第五单元 圆的周长和面积（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

**基本信息** 以“概念-公式-变式-综合”为逻辑链，系统整合圆的周长与面积知识，提炼五大组合图形解法及奥数题型策略，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|核心概念+公式推导|同圆半径直径关系、圆周率意义|从基本元素到公式生成，建立概念基础| |周长/面积专项|半圆/圆环/扇形计算|半圆周长=半圆弧+直径、圆环面积=π(R²-r²)|公式正逆运算及特殊图形拓展| |组合图形解法|5大核心方法|整体减空白、割补平移、重叠容斥等|化不规则为规则，培养空间观念| |奥数题型|滚动/捆扎/差不变问题|圆心路径分析、圆弧拼合、差不变原理|实际应用建模，提升创新意识| |易错点|概念/计算/应用类|半径平方计算、半圆周长易错点|针对性避坑，强化运算准确性|

第五单元 圆的周长和面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、核心基础概念 1. 圆的基本元素 圆心：圆中心的点，用字母表示，决定圆的位置，是圆的对称中心。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示，决定圆的大小；同圆或等圆内有无数条半径，长度全部相等。 直径：通过圆心且两端都在圆上的线段，用字母表示；同圆或等圆内有无数条直径，长度全部相等，直径是圆内最长的线段。 核心前提：所有半径、直径的数量关系，都建立在 “同圆或等圆” 的基础上。 2. 圆周率的意义 定义：圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母表示。 性质：是一个无限不循环小数，小学阶段计算通常取近似值；的值大于。 拓展：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后七位的人。 3. 半径与直径的数量关系 同圆或等圆内： 直径 = 半径 × 2： 半径 = 直径 ÷ 2： 二、圆的周长专项 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母表示；周长是长度，单位为厘米、分米、米等长度单位。 2. 周长公式推导与基础公式 通过滚动法、绕线法测量发现，圆的周长总是直径的倍，由此推导公式： 已知直径求周长： 已知半径求周长： 3. 周长公式的逆运算 已知周长求直径： 已知周长求半径： 4. 特殊圆弧与图形的周长计算 （1）半圆的周长（高频易错） 半圆是封闭图形，周长 = 圆周长的一半 + 1 条直径 公式： 注意：“圆周长的一半” 只是一条曲线，长度为，不是半圆的周长。 （2）四分之一圆的周长 周长 = 四分之一圆弧长 + 2 条半径 公式： （3）环形跑道周长 标准跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，两个弯道合起来是一个完整的圆。 跑道周长 = 直道长度 × 2 + 一个整圆的周长 相邻跑道起跑线差距：跑道宽 × ，即外圆周长减内圆周长的差值。 5. 周长的变化规律 半径扩大到原来的倍，直径、周长也同时扩大到原来的倍； 半径缩小到原来的，直径、周长也同时缩小到原来的； 周长的变化倍数与半径、直径的变化倍数完全一致。 三、圆的面积专项 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示；面积单位为平方厘米、平方分米、平方米等面积单位。 2. 面积公式推导（化圆为方） 推导方法：将圆沿半径平均分成若干偶数份，剪开后拼成一个近似的长方形；平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 对应关系：长方形的长 = 圆周长的一半（），长方形的宽 = 圆的半径（）。 推导过程：长方形面积 = 长 × 宽 = ，因此圆的面积 = 。 核心结论：剪拼后面积不变，周长增加了 2 条半径的长度（）。 3. 基础面积公式与变式 已知半径求面积： 已知直径求面积：先算半径，再代入公式 已知周长求面积：先算半径，再代入公式 注意：表示，不是，是面积计算最高频的易错点。 4. 常见衍生图形的面积 （1）半圆的面积 半圆面积是整圆面积的一半： （2）圆环的面积 圆环是两个同心圆之间的部分，外圆半径，内圆半径，环宽 = 。 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 易错提醒：圆环面积不是，必须先分别平方再相减。 （3）扇环的面积 扇环是圆环被两条半径截取的部分，对应圆心角为。 扇环面积 = 大扇形面积 - 小扇形面积 公式： （4）扇形的面积 圆心角为、半径为的扇形，面积占整圆的。 公式： 进阶公式：已知弧长求面积，（类比三角形面积）。 5. 面积的变化规律 半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍； 半径缩小到原来的，面积缩小到原来的； 面积的变化倍数是半径变化倍数的平方倍。 四、组合图形周长与面积核心解法 1. 组合图形周长计算方法 描线法：沿着图形的外围逐段描边，区分清楚哪些线段、弧线属于周长，避免多算内部线条。 平移拼接法：将分散的圆弧、线段平移，拼接成整圆、整半圆或规则线段，简化计算。 公式拆分法：把周长拆分为直线段部分和曲线部分，分别计算后相加。 2. 组合图形面积五大核心方法 （1）整体减空白法 用整体大图形的面积，减去内部空白部分的面积，得到阴影面积；适用于阴影形状不规则、空白图形规则的场景。 （2）割补平移法 将分散的阴影部分切割、平移、旋转，拼接成规则图形（如半圆、长方形、三角形），直接用公式计算；是最常用的简便解法。 （3）重叠容斥法 阴影是两个图形的重叠部分时，用两个图形的面积之和，减去整体图形的面积，本质是容斥原理 “两两相加减重叠”。 （4）等积变换法 利用 “同底等高的三角形面积相等” 等性质，将难计算的阴影图形，转化为易计算的规则图形，不改变面积大小。 （5）差不变原理 两个图形同时增加或减少相同的部分，它们的面积差保持不变；常用于求不规则图形的面积差，将差转化为规则图形的差。 五、奥数经典题型与解题策略 （一）基础应用类 半径、直径、周长、面积的互算 题型：给出其中一个量，求另外三个量；或给出周长反求面积。 解题策略：牢记 “知半径求所有” 的公式链条，先求半径是通用路径；注意单位统一。 方圆模型速算（奥数核心结论） 外方内圆（正方形内最大的圆）：正方形边长 = 圆的直径；正方形面积：圆面积 = ；阴影（正方形减圆）= 。 外圆内方（圆内最大的正方形）：圆的直径 = 正方形的对角线；圆面积：正方形面积 = ；阴影（圆减正方形）= 。 解题技巧：记住固定比值，可直接口算阴影面积，无需分步计算边长。 圆环面积进阶计算 题型：已知环宽和内 / 外圆周长 / 面积，求圆环面积；或已知的值，直接求圆环面积。 解题策略：无需分别求出两个半径，将看作整体代入公式，简化计算。 （二）进阶奥数题型 1. 圆的滚动问题 沿直线滚动：滚动圈数 = 滚动总路程 ÷ 圆的周长。 沿多边形外围滚动：圆心经过的总路程 = 多边形周长 + 一个整圆的周长（所有拐角的圆弧合为一个整圆）；滚动圈数 = 圆心路程 ÷ 圆周长。 解题关键：先确定圆心走过的路径，圆心路径长度就是滚动的总路程。 2. 捆扎问题 题型特征：用绳子捆扎若干个圆柱形物体，求绳子最短长度。 解题策略：绳子总长 = 直线段长度 + 圆弧段长度； 圆弧规律：所有拐角处的圆弧拼合起来，恰好是一个完整的圆周长； 直线规律：有几个相互接触的圆，就有几条对应直径长度的直线段。 示例：并排捆 2 个圆，绳长 = 2 条直径 + 1 个整圆周长；正方形排列捆 4 个圆，绳长 = 4 条直径 + 1 个整圆周长。 3. 差不变原理求面积 题型特征：求两个不规则图形的面积差，直接分别计算困难。 解题策略：给两个图形同时加上 / 减去同一个公共部分，面积差不变，将不规则图形的差转化为规则图形的差。 4. 周长与面积的对比变化题 题型：半径增加固定长度，求周长、面积增加量；或周长增加固定值，求半径、面积变化。 解题技巧：半径增加，周长增加，与原半径大小无关；面积增加量需用新面积减原面积计算。 （三）拓展提升类 1. 圆周上的行程问题 反向相遇：两人从同一点反向出发，首次相遇时路程和 = 圆周长；相遇时间 = 周长 ÷ 速度和。 同向追及：两人从同一点同向出发，首次追上时路程差 = 圆周长；追及时间 = 周长 ÷ 速度差。 多次相遇：第 n 次相遇，路程和就是 n 个圆周长。 2. 最短路径问题 点到圆的最短距离：点到圆心的距离 - 半径； 点到圆的最长距离：点到圆心的距离 + 半径； 圆上动点最短路径：利用对称法转化为直线距离，结合 “两点之间线段最短” 求解。 3. 复杂组合图形的周长与面积 题型：多个圆、扇形、多边形嵌套叠加的复杂图形，求阴影周长或面积。 解题策略：先拆分图形，区分直线与曲线部分；通过平移、旋转、抵消简化重复部分；优先用整体减空白、割补法，避免分段硬算。 4. 扇形与比、百分数综合题 核心规律：同圆内，圆心角的比 = 弧长的比 = 扇形面积的比。 常结合扇形统计图，通过占比求圆心角、弧长、面积，或通过具体数量反推圆的总面积。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 半圆周长概念错误：把 “圆周长的一半” 当成半圆周长，遗漏直径部分；半圆是封闭图形，必须包含直径。 周长与面积混淆：单位用错、概念混淆，周长是长度单位，面积是平方单位，二者无法比较大小。 对称轴表述错误：误认为 “直径是圆的对称轴”，正确表述是 “直径所在的直线是圆的对称轴”，对称轴是直线。 圆环判定错误：认为两个圆之间的区域都是圆环，圆环必须是圆心重合的同心圆。 2. 计算类易错点 半径平方计算错误：将算成，正确是，是面积计算第一高频错误。 圆环面积公式用错：写成，正确是，平方差不等于差的平方。 圆周率使用混淆：题目要求结果保留时，错误代入 3.14 计算；或直接等于 3.14，忽略其为近似值。 单位不统一：半径、直径单位不一致，未换算直接计算，导致结果数量级错误。 周长多算内部线条：计算组合图形周长时，把内部的线段、直径也算入周长，周长仅指外围轮廓。 3. 应用类易错点 滚动路程算少：沿图形外围滚动时，只算图形周长，漏掉拐角处的圆弧总长度，导致圈数算少。 捆扎直线段数错：数直线段数量时出错，或误认为圆弧部分有多个整圆，实际拼合后只有 1 个。 方圆模型对应错误：外圆内方时，误将正方形边长当作圆的直径，正确是对角线等于直径。 变化倍数混淆：面积变化倍数与半径变化倍数混淆，误记为相同倍数，实际是平方倍关系。 阴影面积重复计算：用容斥法时，忘记减去重叠部分，导致计算出的面积偏大。 培优练习 一、选择题 1．把一张直径为8cm的半圆形纸片对折再对折，得到的扇形面积是（    ）。 A．6.28 B．3.14 C．12.56 D．25.12 2．光明湖水塔的底面是一个直径约为12米的圆形，求圆形的面积，正确列式是（π取3.14）（    ）。 A．3.14×82 B．3.14×（12÷2）2 C．3.14×122 D．13.14×（12÷2）2 3．一块环形铁片，它的内圆半径是5厘米，外圆半径是10厘米，这块环形铁片的面积是多少平方厘米？（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的平行四边形，如果这个圆的半径是4cm，那么这个平行四边形的周长是（    ）cm。 A．12.56 B．20.56 C．33.12 D．50.24 5．有一张长是31.4cm、宽是25.12cm的长方形铁皮，再配上一张圆形铁皮正好可以做成一个圆柱形容器，下面各圆形铁皮中，符合要求的是（    ）。 A． B． C． D． 6．一个圆形花坛的半径是3米，扩建后半径增加了1米，面积增加了（    ）平方米。 A．6.28 B．21.98 C．3.14 D．50.24 二、填空题 7．公园里有一个圆形的花圃，直径是8米，在花圃的周围修一条1米宽的石子路，这条石子路的面积是( )平方米。 8．时代艺术中心大楼的墙面上有一面时钟，该时钟的时针长8分米，分针长10分米，经过1小时，分针的尖端走过了( )分米，分针扫过的面积是( )平方分米。 9．在一个长10厘米，宽8厘米的长方形纸板内剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，它的面积是( )平方厘米；剩下部分的面积是( )平方厘米。 10．把一张圆形的纸剪成两个相等的半圆，它们的周长增加了10厘米，这张圆形纸的面积是( )平方厘米。 11．如图中每个圆的半径都相等，若每个圆的面积为a平方厘米，那么图中阴影部分的面积为________平方厘米。 12．如图所示的A、B、C三个区域，( )区域的面积最大。 13．钟面上，分针长8厘米，如果走0.5小时，分针的尖端走过的路程是( )厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米，或( )平方分米。 14．在一张长8cm、宽6cm的长方形纸上剪下一个最大的半圆，剩余部分的面积是( )cm2。 15．画圆时，圆规两脚之间的距离是( )的长度。若一个圆的半径是5厘米，直径是( )厘米，周长是( )厘米。 16．一个标准跑道的全长是400米，弯道最内圈半径是36米，每条跑道宽1.2米，现有8个弯道。若进行400米赛跑，第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前约( )米。（π取3.14，结果保留整数） 三、判断题 17．在同一个圆中，扇形的大小与圆心角有关。( ) 18．一个圆柱的表面积是131.88cm2，侧面积是75.36cm2，那么它的底面半径是3cm。( ) 19．一种电动车轮胎滚动一周前进的距离是18.84分米，这种轮胎的外直径是6分米。( ) 20．在一个圆内画一个最大的正方形，圆的面积与正方形的面积的比为∶2。( ) 21．大圆与小圆的半径比是4∶3，则小圆与大圆的周长比是4∶3，面积比是9∶16。( ) 22．聪聪用圆规画了一个直径为3cm的圆，红红用圆规画了一个半径为2cm的半圆，红红所画半圆的面积大。( ) 四、计算题 23．计算下列各圆的周长和面积。               24．求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。      五、解答题 25．一个圆环，它的内圆半径是2分米，外圆直径是5分米，这个圆环的面积是多少平方分米？ 26．李芳和张芬从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边背向而行，小时后两人相遇，李芳每分钟走60米，张芬每分钟走65.6米。这个圆形场地的直径是多少米？它的占地面积是多少平方米？ 27．公园中有一块半圆形草坪，它的直径是10米。 （1）绕着这块草坪边沿走1圈，大约要走多少米？ （2）这块草坪的占地面积大约是多少平方米？ 28．如今，很多景区推出了颜值和文化气息兼具的“文创雪糕”，如图是惠州市合江楼的“文创雪糕”，合江楼是广东六大名楼之一，也是苏东坡寓惠首居之所。这款雪糕圆形主体的周长为18.84厘米，它的面积是多少平方厘米？ 29．如图是一个手机壳的示意图，它由一个正方形和两个半圆组成。图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 30．如下图，要在一个长15米、宽10米的长方形草地上建一个圆形的花坛，花坛的周边留出一条1米宽的小路，请问这个圆形花坛的面积是多少平方米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆的周长和面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、核心基础概念 1. 圆的基本元素 圆心：圆中心的点，用字母表示，决定圆的位置，是圆的对称中心。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示，决定圆的大小；同圆或等圆内有无数条半径，长度全部相等。 直径：通过圆心且两端都在圆上的线段，用字母表示；同圆或等圆内有无数条直径，长度全部相等，直径是圆内最长的线段。 核心前提：所有半径、直径的数量关系，都建立在 “同圆或等圆” 的基础上。 2. 圆周率的意义 定义：圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母表示。 性质：是一个无限不循环小数，小学阶段计算通常取近似值；的值大于。 拓展：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后七位的人。 3. 半径与直径的数量关系 同圆或等圆内： 直径 = 半径 × 2： 半径 = 直径 ÷ 2： 二、圆的周长专项 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母表示；周长是长度，单位为厘米、分米、米等长度单位。 2. 周长公式推导与基础公式 通过滚动法、绕线法测量发现，圆的周长总是直径的倍，由此推导公式： 已知直径求周长： 已知半径求周长： 3. 周长公式的逆运算 已知周长求直径： 已知周长求半径： 4. 特殊圆弧与图形的周长计算 （1）半圆的周长（高频易错） 半圆是封闭图形，周长 = 圆周长的一半 + 1 条直径 公式： 注意：“圆周长的一半” 只是一条曲线，长度为，不是半圆的周长。 （2）四分之一圆的周长 周长 = 四分之一圆弧长 + 2 条半径 公式： （3）环形跑道周长 标准跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，两个弯道合起来是一个完整的圆。 跑道周长 = 直道长度 × 2 + 一个整圆的周长 相邻跑道起跑线差距：跑道宽 × ，即外圆周长减内圆周长的差值。 5. 周长的变化规律 半径扩大到原来的倍，直径、周长也同时扩大到原来的倍； 半径缩小到原来的，直径、周长也同时缩小到原来的； 周长的变化倍数与半径、直径的变化倍数完全一致。 三、圆的面积专项 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示；面积单位为平方厘米、平方分米、平方米等面积单位。 2. 面积公式推导（化圆为方） 推导方法：将圆沿半径平均分成若干偶数份，剪开后拼成一个近似的长方形；平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 对应关系：长方形的长 = 圆周长的一半（），长方形的宽 = 圆的半径（）。 推导过程：长方形面积 = 长 × 宽 = ，因此圆的面积 = 。 核心结论：剪拼后面积不变，周长增加了 2 条半径的长度（）。 3. 基础面积公式与变式 已知半径求面积： 已知直径求面积：先算半径，再代入公式 已知周长求面积：先算半径，再代入公式 注意：表示，不是，是面积计算最高频的易错点。 4. 常见衍生图形的面积 （1）半圆的面积 半圆面积是整圆面积的一半： （2）圆环的面积 圆环是两个同心圆之间的部分，外圆半径，内圆半径，环宽 = 。 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 易错提醒：圆环面积不是，必须先分别平方再相减。 （3）扇环的面积 扇环是圆环被两条半径截取的部分，对应圆心角为。 扇环面积 = 大扇形面积 - 小扇形面积 公式： （4）扇形的面积 圆心角为、半径为的扇形，面积占整圆的。 公式： 进阶公式：已知弧长求面积，（类比三角形面积）。 5. 面积的变化规律 半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍； 半径缩小到原来的，面积缩小到原来的； 面积的变化倍数是半径变化倍数的平方倍。 四、组合图形周长与面积核心解法 1. 组合图形周长计算方法 描线法：沿着图形的外围逐段描边，区分清楚哪些线段、弧线属于周长，避免多算内部线条。 平移拼接法：将分散的圆弧、线段平移，拼接成整圆、整半圆或规则线段，简化计算。 公式拆分法：把周长拆分为直线段部分和曲线部分，分别计算后相加。 2. 组合图形面积五大核心方法 （1）整体减空白法 用整体大图形的面积，减去内部空白部分的面积，得到阴影面积；适用于阴影形状不规则、空白图形规则的场景。 （2）割补平移法 将分散的阴影部分切割、平移、旋转，拼接成规则图形（如半圆、长方形、三角形），直接用公式计算；是最常用的简便解法。 （3）重叠容斥法 阴影是两个图形的重叠部分时，用两个图形的面积之和，减去整体图形的面积，本质是容斥原理 “两两相加减重叠”。 （4）等积变换法 利用 “同底等高的三角形面积相等” 等性质，将难计算的阴影图形，转化为易计算的规则图形，不改变面积大小。 （5）差不变原理 两个图形同时增加或减少相同的部分，它们的面积差保持不变；常用于求不规则图形的面积差，将差转化为规则图形的差。 五、奥数经典题型与解题策略 （一）基础应用类 半径、直径、周长、面积的互算 题型：给出其中一个量，求另外三个量；或给出周长反求面积。 解题策略：牢记 “知半径求所有” 的公式链条，先求半径是通用路径；注意单位统一。 方圆模型速算（奥数核心结论） 外方内圆（正方形内最大的圆）：正方形边长 = 圆的直径；正方形面积：圆面积 = ；阴影（正方形减圆）= 。 外圆内方（圆内最大的正方形）：圆的直径 = 正方形的对角线；圆面积：正方形面积 = ；阴影（圆减正方形）= 。 解题技巧：记住固定比值，可直接口算阴影面积，无需分步计算边长。 圆环面积进阶计算 题型：已知环宽和内 / 外圆周长 / 面积，求圆环面积；或已知的值，直接求圆环面积。 解题策略：无需分别求出两个半径，将看作整体代入公式，简化计算。 （二）进阶奥数题型 1. 圆的滚动问题 沿直线滚动：滚动圈数 = 滚动总路程 ÷ 圆的周长。 沿多边形外围滚动：圆心经过的总路程 = 多边形周长 + 一个整圆的周长（所有拐角的圆弧合为一个整圆）；滚动圈数 = 圆心路程 ÷ 圆周长。 解题关键：先确定圆心走过的路径，圆心路径长度就是滚动的总路程。 2. 捆扎问题 题型特征：用绳子捆扎若干个圆柱形物体，求绳子最短长度。 解题策略：绳子总长 = 直线段长度 + 圆弧段长度； 圆弧规律：所有拐角处的圆弧拼合起来，恰好是一个完整的圆周长； 直线规律：有几个相互接触的圆，就有几条对应直径长度的直线段。 示例：并排捆 2 个圆，绳长 = 2 条直径 + 1 个整圆周长；正方形排列捆 4 个圆，绳长 = 4 条直径 + 1 个整圆周长。 3. 差不变原理求面积 题型特征：求两个不规则图形的面积差，直接分别计算困难。 解题策略：给两个图形同时加上 / 减去同一个公共部分，面积差不变，将不规则图形的差转化为规则图形的差。 4. 周长与面积的对比变化题 题型：半径增加固定长度，求周长、面积增加量；或周长增加固定值，求半径、面积变化。 解题技巧：半径增加，周长增加，与原半径大小无关；面积增加量需用新面积减原面积计算。 （三）拓展提升类 1. 圆周上的行程问题 反向相遇：两人从同一点反向出发，首次相遇时路程和 = 圆周长；相遇时间 = 周长 ÷ 速度和。 同向追及：两人从同一点同向出发，首次追上时路程差 = 圆周长；追及时间 = 周长 ÷ 速度差。 多次相遇：第 n 次相遇，路程和就是 n 个圆周长。 2. 最短路径问题 点到圆的最短距离：点到圆心的距离 - 半径； 点到圆的最长距离：点到圆心的距离 + 半径； 圆上动点最短路径：利用对称法转化为直线距离，结合 “两点之间线段最短” 求解。 3. 复杂组合图形的周长与面积 题型：多个圆、扇形、多边形嵌套叠加的复杂图形，求阴影周长或面积。 解题策略：先拆分图形，区分直线与曲线部分；通过平移、旋转、抵消简化重复部分；优先用整体减空白、割补法，避免分段硬算。 4. 扇形与比、百分数综合题 核心规律：同圆内，圆心角的比 = 弧长的比 = 扇形面积的比。 常结合扇形统计图，通过占比求圆心角、弧长、面积，或通过具体数量反推圆的总面积。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 半圆周长概念错误：把 “圆周长的一半” 当成半圆周长，遗漏直径部分；半圆是封闭图形，必须包含直径。 周长与面积混淆：单位用错、概念混淆，周长是长度单位，面积是平方单位，二者无法比较大小。 对称轴表述错误：误认为 “直径是圆的对称轴”，正确表述是 “直径所在的直线是圆的对称轴”，对称轴是直线。 圆环判定错误：认为两个圆之间的区域都是圆环，圆环必须是圆心重合的同心圆。 2. 计算类易错点 半径平方计算错误：将算成，正确是，是面积计算第一高频错误。 圆环面积公式用错：写成，正确是，平方差不等于差的平方。 圆周率使用混淆：题目要求结果保留时，错误代入 3.14 计算；或直接等于 3.14，忽略其为近似值。 单位不统一：半径、直径单位不一致，未换算直接计算，导致结果数量级错误。 周长多算内部线条：计算组合图形周长时，把内部的线段、直径也算入周长，周长仅指外围轮廓。 3. 应用类易错点 滚动路程算少：沿图形外围滚动时，只算图形周长，漏掉拐角处的圆弧总长度，导致圈数算少。 捆扎直线段数错：数直线段数量时出错，或误认为圆弧部分有多个整圆，实际拼合后只有 1 个。 方圆模型对应错误：外圆内方时，误将正方形边长当作圆的直径，正确是对角线等于直径。 变化倍数混淆：面积变化倍数与半径变化倍数混淆，误记为相同倍数，实际是平方倍关系。 阴影面积重复计算：用容斥法时，忘记减去重叠部分，导致计算出的面积偏大。 培优练习 一、选择题 1．把一张直径为8cm的半圆形纸片对折再对折，得到的扇形面积是（    ）。 A．6.28 B．3.14 C．12.56 D．25.12 【答案】A 【分析】已知半圆的直径为8cm，先根据半径＝直径÷2，求出半径为4cm，再根据半圆面积公式S＝πr2（π取3.14），求出半圆面积。因为对折一次面积会减半，对折两次就是连续两次减半，也就是半圆面积的，所以用半圆面积乘，求出最终扇形面积。 【详解】×3.14×（8÷2）2× ＝×3.14×42× ＝×3.14×16× ＝1.57×（16×） ＝1.57×4 ＝6.28（cm2） 所以把一张直径为8cm的半圆形纸片对折再对折，得到的扇形面积是6.28cm2。 故答案为：A 2．光明湖水塔的底面是一个直径约为12米的圆形，求圆形的面积，正确列式是（π取3.14）（    ）。 A．3.14×82 B．3.14×（12÷2）2 C．3.14×122 D．13.14×（12÷2）2 【答案】B 【分析】同一个圆的半径是直径的一半，先用直径除以2得到半径，即12÷2＝6米，再根据圆的面积公式，代入，列式为3.14×（12÷2）2。 【详解】3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 因此，这个圆形的面积列式为3.14×（12÷2）2，它的面积是113.04平方米。 故答案为：B 3．一块环形铁片，它的内圆半径是5厘米，外圆半径是10厘米，这块环形铁片的面积是多少平方厘米？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知一块环形铁片，它的内圆半径是5厘米，外圆半径是10厘米，求这块环形铁片的面积是多少平方厘米。根据圆环的面积公式：，代入数据计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝（平方厘米） 这块环形铁片的面积是平方厘米。 故答案为：A 4．如图，将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的平行四边形，如果这个圆的半径是4cm，那么这个平行四边形的周长是（    ）cm。 A．12.56 B．20.56 C．33.12 D．50.24 【答案】C 【分析】根据题意，一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的平行四边形，那么这个平行四边形的两个底相当于圆周长（即2πr），平行四边形底的两条斜边相当于圆的直径，把平行四边形四条边长相加，即可求出它的周长。 【详解】2×3.14×4＋4×2 ＝25.12＋8 ＝33.12（cm） 这个平行四边形的周长是33.12cm。 故答案为：C 5．有一张长是31.4cm、宽是25.12cm的长方形铁皮，再配上一张圆形铁皮正好可以做成一个圆柱形容器，下面各圆形铁皮中，符合要求的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，给长方形铁皮配上一张圆形铁皮正好做成一个圆柱形容器，那么圆形铁皮的周长要与长方形铁皮的长或宽相等，根据圆的周长公式C＝πd，求出各选项中圆形铁皮的周长，再与长方形的长、宽进行对比，找出符合要求的圆形铁皮。 【详解】A．3.14×8＝25.12（cm），与长方形铁皮的宽相等，符合要求； B．3.14×9＝28.26（cm），与长方形铁皮的长、宽都不相等，不符合要求； C．3.14×12＝37.68（cm），与长方形铁皮的长、宽都不相等，不符合要求； D．3.14×14＝43.96（cm），与长方形铁皮的长、宽都不相等，不符合要求。 故答案为：A 6．一个圆形花坛的半径是3米，扩建后半径增加了1米，面积增加了（    ）平方米。 A．6.28 B．21.98 C．3.14 D．50.24 【答案】B 【分析】根据题意，一个圆形花坛的半径是3米，扩建后半径增加了1米，则扩建后圆的半径是（3＋1）米；求增加的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），据此解答。 【详解】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 面积增加了21.98平方米。 故答案为：B 【点睛】本题考查圆环面积公式的实际应用，先找出内圆和外圆的半径，再根据圆环的面积公式求解。 二、填空题 7．公园里有一个圆形的花圃，直径是8米，在花圃的周围修一条1米宽的石子路，这条石子路的面积是( )平方米。 【答案】28.26 【分析】由题意知石子路形状是圆环。可以先求出花圃的半径，再求出外圆的半径：外圆半径＝花圃的半径＋环宽（石子路的宽度），最后根据石子路面积＝大圆面积−花圃面积，代入数据即可。 【详解】花圃的半径：8÷2＝4（米） 外圆的半径：4＋1＝5（米） 石子路的面积：3.14×（） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 8．时代艺术中心大楼的墙面上有一面时钟，该时钟的时针长8分米，分针长10分米，经过1小时，分针的尖端走过了( )分米，分针扫过的面积是( )平方分米。 【答案】 62.8 314 【分析】经过1小时，分针会绕钟面旋转一整圈，分针的长度就是这个圆形轨迹的半径。求分针尖端走过的长度，就是求这个圆的周长；求分针扫过的面积，就是求这个圆的面积。圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】周长：2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（分米） 面积：3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方分米） 9．在一个长10厘米，宽8厘米的长方形纸板内剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，它的面积是( )平方厘米；剩下部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 29.76 【分析】在长方形内剪下一个最大的圆，圆的直径等于长方形中较短的边。“圆的半径＝直径÷2”、“圆的面积＝×半径2”，剩下部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积。 【详解】长方形长10厘米，宽8厘米，所以剪下一个最大的圆的直径是8厘米。 圆的半径：（厘米） 圆的面积：（平方厘米） 剩下的面积：（平方厘米） 10．把一张圆形的纸剪成两个相等的半圆，它们的周长增加了10厘米，这张圆形纸的面积是( )平方厘米。 【答案】 19.625 【分析】把一张圆形的纸剪成两个相等的半圆，原来的周长是圆的周长，剪开后两个半圆的周长之和比原来圆的周长增加了两条直径的长度。已知周长增加了10厘米，据此可以求出圆的直径，进而求出半径，最后利用圆的面积公式计算出这张圆形纸的面积。 【详解】 （平方厘米） 11．如图中每个圆的半径都相等，若每个圆的面积为a平方厘米，那么图中阴影部分的面积为________平方厘米。 【答案】 【分析】首先观察圆形特征：三个圆的半径都相等，连接三个圆的圆心，会得到一个等边三角形，等边三角形的每个角都是60°；然后再分析阴影部分的扇形：也就是60°这样的扇形一共有3个；再计算扇形的总角度，即把3个60°角加起来，这里算得180°，也就是半个圆，最后根据题目已知条件求得阴影部分的面积即可。 【详解】计算扇形的总角度：60°＋60°＋60°＝180° 已知每个圆的面积是a平方厘米，那么半个圆的面积就是：平方厘米。 12．如图所示的A、B、C三个区域，( )区域的面积最大。 【答案】A 【分析】根据圆环的面积S＝π（R－r）以及圆的面积公式S＝πr分别计算三个区域的面积比较即可。 【详解】C的面积： 3.14×2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） B的面积： （厘米） 3.14×（4－2） ＝3.14×（16－4） ＝3.14×12 ＝37.68（平方厘米） A的面积： （厘米） 3.14×（6－4） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方厘米） 62.8＞37.68＞12.56 A、B、C三个区域，A区域的面积最大。 13．钟面上，分针长8厘米，如果走0.5小时，分针的尖端走过的路程是( )厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米，或( )平方分米。 【答案】 25.12 28.26 0.2826 【分析】8厘米长的分针走一圈，时间过了1小时，分针尖端的轨迹是一个半径为8厘米的圆，那么走0.5小时，分针的轨迹就是这个圆的一半，先计算出这个圆的周长，再除以2；在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，圆的直径等于这个长方形的宽，所以这个圆的直径为6厘米，则半径为3厘米，再根据圆的面积计算公式计算。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） （平方厘米） 28.26平方厘米＝0.2826平方分米 14．在一张长8cm、宽6cm的长方形纸上剪下一个最大的半圆，剩余部分的面积是( )cm2。 【答案】22.88 【分析】在长8cm、宽6cm的长方形中剪最大半圆，有两种剪法可选。第一种以长方形的长8cm为半圆直径，此时半径为4cm，因4cm小于长方形的宽6cm，半圆的弧形部分能完全落在长方形内，该剪法可行；第二种以长方形的宽6cm为半圆直径，此时半径为3cm，虽也能剪出，但半圆面积明显更小，因此确定以8cm为直径、4cm为半径是能剪出的最大半圆。先根据长方形面积公式“长×宽”，求出长方形的总面积；再根据半圆面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入半径4cm，求出最大半圆的面积。用长方形的总面积减去剪出的最大半圆的面积，求出剩余面积。 【详解】长方形面积：8×6＝48（cm2） 最大半圆面积：×3.14×（8÷2）2 ＝×3.14×42 ＝×3.14×16 ＝1.57×16 ＝25.12（cm2） 剩余面积：48－25.12＝22.88（cm2） 所以剩余部分的面积是22.88cm2。 【点睛】本题的关键在于准确判断长方形内可剪出的最大半圆，需结合长和宽确定合理直径，优先以长边为直径并验证半径是否小于短边，再通过面积相减的思路求解剩余面积，核心是把握“最大半圆的尺寸受长方形边长限制”这一关键。 15．画圆时，圆规两脚之间的距离是( )的长度。若一个圆的半径是5厘米，直径是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 半径 10 31.4 【分析】画圆时，圆规两脚之间的距离就是圆的半径的长度。根据圆的性质，在同一个圆中，直径d＝2r（r为半径），圆的周长公式为C＝2πr（π通常取3.14）。据此回答。 【详解】画圆时，圆规两脚之间的距离就是圆的半径的长度。 5×2＝10（厘米） 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（厘米） 因此，画圆时，圆规两脚之间的距离是半径的长度。若一个圆的半径是5厘米，直径是10厘米，周长是31.4厘米。 16．一个标准跑道的全长是400米，弯道最内圈半径是36米，每条跑道宽1.2米，现有8个弯道。若进行400米赛跑，第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前约( )米。（π取3.14，结果保留整数） 【答案】15 【分析】根据题意可知，400米标准跑道有8个弯道，每个弯道合起来是一个圆。第1道的半径为（36＋1.2）米，第3道的半径为（36＋1.2×3）米；根据圆的周长公式C＝2πr，分别求出第1道、第3道的周长，再用第3道的周长减去第1道的周长，即是第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前的米数。 【详解】2×3.14×（36＋1.2） ＝2×3.14×37.2 ＝233.616（米） 2×3.14×（36＋1.2×3） ＝2×3.14×（36＋3.6） ＝2×3.14×39.6 ＝248.688（米） 248.688－233.616≈15（米） 第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前约（15）米。 三、判断题 17．在同一个圆中，扇形的大小与圆心角有关。( ) 【答案】√ 【分析】在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。 【详解】根据分析可知，在同一个圆中，扇形的大小与圆心角有关。 原题干说法正确。 故答案为：√ 18．一个圆柱的表面积是131.88cm2，侧面积是75.36cm2，那么它的底面半径是3cm。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，底面积＝（表面积－侧面积）÷2，代入数据，求出圆柱的底面积，再根据圆柱的底面积公式：面积＝π×半径2，半径2＝面积÷π，进而求出底面半径，再进行比较，即可解答。 【详解】（131.88－75.36）÷2 ＝56.52÷2 ＝28.26（cm2） 28.26÷3.14＝9（cm2） 因为3×3＝9，所以圆柱底面半径是3cm。 一个圆柱的表面积是131.88cm2，侧面积是75.36cm2，那么它的底面半径是3cm。 原题干说法正确。 故答案为：√ 19．一种电动车轮胎滚动一周前进的距离是18.84分米，这种轮胎的外直径是6分米。( ) 【答案】√ 【分析】轮胎滚动一周前进的距离就是该轮胎的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，将公式变形：d＝C÷π，代入数值可以求出该轮胎的直径；再进行比较，即可解答。 【详解】18.84÷3.14＝6（分米） 一种电动车轮胎滚动一周前进的距离是18.84分米，这种轮胎的外直径是6分米。 原题干说法正确。 故答案为：√ 20．在一个圆内画一个最大的正方形，圆的面积与正方形的面积的比为∶2。( ) 【答案】√ 【分析】如图所示，在圆内画一个最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线，假设圆的半径是1，则正方形的对角线长度是2，求出圆的面积，正方形的对角线把正方形分成两个完全一样的等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，再乘2求出正方形的面积，最后求出圆的面积和正方形的面积比，据此解答。 【详解】 假设圆的半径是1。 1×2×1÷2×2 ＝2÷2×2 ＝1×2 ＝2 圆的面积∶正方形的面积＝∶2 所以，圆的面积与正方形的面积的比为∶2。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积公式，要清楚正方形面积的另一种求法是解题的关键。 21．大圆与小圆的半径比是4∶3，则小圆与大圆的周长比是4∶3，面积比是9∶16。( ) 【答案】× 【分析】已知大圆与小圆的半径比是4∶3，可以设大圆的半径是4，小圆的半径是3； 根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，分别求出小圆、大圆的周长和面积，再根据比的意义，得出小圆与大圆的周长比、面积比，并化简比。 【详解】设大圆的半径是4，小圆的半径是3； 小圆与大圆的周长比是（2×π×3）∶（2×π×4）＝3∶4 小圆与大圆的面积比是（π×32）∶（π×42）＝（π×9）∶（π×16）＝9∶16 所以，大圆与小圆的半径比是4∶3，则小圆与大圆的周长比是3∶4，面积比是9∶16。 原题说法错误。 故答案为：× 22．聪聪用圆规画了一个直径为3cm的圆，红红用圆规画了一个半径为2cm的半圆，红红所画半圆的面积大。( ) 【答案】 × 【分析】根据“半径＝直径÷2”用3除以2计算出聪聪画的圆的半径是1.5cm，再根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”代入数值计算出半径1.5cm的圆的面积；红红画的半圆的面积是半径2cm的圆的面积的一半，先根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”代入数值计算出半径2cm的圆的面积，再将半径2cm的圆的面积除以2即可计算出红红所画半圆的面积；最后将两个面积进行比较即可。 【详解】根据分析： 聪聪所画圆的面积：（3÷2）2π＝1.52π＝2.25π（cm2） 红红所画半圆的面积：22π÷2＝4π÷2＝2π（cm2） 2.25π＞2π，所以聪聪所画圆的面积大。 聪聪用圆规画了一个直径为3cm的圆，红红用圆规画了一个半径为2cm的半圆，聪聪所画圆的面积大。原说法错误。 故答案为：× 四、计算题 23．计算下列各圆的周长和面积。               【答案】左图：周长∶28.26cm；面积∶63.585cm2 右图：周长∶43.96dm；面积∶153.86dm2 【分析】根据圆的周长公式，代入数据求出各圆的周长；又根据圆的面积公式，已知直径的，可用直径除以2求出半径，再代入数据求出各圆的面积。 【详解】左图圆的周长： （cm） 左图圆的面积： （cm2） 右图圆的周长：（dm） 右图圆的面积： （dm2） 24．求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。      【答案】21.98平方厘米；0.86平方厘米 【分析】（1）根据图示，求阴影部分面积即为：大圆面积－小圆面积，已知大圆直径和小圆直径，根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径），由此代入数值计算出结果即可。 （2）根据图示，求阴影部分的面积即为：正方形面积－中间圆的面积，正方形面积公式：边长×边长，圆的面积公式：S＝πr2（r为半径），由此代入数值计算出结果即可。 【详解】（1）大圆半径：8÷2＝4（厘米） 小圆半径：6÷2＝3（厘米） S大圆－S小圆 ＝3.14×42－3.14×32 ＝3.14×16－3.14×9 ＝50.24－28.26 ＝21.98（平方厘米） 阴影部分的面积是21.98平方厘米。 （2）内圆半径：2÷2＝1（厘米） S正方形－S圆 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 阴影部分的面积是0.86平方厘米。 五、解答题 25．一个圆环，它的内圆半径是2分米，外圆直径是5分米，这个圆环的面积是多少平方分米？ 【答案】7.065平方分米 【分析】先根据“半径＝直径÷2”求出外圆半径，再根据圆环的面积计算公式S＝π（R2－r2），π取3.14，代入数值即可求出圆环的面积。 【详解】5÷2＝2.5（分米） 3.14×（2.52－22） ＝3.14×（6.25－4） ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方分米） 答：这个圆环的面积是7.065平方分米。 26．李芳和张芬从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边背向而行，小时后两人相遇，李芳每分钟走60米，张芬每分钟走65.6米。这个圆形场地的直径是多少米？它的占地面积是多少平方米？ 【答案】200米；31400平方米 【分析】（1）先根据“1小时＝60分钟”将小时换算成以分钟为单位；然后根据相遇问题中“路程＝速度和×相遇时间”，求出圆形场地的周长；再根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆形场地的直径。 （2）根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形场地的占地面积。 【详解】×60＝5（分钟） 圆形场地的周长： （60＋65.6）×5 ＝125.6×5 ＝628（米） 圆形场地的直径： 628÷3.14＝200（米） 圆形场地的半径： 200÷2＝100（米） 圆形场地的占地面积： 3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：这个圆形场地的直径是200米；它的占地面积是31400平方米。 27．公园中有一块半圆形草坪，它的直径是10米。 （1）绕着这块草坪边沿走1圈，大约要走多少米？ （2）这块草坪的占地面积大约是多少平方米？ 【答案】（1）25.7米； （2）39.25平方米 【分析】（1）根据图可知，草坪是一个半圆形；绕着这块草坪走一圈，求走多少米，就是求这个半圆形草坪的周长，根据半圆的周长＝π×直径÷2＋直径，代入数据，即可解答。 （2）求占地面积，就是求半圆形草坪的面积，根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（米） 答：大约要走25.7米。 3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方米） 答：这块草坪的占地面积大约是39.25平方米。 28．如今，很多景区推出了颜值和文化气息兼具的“文创雪糕”，如图是惠州市合江楼的“文创雪糕”，合江楼是广东六大名楼之一，也是苏东坡寓惠首居之所。这款雪糕圆形主体的周长为18.84厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】圆的周长C＝2πr，据此可算出半径，再根据圆的面积S＝πr2计算出面积 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 答：它的面积是28.26平方厘米。 29．如图是一个手机壳的示意图，它由一个正方形和两个半圆组成。图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.42平方厘米 【分析】空白部分的面积＝大半圆的面积×2＋正方形的面积－小圆的面积。由圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，再由题图可知，大半圆的半径为2厘米，小圆的直径为2厘米，正方形的边长为4厘米，代入计算即可。 【详解】3.14×（2÷2）² ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 3.14×22÷2×2＋4×4 ＝3.14×4＋16 ＝12.56＋16 ＝28.56（平方厘米） 28.56－3.14＝25.42（平方厘米） 答：图中空白部分的面积是25.42平方厘米。 30．如下图，要在一个长15米、宽10米的长方形草地上建一个圆形的花坛，花坛的周边留出一条1米宽的小路，请问这个圆形花坛的面积是多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【分析】如图所示，大圆的直径等于长方形草地的宽10米，小圆的直径等于大圆的直径减去2米，小圆的直径也就是这个圆形花坛的直径；根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算，所得结果即为这个圆形花坛的面积。 【详解】花坛的半径：（10－1×2）÷2 ＝（10－2）÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：这个圆形花坛的面积是50.24平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $