第三单元 平行四边形、三角形和梯形的面积（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学五年级上册(新教材)

**基本信息** 以转化思想为核心，系统构建平行四边形、三角形、梯形面积的概念-公式-应用逻辑链，提炼6大解题方法，覆盖基础到奥数的分层训练，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|基础概念+核心意义|转化思想、底高对应原则|从单位面积累加底层逻辑到三类图形元素认知，构建平面几何过渡基础| |公式推导|3类图形推导过程|剪拼转化法、逆运算公式法|通过割补/拼接实现未知→已知转化，明确公式推导中面积不变核心| |奥数题型|4类基础+5类进阶+4类拓展|等积变换、一半模型、差不变原理|从公式直接应用到复杂图形转化，形成“基础计算-模型应用-综合拓展”递进链| |解题方法|6大核心方法|分割添补法、格点面积法|方法与题型一一对应，强调“以题载法”，提升空间想象与几何推理能力| |易错指南|3类12项易错点|避坑策略|针对底高对应、公式逆用等高频错误，强化概念辨析与计算准确性|

第三单元 平行四边形、三角形和梯形的面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学多边形面积计算的核心基础，通过转化思想将平行四边形、三角形、梯形转化为已学的长方形 / 平行四边形，推导并掌握三类图形的面积计算方法。 核心本质：通过图形的割补、拼接实现面积的等量转换，建立 “未知图形→已知图形” 的推导逻辑，是平面几何从规则长方形拓展到一般多边形的关键过渡。 核心前提：面积计算的底层逻辑是 “单位面积的累加”，所有多边形面积最终都可溯源到长方形的面积公式。 2. 三类图形的基本元素与底高对应 面积计算的核心是底与高的一一对应，高必须是对应底边上的垂直线段。 平行四边形：从一条边上任意一点向对边作垂线，这点到垂足之间的线段是高，这条对边就是对应的底；有两组底和高，同一组底对应的高长度全部相等。 三角形：从一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点到垂足的线段是高，这条对边就是对应的底；三个顶点对应三条高，每条底对应唯一的高；钝角三角形有两条高在图形外部。 梯形：互相平行的一组对边分别叫做上底和下底，两底之间的垂线段叫做梯形的高；梯形有无数条高，所有高的长度都相等；不平行的一组对边叫做腰。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接长方形、正方形的面积计算，系统学习三类基本多边形的面积公式与推导方法，是后续组合图形、圆的面积、立体图形表面积学习的核心基础。 奥数价值：核心渗透转化思想、等积变换思想，延伸出一半模型、差不变原理、格点面积、同高三角形比例等经典几何题型，训练空间想象能力与几何推理能力，是小升初几何模块的高频核心考点。 二、核心面积公式与推导思想 核心数学思想：转化法 将未学过的不规则 / 未知图形，通过切割、平移、旋转、拼接，转化为已经掌握面积计算的规则图形，利用已知图形的面积公式推导未知图形的面积，推导过程中面积保持不变。 1. 平行四边形的面积 推导过程 沿平行四边形的任意一条高剪开，将剪下的直角三角形（或直角梯形）平移到另一侧，可拼成一个完整的长方形。 对应关系：长方形的长 = 平行四边形的底；长方形的宽 = 平行四边形的高。 推导结论：长方形面积 = 长 × 宽，因此平行四边形面积 = 底 × 高。 公式体系 基础公式：（ 表示底， 表示对应底上的高） 逆运算公式： 底 = 面积 ÷ 高： 高 = 面积 ÷ 底： 关键结论：剪拼前后面积不变，周长发生变化（拼接后的周长小于原平行四边形周长）。 2. 三角形的面积 推导过程 用两个完全相同的三角形，通过旋转、平移，可以拼成一个平行四边形。 对应关系：平行四边形的底 = 三角形的底；平行四边形的高 = 三角形的高。 推导结论：每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 公式体系 基础公式： 逆运算公式（高频易错）： 底 = 面积 × 2 ÷ 高： 高 = 面积 × 2 ÷ 底： 关键结论：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半；等底等高时，平行四边形面积是三角形的 2 倍。 3. 梯形的面积 推导过程 方法一（拼接法）：用两个完全相同的梯形，通过旋转、平移，可以拼成一个平行四边形。 对应关系：平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底；平行四边形的高 = 梯形的高。 推导结论：每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 方法二（分割法）：沿梯形的一条对角线剪开，分成两个三角形，两个三角形的高都等于梯形的高，底分别为梯形的上底和下底，面积相加即为梯形面积。 公式体系 基础公式：（ 为上底， 为下底， 为高） 逆运算公式： 高 = 面积 × 2 ÷（上底 + 下底）： 上底 + 下底 = 面积 × 2 ÷ 高： 上底 = 面积 × 2 ÷ 高 - 下底 三、核心性质与奥数基础规律 1. 底高一一对应原则 每个图形都有多组底和高，计算面积时必须使用对应底边上的对应高，不可交叉混用。 高的本质是两条平行线之间的距离，因此同一条底对应的所有高长度相等。 2. 等底等高的面积相等规律 平行四边形：等底等高的平行四边形，面积一定相等，但形状可以不同（内角角度不同）。 三角形：等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同；两条平行线之间，所有以同一条线段为底、顶点在另一条平行线上的三角形，面积全部相等（高等于平行线间的距离，处处相等）。 梯形：上下底之和相等、高相等的梯形，面积一定相等，与梯形的形状、腰的长度无关。 3. 面积与底、高的变化规律 底不变，高扩大到原来的 倍，面积也扩大到原来的 倍；高缩小到原来的 ，面积同步缩小。 高不变，底扩大到原来的 倍，面积也扩大到原来的 倍；底缩小到原来的 ，面积同步缩小。 底扩大到原来的 倍，高扩大到原来的 倍，面积扩大到原来的 倍。 4. 面积相等时的反向规律 面积相等的平行四边形：底越长，对应的高越短；底的长度比与高的长度比成反比。 面积相等的三角形：底的长度比等于高的反比；底相等则高相等，高相等则底相等。 四、奥数经典题型与解题策略 （一）基础应用类 公式正向与逆向计算 题型特征：已知底和高求面积，或已知面积和其中一个量，求底或高。 解题策略：牢记公式，三角形、梯形计算时注意 “÷2”；逆求底 / 高时，必须先将面积 ×2 还原为对应平行四边形的面积，再进行除法计算。 底高对应辨析题 题型特征：给出图形多条底和高的长度，选择正确组合计算面积，或判断错误算法。 解题策略：找准垂足对应的底边，确保高与底互相垂直；重点关注钝角三角形的外部高、平行四边形的两组不同底高。 多图形面积比较 题型特征：网格中或平行线间的多个图形，比较面积大小，或找出面积相等的图形。 解题策略：利用等底等高规律，通过底和高的长度对比快速判断，无需逐一精确计算。 （二）进阶奥数核心题型 1. 等积变换（等积变形） 题型特征：不规则、分散的阴影图形，直接计算困难，通过移动顶点、拼接图形，转化为规则图形求解。 核心模型：三角形平行线模型 —— 固定底边，顶点在平行线上滑动，三角形面积始终不变（高为平行线间距）。 解题步骤： 找出图中的平行线（如长方形对边、梯形上下底），确定等高条件； 锁定公共底边，将阴影三角形的顶点平移到便于计算的位置； 将分散的阴影面积转化为一个完整的规则图形面积，直接用公式计算。 2. 一半模型 题型特征：在长方形、平行四边形内构造三角形，利用底高的倍数关系快速求面积。 核心结论： 基础版：以平行四边形的一条边为底、对边上任意一点为顶点的三角形，面积等于平行四边形面积的一半。 进阶版：平行四边形内任意一点连接四个顶点，形成的四个三角形中，相对两个三角形的面积和等于平行四边形面积的一半。 解题策略：先验证等底等高的前提条件，再直接利用一半的倍数关系口算，无需分步计算底和高。 3. 差不变原理 题型特征：求两个不规则图形的面积差，分别计算各自面积难度大。 核心原理：两个图形同时加上或减去同一个公共部分，它们的面积差保持不变。 解题步骤： 找到两个图形的公共重叠 / 相邻空白部分； 给两个图形同时补上空白部分，转化为两个规则图形的面积差； 用大规则图形面积减小规则图形面积，得到原图形的面积差。 4. 组合图形面积计算 题型特征：由多个基本图形拼接、挖空、重叠形成的复杂图形，求总面积或阴影面积。 三大核心方法： 分割法：将组合图形拆分成平行四边形、三角形、梯形，分别计算面积后相加，适用于凸多边形。 添补法：给不规则图形补上一部分，变成一个大的规则图形，用总面积减去补上的空白面积，适用于凹多边形。 割补平移法：切割图形的某一部分，通过平移、旋转拼接成完整的规则图形，直接计算总面积，面积不变。 （三）拓展提升类 1. 格点多边形面积（皮克定理初步） 题型特征：正方形格点图中的多边形，所有顶点都在格点上，求图形面积。 解题方法： 基础方法：分割法，拆分为三角形、梯形等基本图形分别计算求和； 技巧方法（皮克定理）：正方形格点中，面积 = 内部格点数 + 边界格点数 ÷2 - 1。 2. 同高三角形的面积比例 题型特征：两个三角形共享同一个高，底边在同一条直线上。 核心结论：高相等时，两个三角形的面积比等于它们对应底边的长度比。 解题策略：找到公共高，根据底边的倍数关系，直接推导面积的倍数关系，无需计算高的具体数值。 3. 错中求解面积问题 题型特征：计算面积时看错底或高的长度，得到错误结果，求正确的面积。 解题策略： 根据错误的底 / 高和错误的面积，求出保持不变的量（如高 / 底）； 代入正确的底 / 高，重新计算出正确的面积。 4. 梯形面积进阶应用 核心拓展：梯形对角线分成的四个三角形中，以两腰为边的两个三角形面积相等（俗称 “蝴蝶翅膀”）。 常考题型：已知梯形部分三角形面积，求整体面积或其余三角形面积；利用上下底的比例关系推导面积比。 五、核心解题方法汇总 转化推导法：将未知图形转化为已知图形推导面积，是本单元的核心数学思想。 公式逆用法：已知面积反求底或高，三角形、梯形必须先将面积乘 2 再计算。 等积变换法：利用平行线间等高的特点，平移顶点转化图形，简化面积计算。 分割添补法：组合图形的通用解法，化整为零或补零为整，转化为基本图形求解。 差不变法：面积差问题的核心技巧，通过补公共部分将不规则差转化为规则图形的差。 一半模型法：平行四边形内三角形面积的快速判断，秒杀基础比例类题目。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 底高不对应：误用不对应的底和高计算面积，是最高频错误；必须确保高是对应底边上的垂线段。 三角形 / 梯形忘记除以 2：忽略 “两个图形拼成一个平行四边形” 的推导前提，面积计算遗漏 “÷2”。 高的认知偏差：误以为高必须在图形内部，钝角三角形有两条高在外部；梯形的高是两底之间的垂线段，不是腰。 等积变换条件混淆：误认为只要底相等面积就相等，忽略 “等高” 是必要前提。 2. 计算类易错点 逆运算公式用错：已知三角形面积求高，直接用面积 ÷ 底，忘记先乘 2；梯形逆运算同理。 单位不统一：底和高的单位不一致时，未换算直接计算，导致结果数量级错误。 组合图形重复计算：分割法计算时，重叠部分被多次相加，导致总面积偏大。 平方与长度混淆：面积单位与长度单位混用，概念区分不清。 3. 应用类易错点 一半模型滥用：不满足 “等底等高” 的前提条件，强行套用一半结论，导致结果错误。 差不变找错公共部分：选错公共重叠区域，转化后的图形差与原问题不符。 剪拼后周长面积混淆：图形剪拼后，误认为周长和面积都不变，实际上面积不变、周长会发生改变。 梯形上下底混淆：计算时将腰的长度当作底代入公式，忽略底必须是互相平行的对边。 培优练习 一、选择题 1．一个三角形三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是（    ）。 A．6平方厘米 B．10平方厘米 C．15平方厘米 D．12平方厘米 【答案】A 【分析】该三角形是直角三角形，最长边5厘米为斜边，3厘米和4厘米是两条直角边，可直接作为底和高计算面积。三角形的面积＝底×高÷2。 【详解】3×4÷2＝6（平方厘米） 2．用18米长的篱笆按照如图所示的方法围成一个直角梯形苗圃（一面靠墙），要想使苗圃的面积最大，梯形的高应是（    ）。 A．12米 B．9米 C．6米 D．3米 【答案】B 【分析】观察图形可知，篱笆只围三条边：上底＋下底＋高＝18（米），根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把（上底＋下底）看成一个整体，这个整体和高的和是固定的18米，要让梯形的面积最大，就需要让（上底＋下底）和高的乘积尽可能大，因为后面除以2是固定不变的。根据“当两个数相加的和固定不变时，这两个数的大小越接近，它们相乘的结果就越大；当两个数完全相等时，乘积能达到最大值”，现在两个数的和是18，要让它们相等，每个数的大小就是：18÷2＝9（米），也就是当上底加下底的和等于9米，高也等于9米时，两者的乘积最大，对应的梯形面积也就是最大。把四个选项的高分别代入计算面积，确认最大值。 【详解】A．梯形的高为12米，那么（上底＋下底）＝18－12＝6（米），面积为：12×6÷2＝72÷2＝36（平方米）； B．梯形的高为9米，那么（上底＋下底）＝18－9＝9（米），面积为：9×9÷2＝81÷2＝40.5（平方米）； C．梯形的高为6米，那么（上底＋下底）＝18－6＝12（米），面积为：12×6÷2＝72÷2＝36（平方米）； D．梯形的高为3米，那么（上底＋下底）＝18－3＝15（米），面积为：15×3÷2＝45÷2＝22.5（平方米）； 40.5＞36＝36＞22.5 所以，当梯形的高为9米时，苗圃的面积最大。 3．把一些钢管堆起来后的横截面近似于梯形，已知最上层是4根，最下层是10根。每相邻两层间相差1根，那么这堆钢管一共有（    ）。 A．70根 B．49根 C．40根 D．50根 【答案】B 【分析】每相邻两层间相差1根，则这堆钢管一共有10－4＋1＝7（层）。这个近似的梯形，上底是4，下底是10，高是7，根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”，代入数据计算即可求出这堆钢管的总根数。 【详解】（层） （4＋10）×7÷2 ＝14×7÷2 ＝98÷2 ＝49（根） 4．把一个长方形木框拉成一个平行四边形，它的（    ）不变。 A．面积 B．周长 C．高 D．所有属性 【答案】B 【分析】长方形木框拉成平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的长边，长方形的宽相当于平行四边形的短边。用假设法通过计算，发现不变的量。 【详解】设长方形的长为2，宽为1。 长方形的面积＝长×宽＝2×1＝2    平行四边形长边上的高比长方形的宽（高）短，以长边2为底，平行四边形的面积＝底×高， 平行四边形的面积＜2，面积改变。 长方形的周长＝（长＋宽）×2＝（2＋1）×2＝3×2＝6 平行四边形的周长＝长边×2＋短边×2＝2×2＋1×2＝4＋2＝6 周长不变 平行四边形的高比长方形的宽（高）短，高改变，面积、高改变则属性改变 综上可知：把一个长方形木框拉成一个平行四边形，面积、高、属性改变，周长不变。 5．一个三角形的面积是12cm2，底是4cm，它的高是（    ）cm。 A．3 B．6 C．1.5 D．12 【答案】B 【分析】已知三角形的面积和底，根据三角形的高＝面积×2÷底，求出它的高。 【详解】12×2÷4 ＝24÷4 ＝6（cm） 它的高是6cm。 6．在一组平行线间画一个长方形和一个平行四边形（下图），那么阴影部分甲和乙的面积大小关系是（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定 【答案】A 【分析】如图，将长方形和平行四边形的公共部分标记为“丙”。因为平行四边形的底和长方形的宽相等，平行四边形的高和长方形的长相等，根据“长方形面积＝长×宽”和“平行四边形面积＝底×高”可知长方形和平行四边形的面积相等，分别减去公共部分“丙”，则剩下部分的面积也相等。据此解答。 【详解】长方形和平行四边形面积相等，分别减去公共部分“丙”的面积，得到剩余部分的面积相等，所以阴影部分甲和乙的面积相等，即甲＝乙。 故答案为：A 二、填空题 7．一个平行四边形，比与它等底等高的三角形的面积大40平方厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】因为平行四边形的面积底×高，三角形的面积底×高。等底等高时：平行四边形面积三角形面积，也就是说平行四边形面积比三角形多出的部分，正好等于三角形的面积。再乘求出平行四边形的面积。 【详解】（平方厘米） 所以一个平行四边形，比与它等底等高的三角形的面积大平方厘米，这个平行四边形的面积是平方厘米。 8．一个平行四边形的面积是36dm2，与它等底等高的三角形面积是( )dm2；如果一个三角形的面积是36dm2，与它等底等高的平行四边形面积是( )dm2。 【答案】 【分析】三角形的面积是与它等底等高的平行四边形的面积的一半，据此得出答案。 【详解】（dm2） （dm2） 与它等底等高的三角形面积是dm2；如果一个三角形的面积是36dm2，与它等底等高的平行四边形面积是dm2。 9．一个平行四边形的底长是16dm，高9dm，一个三角形与它的面积相等，底是12dm，高是( )dm。 【答案】 【分析】先根据平行四边形的底和高，利用计算它的面积，因为三角形和平行四边形面积相等，所以该面积也是三角形的面积。已知三角形的面积和底，根据三角形面积公式的变形，就可以推导计算出三角形的高。 【详解】 10．一块平行四边形木料的底是4分米，高是3分米，它的面积是( )平方分米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方分米。 【答案】 12 6 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，代入底4分米、高3分米，计算平行四边形的面积；等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，所以用平行四边形的面积除以2即可。 【详解】4×3＝12（平方分米） 12÷2＝6（平方分米） 11．一个梯形的上底、下底和高分别是6cm、10cm和8cm，用这个梯形剪出一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是( )cm2；如果在梯形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2。 【答案】 48 40 【分析】（1）最大的平行四边形：在梯形内剪出一个最大的平行四边形，该平行四边形的一组对边必须分别在梯形的上底和下底上。为了使面积最大，平行四边形的底应尽可能长，但受限于梯形的上底长度，因此平行四边形的底等于梯形的上底，高等于梯形的高。已知梯形上底是6cm（平行四边形的底），高是8cm（平行四边形的高），根据平行四边形面积＝底×高，即可求得最大平行四边形面积。 （2）最大的三角形：在梯形内画一个最大的三角形，三角形的底应选择梯形较长的底（下底），顶点在另一条底上，这样高即为梯形的高。此时底最长，高最大，面积最大。已知梯形下底是10cm，高是8cm，根据三角形面积＝×底×高，即可求得梯形内画的最大三角形的面积。 【详解】这个平行四边形的面积是：（） 这个三角形的面积是： （） 12．如图，刘爷爷家有一块平行四边形菜地，这块菜地的面积是( )平方米，现在要在这块菜地的四周围上一圈篱笆，至少需要篱笆( )米。 【答案】 27 24 【分析】根据平行四边形面积公式“面积＝底×高”，用已知的底7.5米和对应的高3.6米计算面积；再根据面积和另一条高6米，求出对应的底边长；最后根据平行四边形周长公式“周长＝2×相邻边的和。”，计算篱笆的长度。 【详解】面积：7.5×3.6＝27（平方米） 另一条底边长：27÷6＝4.5（米） 周长：（7.5＋4.5）×2 ＝12×2 ＝24（米） 这块菜地的面积是27平方米，至少需要篱笆24米。 13．如图，已知平行四边形其中一条底边上的高是20cm，则另一条底边的高是( )厘米；与它等底等高的三角形面积是( )平方厘米。 【答案】 22.4 280 【分析】首先根据平行四边形面积公式S＝底×高，已知一条底是28厘米，这条底上的高是20厘米，可算出平行四边形的面积为28×20＝560平方厘米。再根据高＝平行四边形面积÷底，另一条底是25厘米，那么它对应的高是560÷25＝22.4厘米。 因为与平行四边形等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，所以该三角形面积为560÷2＝280平方厘米。 【详解】S＝28×20＝560（平方厘米） h＝560÷25＝22.4（厘米） S＝560÷2＝280（平方厘米） 14．同一直线上的直角梯形和长方形相距9厘米（如图，单位：厘米），现在直角梯形按每秒3厘米的速度匀速向右平移4秒后，它与长方形重叠部分的面积是( )平方厘米。 【答案】12 【分析】根据路程＝速度×时间，先可以求出直角梯形平移的总距离，即3×4＝12厘米；据此距离可知重叠部分为梯形，画出示意图如下，再用平移的总距离减去开始时的距离，即可得到重叠部分的下底长度；进而可以计算出其上底的长度为重叠部分的下底减去原梯形下底比上底长的部分；重叠部分直角梯形的高与原直角梯形的高相同；最后根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2代入计算。 【详解】平移的总距离：3×4＝12（厘米） 重叠梯形的下底：12－9＝3（厘米） 重叠梯形的上底：3－（5－3）＝3－2＝1（厘米） 重叠梯形的高：6厘米 重叠梯形的面积： （1＋3）×6÷2 ＝4×6÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 因此，它与长方形重叠部分的面积是12平方厘米。 15．如图，把这个直角梯形的上底增加2cm，它就变成一个正方形。这个梯形的高是( )cm，它的面积是( )cm2。 【答案】 10 90 【分析】一个直角梯形的下底是10cm，如果把上底增加2cm，它就变成了一个正方形，正方形的四条边相等。则这个梯形的上底为（10－2＝8）cm，高为10cm，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2即可求出这个梯形的面积。 【详解】10－2＝8（cm） （8＋10）×10÷2 ＝18×10÷2 ＝180÷2 ＝90（cm2） 所以，这个梯形的高是10cm，它的面积是90cm2。 16．王师傅把一块优质花岗岩石料切割成底为5米，高为4.5米的平行四边形，这块切割好的花岗岩面积是( )平方米，如果平行四边形花岗岩底不变，高缩短0.5米，面积会减少( )平方米。 【答案】 22.5 2.5 【分析】平行四边形的底是5米，高是4.5米，根据“”求出这块切割好的花岗岩的面积；如果平行四边形花岗岩底不变，高缩短0.5米，先求出缩短后的高，再根据“”求出现在平行四边形的面积，最后求出原来和现在的面积之差，据此解答。 【详解】5×4.5＝22.5（平方米） 5×（4.5－0.5） ＝5×4 ＝20（平方米） 22.5－20＝2.5（平方米） 所以，这块切割好的花岗岩面积是22.5平方米，如果平行四边形花岗岩底不变，高缩短0.5米，面积会减少2.5平方米。 三、判断题 17．把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，面积一定变小。( ) 【答案】√ 【分析】长方形拉成平行四边形后，底和原长方形的长相等，高小于原长方形的宽，根据面积公式，底不变，高变小，面积随之变小。 【详解】长方形面积＝长×宽，拉成平行四边形后，底＝长，平行四边形的高＜长方形的宽，底不变，高变小，面积比原长方形小，原题说法正确。 故答案为：√ 18．平行四边形的底扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍。( ) 【答案】× 【分析】平行四边形的面积＝底×高。高不变时，底扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍。 【详解】平行四边形的面积由底和高共同决定。如果高不变，底扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍。但是题干中没有说明高不变，如果高发生变化，面积就不一定扩大到原来的3倍，所以题干的说法是错误的。 故答案为：× 19．一个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm（下底长度大于3cm），高不变，则面积也不变。( ) 【答案】 √ 【分析】，只要上下底的和与高不变，面积就不变，可通过举例子验证结论。 【详解】假设梯形上底为2cm，下底为6cm，高为5cm。 原来的面积： （） 变化后上底：（cm），下底：（cm） 变化后的面积： （） 两次面积相等，原题说法正确。 故答案为：√ 20．一个平行四边形的面积是20平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是10平方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】等底等高的三角形和平行四边形的关系：等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此判断即可。 【详解】20÷2＝10（平方厘米） 一个平行四边形的面积是20平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是10平方厘米。原题说法正确。 故答案为：√ 21．若一个等底等高的三角形和平行四边形的面积和是60dm2，则平行四边形的面积是40dm2。( ) 【答案】√ 【分析】等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半；三角形面积是1份，平行四边形面积是2份，总共是3份，对应60dm2，总量÷总份数＝1份量，也就是三角形的面积，再乘2即可判断。 【详解】60÷（1＋2） ＝60÷3 ＝20（dm2） 平行四边形面积：20×2＝40（dm2） 若一个等底等高的三角形和平行四边形的面积和是60dm2，则平行四边形的面积是40dm2。 故答案为：√ 22．将一些数学本摞成一个长方形，它的前面是一个长方形，再将它均匀地斜放，这时前面变成了一个近似的平行四边形（如图）。比较这两摞数学本的前面，它们的周长和面积相同。( ) 【答案】× 【分析】图中前面长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，所以面积不变。平行四边形的一条边与长方形的宽相比，变大了，因此周长变大。据此判断即可。 【详解】长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，右边平行四边形在斜放的情况下，数学本的高度不变，所以面积不变。平行四边形的一条边与长方形的宽相比，变大了，因此周长变大，题干中周长不变错误。 故答案为：× 四、计算题 23．看图列方程并解答。 三角形的面积是。 【答案】x＝50 【分析】由图可知：三角形的底是xcm，高是11cm，面积是275，根据三角形的面积＝底×高÷2列方程解答即可。 【详解】11x÷2＝275 解：11x÷2×2＝275×2 11x＝550 11x÷11＝550÷11 x＝50 24．计算下面平行四边形的面积。          【答案】3.6×2.4＝8.64（dm2）；6×5＝30（cm2）；1.5×3.5＝5.25（cm2） 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出平行四边形的面积。 【详解】 故平行四边形的面积为8.64dm2。 故平行四边形的面积为30cm2。 故平行四边形的面积为5.25cm2。 五、解答题 25．张伯伯家里有一块近似平行四边形的菜园，这个季度共收白菜480千克。已知每平方米的菜地收白菜8千克，菜地的底是15米，那么它的高是多少米？ 【答案】4米 【分析】先算出菜园的总面积，用总收成的白菜重量除以每平方米的收成，就能得到菜地总面积，再根据平行四边形的面积公式求高，高＝平行四边形的面积÷底。 【详解】（平方米） （米） 答：它的高是4米。 26．一块三角形的地，底是500米，高是360米，这块地的面积是多少公顷？如果用拖拉机每天耕3公顷，这块地几天才能耕完？ 【答案】9公顷；3天 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2求出这块地的面积，然后根据1公顷＝10000平方米，转换单位，除以每天拖拉机耕的面积即可。 【详解】500×360÷2 ＝180000÷2 ＝90000（平方米） 90000÷10000＝9（公顷） 9÷3＝3（天） 答：这块地的面积是9公顷，3天才能耕完。 27．孙大伯家用90米长的竹篱笆在一块靠墙的空地上围了一个花圃（如图），这个花圃的面积是多少平方米？ 【答案】900平方米 【分析】观察图形可知，这个花圃的形状是一个直角梯形，高是30米，则上下底之和是90－30＝60米，由此利用梯形的面积＝上下底之和×高÷2即可计算出它的面积。 【详解】（90－30）×30÷2 ＝60×30÷2 ＝900（平方米） 答：这个花圃的面积是900平方米。 28．一个果园近似梯形，上底120米、下底180米、高80米。如果每10平方米栽一棵果树，一共能栽多少棵果树？ 【答案】1200棵 【分析】用“面积＝（上底＋下底）×高÷2”算出梯形面积，再用梯形面积除以10可算得一共能栽多少棵果树。 【详解】 （平方米） （棵） 答：一共能栽1200棵果树。 29．幸福小区有一块平行四边形的空地，业委会计划在这片空地上铺满草皮，同时在中间留一条长12.5米，宽3米并垂直底边的小路（如图）。铺草皮的费用为每平方米8元，请问业委会需要准备多少钱？ 【答案】1800元 【分析】平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，铺草皮的面积＝平行四边形的面积－长方形的面积；铺草皮的总费用＝铺草皮的面积×每平方米草皮的费用。 【详解】 （元） 答：业委会需要准备1800元。 30．一块打碎的玻璃原来形状是一个三角形（如图），每平方米玻璃的价格是65元。要再买这样的一块完好的玻璃需要多少元？ 【答案】2080元 【分析】图中三角形有一个直角，且一个锐角为45°，说明这是等腰直角三角形。由图可知：一条直角边为8米，因此另一条直角边也为8米。根据直角三角形的面积公式：面积＝直角边×直角边÷2，代入数据求出三角形的面积。已知每平方米玻璃价格为65元，根据“总价＝面积×单价”，购买玻璃的总价。 【详解】8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方米） 32×65＝2080（元） 答：要再买这样的一块完好的玻璃需要2080元。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 平行四边形、三角形和梯形的面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学多边形面积计算的核心基础，通过转化思想将平行四边形、三角形、梯形转化为已学的长方形 / 平行四边形，推导并掌握三类图形的面积计算方法。 核心本质：通过图形的割补、拼接实现面积的等量转换，建立 “未知图形→已知图形” 的推导逻辑，是平面几何从规则长方形拓展到一般多边形的关键过渡。 核心前提：面积计算的底层逻辑是 “单位面积的累加”，所有多边形面积最终都可溯源到长方形的面积公式。 2. 三类图形的基本元素与底高对应 面积计算的核心是底与高的一一对应，高必须是对应底边上的垂直线段。 平行四边形：从一条边上任意一点向对边作垂线，这点到垂足之间的线段是高，这条对边就是对应的底；有两组底和高，同一组底对应的高长度全部相等。 三角形：从一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点到垂足的线段是高，这条对边就是对应的底；三个顶点对应三条高，每条底对应唯一的高；钝角三角形有两条高在图形外部。 梯形：互相平行的一组对边分别叫做上底和下底，两底之间的垂线段叫做梯形的高；梯形有无数条高，所有高的长度都相等；不平行的一组对边叫做腰。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接长方形、正方形的面积计算，系统学习三类基本多边形的面积公式与推导方法，是后续组合图形、圆的面积、立体图形表面积学习的核心基础。 奥数价值：核心渗透转化思想、等积变换思想，延伸出一半模型、差不变原理、格点面积、同高三角形比例等经典几何题型，训练空间想象能力与几何推理能力，是小升初几何模块的高频核心考点。 二、核心面积公式与推导思想 核心数学思想：转化法 将未学过的不规则 / 未知图形，通过切割、平移、旋转、拼接，转化为已经掌握面积计算的规则图形，利用已知图形的面积公式推导未知图形的面积，推导过程中面积保持不变。 1. 平行四边形的面积 推导过程 沿平行四边形的任意一条高剪开，将剪下的直角三角形（或直角梯形）平移到另一侧，可拼成一个完整的长方形。 对应关系：长方形的长 = 平行四边形的底；长方形的宽 = 平行四边形的高。 推导结论：长方形面积 = 长 × 宽，因此平行四边形面积 = 底 × 高。 公式体系 基础公式：（ 表示底， 表示对应底上的高） 逆运算公式： 底 = 面积 ÷ 高： 高 = 面积 ÷ 底： 关键结论：剪拼前后面积不变，周长发生变化（拼接后的周长小于原平行四边形周长）。 2. 三角形的面积 推导过程 用两个完全相同的三角形，通过旋转、平移，可以拼成一个平行四边形。 对应关系：平行四边形的底 = 三角形的底；平行四边形的高 = 三角形的高。 推导结论：每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 公式体系 基础公式： 逆运算公式（高频易错）： 底 = 面积 × 2 ÷ 高： 高 = 面积 × 2 ÷ 底： 关键结论：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半；等底等高时，平行四边形面积是三角形的 2 倍。 3. 梯形的面积 推导过程 方法一（拼接法）：用两个完全相同的梯形，通过旋转、平移，可以拼成一个平行四边形。 对应关系：平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底；平行四边形的高 = 梯形的高。 推导结论：每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 方法二（分割法）：沿梯形的一条对角线剪开，分成两个三角形，两个三角形的高都等于梯形的高，底分别为梯形的上底和下底，面积相加即为梯形面积。 公式体系 基础公式：（ 为上底， 为下底， 为高） 逆运算公式： 高 = 面积 × 2 ÷（上底 + 下底）： 上底 + 下底 = 面积 × 2 ÷ 高： 上底 = 面积 × 2 ÷ 高 - 下底 三、核心性质与奥数基础规律 1. 底高一一对应原则 每个图形都有多组底和高，计算面积时必须使用对应底边上的对应高，不可交叉混用。 高的本质是两条平行线之间的距离，因此同一条底对应的所有高长度相等。 2. 等底等高的面积相等规律 平行四边形：等底等高的平行四边形，面积一定相等，但形状可以不同（内角角度不同）。 三角形：等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同；两条平行线之间，所有以同一条线段为底、顶点在另一条平行线上的三角形，面积全部相等（高等于平行线间的距离，处处相等）。 梯形：上下底之和相等、高相等的梯形，面积一定相等，与梯形的形状、腰的长度无关。 3. 面积与底、高的变化规律 底不变，高扩大到原来的 倍，面积也扩大到原来的 倍；高缩小到原来的 ，面积同步缩小。 高不变，底扩大到原来的 倍，面积也扩大到原来的 倍；底缩小到原来的 ，面积同步缩小。 底扩大到原来的 倍，高扩大到原来的 倍，面积扩大到原来的 倍。 4. 面积相等时的反向规律 面积相等的平行四边形：底越长，对应的高越短；底的长度比与高的长度比成反比。 面积相等的三角形：底的长度比等于高的反比；底相等则高相等，高相等则底相等。 四、奥数经典题型与解题策略 （一）基础应用类 公式正向与逆向计算 题型特征：已知底和高求面积，或已知面积和其中一个量，求底或高。 解题策略：牢记公式，三角形、梯形计算时注意 “÷2”；逆求底 / 高时，必须先将面积 ×2 还原为对应平行四边形的面积，再进行除法计算。 底高对应辨析题 题型特征：给出图形多条底和高的长度，选择正确组合计算面积，或判断错误算法。 解题策略：找准垂足对应的底边，确保高与底互相垂直；重点关注钝角三角形的外部高、平行四边形的两组不同底高。 多图形面积比较 题型特征：网格中或平行线间的多个图形，比较面积大小，或找出面积相等的图形。 解题策略：利用等底等高规律，通过底和高的长度对比快速判断，无需逐一精确计算。 （二）进阶奥数核心题型 1. 等积变换（等积变形） 题型特征：不规则、分散的阴影图形，直接计算困难，通过移动顶点、拼接图形，转化为规则图形求解。 核心模型：三角形平行线模型 —— 固定底边，顶点在平行线上滑动，三角形面积始终不变（高为平行线间距）。 解题步骤： 找出图中的平行线（如长方形对边、梯形上下底），确定等高条件； 锁定公共底边，将阴影三角形的顶点平移到便于计算的位置； 将分散的阴影面积转化为一个完整的规则图形面积，直接用公式计算。 2. 一半模型 题型特征：在长方形、平行四边形内构造三角形，利用底高的倍数关系快速求面积。 核心结论： 基础版：以平行四边形的一条边为底、对边上任意一点为顶点的三角形，面积等于平行四边形面积的一半。 进阶版：平行四边形内任意一点连接四个顶点，形成的四个三角形中，相对两个三角形的面积和等于平行四边形面积的一半。 解题策略：先验证等底等高的前提条件，再直接利用一半的倍数关系口算，无需分步计算底和高。 3. 差不变原理 题型特征：求两个不规则图形的面积差，分别计算各自面积难度大。 核心原理：两个图形同时加上或减去同一个公共部分，它们的面积差保持不变。 解题步骤： 找到两个图形的公共重叠 / 相邻空白部分； 给两个图形同时补上空白部分，转化为两个规则图形的面积差； 用大规则图形面积减小规则图形面积，得到原图形的面积差。 4. 组合图形面积计算 题型特征：由多个基本图形拼接、挖空、重叠形成的复杂图形，求总面积或阴影面积。 三大核心方法： 分割法：将组合图形拆分成平行四边形、三角形、梯形，分别计算面积后相加，适用于凸多边形。 添补法：给不规则图形补上一部分，变成一个大的规则图形，用总面积减去补上的空白面积，适用于凹多边形。 割补平移法：切割图形的某一部分，通过平移、旋转拼接成完整的规则图形，直接计算总面积，面积不变。 （三）拓展提升类 1. 格点多边形面积（皮克定理初步） 题型特征：正方形格点图中的多边形，所有顶点都在格点上，求图形面积。 解题方法： 基础方法：分割法，拆分为三角形、梯形等基本图形分别计算求和； 技巧方法（皮克定理）：正方形格点中，面积 = 内部格点数 + 边界格点数 ÷2 - 1。 2. 同高三角形的面积比例 题型特征：两个三角形共享同一个高，底边在同一条直线上。 核心结论：高相等时，两个三角形的面积比等于它们对应底边的长度比。 解题策略：找到公共高，根据底边的倍数关系，直接推导面积的倍数关系，无需计算高的具体数值。 3. 错中求解面积问题 题型特征：计算面积时看错底或高的长度，得到错误结果，求正确的面积。 解题策略： 根据错误的底 / 高和错误的面积，求出保持不变的量（如高 / 底）； 代入正确的底 / 高，重新计算出正确的面积。 4. 梯形面积进阶应用 核心拓展：梯形对角线分成的四个三角形中，以两腰为边的两个三角形面积相等（俗称 “蝴蝶翅膀”）。 常考题型：已知梯形部分三角形面积，求整体面积或其余三角形面积；利用上下底的比例关系推导面积比。 五、核心解题方法汇总 转化推导法：将未知图形转化为已知图形推导面积，是本单元的核心数学思想。 公式逆用法：已知面积反求底或高，三角形、梯形必须先将面积乘 2 再计算。 等积变换法：利用平行线间等高的特点，平移顶点转化图形，简化面积计算。 分割添补法：组合图形的通用解法，化整为零或补零为整，转化为基本图形求解。 差不变法：面积差问题的核心技巧，通过补公共部分将不规则差转化为规则图形的差。 一半模型法：平行四边形内三角形面积的快速判断，秒杀基础比例类题目。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 底高不对应：误用不对应的底和高计算面积，是最高频错误；必须确保高是对应底边上的垂线段。 三角形 / 梯形忘记除以 2：忽略 “两个图形拼成一个平行四边形” 的推导前提，面积计算遗漏 “÷2”。 高的认知偏差：误以为高必须在图形内部，钝角三角形有两条高在外部；梯形的高是两底之间的垂线段，不是腰。 等积变换条件混淆：误认为只要底相等面积就相等，忽略 “等高” 是必要前提。 2. 计算类易错点 逆运算公式用错：已知三角形面积求高，直接用面积 ÷ 底，忘记先乘 2；梯形逆运算同理。 单位不统一：底和高的单位不一致时，未换算直接计算，导致结果数量级错误。 组合图形重复计算：分割法计算时，重叠部分被多次相加，导致总面积偏大。 平方与长度混淆：面积单位与长度单位混用，概念区分不清。 3. 应用类易错点 一半模型滥用：不满足 “等底等高” 的前提条件，强行套用一半结论，导致结果错误。 差不变找错公共部分：选错公共重叠区域，转化后的图形差与原问题不符。 剪拼后周长面积混淆：图形剪拼后，误认为周长和面积都不变，实际上面积不变、周长会发生改变。 梯形上下底混淆：计算时将腰的长度当作底代入公式，忽略底必须是互相平行的对边。 培优练习 一、选择题 1．一个三角形三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是（    ）。 A．6平方厘米 B．10平方厘米 C．15平方厘米 D．12平方厘米 2．用18米长的篱笆按照如图所示的方法围成一个直角梯形苗圃（一面靠墙），要想使苗圃的面积最大，梯形的高应是（    ）。 A．12米 B．9米 C．6米 D．3米 3．把一些钢管堆起来后的横截面近似于梯形，已知最上层是4根，最下层是10根。每相邻两层间相差1根，那么这堆钢管一共有（    ）。 A．70根 B．49根 C．40根 D．50根 4．把一个长方形木框拉成一个平行四边形，它的（    ）不变。 A．面积 B．周长 C．高 D．所有属性 5．一个三角形的面积是12cm2，底是4cm，它的高是（    ）cm。 A．3 B．6 C．1.5 D．12 6．在一组平行线间画一个长方形和一个平行四边形（下图），那么阴影部分甲和乙的面积大小关系是（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定 二、填空题 7．一个平行四边形，比与它等底等高的三角形的面积大40平方厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 8．一个平行四边形的面积是36dm2，与它等底等高的三角形面积是( )dm2；如果一个三角形的面积是36dm2，与它等底等高的平行四边形面积是( )dm2。 9．一个平行四边形的底长是16dm，高9dm，一个三角形与它的面积相等，底是12dm，高是( )dm。 10．一块平行四边形木料的底是4分米，高是3分米，它的面积是( )平方分米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方分米。 11．一个梯形的上底、下底和高分别是6cm、10cm和8cm，用这个梯形剪出一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是( )cm2；如果在梯形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2。 12．如图，刘爷爷家有一块平行四边形菜地，这块菜地的面积是( )平方米，现在要在这块菜地的四周围上一圈篱笆，至少需要篱笆( )米。 13．如图，已知平行四边形其中一条底边上的高是20cm，则另一条底边的高是( )厘米；与它等底等高的三角形面积是( )平方厘米。 14．同一直线上的直角梯形和长方形相距9厘米（如图，单位：厘米），现在直角梯形按每秒3厘米的速度匀速向右平移4秒后，它与长方形重叠部分的面积是( )平方厘米。 15．如图，把这个直角梯形的上底增加2cm，它就变成一个正方形。这个梯形的高是( )cm，它的面积是( )cm2。 16．王师傅把一块优质花岗岩石料切割成底为5米，高为4.5米的平行四边形，这块切割好的花岗岩面积是( )平方米，如果平行四边形花岗岩底不变，高缩短0.5米，面积会减少( )平方米。 三、判断题 17．把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，面积一定变小。( ) 18．平行四边形的底扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍。( ) 19．一个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm（下底长度大于3cm），高不变，则面积也不变。( ) 20．一个平行四边形的面积是20平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是10平方厘米。( ) 21．若一个等底等高的三角形和平行四边形的面积和是60dm2，则平行四边形的面积是40dm2。( ) 22．将一些数学本摞成一个长方形，它的前面是一个长方形，再将它均匀地斜放，这时前面变成了一个近似的平行四边形（如图）。比较这两摞数学本的前面，它们的周长和面积相同。( ) 四、计算题 23．看图列方程并解答。 三角形的面积是。 24．计算下面平行四边形的面积。          五、解答题 25．张伯伯家里有一块近似平行四边形的菜园，这个季度共收白菜480千克。已知每平方米的菜地收白菜8千克，菜地的底是15米，那么它的高是多少米？ 26．一块三角形的地，底是500米，高是360米，这块地的面积是多少公顷？如果用拖拉机每天耕3公顷，这块地几天才能耕完？ 27．孙大伯家用90米长的竹篱笆在一块靠墙的空地上围了一个花圃（如图），这个花圃的面积是多少平方米？ 28．一个果园近似梯形，上底120米、下底180米、高80米。如果每10平方米栽一棵果树，一共能栽多少棵果树？ 29．幸福小区有一块平行四边形的空地，业委会计划在这片空地上铺满草皮，同时在中间留一条长12.5米，宽3米并垂直底边的小路（如图）。铺草皮的费用为每平方米8元，请问业委会需要准备多少钱？ 30．一块打碎的玻璃原来形状是一个三角形（如图），每平方米玻璃的价格是65元。要再买这样的一块完好的玻璃需要多少元？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $