第六单元 因数和倍数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学五年级上册(新教材)

**基本信息** 以因数倍数概念为基石，构建从基础性质到奥数进阶的完整知识链，提炼7大解题方法，实现抽象能力与推理意识的深度培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|核心概念+性质辨析|概念边界区分法|从定义本质出发，通过对比（因数vs乘数）建立数论认知基础| |基础应用题型|4类基础题+示例|成对枚举法/整除特征法|结合2、3、5倍数特征，形成“判断-枚举-验证”解题闭环| |奥数进阶题型|6类进阶题+原理|指数加1法/质因数重组法|以分解质因数为工具，延伸至因数个数定理、极值问题等数论推理| |解题方法汇总|7大核心方法|短除法/奇偶性分析法|方法覆盖从基础操作到高阶推理，适配不同难度题型需求|

第六单元 因数和倍数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学数论知识的入门核心，在非 0 自然数的研究范围内，基于整数整除关系，建立因数与倍数的对应概念。 标准定义：在整数除法中，若商是整数且没有余数，则被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；也可从乘法角度表述：若（均为非 0 自然数），则是的因数，是的倍数。 核心本质：描述自然数之间的整除从属关系，本质是对整数内部构成规律的研究，是整个数论知识体系的基石。 核心属性：相互依存性。因数和倍数是成对出现的关系概念，不能单独说某一个数是因数或倍数，必须明确 “谁是谁的因数、谁是谁的倍数”。 2. 核心概念边界区分 因数 vs 乘法乘数：乘法中的乘数是算式位置概念，可包含小数、分数；因数是数论概念，仅在非 0 自然数范围内成立。 倍数 vs “几倍”：“几倍” 是数量倍比关系，可存在小数倍；“倍数” 是整除关系概念，仅适用于整数范围，且倍数一定不小于原数。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接整数乘除法运算，是整数知识从 “计算” 向 “数论” 拓展的起始单元，为后续公因数、公倍数、分数约分通分、分解质因数等知识搭建基础，是小学 “数与代数” 模块的核心过渡内容。 奥数价值：以整除关系为核心，延伸出因数个数定理、奇偶性分析、高阶整除特征、分解质因数应用、极值推理等经典数论题型，强化数感、有序枚举与逻辑推理能力，是小升初数论模块的必考核心基础。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 因数的核心性质 有限性：任意一个非 0 自然数，因数的个数都是有限的。 极值性：一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 成对性：因数总是成对出现，每一对因数的乘积都等于这个数本身。 特例：1 只有 1 个因数（即它本身）；1 是所有非 0 自然数的公共因数。 2. 倍数的核心性质 无限性：任意一个非 0 自然数，倍数的个数都是无限的。 极值性：一个数最小的倍数是它本身，不存在最大的倍数。 传递性：若是的倍数，是的倍数，则一定是的倍数。 3. 2、5、3 的倍数特征（教材核心） （1）2 的倍数与奇偶性 特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 关联概念： 偶数：是 2 的倍数的数，非 0 自然数范围内最小的偶数是 2； 奇数：不是 2 的倍数的数，最小的奇数是 1。 （2）5 的倍数特征 特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 延伸：同时是 2 和 5 的倍数，个位一定是 0，也就是 10 的倍数。 （3）3 的倍数特征 特征：一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 易错提醒：3 的倍数与个位数字无关，不能通过个位数字直接判断，这是与 2、5 倍数的核心区别。 拓展：9 的倍数特征 —— 各位数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数；是 9 的倍数的数一定是 3 的倍数，反之不成立。 4. 找因数与找倍数的标准方法 找因数：成对枚举法 从 1 开始按从小到大的顺序一对一对地找，直到两个因数接近或相等为止，最后按从小到大排序输出。 示例：找 18 的因数 ，，，因此 18 的因数为 1、2、3、6、9、18，共 6 个。 找倍数：逐次乘 1 法 用这个数依次乘 1、2、3、4…… 所得的积就是这个数的倍数，可无限延伸，通常列举前若干个后加省略号。 5. 整除的基本性质（奥数基础） 传递性：若能被整除，能被整除，则能被整除。 和差可整除性：若两个数都能被同一个数整除，则它们的和与差也能被这个数整除。 积的可整除性：若能被整除，则与任意非 0 自然数的乘积也能被整除。 三、基础应用题型与标准解法 1. 概念辨析判断题 题型特征：判断关于因数、倍数的表述是否正确，或判断两数是否存在因数倍数关系。 解题策略：先验证是否为非 0 自然数，再确认是否满足整除关系；重点排查 “单独表述因数 / 倍数”“包含小数 / 0” 等典型错误。 2. 因数与倍数枚举题 题型特征：写出指定数的所有因数，或写出指定范围内某数的全部倍数。 解题策略：找因数用成对枚举法，两因数相邻时停止，避免重复遗漏；找倍数按自然数顺序逐次相乘，按范围截取。 3. 2、3、5 倍数的判断与组数题 题型特征：判断给定数字是否为 2、3、5 的倍数，或用指定数字卡片组成满足整除条件的多位数。 解题策略：先通过个位筛选 2、5 的倍数，再通过数字和筛选 3 的倍数；组数题按有序枚举，做到不重不漏。 4. 奇偶性基础应用题 题型特征：判断单个或多个数运算后的奇偶性，或结合简单场景判断结果状态。 解题策略：单个数字看个位；多个数运算可直接用奇偶运算规律判断，无需计算完整结果。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）因数个数定理 1. 题型特征 已知一个自然数，求它的因数总个数；或已知因数个数，反求满足条件的最小 / 最大自然数，是因数模块的核心奥数考点。 2. 前置工具：分解质因数 定义：把一个合数写成几个质数相乘的形式，每个质数都是这个合数的质因数。 标准方法：短除法，一直除到商为质数为止，最终写成标准形式： （为不同质数，为对应指数） 3. 因数个数核心定理 一个数的因数总个数，等于它分解质因数后，所有质因数的指数分别加 1，再相乘。 公式：若，则 示例：，因数个数个，对应 1、2、3、4、6、12。 4. 核心拓展性质 完全平方数的因数个数一定是奇数个（质因数指数均为偶数，加 1 后仍为奇数，乘积仍为奇数）；反之，因数个数为奇数的数一定是完全平方数。 质数的因数个数一定是 2 个（1 和它本身）。 （二）整除特征进阶 1. 高阶整除特征 4/25 的倍数：看末两位。末两位能被 4 整除，整个数就能被 4 整除；末两位能被 25 整除，整个数就能被 25 整除。 8/125 的倍数：看末三位。末三位能被 8 整除，整个数就能被 8 整除；末三位能被 125 整除，整个数就能被 125 整除。 11 的倍数：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）是 11 的倍数（含 0），这个数就是 11 的倍数。 2. 典型题型：数字谜补全 题型特征：多位数中有未知数位，已知该数能被某个数整除，求未知数位的数字。 解题策略：根据对应整除特征建立数字和或差值的等量关系，枚举验证所有符合条件的数字。 （三）奇偶性分析进阶 1. 奇偶运算核心规律 加减规律：同奇偶相加减得偶数，不同奇偶相加减得奇数；多个数相加减时，结果的奇偶性由奇数的个数决定 —— 奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数。 乘法规律：有偶则偶，全奇才奇。算式中只要有一个偶数，乘积就是偶数；所有因数都是奇数，乘积才是奇数。 2. 经典应用场景 开关灯、翻杯子问题：初始状态固定，每次翻转改变状态，判断若干次后的最终状态。 解题策略：判断总操作次数的奇偶性，奇数次改变状态，偶数次回到初始状态。 报数、座位排列问题：利用奇偶性分类筛选，快速定位符合条件的位置或数字。 （四）分解质因数的综合应用 1. 乘积拆分问题 题型特征：已知几个数的乘积，结合年龄、连续自然数等场景，求这几个数的具体值。 解题策略：先把乘积分解质因数，再根据题目限定条件（如连续数、年龄范围）将质因数重新组合，得到符合要求的数。 2. 乘积末尾 0 的个数问题 题型特征：求连乘算式（如）结果末尾连续 0 的个数。 核心原理：末尾的 0 由质因数产生，每一对 2 和 5 对应一个 0；连续自然数中质因数 2 的数量远多于 5，因此只需统计质因数 5 的总个数，就是末尾 0 的个数。 计算方法：依次计算范围内 5 的倍数、25 的倍数、125 的倍数…… 的数量，相加得到 5 的总个数。 3. 整除类实际应用题 题型特征：物品平均分刚好分完，或分完剩余固定数量，求物品总数、分组数等。 解题策略：将实际场景转化为因数倍数问题，利用整除性质筛选符合范围的因数 / 倍数，结合条件验证。 （五）因数与倍数极值问题 1. 已知因数个数求最值 题型特征：已知一个自然数的因数个数，求满足条件的最小自然数，或指定范围内的最大 / 最小数。 解题策略：先将因数个数分解为多个整数的乘积，对应质因数的 “指数 + 1”；遵循 “小质因数配大指数” 的原则分配指数，计算后对比得到最小值。 示例：有 6 个因数的最小自然数 ，对应指数 5，即；，对应指数 2 和 1，即。对比得最小为 12。 2. 范围内的倍数极值与计数 题型特征：求某个范围内，是某数倍数的最大数、最小数，或统计符合条件的数的总个数。 解题策略：用范围边界除以该数，根据商的整数部分确定倍数个数，再通过乘法计算边界值。 （六）拓展提升类 1. 质数合数结合因数推理 题型特征：结合质数、合数概念，根据因数个数判断数的类型，或已知质因数特征反推原数。 核心对应：2 个因数→质数，3 个因数→质数的平方，以此类推。 2. 多条件整除推理 题型特征：给出多个整除条件，推理多位数的完整数字组成。 解题策略：从特征最明确的条件入手，先锁定个位、末两位等确定数位，再逐步结合其他条件缩小范围，最终验证所有条件。 五、核心解题方法汇总 成对枚举法：找因数的基础方法，按顺序成对列举并排序，避免重复遗漏。 短除法：分解质因数的核心工具，也是后续公因数、公倍数计算的通用基础。 指数加 1 法：计算因数总个数的标准公式，需结合分解质因数使用。 整除特征法：根据不同数的整除特征，快速判断整除性、补全数字谜。 奇偶性分析法：无需计算具体数值，通过奇偶规律快速判断结果、解决状态变化类问题。 质因数重组法：乘积拆分类问题的核心，分解质因数后按条件重新组合因数。 极值配方法：已知因数个数求最值时，小质因数配大指数，保证数值最小。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 忽略研究范围：忽略因数与倍数仅在非 0 自然数范围内研究，将小数、0 纳入判断，导致概念性错误。 依存关系混淆：单独表述 “某数是因数”“某数是倍数”，忽略二者的相互依存属性，必须成对说明关系。 3 的倍数特征记错：误认为个位是 3、6、9 的数是 3 的倍数，正确判断依据是各位数字之和，与个位无关。 因数与质因数混淆：因数可以是质数也可以是合数，质因数必须同时满足 “是质数” 和 “是因数” 两个条件，二者范畴不同。 2. 计算类易错点 因数枚举重漏：无序列举因数，出现重复计数或漏算，成对枚举并从小到大排序可有效避免。 分解质因数不彻底：分解结果中仍含有合数因数，未分解到全部为质数，导致因数个数计算错误。 因数个数公式用错：直接用质因数指数相乘，忘记每个指数需先加 1，是本考点最高频计算错误。 末尾 0 计数偏差：同时统计 2 和 5 的数量，或遗漏 25、125 等多含 5 的倍数，导致计数不准。 3. 应用类易错点 奇偶规律记混：加减与乘法的奇偶规律混淆，多步运算时错误判断结果的奇偶性。 状态问题结论颠倒：翻杯子、开关灯问题中，混淆奇数次与偶数次对应的状态，导致结论相反。 极值指数分配错误：求最小数时给大质因数配大指数，导致算出的结果不是最小值。 11 的倍数数位数错：奇数位、偶数位按从左到右的数位顺序计数，易因数错位导致差值计算错误。 培优练习 一、选择题 1．在下面各数中，同时能被2、3、5整除的是（    ）。 A．120 B．110 C．100 D．95 【答案】A 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除；各位上的数字之和能被3整除，这个数一定能被3整除；个位上是0或5的数都能被5整除；能同时被2、3整除的数个位上是偶数且各位上的数字之和能被3；能同时被2、5整除的数个位上必须是0；据此解答。 【详解】A．，3能被3整除，120就能被3整除，个位上是0，能同时被2、5整除，所以这个数能被2、3、5整除，符合题意。 B．，2不能被3整除，不符合题意。 C．，1不能被3整除，不符合题意。 D．95个位上的数是5，不能被2整除，不符合题意。 2．有45颗糖，平均分成若干份，每份不得少于5颗，也不能多于20颗，一共有（    ）种分法。 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】若要使45颗糖能平均分成若干份，那么每份的数量必须是45的因数。找出45的所有因数，数出大于等于5且小于等于20的因数个数，此个数就是分法的数量。 【详解】45的因数有1、3、5、9、15、45。 其中大于等于5且小于等于20的因数为5、9、15，共3个，即有3种分法。 3．小强要从2、3、7、0四个数字卡片中任意取出三张，组成三位数。如果要使组成的三位数既是2和5的倍数，又是3的倍数，那么这个数最大是（    ）。 A．732 B．730 C．720 D．270 【答案】C 【分析】既是2又是5的倍数，个位一定是0，所以先确定这个三位数的个位只能是0；接下来要满足是3的倍数，就需要剩下的百位和十位数字的和是3的倍数，再从剩下的2、3、7里选两个数字，同时要让组成的三位数最大，所以优先选大的数字来组合验证。 【详解】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位必须是0，因此这个三位数的个位固定为0。 筛选百位和十位的数字组合：从2、3、7中选两个数字，和0组成三位数，且三个数字的和是3的倍数： 选7和3：7＋3＋0＝10，10不能被3整除，不符合要求； 选7和2：7＋2＋0＝9，9能被3整除，符合要求； 选3和2：3＋2＋0＝5，5不能被3整除，不符合要求。 得到最大数：符合条件的数字组合是7、2、0，要组成最大的三位数，把大数字放在高位，得到720。 4．体育老师把3□7个羽毛球平均装在3个盒子里，正好装完，□里的数字不可能是（    ）。 A．2 B．5 C．4 D．8 【答案】C 【分析】平均装在3个盒子正好装完，说明3□7是3的倍数。 3的倍数特征：一个数各位上数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 已知数字：3＋7＝10，所以10＋□的结果需要能被3整除。 【详解】A．□＝2：10＋2＝12，12是3的倍数；符合 B．□＝5：10＋5＝15，15是3的倍数；符合 C．□＝4：10＋4＝14，14不是3的倍数；不符合 D．□＝8：10＋8＝18，18是3的倍数；符合 5．下列各数中既是3的倍数又是5的倍数的数是（    ）。 A．705 B．320 C．891 D．635 【答案】A 【分析】5的倍数特征是个位上0或5的数；3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数；同时满足这两个特征的数即为所求。 【详解】A．7＋0＋5＝12，12是3的倍数，即705是3的倍数；705个位上是5，705也是5的倍数，此选项符合题意； B．3＋2＋0＝5，5不是3的倍数，320不是3的倍数，此选项不符合题意； C．891个位上是1，891不是5的倍数，此选项不符合题意； D．6＋3＋5＝14，14不是3的倍数，635不是3的倍数，此选项不符合题意； 二、填空题 6．5□0同时是2、3、5的倍数，□里可以填( )。 【答案】1、4、7 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】个位上是0，一定是2和5的倍数。 5＋0＋1＝6，6÷3＝2，□里可以填1； 5＋0＋4＝9，9÷3＝3，□里可以填4； 5＋0＋7＝12，12÷3＝4，□里可以填7。 综上，□里可以填1、4、7。 7．一个长方形的宽为a（a为非零自然数），长为a＋3，则这个长方形的周长为( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2＝（a＋a＋3）×2＝（2a＋3）×2，无论a是多少，周长都是2的倍数，能被2整除的数是偶数，所以长方形的周长是偶数。 【详解】根据长方形周长公式可知，周长一定是2的倍数，则长方形的周长为偶数。 8．在3、8、16、48这四个数中，( )既是16的因数，又是16的倍数。 【答案】16 【分析】一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身。所以既是16的因数，又是16的倍数的数，只有它本身。 【详解】在3、8、16、48这四个数中，16既是16的因数，又是16的倍数。 9．7□既是2的倍数，又是3的倍数，□里可以填( )。 【答案】2、8 【分析】2的倍数特点：个位上是0、2、4、6、8；3的倍数特点：各个数位上数字之和是3的倍数；据此解答。 【详解】7□是3的倍数，则根据7＋2＝9，7＋5＝12，7＋8＝15，都是3的倍数，□可以填2、5、8，又要求是2的倍数，则□只能填2和8。 10．“5□32★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是( )，□所代表的数字最小是( )。 【答案】 0 2 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8；5的倍数特征：个位上是0或5。同时是2和5的倍数，个位必须是0。3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数。据此解答。 【详解】同时是2和5的倍数，个位必须是0，所以★＝0。 这个五位数现在是5□320， 数字总和：5＋□＋3＋2＋0＝10＋□。 要使10＋□是3的倍数： 10＋0＝10，10不是3的倍数，不满足条件； 10＋1＝11，11不是3的倍数，不满足条件； 10＋2＝12，12是3的倍数，满足条件； 所以□里最小是2。 11．三位数40☆如果既是3的倍数又含有因数5，☆代表的数字是________；三位数40☆如果既是偶数又是3的倍数，☆代表的数字最大是________。 【答案】 5 8 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】三位数40☆如果是5的倍数，个位上的数字可以是0或5，当个位是0时，4＋0＋0＝4，不是3的倍数；当个位是5时，4＋0＋5＝9，是3的倍数，因此三位数40☆如果既是3的倍数又含有因数5，☆代表的数字是5； 40☆如果是偶数，个位上的数字可以是0、2、4、6、8，当个位是0时，4＋0＋0＝4，不是3的倍数；当个位是2时，4＋0＋2＝6，是3的倍数；当个位是4时，4＋0＋4＝8，不是3的倍数；当个位是6时，4＋0＋6＝10，不是3的倍数；当个位是8时，4＋0＋8＝12，是3的倍数，因此三位数40☆如果既是偶数又是3的倍数，☆代表的数字最大是8。 12．三位数42既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填( )，最小填( )；如果三位数4同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 9 0 840 240 【分析】2的倍数特征是个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征是各位上数字的和是3的倍数；一个数是5的倍数，末尾是0或5；据此写出符合要求的数字，最后根据最大或最小的要求确定答案。 【详解】 三位数42既是2的倍数，又是3的倍数，个位上是0、2、4、6、8且各位上的数字之和一定是3的倍数。 个位上是2，一定是2的倍数， 4＋2＝6，6÷3＝2，所以里可以填0，3，6，9，因此最大填9，最小填0。 三位数4同时是2、3、5的倍数，个位上一定是0且各位上的数字之和一定是3的倍数。 4＋0＝4，4÷3＝1……1，所以百位数字是2，5，8，因此这个数最大是840，最小是240。 13．新新一家在“访客系统”预约入校时收到一个验证码“□56□”已知它同时是2、3、5的倍数，这个验证码最大是( )。 【答案】7560 【分析】（）先结合和的倍数特征确定个位数字，因为同时是和的倍数的数，个位只能是，所以先确定末位方框的数字。 （）再根据的倍数特征分析千位的可取值，因为的倍数的所有数位数字之和是的倍数，所以先计算已知数位的和，再推导千位可填的最大数字。 （）最终组合千位和个位的数字，得到最大的符合要求的四位数。 【详解】（）的倍数特征：个位上是、、、、的数；的倍数特征：各位数字之和是的倍数；的倍数特征：个位上的数字是或，要同时是和的倍数，个位上只能是，这个四位数为。 （）根据的倍数特征确定千位数字 ，已知这个四位数为，各位数字之和为，要使是的倍数，里可以是、、。要使这个四位数最大，千位上应取最大的数，此时各位数字之和为，是的倍数，所以这个四位数最大是。 这个验证码最大是。 14．学校组建机器人研究小组，已有83人报名，至少再来( )人，才能正好分成3人一组，也正好分成5人一组。 【答案】7 【分析】个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 根据题意，人数的个位上的数字可能是0或5，用3的倍数验证即可。 【详解】当个位上是0时，83＋7＝90，9＋0＝9，9是3的倍数，90能正好分成3人一组，也正好分成5人一组。 当个位上是5时，83＋2＝85，8＋5＝13，13不是3的倍数。 所以，至少再来7人，才能正好分成3人一组，也正好分成5人一组。 15．要使三位数是3的倍数，则里最小填( )；既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是( )。 【答案】 2 90 【分析】因为3的倍数的特征是各数位上数字之和是3的倍数，所以先计算已知数位4和6的和，再判断填入的数字与该和相加后是3的倍数的整数。 因为既是2又是5的倍数的数的个位一定是0，所以先确定该两位数个位为0，再根据3的倍数的特征，找十位上满足数字和是3的倍数的最大一位数即可。 【详解】已有数字和为，要让的和是3的倍数，可填2、5、8，其中最小的是。 同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；要找满足条件的最大两位数，个位固定为0，十位从大到小试：十位为9时，这个数是，各位和，9是3的倍数，满足所有条件，因此这个数是。 三、判断题 16．一个非0自然数的最大因数和这个数的最小倍数相同。( ) 【答案】 √ 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，可据此判断。 【详解】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，二者相等。 故答案为：√ 17．4和6是因数，24是倍数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是相互依存的两个概念，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 【详解】根据分析，解答如下： 原题干说法错误，正确的说法应该是4和6是24的因数，24是4和6的倍数。 故答案为：× 18．因为a÷b＝c（a，b，c均为非0自然数），所以a是b和c的倍数， b和c是a的因数。( ) 【答案】 √ 【分析】根据因数和倍数的定义，非0自然数范围内，被除数除以非0自然数的商是整数且无余数时，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，本题条件符合该定义。 【详解】已知、、均为非0自然数，说明能被整除，商为整数，符合因数和倍数的定义，因此是和的倍数，和是的因数；原题说法正确。 故答案为：√ 19．因为0.4×7＝2.8，所以2.8既是0.4的倍数，也是7的倍数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数能被整数整除（），就叫做的倍数，就叫做的因数；据此解答。 【详解】研究倍数和因数时，对应的数都必须是非整数，题中和是小数，不符合讨论条件. 故答案为：× 20．8÷5＝1.6，所以8是5的倍数，5是8的因数。( ) 【答案】× 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】8÷5＝1.6，1.6不是整数，因此它们之间不能研究因数和倍数关系，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的且在整数范围内研究。 四、解答题 21．梅沙水族馆饲养了54条小丑鱼，该水族馆计划将它们放在不同的鱼缸中展览，每个鱼缸放的小丑鱼一样多。有几种放法？每种放法各需要几个鱼缸？ 【答案】7种, 各需要54个、27个、18个、9个、6个、3个、2个鱼缸。 【分析】要让每个鱼缸的鱼数量一样多，每个鱼缸的鱼数必须是54的正因数，鱼缸数×每个鱼缸中鱼的条数＝鱼的总条数，a×b＝c（a、b、c不为0），a和b是c的一对因数，用乘法算式找出54的因数对，每一对因数中一个数是鱼缸数，另一个数就是每个鱼缸中鱼的数量，因为放在不同的鱼缸中，所以排除把所有的鱼放在1个鱼缸中的情况。 【详解】因为1×54＝54 2×27＝54 3×18＝54 6×9＝54 放法： ①每个鱼缸放1条，需要54个鱼缸； ②每个鱼缸放2条，需要27个鱼缸； ③每个鱼缸放3条，需要18个鱼缸； ④每个鱼缸放6条，需要9个鱼缸； ⑤每个鱼缸放9条，需要6个鱼缸； ⑥每个鱼缸放18条，需要3个鱼缸； ⑦每个鱼缸放27条，需要2个鱼缸； 答：有7种放法。各需要54个、27个、18个、9个、6个、3个、2个鱼缸。 22．某班有36名同学参加研学，按学校要求需分成人数相同的小组，每组人数必须多于3人，少于10人，一共有哪几种不同的分组方法？ 【答案】 3种 【分析】要将36人分成人数相同的小组，每组人数必须是36的因数。先找出36的所有因数，再从中筛选出大于3且小于10的因数，每个符合条件的因数对应一种分组方法，用总人数除以每组人数即可得到对应组数。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 符合“多于3人、小于10人”要求的因数有4、6、9。 （组），每组4人，分成9组； （组），每组6人，分成6组； （组），每组9人，分成4组； 答：共3种分组方法。 23．希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6除本身以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，所以6就是“完全数”。那么28是完全数吗？你是怎样判断的。 【答案】28是完全数； 判断方法：28的因数有1、2、4、7、14、28，，所以28是完全数。 【分析】根据题目给出的完全数定义，判断时需先找出该数的所有因数，去掉本身后计算剩余因数的和，再与原数比较，若相等则为完全数。 【详解】，，， 28的因数有：1、2、4、7、14、28，，，因此28是完全数。 24．张奶奶在自家果园里摘了24个桃子，如果把这些桃子装在若干袋子里（不能装在1个袋子里），每个袋子的数量相同且无剩余，共有几种不同的装法？ 【答案】 7种 【分析】每袋桃子数乘袋数等于24，且袋数不能为1，因此找出24的所有因数，去掉因数1，剩余因数的个数就是装法的数量。 【详解】先找出24的所有因数：，，，， 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；因为不能装在1个袋子里，所以袋数不能为1，去掉因数1，即（种） 答：共有种不同的装法。 25．本次生态共建实践活动结束后，为向全校师生普及水源地保护、垃圾分类等环境保护知识，学校美术社团筹备制作环保宣传海报。该社团人数比20多且比30少，社长拿了48张卡纸平均分给社团成员，正好分完。一共有多少个社团成员？ 【答案】一共有24个社团成员。 【分析】卡纸平均分给社团成员且正好分完，说明社团人数是48的因数。先找出48的所有因数，再根据人数比20多且比30少进行筛选，即可确定社团人数。 【详解】。 48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 其中比20大且比30小的因数只有24，所以社团有24人。 （张），每人2张能正好分完。 答：一共有24个社团成员。 26．端午节的时候，王大伯的超市里进了60只粽子，准备卖给小区里的居民。超市里的粽子包装盒有四种：A包装盒每盒可以装4个、B包装盒每盒可以装6个，C包装盒每盒可以装9个，D包装盒每盒可以装12个。 (1)请你帮王大伯选用一种包装盒，把60个粽子包装完，算算这样包装的话可以装几盒？ (2)还可以用怎么样的包装方式，正好把粽子装完？至少说出两种方式，并计算说明。 【答案】(1)选择A包装盒，可装15盒 (2)方式一：选择B包装盒，可以装10盒； 方式二：选择D包装盒，可以装5盒。 【分析】（1）根据题意，选择装的个数是60的因数的包装盒。再用总数除以每盒装的个数算出可以装的盒数。 （2）选择除（1）题以外的包装盒，比如包装盒B、包装盒D。再用总数除以每盒装的个数算出可以装的盒数。 【详解】（1）60的因数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 选择A包装盒，可以装的盒数：60÷4＝15（盒） 答：选择A包装盒，可以装15盒。（答案不唯一） （2）选择B包装盒，可以装的盒数：60÷6＝10（盒） 选择D包装盒，可以装的盒数：60÷12＝5（盒） 答：选择B包装盒，可以装10盒；选择D包装盒，可以装5盒。（答案不唯一） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数和倍数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学数论知识的入门核心，在非 0 自然数的研究范围内，基于整数整除关系，建立因数与倍数的对应概念。 标准定义：在整数除法中，若商是整数且没有余数，则被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；也可从乘法角度表述：若（均为非 0 自然数），则是的因数，是的倍数。 核心本质：描述自然数之间的整除从属关系，本质是对整数内部构成规律的研究，是整个数论知识体系的基石。 核心属性：相互依存性。因数和倍数是成对出现的关系概念，不能单独说某一个数是因数或倍数，必须明确 “谁是谁的因数、谁是谁的倍数”。 2. 核心概念边界区分 因数 vs 乘法乘数：乘法中的乘数是算式位置概念，可包含小数、分数；因数是数论概念，仅在非 0 自然数范围内成立。 倍数 vs “几倍”：“几倍” 是数量倍比关系，可存在小数倍；“倍数” 是整除关系概念，仅适用于整数范围，且倍数一定不小于原数。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接整数乘除法运算，是整数知识从 “计算” 向 “数论” 拓展的起始单元，为后续公因数、公倍数、分数约分通分、分解质因数等知识搭建基础，是小学 “数与代数” 模块的核心过渡内容。 奥数价值：以整除关系为核心，延伸出因数个数定理、奇偶性分析、高阶整除特征、分解质因数应用、极值推理等经典数论题型，强化数感、有序枚举与逻辑推理能力，是小升初数论模块的必考核心基础。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 因数的核心性质 有限性：任意一个非 0 自然数，因数的个数都是有限的。 极值性：一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 成对性：因数总是成对出现，每一对因数的乘积都等于这个数本身。 特例：1 只有 1 个因数（即它本身）；1 是所有非 0 自然数的公共因数。 2. 倍数的核心性质 无限性：任意一个非 0 自然数，倍数的个数都是无限的。 极值性：一个数最小的倍数是它本身，不存在最大的倍数。 传递性：若是的倍数，是的倍数，则一定是的倍数。 3. 2、5、3 的倍数特征（教材核心） （1）2 的倍数与奇偶性 特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 关联概念： 偶数：是 2 的倍数的数，非 0 自然数范围内最小的偶数是 2； 奇数：不是 2 的倍数的数，最小的奇数是 1。 （2）5 的倍数特征 特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 延伸：同时是 2 和 5 的倍数，个位一定是 0，也就是 10 的倍数。 （3）3 的倍数特征 特征：一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 易错提醒：3 的倍数与个位数字无关，不能通过个位数字直接判断，这是与 2、5 倍数的核心区别。 拓展：9 的倍数特征 —— 各位数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数；是 9 的倍数的数一定是 3 的倍数，反之不成立。 4. 找因数与找倍数的标准方法 找因数：成对枚举法 从 1 开始按从小到大的顺序一对一对地找，直到两个因数接近或相等为止，最后按从小到大排序输出。 示例：找 18 的因数 ，，，因此 18 的因数为 1、2、3、6、9、18，共 6 个。 找倍数：逐次乘 1 法 用这个数依次乘 1、2、3、4…… 所得的积就是这个数的倍数，可无限延伸，通常列举前若干个后加省略号。 5. 整除的基本性质（奥数基础） 传递性：若能被整除，能被整除，则能被整除。 和差可整除性：若两个数都能被同一个数整除，则它们的和与差也能被这个数整除。 积的可整除性：若能被整除，则与任意非 0 自然数的乘积也能被整除。 三、基础应用题型与标准解法 1. 概念辨析判断题 题型特征：判断关于因数、倍数的表述是否正确，或判断两数是否存在因数倍数关系。 解题策略：先验证是否为非 0 自然数，再确认是否满足整除关系；重点排查 “单独表述因数 / 倍数”“包含小数 / 0” 等典型错误。 2. 因数与倍数枚举题 题型特征：写出指定数的所有因数，或写出指定范围内某数的全部倍数。 解题策略：找因数用成对枚举法，两因数相邻时停止，避免重复遗漏；找倍数按自然数顺序逐次相乘，按范围截取。 3. 2、3、5 倍数的判断与组数题 题型特征：判断给定数字是否为 2、3、5 的倍数，或用指定数字卡片组成满足整除条件的多位数。 解题策略：先通过个位筛选 2、5 的倍数，再通过数字和筛选 3 的倍数；组数题按有序枚举，做到不重不漏。 4. 奇偶性基础应用题 题型特征：判断单个或多个数运算后的奇偶性，或结合简单场景判断结果状态。 解题策略：单个数字看个位；多个数运算可直接用奇偶运算规律判断，无需计算完整结果。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）因数个数定理 1. 题型特征 已知一个自然数，求它的因数总个数；或已知因数个数，反求满足条件的最小 / 最大自然数，是因数模块的核心奥数考点。 2. 前置工具：分解质因数 定义：把一个合数写成几个质数相乘的形式，每个质数都是这个合数的质因数。 标准方法：短除法，一直除到商为质数为止，最终写成标准形式： （为不同质数，为对应指数） 3. 因数个数核心定理 一个数的因数总个数，等于它分解质因数后，所有质因数的指数分别加 1，再相乘。 公式：若，则 示例：，因数个数个，对应 1、2、3、4、6、12。 4. 核心拓展性质 完全平方数的因数个数一定是奇数个（质因数指数均为偶数，加 1 后仍为奇数，乘积仍为奇数）；反之，因数个数为奇数的数一定是完全平方数。 质数的因数个数一定是 2 个（1 和它本身）。 （二）整除特征进阶 1. 高阶整除特征 4/25 的倍数：看末两位。末两位能被 4 整除，整个数就能被 4 整除；末两位能被 25 整除，整个数就能被 25 整除。 8/125 的倍数：看末三位。末三位能被 8 整除，整个数就能被 8 整除；末三位能被 125 整除，整个数就能被 125 整除。 11 的倍数：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）是 11 的倍数（含 0），这个数就是 11 的倍数。 2. 典型题型：数字谜补全 题型特征：多位数中有未知数位，已知该数能被某个数整除，求未知数位的数字。 解题策略：根据对应整除特征建立数字和或差值的等量关系，枚举验证所有符合条件的数字。 （三）奇偶性分析进阶 1. 奇偶运算核心规律 加减规律：同奇偶相加减得偶数，不同奇偶相加减得奇数；多个数相加减时，结果的奇偶性由奇数的个数决定 —— 奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数。 乘法规律：有偶则偶，全奇才奇。算式中只要有一个偶数，乘积就是偶数；所有因数都是奇数，乘积才是奇数。 2. 经典应用场景 开关灯、翻杯子问题：初始状态固定，每次翻转改变状态，判断若干次后的最终状态。 解题策略：判断总操作次数的奇偶性，奇数次改变状态，偶数次回到初始状态。 报数、座位排列问题：利用奇偶性分类筛选，快速定位符合条件的位置或数字。 （四）分解质因数的综合应用 1. 乘积拆分问题 题型特征：已知几个数的乘积，结合年龄、连续自然数等场景，求这几个数的具体值。 解题策略：先把乘积分解质因数，再根据题目限定条件（如连续数、年龄范围）将质因数重新组合，得到符合要求的数。 2. 乘积末尾 0 的个数问题 题型特征：求连乘算式（如）结果末尾连续 0 的个数。 核心原理：末尾的 0 由质因数产生，每一对 2 和 5 对应一个 0；连续自然数中质因数 2 的数量远多于 5，因此只需统计质因数 5 的总个数，就是末尾 0 的个数。 计算方法：依次计算范围内 5 的倍数、25 的倍数、125 的倍数…… 的数量，相加得到 5 的总个数。 3. 整除类实际应用题 题型特征：物品平均分刚好分完，或分完剩余固定数量，求物品总数、分组数等。 解题策略：将实际场景转化为因数倍数问题，利用整除性质筛选符合范围的因数 / 倍数，结合条件验证。 （五）因数与倍数极值问题 1. 已知因数个数求最值 题型特征：已知一个自然数的因数个数，求满足条件的最小自然数，或指定范围内的最大 / 最小数。 解题策略：先将因数个数分解为多个整数的乘积，对应质因数的 “指数 + 1”；遵循 “小质因数配大指数” 的原则分配指数，计算后对比得到最小值。 示例：有 6 个因数的最小自然数 ，对应指数 5，即；，对应指数 2 和 1，即。对比得最小为 12。 2. 范围内的倍数极值与计数 题型特征：求某个范围内，是某数倍数的最大数、最小数，或统计符合条件的数的总个数。 解题策略：用范围边界除以该数，根据商的整数部分确定倍数个数，再通过乘法计算边界值。 （六）拓展提升类 1. 质数合数结合因数推理 题型特征：结合质数、合数概念，根据因数个数判断数的类型，或已知质因数特征反推原数。 核心对应：2 个因数→质数，3 个因数→质数的平方，以此类推。 2. 多条件整除推理 题型特征：给出多个整除条件，推理多位数的完整数字组成。 解题策略：从特征最明确的条件入手，先锁定个位、末两位等确定数位，再逐步结合其他条件缩小范围，最终验证所有条件。 五、核心解题方法汇总 成对枚举法：找因数的基础方法，按顺序成对列举并排序，避免重复遗漏。 短除法：分解质因数的核心工具，也是后续公因数、公倍数计算的通用基础。 指数加 1 法：计算因数总个数的标准公式，需结合分解质因数使用。 整除特征法：根据不同数的整除特征，快速判断整除性、补全数字谜。 奇偶性分析法：无需计算具体数值，通过奇偶规律快速判断结果、解决状态变化类问题。 质因数重组法：乘积拆分类问题的核心，分解质因数后按条件重新组合因数。 极值配方法：已知因数个数求最值时，小质因数配大指数，保证数值最小。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 忽略研究范围：忽略因数与倍数仅在非 0 自然数范围内研究，将小数、0 纳入判断，导致概念性错误。 依存关系混淆：单独表述 “某数是因数”“某数是倍数”，忽略二者的相互依存属性，必须成对说明关系。 3 的倍数特征记错：误认为个位是 3、6、9 的数是 3 的倍数，正确判断依据是各位数字之和，与个位无关。 因数与质因数混淆：因数可以是质数也可以是合数，质因数必须同时满足 “是质数” 和 “是因数” 两个条件，二者范畴不同。 2. 计算类易错点 因数枚举重漏：无序列举因数，出现重复计数或漏算，成对枚举并从小到大排序可有效避免。 分解质因数不彻底：分解结果中仍含有合数因数，未分解到全部为质数，导致因数个数计算错误。 因数个数公式用错：直接用质因数指数相乘，忘记每个指数需先加 1，是本考点最高频计算错误。 末尾 0 计数偏差：同时统计 2 和 5 的数量，或遗漏 25、125 等多含 5 的倍数，导致计数不准。 3. 应用类易错点 奇偶规律记混：加减与乘法的奇偶规律混淆，多步运算时错误判断结果的奇偶性。 状态问题结论颠倒：翻杯子、开关灯问题中，混淆奇数次与偶数次对应的状态，导致结论相反。 极值指数分配错误：求最小数时给大质因数配大指数，导致算出的结果不是最小值。 11 的倍数数位数错：奇数位、偶数位按从左到右的数位顺序计数，易因数错位导致差值计算错误。 培优练习 一、选择题 1．在下面各数中，同时能被2、3、5整除的是（    ）。 A．120 B．110 C．100 D．95 2．有45颗糖，平均分成若干份，每份不得少于5颗，也不能多于20颗，一共有（    ）种分法。 A．5 B．4 C．3 D．2 3．小强要从2、3、7、0四个数字卡片中任意取出三张，组成三位数。如果要使组成的三位数既是2和5的倍数，又是3的倍数，那么这个数最大是（    ）。 A．732 B．730 C．720 D．270 4．体育老师把3□7个羽毛球平均装在3个盒子里，正好装完，□里的数字不可能是（    ）。 A．2 B．5 C．4 D．8 5．下列各数中既是3的倍数又是5的倍数的数是（    ）。 A．705 B．320 C．891 D．635 二、填空题 6．5□0同时是2、3、5的倍数，□里可以填( )。 7．一个长方形的宽为a（a为非零自然数），长为a＋3，则这个长方形的周长为( )。（填“奇数”或“偶数”） 8．在3、8、16、48这四个数中，( )既是16的因数，又是16的倍数。 9．7□既是2的倍数，又是3的倍数，□里可以填( )。 10．“5□32★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是( )，□所代表的数字最小是( )。 11．三位数40☆如果既是3的倍数又含有因数5，☆代表的数字是________；三位数40☆如果既是偶数又是3的倍数，☆代表的数字最大是________。 12．三位数42既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填( )，最小填( )；如果三位数4同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 13．新新一家在“访客系统”预约入校时收到一个验证码“□56□”已知它同时是2、3、5的倍数，这个验证码最大是( )。 14．学校组建机器人研究小组，已有83人报名，至少再来( )人，才能正好分成3人一组，也正好分成5人一组。 15．要使三位数是3的倍数，则里最小填( )；既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是( )。 三、判断题 16．一个非0自然数的最大因数和这个数的最小倍数相同。( ) 17．4和6是因数，24是倍数。( ) 18．因为a÷b＝c（a，b，c均为非0自然数），所以a是b和c的倍数， b和c是a的因数。( ) 19．因为0.4×7＝2.8，所以2.8既是0.4的倍数，也是7的倍数。( ) 20．8÷5＝1.6，所以8是5的倍数，5是8的因数。( ) 四、解答题 21．梅沙水族馆饲养了54条小丑鱼，该水族馆计划将它们放在不同的鱼缸中展览，每个鱼缸放的小丑鱼一样多。有几种放法？每种放法各需要几个鱼缸？ 22．某班有36名同学参加研学，按学校要求需分成人数相同的小组，每组人数必须多于3人，少于10人，一共有哪几种不同的分组方法？ 23．希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6除本身以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，所以6就是“完全数”。那么28是完全数吗？你是怎样判断的。 24．张奶奶在自家果园里摘了24个桃子，如果把这些桃子装在若干袋子里（不能装在1个袋子里），每个袋子的数量相同且无剩余，共有几种不同的装法？ 25．本次生态共建实践活动结束后，为向全校师生普及水源地保护、垃圾分类等环境保护知识，学校美术社团筹备制作环保宣传海报。该社团人数比20多且比30少，社长拿了48张卡纸平均分给社团成员，正好分完。一共有多少个社团成员？ 26．端午节的时候，王大伯的超市里进了60只粽子，准备卖给小区里的居民。超市里的粽子包装盒有四种：A包装盒每盒可以装4个、B包装盒每盒可以装6个，C包装盒每盒可以装9个，D包装盒每盒可以装12个。 (1)请你帮王大伯选用一种包装盒，把60个粽子包装完，算算这样包装的话可以装几盒？ (2)还可以用怎么样的包装方式，正好把粽子装完？至少说出两种方式，并计算说明。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $