因数和倍数（同步练习）2026-2027学年五年级上册数学苏教版

**基本信息** 阶段复习专项训练聚焦因数和倍数，分层设计从基础概念到综合探究，通过生活情境与数学抽象结合，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|2、3、5倍数特征、因数与倍数概念|填空题1-8直接考查概念辨析，如“□2□是2、3、5的倍数”强化特征理解| |综合应用|多概念交叉（如同时是2、3、5倍数）、实际问题|解答题19（排队形）、20（锁屏密码）结合生活情境，培养模型意识| |拓展探究|跨知识整合（等差数、斐波那契数列）|解答题21（等差数）、22（斐波那契数列）渗透数学抽象与推理，发展创新意识|

阶段复习专项训练：因数和倍数 一、填空题 1．□2□既是2、3的倍数，也是5的倍数，最小三位数是( )。 2．在三个数5、6、90中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 3．一个四位数“4A6B”是2、3、5的公倍数，则B＝( )，A最小是( )。 4．张壁古堡有一条S形的南北走向主街，这便是赫赫有名的龙脊街，也被称为“红顺街”“坡街”。它的长约是2、3和5的倍数且大于210小于250，长约是( )米，宽既是5的倍数，又是5的因数，宽是( )米。 5．要使三位数1□9是3的倍数，方框里最大能填( )。 6．同时是2、3、5倍数的两位数中，最大是( )，最小三位数是( )。 7．写出符合要求的最小三位数：既是2的倍数，又是3的倍数，是( )；既是3的倍数，又是5的倍数，是( )；既是2和3的倍数，又是5的倍数，是( )。 8．三个连续奇数的和是141，最小的奇数是( )。 二、选择题 9．2026年5月24日，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射。发射视频当天在某平台上的播放次数既是2的倍数，又是3的倍数，下面（    ）可能是该视频当天的播放次数。 A．2057 B．2914 C．3364 D．5796 10．同时是2、5、3的倍数的最大两位数是（    ）。 A．99 B．90 C．30 D．15 11．已知a÷b＝c，a，b，c都是大于0的自然数，下面说法正确的是（    ） A．a是倍数 B．b和c是因数 C．a是b的倍数 D．都不正确 12．明明在计数器上用6颗珠子任意拨出一个四位数，这个四位数一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．2或5 13．在四位数45□0的十位上填入一个数字，使这个四位数既是2和5的倍数，又是3的倍数，一共有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 三、判断题 14．一个自然数个位上是3、6、9，这个数就是3的倍数。( ) 15．一个数是3的倍数，就一定是9的倍数。( ) 16．“最美山水”铁厂荒林场的天麻种植基地有28棵天麻，28的全部因数是1、2、4、7、14。( ) 17．如果m是自然数，那么2m＋1一定是奇数。( ) 18．由2、6、7这三个数字组成的三位数，无论怎样排列，都一定是3的倍数。( ) 四、解答题 19．为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 20．王叔叔给自己的手机设置了一个四位数锁屏密码“5□7□”，已知这个四位数既有因数2，又是3和5的倍数。王叔叔的手机锁屏密码有几种可能？请你列举出来。（请写出思考过程） 21．阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个位数相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c位数相同，若b－a＝c－b，我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5－3＝7－5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32－41＝23－32； 所以：357和413223都是等差数。 (1)判断：148_______等差数，514335_________等差数；（用“是”或“不是”填空） (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除； (3)若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T。 22．探究斐波那契数列是以兔子繁殖为例子而引入的，故又称“兔子数列”指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21…这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 (1)补全数列：1，1，2，3，5，8，13，21，( )，( )，( )… (2)数列的第100个数是奇数还是偶数？请说明你的理由。 23．在1~100中，不能被6整除的数有多少个？ 24．蛋糕店里想把123块小蛋糕进行分装，如果每5块装一盒，能正好装完吗？如果不能，为了充分利用盒子，至少还要再做几个这样的蛋糕就能正好装完了？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．120 【分析】同时是2和5的倍数的数，个位一定是0。因为3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，结合该数是最小三位数的要求，确定百位最小可填的数字。 【详解】同时是2和5的倍数的数，个位一定是0，因此这个数的个位确定为0，现在数的形式为。 根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数。现在已有数字和为，要得到最小的三位数，百位要取最小的符合要求的数：当百位是1时，，3是3的倍数，符合要求。 因此这个最小三位数是120。 2． 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。观察给出的三个数5、6、90，判断它们之间的整除关系。 【详解】90÷5＝18，5和18是90的因数，90是5和18的倍数。 90÷6＝15，6和15是90的因数，90是6和15的倍数。 所以在三个数5、6、90中，90是5和6的倍数，5和6是90的因数。 3． 0 2 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。3的倍数特征：一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各位数字之和是3的倍数。据此解答。 【详解】同时是2和5的倍数的数，个位数字必须是0，所以B＝0。 这个四位数是4A60 ，各位数字之和为： 4＋A＋6＋0＝10＋A 要让10＋A是3的倍数，且A是0~9的整数： 当A＝0时，10＋0＝10，不是3的倍数； 当A＝1时，10＋1＝11，不是3的倍数； 当A＝2时，10＋2＝12，是3的倍数。 所以A最小是2。 4． 240 5 【分析】2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位上是0或5；3的倍数的特征：各位上的数字之和是3的倍数。长必须同时满足以上3个条件，且大于210小于250，找到符合条件的数。 一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。据此求宽。 【详解】根据分析，同时是2和5的倍数，个位上只能是0，长的百位数是2，个位上是0。这个三位数还是3的倍数，因此2＋十位上的数字＋0的和是3的倍数，这个数大于210小于250，因此十位上是4，这个数是240，即长是240米。 既是5的倍数又是5的因数的数是5，所以宽是5米。 5．8 【分析】一个数各位上数字相加得到的和能被3整除，这个数就是3的倍数；先算出已知数位的数字和，再从最大的一位数往下试填方框数字，找到首个能让总和被3整除的数。 【详解】1＋9＝10 □里填数字9时，10＋9＝19，19不是3的倍数； □里填数字8时，10＋8＝18，18是3的倍数。 所以，方框里最大能填8。 6． 90 120 【分析】要找同时是2、3、5倍数的数，需先明确2和5的倍数特征是个位为0，再结合3的倍数特征（各位数字和是3的倍数）来筛选；对于两位数，从个位为0的数里找最大的且数字和是3的倍数的数，对于三位数，从个位为0的数里找最小的且数字和是3的倍数的数。 【详解】同时是2、5倍数的数，个位一定是0； 两位数中，个位为0且是3的倍数的数有30、60、90，其中最大的是90； 三位数中，个位为0且是3的倍数的数，从100开始找，100（和为1）、110（和为2）都不是，120的各位数字和为1＋2＋0＝3，是3的倍数，所以最小的三位数是120。 7． 102 105 120 【分析】同时是2和3的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数，百位上为数字1，十位上为最小的自然数0，个位从最小的偶数0开始计算，满足3的倍数特征即可。 同时是3和5的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，百位上为数字1，十位上为最小的自然数0，计算个位上的数字。 同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数，百位上为数字1，个位上为数字0，十位上从最小的自然数0开始计算，满足3的倍数特征。 【详解】分析可知，百位上为数字1，十位上为数字0当个位上为数字0时，1＋0＋0＝1，1不是3的倍数；当个位上为数字2时，1＋0＋2＝3，3是3的倍数；所以，既是2的倍数，又是3的倍数的最小的三位数是102。 分析可知，百位上为数字1，十位上为数字0当个位上为数字0时，1＋0＋0＝1，1不是3的倍数；当个位上为数字5时，1＋0＋5＝6，6是3的倍数；所以，既是3的倍数，又是5的倍数的最小的三位数是105。 分析可知，百位上为数字1，个位上为数字0，当十位上为数字0时，1＋0＋0＝1，1不是3的倍数；当十位上为数字1时，1＋1＋0＝2，2不是3的倍数；当十位上为数字2时，1＋2＋0＝3，3是3的倍数；所以，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小的三位数是120。 8． 45 【分析】根据连续奇数的特征，相邻两个奇数之间相差。三个连续奇数的和等于中间那个奇数的倍。因此，可以先用总和除以求出中间的奇数，再减去即可得到最小的奇数。 【详解】最小的奇数为： 所以最小的奇数是。 9．D 【分析】要判断一个数既是2的倍数又是3的倍数，需要同时满足两个特征：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数。据此逐项分析。 【详解】A．2057：个位数字是7，不满足2的倍数特征，排除。 B．2914：个位数字是4，满足2的倍数特征；各位数字之和：2＋9＋1＋4＝16，16不是3的倍数，不满足3的倍数特征，排除。 C．3364：个位数字是4，满足2的倍数特征；各位数字之和：3＋3＋6＋4＝16，16不是3的倍数，不满足3的倍数特征，排除。 D．5796：个位数字是6，满足2的倍数特征；各位数字之和：5＋7＋9＋6＝27，27是3的倍数，满足3的倍数特征，符合条件。 10．B 【分析】同时是2和5倍数的数个位一定是0，再结合3的倍数特征，数位相加和能被3整除，从最大个位为0的两位数依次验证，筛选出符合全部条件的数字。 【详解】A．99：个位是9，不是0，不满足2、5的倍数要求，排除； B．90：个位是0，满足2、5倍数，9＋0＝9，9是3的倍数，全部条件符合； C．30：个位是0，满足2、3、5倍数，但数值小于90，不是最大两位数，排除； D，15：个位是5，不满足2的倍数要求，排除。 11．C 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数时，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】a÷b＝c（a，b，c都是大于0的自然数），b和c是a的因数；a是b和c的倍数。 12．B 【分析】在计数器上拨珠子组成四位数，珠子的总颗数等于这个四位数各位上数字之和。已知珠子总数为颗，即各位上数的和为。根据的倍数的特征：各位上数的和是的倍数，这个数就是的倍数。因为是的倍数，所以这个四位数一定是的倍数。对于和的倍数，需要通过个位数字判断，无法保证一定符合。 【详解】A．的倍数的特征是个位上是、、、、的数。若拨出的数是，各位数字之和是，但个位是，不是的倍数。此选项错误； B．由第二步分析可知，各位数字之和是，一定是的倍数。此选项正确； C．的倍数的特征是个位上是或的数。若拨出的数是，各位数字之和是，但个位是，不是的倍数。此选项错误； D．因为这个数不一定是的倍数，也不一定是的倍数，所以不一定是或的倍数。此选项错误。 13．C 【分析】2的倍数个位是0、2、4、6、8，5的倍数个位是0或5，所以个位为0的数同时是2和5的倍数；3的倍数要求所有数位数字相加的和能被3整除。本题末尾数字是0，已经满足2、5倍数要求，只需依次试0到9的数字，找出让数字总和能被3整除的十位数字。 【详解】已知数字相加：4＋5＋0＝9 填0：9＋0＝9，9÷3＝3，符合； 填1：9＋1＝10，10÷3有余数，不符合； 填2：9＋2＝11，11÷3有余数，不符合； 填3：9＋3＝12，12÷3＝4，符合； 填4：9＋4＝13，13÷3有余数，不符合； 填5：9＋5＝14，14÷3有余数，不符合； 填6：9＋6＝15，15÷3＝5，符合； 填7：9＋7＝16，16÷3有余数，不符合； 填8：9＋8＝17，17÷3有余数，不符合； 填9：9＋9＝18，18÷3＝6，符合。 满足条件的数字有0、3、6、9，一共4种填法。 14．× 【分析】判断一个数是否为3的倍数，要看这个数各数位上的数字之和能否被3整除，不能仅通过个位数字判断。 【详解】3的倍数的特征是各位上的数字之和是3的倍数，不能只看个位上的数字。如，13的个位是3，各数位上的数字之和为1＋3＝4，4不是3的倍数，因此13不是3的倍数。 故答案为：× 15．× 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，一个数是3的倍数，但不一定是9的倍数，根据赋值法解答。 【详解】如6；6是3的倍数，但是6不是9的倍数。 所以一个数是3的倍数，但不一定是9的倍数。 故答案为：× 16．× 【分析】根据因数的意义，找一个数的因数通常用乘法算式成对寻找，从1开始，直到两个因数重复或接近为止。一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 本题需验证28的因数是否列举完整，特别要注意是否漏掉了它本身。 【详解】找28的因数：、、 所以28的全部因数有：1、2、4、7、14、28。题干中列出的因数缺少了28。 故答案为：× 17．√ 【分析】自然数包括、、、……。的倍数的数叫做偶数，不是的倍数的数叫做奇数。据此分析。 【详解】表示的倍，结果一定是的倍数，即偶数。 表示比偶数多的数，一定不是的倍数，即奇数。 故答案为：√ 18．√ 【分析】3的倍数的特征，各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。无论数字怎样排列，数字之和不变，因此只需计算这三个数字的和是否为3的倍数。 【详解】三个数字的和： 因为，所以15是3的倍数。 无论这三个数字怎样排列，组成的三位数各个数位上的数字之和都是15。 所以，组成的三位数一定是3的倍数。原题说法正确。 故答案为：√ 19． 6种；找出乘积为48，且两个乘数都不小于3的整数组合即可 【分析】排长方形队形时，总人数等于每行人数乘行数，需要找出所有乘积为48、且两个数都不小于3的正整数组合，组合的数量就是排法的种数。 【详解】先列出乘积为48的所有正整数乘法算式： 要求每行和每列人数都至少是3人，即两个乘数都大于等于3，符合条件的算式共有6个。 答：共有6种不同的排法。 20．同时是2和5的倍数，个位必须是0，密码变成5□70。 是3的倍数，需要各位数字和能被3整除：5＋7＋0＝12，12是3的倍数，所以中间填的数也要是3的倍数（0、3、6、9）。 对应密码：5070、5370、5670、5970，共4种。 所以有4种可能，分别是5070、5370、5670、5970。 【分析】2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，3的倍数所有数位数字之和能被3整除；结合特征先确定末尾方框只能填0，再把中间方框0到9全部列举，逐个计算四位数各位数字之和，筛选出和可以被3整除的数字，得出全部符合条件的密码。 【详解】同时是2、5的倍数，末尾方框只能填0，数字形式为5□70。 5＋7＋0＝12，12是3的倍数，所以中间方框里的数字加上12的和也要能被3整除。 中间方框依次取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，分别验算： 填0：5＋0＋7＋0＝12，12÷3＝4，符合； 填1：5＋1＋7＋0＝13，13不能被3整除，排除； 填2：5＋2＋7＋0＝14，14不能被3整除，排除； 填3：5＋3＋7＋0＝15，15÷3＝5，符合； 填4：5＋4＋7＋0＝16，16不能被3整除，排除； 填5：5＋5＋7＋0＝17，17不能被3整除，排除； 填6：5＋6＋7＋0＝18，18÷3＝6，符合； 填7：5＋7＋7＋0＝19，19不能被3整除，排除； 填8：5＋8＋7＋0＝20，20不能被3整除，排除； 填9：5＋9＋7＋0＝21，21÷3＝7，符合； 符合条件的密码：5070、5370、5670、5970，共4种。 答：王叔叔的手机锁屏密码有4种可能，分别是5070、5370、5670、5970。 21．(1) 不是 是 (2)设这个三位数为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。则。因为是等差数，所以，即。的各位数字之和为。将代入，得。因为是3的倍数，根据能被 3 整除的数的特征，这个三位数一定能被3整除。 (3)432或456或840或864或888 【分析】根据等差数的定义，将数字分成左、中、右三部分，验证是否满足中间数减左边数等于右边数减中间数，或等价地验证左边数加右边数是否等于中间数的2倍。 设三位数为，利用等差数定义得出，结合能被3整除的数的特征（各位数字之和能被 3 整除）进行说明。 三位数是24的倍数，说明既是3的倍数也是8的倍数。由第（2） 问可知等差数一定是3的倍数，因此只需筛选出能被8整除的三位等差数。根据确定、的奇偶性，枚举符合条件的数字进行验证。 【详解】（1）对于148，分成三个数 1，4，8。因为，，，所以148不是等差数。 对于514335，分成三个数51，43，35。因为，，满足左边数加右边数等于中间数的2倍（即），所以514335是等差数。 （2）设这个三位数为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。则。因为是等差数，所以，即。的各位数字之和为。将代入，得。因为是3的倍数，根据能被3整除的数的特征，这个三位数一定能被3整除。 （3）因为是24的倍数，，所以既是3的倍数，也是8的倍数。由第 [2] 问可知，三位等差数一定是3的倍数，所以只需寻找能被8整除的三位等差数。设的百位数字为，十位数字为，个位数字为。因为是8的倍数，所以是偶数，则为偶数。因为是等差数，满足，所以是偶数。因为是偶数，所以也是偶数。是百位数字，且为偶数，所以可以取 2，4，6，8。是个位数字，且为偶数，所以可以取 0，2，4，6，8。根据，且为0到9的整数， 逐一讨论： 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，， 不符合；若，，，，，符合。 综上所述，该等差数为432或456或840或864或888。 22．(1) 34 55 89 (2) 奇数 【分析】（1）根据斐波那契数列的核心规律，从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和，按照该规律计算括号内的数。 （2）先观察数列中数的奇偶性变化，找到固定的循环周期，再用总数÷周期长度，根据余数判断第100个数的奇偶性。 【详解】（1）该数列的规律为：从第三个数起，每个数等于前两个数的和， 13＋21＝34 21＋34＝55 34＋55＝89 所以括号内依次填写34，55，89。 （2）先列出数列对应数字的奇偶性：1（奇）、1（奇）、2（偶）、3（奇）、5（奇）、8（偶）、13（奇）、21（奇）、34（偶）……可得出奇偶性规律：奇、奇、偶，每3个数为一个循环周期。 计算周期数与余数：100÷3＝33（组）……1（个）余数为1 答：第100个数对应一个循环周期的第1个数，为奇数。 23．84个 【分析】先把100以内所有6的倍数的个数算出来，再用100减去6的倍数的个数即可。 【详解】100÷6＝16（个）……4（个）    100－16＝84（个） 答：在1~100中，不能被6整除的数有84个。 24． 不能正好装完，至少还要再做2个这样的蛋糕 【分析】5的倍数特征是个位为0或5，可通过123的个位特征判断能否正好装完。 若不能正好装完，先计算123除以5的余数，因为要正好装完需要总数是大于123的最小5的倍数，所以用5减去余数即可得到至少还要做的蛋糕数量。 【详解】能正好每5块装完，说明总蛋糕数是5的倍数。5的倍数特征是个位为0或5，123的个位是3，不符合特征，因此不能正好装完； 答：不能正好装完，至少还要再做2个这样的蛋糕就能正好装完了。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $