第七单元 用字母表示数量关系（一）（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学五年级上册(新教材)

**基本信息** 以代数思维转型为核心，构建从基础概念到奥数进阶的方法体系，通过符号代换、通项归纳等六大方法实现从具体到抽象的思维跨越，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3类核心意义|符号代换法|从算术到代数的思维转型，明确字母表示数的本质与价值| |核心规则|5项基础知识点|代入求值法|书写规范→数量关系→公式表示→取值范围，层层递进| |基础应用|4类基础题型|建模转化法|情境描述→式子表达→代入计算，实现问题符号化| |奥数进阶|6类拓展题型|通项归纳法、等量消元法、规则套用法|规律探究→等量代换→定义新运算，培养逻辑推理与创新意识| |解题方法|6大核心方法|方法体系化|覆盖从基础到奥数的全场景解题需求，提升方法迁移能力|

第七单元 用字母表示数量关系（一）（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学代数启蒙的核心起点，通过字母（常用 a、b、x、n 等）表示未知量、固定常量以及数量之间的内在关系，实现从具体算术运算到抽象符号表达的思维跨越。 核心本质：用符号概括普遍的数学规律，将单一的数值问题上升为一般化的数量关系模型，使结论可适用于所有符合条件的数值，是整个代数知识体系的底层基石。 核心价值：把 “具体数的运算” 升级为 “类的运算”，用一个字母表达式覆盖无数种具体数值场景，大幅提升数学表达的概括性与通用性。 2. 核心概念辨析：算术与代数的区别 算术思维：仅对已知的具体数值进行运算，得到确定的单一结果，解决的是单个具体问题。 代数思维：用字母代表未知量或变量，通过数量关系建立表达式，描述一类问题的通用规律，可批量解决同类型问题。 本小节定位：是学生从算术思维向代数思维转型的第一站，标志着数学学习从 “计算为主” 进入 “关系与规律为主” 的新阶段。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接整数、小数的四则运算知识，是简易方程、列方程解应用题的前置必备基础，也是小学 “数与代数” 模块从计算转向应用的关键过渡单元。 奥数价值：以字母表示数为载体，延伸出通项归纳、等量代换、代数巧算、定义新运算、极值初步等经典题型，训练抽象概括能力、逻辑推理能力与数学建模能力，是小升初代数模块的必考入门核心考点。 二、核心基础规则与必备知识点 1. 含有字母的式子的书写规范 字母参与运算时有专属的简写规则，是代数表达的基础规范，核心原则是简洁、无歧义。 乘号省略规则：数与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号可以记作 “・”，也可以直接省略不写。 数字前置规则：数与字母相乘时，数字必须写在字母的前面。例如 写作 ，不可写作 。 1 的省略规则：1 与任何字母相乘时，1 直接省略不写。例如 写作 ，不可写作 。 字母排序规则：多个字母相乘时，通常按字母表顺序书写。例如 写作 。 平方立方规则：相同字母相乘，写成幂的形式。 写作 ，读作 “a 的平方”，表示 2 个 a 相乘； 写作 ，读作 “a 的立方”，表示 3 个 a 相乘。 单位书写规则：式子后面带单位时，若式子是加减关系，需给式子加括号再写单位。例如 米，不可写作 米。 2. 用字母表示常见数量关系 用字母统一表达各类应用题的核心数量关系，是建模解题的基础： 行程关系：路程 速度 时间 ，即 ；对应逆运算 ，。 价格关系：总价 单价 数量 ，即 ；对应逆运算 ，。 工程关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 和差倍关系： 比 多 的数： 比 少 的数： 的 倍： 的一半： 或 3. 用字母表示运算定律与计算公式 运算定律 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 几何公式 长方形：周长 ，面积 正方形：周长 ，面积 平行四边形：面积 三角形：面积 梯形：面积 4. 代入求值的基本方法 将字母的具体数值代入式子，计算出式子的结果，是连接抽象表达式与具体数值的桥梁。 标准步骤： 写出原式； 把字母对应的数值代入，还原省略的乘号； 按四则运算顺序计算出最终结果。 注意：代入时数字与数字之间的乘号不可省略；平方运算要写成两个相同数相乘，避免与乘 2 混淆。 5. 字母的取值范围 字母表示的数不是任意的，必须符合数学规则与实际意义： 数学规则：除法中，作除数的字母不能为 0；分数中分母位置的字母不能为 0。 实际意义：表示人数、物体个数时，必须是非 0 自然数；表示长度、重量、面积时，必须是非负数；表示年龄时需符合常识范围。 三、基础应用题型与标准解法 1. 根据情境写含有字母的式子 题型特征：给出文字描述的数量关系、几何场景或生活情境，要求用含有字母的式子表示对应的数量。 解题策略：抓住关键词梳理关系，“的几倍” 用乘法，“多 / 少 / 增加 / 减少” 用加减法，“平均分 / 每份” 用除法；理清比较的基准量，避免数量关系颠倒。 2. 代入求值计算 题型特征：已知字母的具体数值，求对应式子的结果；或结合几何公式，已知边长求周长、面积。 解题策略：严格按 “写原式、代数值、算结果” 三步执行；式子复杂时可先化简再代入，减少计算量；最终结果不带单位，答语中再标注。 3. 运算律的字母形式简便计算 题型特征：含有相同字母的加减运算，或可利用乘法分配律简化的字母式子，要求化简或求值。 解题策略：运用运算定律对式子进行变形，将相同字母的项合并，简化表达式；是后续合并同类项知识的前置训练。 4. 简单规律的字母表示 题型特征：给出按固定规律排列的图形、数列或桌椅摆放场景，用字母表示第 n 个对应的数量。 解题策略：先列出前 3—4 个序号对应的具体数值，对比序号与数值的变化关系，提炼出固定不变的部分和随序号变化的部分，总结出含 n 的通用表达式，再代入前几项验证正确性。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）代数式化简与巧算 1. 题型特征 多个含有字母的式子相加减，或含有括号的复合字母式子，需要化简后再求值，是代数运算的基础能力。 2. 核心知识点 合并同类项初步：所含字母完全相同、且相同字母的次数也相同的项称为同类项；同类项可以合并，只把系数相加减，字母和字母的次数保持不变。 示例：， 去括号规则： 括号前面是加号，去括号后括号内所有运算符号不变： 括号前面是减号，去括号后括号内的加号变减号、减号变加号： 3. 解题策略 有括号先去括号，再识别同类项并合并化简，最后代入数值计算；先化简再求值可大幅降低计算量，同时减少出错概率。 （二）规律探究与通项归纳 1. 题型特征 给出图形排列、数列增长、方阵排列等按固定规律变化的场景，求第 n 个图形对应的数量，或指定大序号的结果，是奥数高频经典题型。 2. 常见规律模型 等差数列型：后一项比前一项多固定的数（公差），通项为 首项 公差。 示例：摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个用 7 根，摆 n 个用 根。 倍数增长型：后一项是前一项的固定倍数，呈指数增长。 方阵型：n 行 n 列的实心方阵，总数量为 ；最外层数量为 。 3. 通用解题步骤 枚举前 3—4 项的具体数值，标注对应序号； 对比序号与数值，分离出固定常量与随序号变化的变量； 总结出含 n 的通用表达式（通项）； 代入已知项验证表达式是否正确，确认无误后再用于计算目标项。 （三）等量代换与字母求值 1. 题型特征 给出两个或多个含有字母 / 图形符号的等式，通过等式之间的替换传递，求出每个字母代表的具体数值。 2. 常见类型 两量直接代换：一个量用另一个量表示，直接代入求解。 三量连锁代换：三个量两两关联，通过中间量传递，实现两个量的直接代换。 和差型代换：已知两数的和与差，结合代换求出两个数分别是多少。 3. 解题策略 从信息最完整、未知量最少的等式入手，先确定一个字母的值； 将求出的值代入其他等式，逐步消去未知量，推出所有字母的数值； 进阶技巧：通过等式两边同时加减，消去一个未知量（消元思想初步），转化为单一未知量求解。 （四）定义新运算 1. 题型特征 自定义一个全新的运算符号（如△、※、◎等），用字母规定运算规则，求指定算式的结果；或已知运算结果，反求其中一个输入数。 2. 核心本质 用字母表示通用运算规则，本质是代数式求值的变形应用，考查规则理解与代入执行能力。 3. 解题策略 先准确解读定义规则，明确每个字母位置对应的运算逻辑； 将题目中的数字严格按位置对应代入，转化为常规的四则运算； 按运算顺序计算出结果；反求未知数时，将已知数代入规则，转化为简易等式求解。 （五）和差倍问题的代数建模 1. 题型特征 和差、和倍、差倍类应用题，用字母表示未知量，将文字描述转化为符号化的数量关系，实现正向解题。 2. 核心建模方法 和倍问题：设较小数为 ，较大数为 ，根据和建立关系： 和，再求解 。 差倍问题：设较小数为 ，较大数为 ，根据差建立关系： 差，再求解 。 和差问题：设较小数为 ，较大数为 差，根据和建立等式求解。 3. 训练价值 是列方程解应用题的前置训练，用字母替代逆向思维的未知量，将复杂的逆向算术题转化为正向的代数表达，大幅降低解题的思维难度。 （六）拓展提升类 1. 字母表示的极值初步 题型特征：已知两个字母的和固定，求它们乘积的最大值；或已知乘积固定，求两数和的最小值。 核心规律：和一定时，两个数越接近，乘积越大；两数相等时乘积达到最大。 解题策略：用字母表示两个数，将乘积转化为含单个字母的表达式，结合规律判断最值；也可通过枚举验证规律。 2. 等式变形初步 题型特征：给出含有字母的等式，通过等式的性质变形，求两个字母的倍数关系、和差关系。 核心依据：等式两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。 应用：通过移项、合并同类项，将复杂等式转化为 “一个量等于另一个量的几倍” 的形式，明确两量的数量关系。 五、核心解题方法汇总 符号代换法：用字母替代未知量，将文字数量关系转化为符号表达式，是代数思维的核心方法。 通项归纳法：规律探究题的通用解法，从具体特例出发，总结通用字母表达式，再验证正确性。 代入求值法：已知字母数值求式子结果的标准方法，先化简再代入可有效提升计算效率。 等量消元法：多字母求值的核心思路，通过代换、等式加减消去部分未知量，逐步求解。 建模转化法：将实际应用题转化为含字母的数量关系模型，实现问题的符号化、标准化。 规则套用法：定义新运算类题目的通用思路，严格按定义代入转化，回归常规四则运算。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 书写格式错误：数字写在字母后面、省略乘号后遗漏数字、1 与字母相乘保留 1、混淆 与 （ 表示两个 a 相乘， 表示两个 a 相加）。 数量关系颠倒：“比 a 的 3 倍少 2” 误写为 ，正确应为 ；“a 除 b” 误写为 ，正确应为 。 取值范围忽略：忽略字母的实际意义，出现人数为小数、除数为 0 等不符合数学逻辑与生活常识的结果。 单位书写错误：加减关系的式子带单位时遗漏括号，导致单位归属歧义。 2. 计算类易错点 去括号变号错误：括号前是减号时，去括号后括号内的第二项忘记变号，导致结果偏差。 同类项合并错误：不同字母的项强行合并，或系数加减计算错误；常数项与字母项混淆。 代入求值漏乘号：代入数字后未还原乘号，误将 当数字 35 计算，出现概念性错误。 平方运算理解偏差：将 按 计算，混淆平方与倍数的含义。 3. 应用类易错点 规律通项找错：只观察前两项就下结论，未验证第三、四项，导致通项表达式错误，后续计算全部偏离。 等量代换传递错误：多步代换过程中数量关系搞反，或累计计算错误，最终结果偏差。 定义新运算顺序错：不按定义的字母位置对应代入，前后数字颠倒，导致结果完全相反。 建模设元不合理：和差倍问题中设较大数为 1 份，导致后续出现小数倍，增加计算难度与出错概率。 培优练习 一、选择题 1．如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有（    ）个。 A．20m＋n B．20m－n C．m÷20＋n D．m÷20－n 2．我国新能源车企每年生产a台新能源汽车，连续生产5年后又新增投产2000台，现在总产能可用式子（    ）表示。 A． B． C． D． 3．一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是5，表示这个两位数的是（    ）。 A．5＋a B．5a C．50a D．50＋a 4．妈妈今年X岁，小巧今年11岁，5年后小巧与妈妈相差（    ）岁。 A．5 B．X＋11 C．X－11 D．X－6 5．一个长方形的宽是a厘米，面积是3a2平方厘米，它的周长是（    ）厘米。 A．3a B．2（3＋a） C．4a D．8a 二、填空题 6．小明今年a岁，小杰今年（a＋3）岁，再过5年他们相差( )岁。 7．小明买了4块相同的橡皮，每块a元，需要付( )元，当a＝2时，需要付( )元。 8．一条裤子的价钱是a元，一件衬衫的价钱是这条裤子的3倍，这套衣服的价钱是( )元，当a＝85时，这套衣服的价钱是( )元。 9．鞋子尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是（y表示码数，x表示厘米数）。小芳的脚长23厘米，她需要买( )码的鞋子。 10．学校食堂每天消耗a千克大米，一周（7天）一共消耗( )千克大米，如果每天节约b千克大米，每天实际消耗( )千克大米。 11．每本书a元，每支笔b元，买3本书和2支笔，一共需________元。根据这个式子，当a＝4.5，b＝1.8时，一共需_________元。 12．一辆新能源电动汽车平均每小时行驶x千米，行驶10小时，一共行驶( )千米，数量关系是“速度×时间＝( )”。 13．学校购进一卷跳绳专用绳总长x米，制作单人跳绳每根需要y米，制作9根同款跳绳一共需要( )米，这卷绳子还剩余( )米。 14．今年爸爸的年龄是小刚的5倍，假设小刚今年的年龄是x岁，则爸爸的年龄是( )岁，今年爸爸比小刚大( )岁，爸爸和小刚的年龄和是( )岁。 15．某快递公司寄件收费标准如下：山东省内首重（1千克以内含1千克）a元，续重（超过1千克的部分）b元/千克。李阿姨要将一个重5千克的快递从潍坊发往济南，她应该付( )元邮费。 三、判断题 16．小明今年x岁，妈妈的年龄是x＋28岁，5年后妈妈比小明大33岁。( )理由：( )。 17．小玲今年12岁，妈妈比小玲大a岁，5年后妈妈比小玲大（5＋a）岁。( ) 18．从一杯果汁中倒出2小杯后还剩30毫升，每小杯是a毫升，则这杯果汁原有毫升。( ) 19．一个三位数，百位上的数比个位上的数多2，十位上的数比百位上的数多2，这个数一定是3的倍数。( ) 20．李明买了a本笔记本，张鑫买了本同样的笔记本（b＞a），已知每本笔记本8.5元，那么张鑫买笔记本比李明多花了8.5（b－a）元。( ) 四、计算题 21．化简。              22．直接写出得数。 7.2＋2.6＝    9.8－3.5＝    8－4.5＝    12y－5.25y＝ 2.4×3＝    1.25×4＝    0.15×5＝    m×m＝ 五、解答题 23．学校采购课外读物，每套经典名著b元，每套科普丛书比经典名著贵26元。 (1)买6套科普丛书需要多少元？用含字母的式子表示。 (2)当时，经典名著、科普书各买4套，一共花多少钱？ 24．琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 (1)琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） (2)这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 25．高速列车每小时行驶300千米，普通列车每小时行驶v千米。 (1)用含有字母的式子表示：高速列车比普通列车每小时多行______千米。 (2)两车同时行驶t小时，一共行驶______千米。 (3)当v＝120，t＝3时，两车一共行驶多少千米？ 26．文化路小学组织合唱比赛，四年级合唱队男生排了a排，女生排了b排，每排都是16人。 (1)用含有字母的式子表示出四年级参加合唱比赛的总人数。 (2)当a＝4，b＝6时，四年级一共有多少人参加了合唱比赛？ 27．甲乙两地相距1100千米，一辆汽车以每小时75千米的速度从甲地开往乙地。 （1）开出t小时后，距离甲地多少千米？ （2）如果t＝6，距离乙地多少千米？ 28．和谐号列车的平均速度为220千米/时，复兴号列车的平均速度为350千米/时。 （1）行驶x小时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ （2）当x＝9时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 用字母表示数量关系（一）（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学代数启蒙的核心起点，通过字母（常用 a、b、x、n 等）表示未知量、固定常量以及数量之间的内在关系，实现从具体算术运算到抽象符号表达的思维跨越。 核心本质：用符号概括普遍的数学规律，将单一的数值问题上升为一般化的数量关系模型，使结论可适用于所有符合条件的数值，是整个代数知识体系的底层基石。 核心价值：把 “具体数的运算” 升级为 “类的运算”，用一个字母表达式覆盖无数种具体数值场景，大幅提升数学表达的概括性与通用性。 2. 核心概念辨析：算术与代数的区别 算术思维：仅对已知的具体数值进行运算，得到确定的单一结果，解决的是单个具体问题。 代数思维：用字母代表未知量或变量，通过数量关系建立表达式，描述一类问题的通用规律，可批量解决同类型问题。 本小节定位：是学生从算术思维向代数思维转型的第一站，标志着数学学习从 “计算为主” 进入 “关系与规律为主” 的新阶段。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接整数、小数的四则运算知识，是简易方程、列方程解应用题的前置必备基础，也是小学 “数与代数” 模块从计算转向应用的关键过渡单元。 奥数价值：以字母表示数为载体，延伸出通项归纳、等量代换、代数巧算、定义新运算、极值初步等经典题型，训练抽象概括能力、逻辑推理能力与数学建模能力，是小升初代数模块的必考入门核心考点。 二、核心基础规则与必备知识点 1. 含有字母的式子的书写规范 字母参与运算时有专属的简写规则，是代数表达的基础规范，核心原则是简洁、无歧义。 乘号省略规则：数与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号可以记作 “・”，也可以直接省略不写。 数字前置规则：数与字母相乘时，数字必须写在字母的前面。例如 写作 ，不可写作 。 1 的省略规则：1 与任何字母相乘时，1 直接省略不写。例如 写作 ，不可写作 。 字母排序规则：多个字母相乘时，通常按字母表顺序书写。例如 写作 。 平方立方规则：相同字母相乘，写成幂的形式。 写作 ，读作 “a 的平方”，表示 2 个 a 相乘； 写作 ，读作 “a 的立方”，表示 3 个 a 相乘。 单位书写规则：式子后面带单位时，若式子是加减关系，需给式子加括号再写单位。例如 米，不可写作 米。 2. 用字母表示常见数量关系 用字母统一表达各类应用题的核心数量关系，是建模解题的基础： 行程关系：路程 速度 时间 ，即 ；对应逆运算 ，。 价格关系：总价 单价 数量 ，即 ；对应逆运算 ，。 工程关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 和差倍关系： 比 多 的数： 比 少 的数： 的 倍： 的一半： 或 3. 用字母表示运算定律与计算公式 运算定律 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 几何公式 长方形：周长 ，面积 正方形：周长 ，面积 平行四边形：面积 三角形：面积 梯形：面积 4. 代入求值的基本方法 将字母的具体数值代入式子，计算出式子的结果，是连接抽象表达式与具体数值的桥梁。 标准步骤： 写出原式； 把字母对应的数值代入，还原省略的乘号； 按四则运算顺序计算出最终结果。 注意：代入时数字与数字之间的乘号不可省略；平方运算要写成两个相同数相乘，避免与乘 2 混淆。 5. 字母的取值范围 字母表示的数不是任意的，必须符合数学规则与实际意义： 数学规则：除法中，作除数的字母不能为 0；分数中分母位置的字母不能为 0。 实际意义：表示人数、物体个数时，必须是非 0 自然数；表示长度、重量、面积时，必须是非负数；表示年龄时需符合常识范围。 三、基础应用题型与标准解法 1. 根据情境写含有字母的式子 题型特征：给出文字描述的数量关系、几何场景或生活情境，要求用含有字母的式子表示对应的数量。 解题策略：抓住关键词梳理关系，“的几倍” 用乘法，“多 / 少 / 增加 / 减少” 用加减法，“平均分 / 每份” 用除法；理清比较的基准量，避免数量关系颠倒。 2. 代入求值计算 题型特征：已知字母的具体数值，求对应式子的结果；或结合几何公式，已知边长求周长、面积。 解题策略：严格按 “写原式、代数值、算结果” 三步执行；式子复杂时可先化简再代入，减少计算量；最终结果不带单位，答语中再标注。 3. 运算律的字母形式简便计算 题型特征：含有相同字母的加减运算，或可利用乘法分配律简化的字母式子，要求化简或求值。 解题策略：运用运算定律对式子进行变形，将相同字母的项合并，简化表达式；是后续合并同类项知识的前置训练。 4. 简单规律的字母表示 题型特征：给出按固定规律排列的图形、数列或桌椅摆放场景，用字母表示第 n 个对应的数量。 解题策略：先列出前 3—4 个序号对应的具体数值，对比序号与数值的变化关系，提炼出固定不变的部分和随序号变化的部分，总结出含 n 的通用表达式，再代入前几项验证正确性。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）代数式化简与巧算 1. 题型特征 多个含有字母的式子相加减，或含有括号的复合字母式子，需要化简后再求值，是代数运算的基础能力。 2. 核心知识点 合并同类项初步：所含字母完全相同、且相同字母的次数也相同的项称为同类项；同类项可以合并，只把系数相加减，字母和字母的次数保持不变。 示例：， 去括号规则： 括号前面是加号，去括号后括号内所有运算符号不变： 括号前面是减号，去括号后括号内的加号变减号、减号变加号： 3. 解题策略 有括号先去括号，再识别同类项并合并化简，最后代入数值计算；先化简再求值可大幅降低计算量，同时减少出错概率。 （二）规律探究与通项归纳 1. 题型特征 给出图形排列、数列增长、方阵排列等按固定规律变化的场景，求第 n 个图形对应的数量，或指定大序号的结果，是奥数高频经典题型。 2. 常见规律模型 等差数列型：后一项比前一项多固定的数（公差），通项为 首项 公差。 示例：摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个用 7 根，摆 n 个用 根。 倍数增长型：后一项是前一项的固定倍数，呈指数增长。 方阵型：n 行 n 列的实心方阵，总数量为 ；最外层数量为 。 3. 通用解题步骤 枚举前 3—4 项的具体数值，标注对应序号； 对比序号与数值，分离出固定常量与随序号变化的变量； 总结出含 n 的通用表达式（通项）； 代入已知项验证表达式是否正确，确认无误后再用于计算目标项。 （三）等量代换与字母求值 1. 题型特征 给出两个或多个含有字母 / 图形符号的等式，通过等式之间的替换传递，求出每个字母代表的具体数值。 2. 常见类型 两量直接代换：一个量用另一个量表示，直接代入求解。 三量连锁代换：三个量两两关联，通过中间量传递，实现两个量的直接代换。 和差型代换：已知两数的和与差，结合代换求出两个数分别是多少。 3. 解题策略 从信息最完整、未知量最少的等式入手，先确定一个字母的值； 将求出的值代入其他等式，逐步消去未知量，推出所有字母的数值； 进阶技巧：通过等式两边同时加减，消去一个未知量（消元思想初步），转化为单一未知量求解。 （四）定义新运算 1. 题型特征 自定义一个全新的运算符号（如△、※、◎等），用字母规定运算规则，求指定算式的结果；或已知运算结果，反求其中一个输入数。 2. 核心本质 用字母表示通用运算规则，本质是代数式求值的变形应用，考查规则理解与代入执行能力。 3. 解题策略 先准确解读定义规则，明确每个字母位置对应的运算逻辑； 将题目中的数字严格按位置对应代入，转化为常规的四则运算； 按运算顺序计算出结果；反求未知数时，将已知数代入规则，转化为简易等式求解。 （五）和差倍问题的代数建模 1. 题型特征 和差、和倍、差倍类应用题，用字母表示未知量，将文字描述转化为符号化的数量关系，实现正向解题。 2. 核心建模方法 和倍问题：设较小数为 ，较大数为 ，根据和建立关系： 和，再求解 。 差倍问题：设较小数为 ，较大数为 ，根据差建立关系： 差，再求解 。 和差问题：设较小数为 ，较大数为 差，根据和建立等式求解。 3. 训练价值 是列方程解应用题的前置训练，用字母替代逆向思维的未知量，将复杂的逆向算术题转化为正向的代数表达，大幅降低解题的思维难度。 （六）拓展提升类 1. 字母表示的极值初步 题型特征：已知两个字母的和固定，求它们乘积的最大值；或已知乘积固定，求两数和的最小值。 核心规律：和一定时，两个数越接近，乘积越大；两数相等时乘积达到最大。 解题策略：用字母表示两个数，将乘积转化为含单个字母的表达式，结合规律判断最值；也可通过枚举验证规律。 2. 等式变形初步 题型特征：给出含有字母的等式，通过等式的性质变形，求两个字母的倍数关系、和差关系。 核心依据：等式两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。 应用：通过移项、合并同类项，将复杂等式转化为 “一个量等于另一个量的几倍” 的形式，明确两量的数量关系。 五、核心解题方法汇总 符号代换法：用字母替代未知量，将文字数量关系转化为符号表达式，是代数思维的核心方法。 通项归纳法：规律探究题的通用解法，从具体特例出发，总结通用字母表达式，再验证正确性。 代入求值法：已知字母数值求式子结果的标准方法，先化简再代入可有效提升计算效率。 等量消元法：多字母求值的核心思路，通过代换、等式加减消去部分未知量，逐步求解。 建模转化法：将实际应用题转化为含字母的数量关系模型，实现问题的符号化、标准化。 规则套用法：定义新运算类题目的通用思路，严格按定义代入转化，回归常规四则运算。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 书写格式错误：数字写在字母后面、省略乘号后遗漏数字、1 与字母相乘保留 1、混淆 与 （ 表示两个 a 相乘， 表示两个 a 相加）。 数量关系颠倒：“比 a 的 3 倍少 2” 误写为 ，正确应为 ；“a 除 b” 误写为 ，正确应为 。 取值范围忽略：忽略字母的实际意义，出现人数为小数、除数为 0 等不符合数学逻辑与生活常识的结果。 单位书写错误：加减关系的式子带单位时遗漏括号，导致单位归属歧义。 2. 计算类易错点 去括号变号错误：括号前是减号时，去括号后括号内的第二项忘记变号，导致结果偏差。 同类项合并错误：不同字母的项强行合并，或系数加减计算错误；常数项与字母项混淆。 代入求值漏乘号：代入数字后未还原乘号，误将 当数字 35 计算，出现概念性错误。 平方运算理解偏差：将 按 计算，混淆平方与倍数的含义。 3. 应用类易错点 规律通项找错：只观察前两项就下结论，未验证第三、四项，导致通项表达式错误，后续计算全部偏离。 等量代换传递错误：多步代换过程中数量关系搞反，或累计计算错误，最终结果偏差。 定义新运算顺序错：不按定义的字母位置对应代入，前后数字颠倒，导致结果完全相反。 建模设元不合理：和差倍问题中设较大数为 1 份，导致后续出现小数倍，增加计算难度与出错概率。 培优练习 一、选择题 1．如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有（    ）个。 A．20m＋n B．20m－n C．m÷20＋n D．m÷20－n 【答案】A 【分析】零件总个数等于20天已经生产的零件个数加上剩下的零件个数，先求出20天生产的零件数，再加剩下的n个就能得到总个数。 【详解】20天生产的零件个数： 零件总个数： 这批零件有（）个 2．我国新能源车企每年生产a台新能源汽车，连续生产5年后又新增投产2000台，现在总产能可用式子（    ）表示。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用原来每年生产台数乘5可算得连续5年的总产量，再加上新增的产能，即可得到现在的总产能。 【详解】5年的总产量： 新增2000台后总产能： 3．一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是5，表示这个两位数的是（    ）。 A．5＋a B．5a C．50a D．50＋a 【答案】D 【分析】在两位数里，十位上的数字代表几个十，个位上的数字代表几个一，再把两部分加起来即可。 【详解】个位是a，就表示a个一也就是a， 十位是5，就表示5个十也就是50，把两部分加起来，这个两位数就是50＋a。 4．妈妈今年X岁，小巧今年11岁，5年后小巧与妈妈相差（    ）岁。 A．5 B．X＋11 C．X－11 D．X－6 【答案】C 【分析】两人的年龄差不会变，5年后小巧与妈妈相差的岁数与今年一样，所以用妈妈今年的岁数－小巧今年的岁数即可。 【详解】5年后小巧与妈妈相差（X－11）岁。 5．一个长方形的宽是a厘米，面积是3a2平方厘米，它的周长是（    ）厘米。 A．3a B．2（3＋a） C．4a D．8a 【答案】D 【分析】长方形的面积÷宽＝长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此用字母表示出它的周长。 【详解】3a2÷a＝3a（厘米） （3a＋a）×2 ＝4a×2 ＝8a（厘米） 它的周长是8a厘米。 二、填空题 6．小明今年a岁，小杰今年（a＋3）岁，再过5年他们相差( )岁。 【答案】3 【分析】今年小杰年龄（a＋3）岁，小明a岁，小杰年龄更大，用小杰的年龄减去小明的年龄，求出他们的年龄差，两个人的年龄同时增加相同的岁数，两人年龄之差永远保持不变。 【详解】a＋3－a＝3（岁） 因为年龄差不变，无论再过多少年，始终相差3岁，所以，再过5年他们相差3岁。 7．小明买了4块相同的橡皮，每块a元，需要付( )元，当a＝2时，需要付( )元。 【答案】 【分析】先根据单价×数量＝总价，求出小明买4块橡皮的总价；然后把a＝2代入含有字母的式子，解答即可。 【详解】a×4＝4a（元） 当a＝2时， 4a＝4×2＝8（元） 8．一条裤子的价钱是a元，一件衬衫的价钱是这条裤子的3倍，这套衣服的价钱是( )元，当a＝85时，这套衣服的价钱是( )元。 【答案】 4a 340 【分析】先求出衬衫的价钱，用一条裤子的价钱乘3；再把裤子和衬衫的价钱相加求出这套衣服的总价钱，将数代入到含有字母的式子进行计算即可。 【详解】a×3＋a ＝a×（3＋1） ＝a×4 ＝4a 这套衣服的价钱是4a元。 85×4＝340（元） 9．鞋子尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是（y表示码数，x表示厘米数）。小芳的脚长23厘米，她需要买( )码的鞋子。 【答案】 36 【分析】要求鞋子尺码，也就是求未知数y，已知脚长23厘米，即x＝23，把x＝23代入等式y＝2x－10中计算即可求出y。 【详解】y＝2×23－10 y＝46－10 y＝36 即她需要买36码的鞋子。 10．学校食堂每天消耗a千克大米，一周（7天）一共消耗( )千克大米，如果每天节约b千克大米，每天实际消耗( )千克大米。 【答案】 【分析】（1）每天消耗a千克，一周7天消耗总量＝每天消耗量×天数。 （2）每天节约b千克，实际每天消耗量＝原每天消耗量－节约量。 【详解】一周消耗 7×a ＝7a（千克） 每天实际消耗（a－b）千克。 11．每本书a元，每支笔b元，买3本书和2支笔，一共需________元。根据这个式子，当a＝4.5，b＝1.8时，一共需_________元。 【答案】 3a＋2b 17.1 【分析】先根据“总价＝单价×数量”分别求出书和笔的总价，再相加。 把a和b的值代入式子，按照四则运算顺序计算出结果。 【详解】每本书a元，买3本书总价是3a元；每支笔b元，买2支笔总价是2b元，一共需要（3a＋2b）元。 当a＝4.5，b＝1.8时， 3a＋2b ＝3×4.5＋2×1.8 ＝13.5＋3.6 ＝17.1 12．一辆新能源电动汽车平均每小时行驶x千米，行驶10小时，一共行驶( )千米，数量关系是“速度×时间＝( )”。 【答案】 路程 【分析】已知汽车行驶的速度是每小时x千米，行驶时间是10小时。根据行程问题的基本数量关系“速度×时间＝路程”，可以计算出行驶的总路程。在含有字母的乘法式子中，数字与字母相乘时，乘号可以省略，并且数字要写在字母的前面。 【详解】在行程问题中，已知速度和时间，求总路程，使用的数量关系式是：速度×时间＝路程。 已知速度为x千米/时，时间为10小时，则总路程为；根据用字母表示数的书写规范，数字与字母相乘，乘号省略，数字写在字母前面，所以写作。 13．学校购进一卷跳绳专用绳总长x米，制作单人跳绳每根需要y米，制作9根同款跳绳一共需要( )米，这卷绳子还剩余( )米。 【答案】 9y x－9y 【分析】制作单人跳绳每根需要y米，用制作单人跳绳需要的长度乘9，即可知道制作9根同款跳绳一共需要多少米；用这根绳子的总长减去制作9根跳绳用去的长度，即可知道这卷绳子还剩多少米。 【详解】y×9＝9y 学校购进一卷跳绳专用绳总长x米，制作单人跳绳每根需要y米，制作9根同款跳绳一共需要9y米，这卷绳子还剩余（x－9y）米。 14．今年爸爸的年龄是小刚的5倍，假设小刚今年的年龄是x岁，则爸爸的年龄是( )岁，今年爸爸比小刚大( )岁，爸爸和小刚的年龄和是( )岁。 【答案】 【分析】今年爸爸的年龄是小刚的5倍，用乘法计算爸爸的年龄；爸爸的年龄－小刚的年龄＝爸爸比小刚大的年龄；爸爸的年龄＋小刚的年龄＝爸爸和小刚的年龄和。 【详解】爸爸的年龄：岁 爸爸比小刚大：（岁） 年龄和：（岁） 15．某快递公司寄件收费标准如下：山东省内首重（1千克以内含1千克）a元，续重（超过1千克的部分）b元/千克。李阿姨要将一个重5千克的快递从潍坊发往济南，她应该付( )元邮费。 【答案】a＋4b/4b＋a 【分析】首先判断快递重量是否超过首重，因为5千克大于1千克，所以邮费需要包含首重费用和续重费用两部分。计算续重的重量，用总重量减去首重重量，得到超过1千克的部分。 根据收费标准，首重费用为a元，续重费用为续重重量乘b元/千克，将两部分费用相加即可得到总邮费。 【详解】（千克） 首重部分需要付a元，续重部分费用：（元） 总邮费是（a＋4b）元。 三、判断题 16．小明今年x岁，妈妈的年龄是x＋28岁，5年后妈妈比小明大33岁。( )理由：( )。 【答案】 × 从信息得出妈妈比小明大28岁，年龄差不会增加或减少，5年后仍然大28岁 【分析】先利用减法计算出妈妈和小明今年的年龄差，无论经过几年，年龄差不会增加或减少，据此作答。 【详解】（岁），小明和妈妈的年龄差是28岁，无论经过几年，年龄差不会增加或减少，所以5年后妈妈比小明大28岁。原题说法错误。 故答案为：× 17．小玲今年12岁，妈妈比小玲大a岁，5年后妈妈比小玲大（5＋a）岁。( ) 【答案】× 【分析】两人的年龄差始终不变，不会随时间的增长发生改变。 【详解】今年妈妈的年龄为：岁 5年后小玲的年龄：（岁） 5年后妈妈的年龄：岁 5年后的年龄差：（岁） 可知5年后妈妈仍比小玲大岁，题干表述错误。 故答案为：× 18．从一杯果汁中倒出2小杯后还剩30毫升，每小杯是a毫升，则这杯果汁原有毫升。( ) 【答案】× 【分析】原有果汁量＝倒出的果汁量＋剩余的果汁量。倒出2小杯每小杯a毫升，倒出总量是2a毫升，不是a毫升。 【详解】2×a＝2a（毫升） 这杯果汁原有（30＋2a）毫升 故答案为：× 19．一个三位数，百位上的数比个位上的数多2，十位上的数比百位上的数多2，这个数一定是3的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。可以假设出个位数字，然后确定各个数位上数字之和再判断是否是3的倍数。 【详解】如果个位数字是a，则百位数字是（a＋2），十位数字是（a＋2＋2），三个数字之和是a＋a＋2＋a＋2＋2＝3a＋6。3a＋6＝3（a＋2），所以这个数一定是3的倍数。 故答案为：√ 【点睛】解答此题的关键是掌握能被3整除的数的特征。 20．李明买了a本笔记本，张鑫买了本同样的笔记本（b＞a），已知每本笔记本8.5元，那么张鑫买笔记本比李明多花了8.5（b－a）元。( ) 【答案】√ 【分析】根据“单价×数量＝总价”，代入数据分别表示出张鑫、李明花的钱数，求差即可。 【详解】8.5×b－8.5×a ＝8.5×（b－a） ＝8.5（b－a） 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查用字母表示数及含有字母式子的化简。 四、计算题 21．化简。              【答案】；；； 【分析】第一题：逆用乘法分配律把字母前的数字进行相加。 第二题：先逆用乘法分配律把含有相同字母的式子进行相加，含不同字母的式子不能相加，所以写成式子的形式。 第三题：根据四则运算顺序，先算乘法部分，再算纯数字的加法，数字结果和带字母的项不能合并，所以写成式子的形式。 第四题：两个相同的数相乘可以简写成平方的形式，就是两个a相乘，写作；后面的是两个a相加，根据乘法的含义，2个a相加可以简写为；二者含义不同不能合并，所以写成式子的形式。 【详解】  22．直接写出得数。 7.2＋2.6＝    9.8－3.5＝    8－4.5＝    12y－5.25y＝ 2.4×3＝    1.25×4＝    0.15×5＝    m×m＝ 【答案】 9.8；6.3；3.5；6.75y； 7.2；5；0.75；m2 【解析】略 五、解答题 23．学校采购课外读物，每套经典名著b元，每套科普丛书比经典名著贵26元。 (1)买6套科普丛书需要多少元？用含字母的式子表示。 (2)当时，经典名著、科普书各买4套，一共花多少钱？ 【答案】(1)元 (2)680元 【分析】（1）先计算出1套科普丛书的价格，再乘6得到6套科普丛书的价格。 （2）先计算出1套科普丛书的价格，再计算经典名著和科普丛书相加的和乘4，即可求解。 【详解】（1）1套科普丛书的价格：元 6套科普丛书的价格： 元 答：买6套科普丛书需要元。 （2）当时， 1套科普丛书的价格： （元） 一共： （元） 答：一共花680元。 24．琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 (1)琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） (2)这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 【答案】(1)（30a＋90）个 (2)4小时 【分析】（1）一天生产的总时间＝上午生产的时间＋下午生产的时间；一天生产的数量＝平均每小时生产的数量×一天生产的总时间。 （2）一天生产的总时间＝一天生产的数量÷平均每小时生产的数量；上午生产的时间＝一天生产的总时间－下午生产的时间。 【详解】（1）30×（a＋3） ＝30×a＋30×3 ＝（30a＋90）个 答：琼韵工厂一天可生产椰雕（30a＋90）个。 （2）210÷30－3 ＝7－3 ＝4（小时） 答：a表示的是4小时。 25．高速列车每小时行驶300千米，普通列车每小时行驶v千米。 (1)用含有字母的式子表示：高速列车比普通列车每小时多行______千米。 (2)两车同时行驶t小时，一共行驶______千米。 (3)当v＝120，t＝3时，两车一共行驶多少千米？ 【答案】(1) (2) (3) 1260千米 【分析】（1）求一个数量比另一个数量多多少，使用减法计算。用高速列车每小时行驶的路程减去普通列车每小时行驶的路程。 （2）先求出两车1小时一共行驶的路程，速度和＝高速列车速度＋普通列车速度；再根据路程＝速度×时间，乘行驶时间t。 （3）把字母代表的数值代入式子中，按照四则运算顺序计算。 【详解】（1）所以高速列车比普通列车每小时多行300－v千米。 （2）所以一共行驶（300＋v）t千米。 （3）（300＋v）t​ ＝（300＋120）×3 ＝420×3 ＝1260（千米） 答：两车一共行驶1260千米。 26．文化路小学组织合唱比赛，四年级合唱队男生排了a排，女生排了b排，每排都是16人。 (1)用含有字母的式子表示出四年级参加合唱比赛的总人数。 (2)当a＝4，b＝6时，四年级一共有多少人参加了合唱比赛？ 【答案】(1)人/（16a＋16b）人 (2)160人 【分析】（1）先用男生和女生各自的排数乘每排的人数，分别算出男生人数和女生人数，再用男生人数加上女生人数，求出四年级参加合唱比赛的总人数，用字母表示出四年级参加合唱比赛的总人数；或者，先用男生排数加上女生排数，求出总排数，再乘每排16人，即为四年级参加合唱比赛的总人数，再用字母表示出四年级参加合唱比赛的总人数，含有字母的式子简写规则：数字与字母相乘，省略乘号，数字前置； （2）把字母对应数值整体替换，按四则运算顺序计算。 【详解】（1）方法一：男生人数为：16a 女生人数为：16b 所以，总人数是（16a＋16b）人； 方法二：总排数为：（a＋b） 所以，总人数是16（a＋b）人 （2）当a＝4，b＝6时， 16（a＋b） ＝16×（4＋6） ＝16×10 ＝160（人） 答：四年级一共有160人参加了合唱比赛。 27．甲乙两地相距1100千米，一辆汽车以每小时75千米的速度从甲地开往乙地。 （1）开出t小时后，距离甲地多少千米？ （2）如果t＝6，距离乙地多少千米？ 【答案】（1）75t千米 （2）650千米 【分析】（1）路程＝速度×时间，用t×75即可求出行驶的距离，即距离甲地多少千米。 （2）将6小时代入（1）的算式中，计算出行驶的距离，用1100减去行驶的距离，即可求出距离乙地多少千米。 【详解】（1）t×75＝75t（千米） 答：距离甲地75t千米。 （2）75×6＝450（千米） 1100－450＝650（千米） 答：距离乙地650千米。 28．和谐号列车的平均速度为220千米/时，复兴号列车的平均速度为350千米/时。 （1）行驶x小时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ （2）当x＝9时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ 【答案】（1）130x千米；（2）1170千米 【分析】根据“速度×时间＝路程”可知，x小时和谐号行驶220x千米，复兴号行驶350x千米。 （1）用复兴号行驶的路程减去和谐号行驶的路程，可求出复兴号比和谐号多行的路程。 （2）将x＝9代入（1）中算式中，求值即可。 【详解】（1）350x－220x ＝（350－220）x ＝130x（千米） 答：行驶x小时，复兴号比和谐号多行驶130x千米。 （2）130×9＝1170（千米） 答：当x＝9时，复兴号比和谐号多行驶1170千米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $