，商随被除数同向变化。 4. 平均数进阶问题 题型特征：多组不均等的小数数据，求平均数；或通过移多补少使各组数量相等，求调整后的数值。 解题核心：，是除法平均分本质的延伸，可结合移多补少快速求解。 六、核心解题方法汇总 位值均分法：从高位到低位逐级均分，不够商 1 就转化为低一级单位继续除，是小数除以整数的核心算理方法。 性质巧算法：利用除法运算性质、商不变规律凑整简化计算，提升运算速度与准确率。 差量对应法：错中求解的核心思路，通过被除数的变化量对应商的变化量，求出不变量再推导正确结果。 分段逆推法：分段计费反算的通用方法，先扣除起步段，再计算超出段，最后求和得到总量。 份数法：和差倍、归一问题的通用思路，将数量关系转化为份数对应，用除法求出 1 份量。 乘除验算法：用乘法反向验证除法结果，是保证计算正确的通用验证方法。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 小数点不对齐：商的小数点没有和被除数的小数点对齐，导致结果量级错误，是本单元最高频错误。 忘记商 0 占位：整数部分不够除时忘记商 0，或中间某一位不够商 1 漏写 0，导致商的数位错位、数值偏大。 余数概念混淆：误认为补 0 后的余数是整数余数，忽略余数的计数单位随被除数数位同步变化。 2. 计算类易错点 末尾有余数不补 0：除到被除数末尾有余数时直接停止计算，未补 0 继续除，导致结果不完整、精度不足。 商的位置写错：除到哪一位，商没有写在对应数位的上方，出现数位错位，结果偏差十倍甚至百倍。 除法分配律误用：被除数相同、除数不同时，错误套用分配律（如），该等式不成立，仅除数相同时可拆分计算。 单位不统一：应用题中数量单位与进率不匹配，未换算直接做除法，结果数量级出现巨大偏差。 3. 应用类易错点 分段计费反算超界：未先判断用量所在档位，直接用总费用除以单价，导致结果与实际档位不符。 归一问题连除漏维度：多主体归一问题，只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度，导致单一量计算偏大。 取整规则用错：购买数量、人数等实际问题，未结合场景选择去尾法 / 进一法，直接四舍五入不符合实际逻辑。 间隔问题首尾混淆：植树类问题直接用总长度除以间隔长度得到棵数，忽略两端都栽要加 1、两端不栽要减 1 的规则。 培优练习 一、选择题 1．一个小数的小数点向右移动一位后，比原数大了7.2，原数是（    ）。 A．0.8 B．7.2 C．0.72 D．8 2．《夜宿山寺》中有一句“危楼高百尺”，唐代的百尺约为现在的31米，那么唐代的一尺相当于现在的（    ）米。 A．31 B．3.1 C．0.31 D．0.031 3．当我们研究非常小的物体长度时，往往需要借助纳米、微米这样的单位，已知1微米＝1000纳米，那么300纳米＝（    ）微米。 A．0.3 B．0.03 C．30000 D．300000 4．有90kg的菜籽油，每个瓶子装7kg，要用（    ）个瓶子才能装下。 A．12 B．13 C．14 D．15 5．哈尔滨某滑雪场去年12月份的降雪量是180.6厘米，平均每天降雪量大约是（    ）厘米。 A．583 B．15.1 C．5.83 D．0.6 二、填空题 6．把0.12扩大到它的10倍，再把小数点向左移动两位后，变成了( )。 7．中国首辆火星车“祝融号”高1米85厘米，合( )米；质量约为0.24吨，合( )千克。天安门广场占地面积达44公顷，合( )平方千米。 8．7吨60千克＝( )吨    4.07公顷＝( )平方米 9．在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 60公顷( )      2.8公顷( )140000平方米      ( )2.1公顷 ( )100公顷      ( )7.5公顷      ( ) 10．蜂鸟是世界上最小的鸟，身长约5厘米，合( )米；体重约2克，合( )千克。（括号里填小数） 11．赛龙舟是端午节最重要的民俗活动之一。一条龙舟重约320千克，全长18.06米，其中船身长15.5米。320千克＝_____吨，15.5米＝____米____分米。 12．唐代诗人李白有诗云“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”唐代的一千尺约为现在的310米。照这样算，唐代的一尺相当于现在的( )米，三千尺相当于现在的( )米。 13．把6.23的小数点去掉，得到的数就扩大到原来的( )倍。把3.8的小数点向左移动两位是( )。 14．我国自行研造的“复兴号”动车在世界上首次实现时速350km自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列“复兴号”动车10分钟行驶58300m，每分钟行驶( )km。 15．10千克大豆可以榨油1000克，那么1吨大豆可以榨油_______千克；要榨10千克油，需要_______千克大豆。 三、判断题 16．把7.2缩小到它的，然后把得到的数再扩大到它的100倍，结果是72。( ) 17．把0.48的小数点向右移动两位后再除以100，结果仍是0.48。( ) 18．刘奶奶花了17.2元买瓜子，每千克瓜子4元，则刘奶奶买了4.3kg瓜子。( ) 19．某日100泰铢可以兑换人民币21.8元，当日标价是25泰铢的一个纪念品，折合人民币是5.45元。( ) 20．一位成年人每天大约需要5克食盐，100天大约需要0.05千克食盐。( ) 四、计算题 21．口算。 4×0.5＝            6.6÷3＝        1.25×8＝            4.2×100＝ 0.7×0.6＝        0.48÷4＝        0.56÷0.7＝        3.9÷0.3＝ 22．用竖式计算。 24.16÷8＝         3.06÷1.8＝ 五、解答题 23．鸡蛋富含蛋白质。每100克鸡蛋中约含有蛋白质0.013千克。照这样计算，10千克鸡蛋中约含有蛋白质多少千克？ 24．一个三角形广告牌，底60分米，高50分米。将这个广告牌的正反面都刷上白漆，如果每平方米需要刷漆450克，准备10千克白漆够不够？ 25．数学竞赛中，五年级有16人获奖，六年级有31人获奖，学校给每位获奖学生奖励一套三角板，这样六年级买奖品比五年级多用去55.2元，每套三角板多少元？ 26．蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效。已知每100克蓝莓果实中花青素含量高达0.163克，照这样计算，用1千克蓝莓可以提取多少克花青素？ 27．李老师组织五（1）班的26名男生和24名女生开展“收集废报纸”活动，10月份他们共收集了41.5千克废报纸。平均每人收集了多少千克废报纸？ 28．小丁丁测量自己走10步的路程，他测量了4次，结果分别为4.6米、5米、5.2米、5.4米。小丁丁从家出发走到体育馆门口要走634步。小丁丁家到体育馆门口大约是多少米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $