第四单元 比例（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

**基本信息** 以“概念-性质-应用-拓展”为逻辑主线，系统整合比例基础、性质应用及奥数思维，提炼可迁移的解题方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比例基础与性质|多知识点+对比表|比例定义本质、性质转化、解比例通用步骤|从比到比例的概念进阶，内项外项关系与性质推导| |正反比例与比例尺|判定三要素+计算模型|正反比例判定法、比例尺三类计算、图形缩放规律|通过定量（商/积）建立变量关系，衔接几何与实际应用| |应用与奥数题型|6类核心题型+步骤|不变量统一法、行程工程比例转化、十字交叉法|从基础应用到复杂问题，渗透推理意识与数学思维| |培优练习|5类题型（30题）|错中求解、方案优化策略|覆盖高频考点，强化知识迁移与问题解决能力|

第四单元 比例（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、比例的基础概念与核心意义 1. 比例的定义与本质 表示两个比相等的式子叫做比例，本质是量化两个比的等值关系，是 “比” 的进阶应用，也是沟通不同数量间倍比关系、建立等量方程的核心工具。 核心前提：组成比例的两个比的比值必须相等，这是判断两个比能否组成比例的根本标准。 教材定位：在 “比” 的基础上，拓展至两个比的等量关系，是解比例应用题、认识正反比例、学习比例尺的核心基础，也是小学阶段代数思维的重要衔接。 2. 比例的各部分名称 在比例 （ 均不为 0）中： 项：组成比例的四个数，叫做比例的项； 外项：两端的两项 和 ，位于比例的最外侧； 内项：中间的两项 和 ，位于比例的内侧。 示例：在比例 中，3 和 6 是外项，2 和 9 是内项。 3. 比例的两种表达形式 比号形式：用两个比号连接，如 ，是比例的标准形式； 分数形式：写作 ，读作 “a 比 b 等于 c 比 d”，形式与分数等式一致，交叉相乘即为内项积与外项积。 4. 比与比例的区别与联系 类别 定义 组成结构 核心性质 比 两个数相除，表示两个数的倍比关系 由两项组成（前项、后项） 比的基本性质（同扩同缩比值不变） 比例 两个比相等的式子，表示两个比的等值关系 由四项组成（两个内项、两个外项） 比例的基本性质（内项积等于外项积） 内在联系：比例由两个比值相等的比组成，比是比例的基础，比例是比的拓展应用。 二、比例的基本性质与解比例 1. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的核心性质，也是解比例的唯一依据。 字母表示：若 ，则 ； 分数形式：若 ，则交叉相乘得 。 核心作用：① 判断两个比能否组成比例；② 解比例方程；③ 奥数巧算与比例变形。 2. 比例性质的奥数拓展 基于基本性质延伸出的进阶性质，是奥数比例变形的常用工具： 反比定理：若 ，则 （两个比同时前后项交换，比例仍成立）； 合比定理：若 ，则 ； 分比定理：若 ，则 ； 等比定理：若 ，且 ，则 （所有分子之和比所有分母之和，比值不变）。 3. 解比例 定义：求比例中的未知项，叫做解比例，本质是解特殊的一元一次方程。 核心依据：比例的基本性质，先将比例转化为 “外项积 = 内项积” 的普通方程，再求解未知数。 通用步骤： 利用比例基本性质，将比例转化为乘积等式； 根据四则运算关系，求出未知数的值； 将结果代入原比例，检验比值是否相等。 4. 常见解比例类型 整数比例：如 ，转化为 ，解得 ； 小数比例：如 ，转化为 ，解得 ； 分数比例：如 ，转化为 ，解得 ； 分数形式比例：如 ，交叉相乘得 ，解得 。 三、正比例与反比例 1. 正比例的意义与判定 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 字母表示：（一定）， 为固定不变的常量。 判定三要素： 两种量相关联，一个变化另一个随之变化； 变化方向一致：一个扩大，另一个同步扩大；一个缩小，另一个同步缩小； 相对应的两个数的比值（商）始终固定不变。 常见实例：单价一定时，总价与数量成正比例；速度一定时，路程与时间成正比例；工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例。 2. 反比例的意义与判定 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 字母表示：（一定）， 为固定不变的常量。 判定三要素： 两种量相关联，一个变化另一个随之变化； 变化方向相反：一个扩大，另一个反而缩小；一个缩小，另一个反而扩大； 相对应的两个数的乘积始终固定不变。 常见实例：路程一定时，速度与时间成反比例；工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；总价一定时，单价与数量成反比例。 3. 正比例与反比例的核心区别 维度 正比例 反比例 核心定量 比值（商）一定 乘积一定 变化方向 同向变化（同增同减） 反向变化（一增一减） 关系式 （一定） （一定） 图像特征 一条经过原点的直线 一条平滑的曲线 4. 不成比例的常见情况 两个量的和一定或差一定，不成比例； 两个量虽相关联，但比值和乘积都不一定，不成比例； 例：正方形的边长与面积不成比例（面积与边长的平方成正比例）； 例：一个人的身高与体重，不成比例。 四、比例尺 1. 比例尺的定义与意义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 本质：比例尺是一个特殊的比，前项对应图上距离，后项对应实际距离，体现图形缩放的比例关系。 核心公式：。 2. 比例尺的分类 （1）按表现形式分 数值比例尺：用数字形式表示，如 ，读作 “一比一千”，表示图上 1 厘米对应实际 1000 厘米。 线段比例尺：在图上附有一条注有数量的线段，用来表示和实际相对应的距离，如 0_\50\_100 千米，表示图上 1 厘米对应实际 50 千米。 （2）按缩放功能分 缩小比例尺：图上距离小于实际距离，前项为 1，如 ，多用于地图、建筑图纸。 放大比例尺：图上距离大于实际距离，后项为 1，如 ，多用于精密零件图纸、微生物绘图。 注意：比例尺是一个比，不带单位名称；计算时图上距离与实际距离单位必须统一。 3. 三类核心计算 求比例尺：已知图上距离和实际距离，统一单位后作比，化简为前项或后项为 1 的最简整数比。 求图上距离：。 求实际距离：。 4. 图形的放大与缩小 本质：按指定的比将图形的各边对应放大或缩小，形状不变，大小改变。 边长与面积的比例关系： 若图形按 放大，则边长扩大到原来的 倍，周长扩大到原来的 倍，面积扩大到原来的 倍； 若图形按 缩小，则边长缩小到原来的 ，周长缩小到原来的 ，面积缩小到原来的 。 五、比例的应用核心模型 1. 正比例解应用题 题型特征：题目中存在固定不变的比值（单一量），两个量同向变化。 解题步骤： 判断两种相关联的量是否成正比例关系； 设未知数为 ； 根据比值相等列出比例式； 解比例并检验作答。 示例：一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样的速度，5 小时行驶多少千米？ 解析：速度一定，路程与时间成正比例。设 5 小时行驶千米，列比例 ，解得 。 2. 反比例解应用题 题型特征：题目中存在固定不变的乘积（总量），两个量反向变化。 解题步骤： 判断两种相关联的量是否成反比例关系； 设未知数为 ； 根据乘积相等列出比例式； 解比例并检验作答。 示例：一本书每天读 30 页，20 天可以读完；如果每天读 50 页，多少天可以读完？ 解析：总页数一定，每天读的页数与天数成反比例。设天读完，列比例 ，解得 。 3. 比例尺实际应用 地图测距：已知比例尺和图上距离，求实际距离，常用于地理距离测算； 图纸绘图：已知实际尺寸和比例尺，求图上尺寸，常用于工程、机械绘图； 比例尺转换：数值比例尺与线段比例尺的互相转化。 4. 按比例分配的比例解法 将按比例分配问题转化为比例方程求解，核心是 “每份数相等”，设每份为，根据总量列方程，是份数法的方程化表达。 六、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 判断组比例 题型特征：给出四个数，判断能否组成比例，或选出能组成比例的四个数。 解题策略：先将四个数按大小排序，验证最大数 × 最小数是否等于中间两数的积，相等即可组成比例。 拓展：用四个数最多可组成 8 个不同的比例。 解复杂比例方程 题型特征：比例中包含小数、分数、带括号的式子，或分数形式的复杂比例。 解题策略：严格按比例基本性质转化为普通方程，注意运算顺序，计算后代入检验。 比例填空巧算 题型特征：已知比例中的三项，求未知项，或利用比例性质进行变形填空。 解题策略：直接用 “内项积 ÷ 已知外项 = 未知外项”“外项积 ÷ 已知内项 = 未知内项” 快速计算。 （二）基础应用类 归一归总比例解法 归一问题对应正比例，归总问题对应反比例，用比例法解题可避免复杂的单一量计算，思路更直接。 比例尺进阶计算 题型：实际面积计算、线段比例尺转数值比例尺、多幅图不同比例尺对比。 易错提醒：求面积时不能直接用面积乘比例尺，需先算边长再算面积，或用面积比等于比例尺的平方计算。 正反比例判定 题型：判断一组量是否成比例、成正比例还是反比例。 解题策略：先找定量，再看定量是比值还是乘积，对应判断；无法确定定量则不成比例。 （三）进阶奥数核心题型 1. 比例中的不变量问题（奥数核心方法） 当多个量发生变化时，抓住不变的量，以不变量为桥梁建立比例关系求解，分为三类： 和不变：两个量互相转移，总量固定，如甲乙两仓库存货互调、溶液混合前后总质量不变。 差不变：两个量同增同减相同数量，差值固定，如年龄问题、同增同减的数量问题。 单量不变：其中一个量始终不变，另一个量变化，如班级男生人数不变，女生人数变化。 解题步骤：① 找出不变量；② 统一不变量的份数；③ 匹配变化量的份数差与实际数量差；④ 求出每份对应量，计算最终结果。 2. 行程问题中的比例应用 利用路程、速度、时间的正反比例关系，无需计算具体数值即可快速解题，是奥数行程题的核心技巧： 时间相同，路程比 = 速度比； 速度相同，路程比 = 时间比； 路程相同，速度比 = 时间的反比。 高频场景：相遇问题按速度比分配总路程，追及问题用速度比求时间比，往返路程相同用时间反比求速度比。 3. 工程问题中的比例应用 工作时间相同，工作总量比 = 工作效率比； 工作总量相同，工作效率比 = 工作时间的反比。 常考场景：多人合作效率比分配工作量、交替工作的时间比例换算、效率变化后的时间变化计算。 4. 浓度配比问题（十字交叉法） 题型特征：两种不同浓度的溶液混合，求混合后的浓度，或求两种溶液的配比。 解题方法：十字交叉法，本质是比例关系的应用，混合前两种溶液的质量比，与浓度差成反比。 5. 几何中的比例应用 边长比与周长比、面积比、体积比的换算； 等高三角形：面积比等于底边长的比； 等底三角形：面积比等于高的比。 （四）拓展提升类 复比与连比应用 复比：两个或多个比对应项相乘组成的新比，常用于多变量的比例问题。 多量化连比：通过中间量统一份数，将多个两量比转化为连比，进行多量按比例分配。 比例错中求解 题型特征：看错比例的内项外项、看错数字、算错比值，得到错误结果，求正确答案。 解题策略：抓住不变量，从错误比例中倒推求出未知量，再代入正确比例计算。 比例方案优化 题型特征：多种方案、不同配比，求最低成本、最大收益、最优调配方案。 解题策略：分别计算不同配比下的结果，结合比例关系寻找临界点，确定最优区间。 复杂正反比例综合题 题型：多个量联动变化，存在多个定量，需分步判断正反比例，逐层求解。 解题策略：拆分问题，依次确定每一组量的比例关系，逐步推导最终结果。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 比与比例混淆：误将两个数的比当作比例，或混淆比的性质与比例的基本性质。 内项外项搞反：分数形式的比例中，错误判断内项与外项，导致交叉相乘顺序错误。 正反比例判断错误： 误认为相关联的量就一定成比例，忽略 “比值 / 乘积一定” 的核心条件； 圆的周长与半径成正比例，但圆的面积与半径不成比例（与半径的平方成正比例）； 正方形的周长与边长成正比例，但正方形的面积与边长不成比例。 比例尺前后项颠倒：放大比例尺误写成前项为 1，缩小比例尺误写成后项为 1。 2. 计算类易错点 解比例计算失误：转化为方程时乘错项、移项变号错误、小数分数计算偏差。 比例尺单位不统一：图上距离用厘米、实际距离用千米，未换算直接计算，导致结果数量级错误。 面积缩放比例错误：图形放大缩小时，误将面积比等同于边长比，正确应为面积比是边长比的平方。 比例性质误用：合比、分比定理使用时，错误改变分母，或等比定理忽略分母和不为 0 的前提。 3. 应用类易错点 正反比例用反：明明是反比例的题，列成了正比例的比例式，或反之；核心是先找定量，再判断是商一定还是积一定。 设未知数对应错误：列比例时，前后项的对应关系不一致，比如左边是 “路程：时间”，右边变成 “时间：路程”。 不变量份数统一错误：统一不变量时，计算最小公倍数出错，或变化量的份数增减计算错误。 行程比例方向错误：路程一定时，误用速度的正比关系，正确应为时间与速度成反比。 结果未检验：解完比例不代入验证，导致明显的计算错误无法及时发现。 培优练习 一、选择题 1．若（a、b、c、d均大于0），则下面四个比例中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面不能与2、3、4组成比例的数是（    ）。 A． B．1.5 C．6 D．5 3．一种消毒液按“原液∶水＝1∶150”配制。现有3000毫升水，需原液（    ）毫升。 A．10 B．15 C．20 D．25 4．甲、乙两个长方体容器底面积比为3∶2，分别倒入相同体积的水后，甲容器水深10厘米，乙容器水深（    ）厘米。 A．15厘米 B．12厘米 C．8厘米 D．5厘米 5．笑笑读一本书，已读页数和全书页数的比为2∶5，已读30页，还有x页没读。下面所列比例正确的是（    ）。 A． B． C． D． 6．太行大峡谷位于安阳林州市境内，景物奇秀，为世所称。程程到太行大峡谷游玩，他想将拍下的一处美景做成长与宽之比为5∶3的照片放进匹配的长方形相框。相框的长是25cm，宽是（    ）cm。 A．10 B．12 C．15 D．20 二、填空题 7．甲仓库存粮的和乙仓库存粮数的相等，甲仓库存粮数和乙仓库存粮数的比是( )。 8．在一个比例中，两个外项的积是最小的合数，一个内项是0.5，另一个内项是( )。 9．若5a＝7b（a、b均不为0），则a∶b＝( )∶( )。 10．已知，则x∶y＝( )∶( )（填最简整数比）。 11．若m＝5n（m、n非0自然数），m、n最大公因数是( )，最小公倍数是( )，m∶n＝( )∶( )。 12．某班学生不超过50人，其中男生有a人，女生有b人，且满足。这个班男生与女生的人数比是( )，则这个班最多有学生( )人。 13．如果3a＝4b，那么a∶b＝( )，a和b成( )比例；当＝y时，x和y成( )比例。 14．一个比例的两个外项分别是2和5，其中一个内项是4，另一个内项是( )。 15．若3a＝5b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，若b＝15，则a＝( )。 16．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是( )厘米。 三、判断题 17．若甲＝乙×3，则甲与乙的比是6∶1。( ) 18．1∶2和7∶15能组成比例。( ) 19．在比例里，两个外项的积除以两个内项的积，商是1。( ) 20．在比例4∶16＝6∶24中，如果将前一个比的前项加上8，要使比例成立，那么后一个比的后项应除以2。 ( ) 21．在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是。( ) 22．在一个比例中，两个内项的积与两个外项的积，差为0，商为1。( ) 四、计算题 23．解方程或解比例。          x∶9＝0.3∶8.1         24．解方程（或比例）。     0.75x－8＝4     五、解答题 25．乐乐调制两杯蜂蜜水，第一杯中放了15克蜂蜜和300克水，第二杯中有水400克。如果按第一杯中蜂蜜和水的比例调制，应在第二杯中加入蜂蜜多少克？ 26．工厂需要加工630个零件，前8天共加工了280个零件，照这样计算，加工完这批零件还需要几天？（用比例知识解答） 27．王爷爷要给新建的一座房子的地面铺地砖，若用边长为0.8米的方砖铺地面，正好需要36块，若用边长为6分米的方砖铺地面，需要多少块？（用比例解答） 28．学校校园平面示意图的比例尺是，量得“教学楼A”到“教学楼B”的图上距离为6厘米。聪聪制作的AI智能小车每分钟能行驶约12.5米，则AI智能小车从“教学楼A”到“教学楼B”需要多少时间？ 29．小明在某个晴天的上午利用卷尺和2米长的竹竿测量学校旗杆的高度，他将竹竿直立在学校旗杆的旁边，量得竹竿的影长是1.6米，同一时刻测得旗杆的影长是9.6米，求旗杆的高度。（用比例解答） 30．赵爷爷准备用自己多年的积蓄9900元资助某地灾区的失学儿童，他先拿出540元资助了3名失学儿童。照这样计算，剩下的钱还可以资助多少名失学儿童？（用比例知识解决） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比例（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、比例的基础概念与核心意义 1. 比例的定义与本质 表示两个比相等的式子叫做比例，本质是量化两个比的等值关系，是 “比” 的进阶应用，也是沟通不同数量间倍比关系、建立等量方程的核心工具。 核心前提：组成比例的两个比的比值必须相等，这是判断两个比能否组成比例的根本标准。 教材定位：在 “比” 的基础上，拓展至两个比的等量关系，是解比例应用题、认识正反比例、学习比例尺的核心基础，也是小学阶段代数思维的重要衔接。 2. 比例的各部分名称 在比例 （ 均不为 0）中： 项：组成比例的四个数，叫做比例的项； 外项：两端的两项 和 ，位于比例的最外侧； 内项：中间的两项 和 ，位于比例的内侧。 示例：在比例 中，3 和 6 是外项，2 和 9 是内项。 3. 比例的两种表达形式 比号形式：用两个比号连接，如 ，是比例的标准形式； 分数形式：写作 ，读作 “a 比 b 等于 c 比 d”，形式与分数等式一致，交叉相乘即为内项积与外项积。 4. 比与比例的区别与联系 类别 定义 组成结构 核心性质 比 两个数相除，表示两个数的倍比关系 由两项组成（前项、后项） 比的基本性质（同扩同缩比值不变） 比例 两个比相等的式子，表示两个比的等值关系 由四项组成（两个内项、两个外项） 比例的基本性质（内项积等于外项积） 内在联系：比例由两个比值相等的比组成，比是比例的基础，比例是比的拓展应用。 二、比例的基本性质与解比例 1. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的核心性质，也是解比例的唯一依据。 字母表示：若 ，则 ； 分数形式：若 ，则交叉相乘得 。 核心作用：① 判断两个比能否组成比例；② 解比例方程；③ 奥数巧算与比例变形。 2. 比例性质的奥数拓展 基于基本性质延伸出的进阶性质，是奥数比例变形的常用工具： 反比定理：若 ，则 （两个比同时前后项交换，比例仍成立）； 合比定理：若 ，则 ； 分比定理：若 ，则 ； 等比定理：若 ，且 ，则 （所有分子之和比所有分母之和，比值不变）。 3. 解比例 定义：求比例中的未知项，叫做解比例，本质是解特殊的一元一次方程。 核心依据：比例的基本性质，先将比例转化为 “外项积 = 内项积” 的普通方程，再求解未知数。 通用步骤： 利用比例基本性质，将比例转化为乘积等式； 根据四则运算关系，求出未知数的值； 将结果代入原比例，检验比值是否相等。 4. 常见解比例类型 整数比例：如 ，转化为 ，解得 ； 小数比例：如 ，转化为 ，解得 ； 分数比例：如 ，转化为 ，解得 ； 分数形式比例：如 ，交叉相乘得 ，解得 。 三、正比例与反比例 1. 正比例的意义与判定 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 字母表示：（一定）， 为固定不变的常量。 判定三要素： 两种量相关联，一个变化另一个随之变化； 变化方向一致：一个扩大，另一个同步扩大；一个缩小，另一个同步缩小； 相对应的两个数的比值（商）始终固定不变。 常见实例：单价一定时，总价与数量成正比例；速度一定时，路程与时间成正比例；工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例。 2. 反比例的意义与判定 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 字母表示：（一定）， 为固定不变的常量。 判定三要素： 两种量相关联，一个变化另一个随之变化； 变化方向相反：一个扩大，另一个反而缩小；一个缩小，另一个反而扩大； 相对应的两个数的乘积始终固定不变。 常见实例：路程一定时，速度与时间成反比例；工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；总价一定时，单价与数量成反比例。 3. 正比例与反比例的核心区别 维度 正比例 反比例 核心定量 比值（商）一定 乘积一定 变化方向 同向变化（同增同减） 反向变化（一增一减） 关系式 （一定） （一定） 图像特征 一条经过原点的直线 一条平滑的曲线 4. 不成比例的常见情况 两个量的和一定或差一定，不成比例； 两个量虽相关联，但比值和乘积都不一定，不成比例； 例：正方形的边长与面积不成比例（面积与边长的平方成正比例）； 例：一个人的身高与体重，不成比例。 四、比例尺 1. 比例尺的定义与意义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 本质：比例尺是一个特殊的比，前项对应图上距离，后项对应实际距离，体现图形缩放的比例关系。 核心公式：。 2. 比例尺的分类 （1）按表现形式分 数值比例尺：用数字形式表示，如 ，读作 “一比一千”，表示图上 1 厘米对应实际 1000 厘米。 线段比例尺：在图上附有一条注有数量的线段，用来表示和实际相对应的距离，如 0_\50\_100 千米，表示图上 1 厘米对应实际 50 千米。 （2）按缩放功能分 缩小比例尺：图上距离小于实际距离，前项为 1，如 ，多用于地图、建筑图纸。 放大比例尺：图上距离大于实际距离，后项为 1，如 ，多用于精密零件图纸、微生物绘图。 注意：比例尺是一个比，不带单位名称；计算时图上距离与实际距离单位必须统一。 3. 三类核心计算 求比例尺：已知图上距离和实际距离，统一单位后作比，化简为前项或后项为 1 的最简整数比。 求图上距离：。 求实际距离：。 4. 图形的放大与缩小 本质：按指定的比将图形的各边对应放大或缩小，形状不变，大小改变。 边长与面积的比例关系： 若图形按 放大，则边长扩大到原来的 倍，周长扩大到原来的 倍，面积扩大到原来的 倍； 若图形按 缩小，则边长缩小到原来的 ，周长缩小到原来的 ，面积缩小到原来的 。 五、比例的应用核心模型 1. 正比例解应用题 题型特征：题目中存在固定不变的比值（单一量），两个量同向变化。 解题步骤： 判断两种相关联的量是否成正比例关系； 设未知数为 ； 根据比值相等列出比例式； 解比例并检验作答。 示例：一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样的速度，5 小时行驶多少千米？ 解析：速度一定，路程与时间成正比例。设 5 小时行驶千米，列比例 ，解得 。 2. 反比例解应用题 题型特征：题目中存在固定不变的乘积（总量），两个量反向变化。 解题步骤： 判断两种相关联的量是否成反比例关系； 设未知数为 ； 根据乘积相等列出比例式； 解比例并检验作答。 示例：一本书每天读 30 页，20 天可以读完；如果每天读 50 页，多少天可以读完？ 解析：总页数一定，每天读的页数与天数成反比例。设天读完，列比例 ，解得 。 3. 比例尺实际应用 地图测距：已知比例尺和图上距离，求实际距离，常用于地理距离测算； 图纸绘图：已知实际尺寸和比例尺，求图上尺寸，常用于工程、机械绘图； 比例尺转换：数值比例尺与线段比例尺的互相转化。 4. 按比例分配的比例解法 将按比例分配问题转化为比例方程求解，核心是 “每份数相等”，设每份为，根据总量列方程，是份数法的方程化表达。 六、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 判断组比例 题型特征：给出四个数，判断能否组成比例，或选出能组成比例的四个数。 解题策略：先将四个数按大小排序，验证最大数 × 最小数是否等于中间两数的积，相等即可组成比例。 拓展：用四个数最多可组成 8 个不同的比例。 解复杂比例方程 题型特征：比例中包含小数、分数、带括号的式子，或分数形式的复杂比例。 解题策略：严格按比例基本性质转化为普通方程，注意运算顺序，计算后代入检验。 比例填空巧算 题型特征：已知比例中的三项，求未知项，或利用比例性质进行变形填空。 解题策略：直接用 “内项积 ÷ 已知外项 = 未知外项”“外项积 ÷ 已知内项 = 未知内项” 快速计算。 （二）基础应用类 归一归总比例解法 归一问题对应正比例，归总问题对应反比例，用比例法解题可避免复杂的单一量计算，思路更直接。 比例尺进阶计算 题型：实际面积计算、线段比例尺转数值比例尺、多幅图不同比例尺对比。 易错提醒：求面积时不能直接用面积乘比例尺，需先算边长再算面积，或用面积比等于比例尺的平方计算。 正反比例判定 题型：判断一组量是否成比例、成正比例还是反比例。 解题策略：先找定量，再看定量是比值还是乘积，对应判断；无法确定定量则不成比例。 （三）进阶奥数核心题型 1. 比例中的不变量问题（奥数核心方法） 当多个量发生变化时，抓住不变的量，以不变量为桥梁建立比例关系求解，分为三类： 和不变：两个量互相转移，总量固定，如甲乙两仓库存货互调、溶液混合前后总质量不变。 差不变：两个量同增同减相同数量，差值固定，如年龄问题、同增同减的数量问题。 单量不变：其中一个量始终不变，另一个量变化，如班级男生人数不变，女生人数变化。 解题步骤：① 找出不变量；② 统一不变量的份数；③ 匹配变化量的份数差与实际数量差；④ 求出每份对应量，计算最终结果。 2. 行程问题中的比例应用 利用路程、速度、时间的正反比例关系，无需计算具体数值即可快速解题，是奥数行程题的核心技巧： 时间相同，路程比 = 速度比； 速度相同，路程比 = 时间比； 路程相同，速度比 = 时间的反比。 高频场景：相遇问题按速度比分配总路程，追及问题用速度比求时间比，往返路程相同用时间反比求速度比。 3. 工程问题中的比例应用 工作时间相同，工作总量比 = 工作效率比； 工作总量相同，工作效率比 = 工作时间的反比。 常考场景：多人合作效率比分配工作量、交替工作的时间比例换算、效率变化后的时间变化计算。 4. 浓度配比问题（十字交叉法） 题型特征：两种不同浓度的溶液混合，求混合后的浓度，或求两种溶液的配比。 解题方法：十字交叉法，本质是比例关系的应用，混合前两种溶液的质量比，与浓度差成反比。 5. 几何中的比例应用 边长比与周长比、面积比、体积比的换算； 等高三角形：面积比等于底边长的比； 等底三角形：面积比等于高的比。 （四）拓展提升类 复比与连比应用 复比：两个或多个比对应项相乘组成的新比，常用于多变量的比例问题。 多量化连比：通过中间量统一份数，将多个两量比转化为连比，进行多量按比例分配。 比例错中求解 题型特征：看错比例的内项外项、看错数字、算错比值，得到错误结果，求正确答案。 解题策略：抓住不变量，从错误比例中倒推求出未知量，再代入正确比例计算。 比例方案优化 题型特征：多种方案、不同配比，求最低成本、最大收益、最优调配方案。 解题策略：分别计算不同配比下的结果，结合比例关系寻找临界点，确定最优区间。 复杂正反比例综合题 题型：多个量联动变化，存在多个定量，需分步判断正反比例，逐层求解。 解题策略：拆分问题，依次确定每一组量的比例关系，逐步推导最终结果。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 比与比例混淆：误将两个数的比当作比例，或混淆比的性质与比例的基本性质。 内项外项搞反：分数形式的比例中，错误判断内项与外项，导致交叉相乘顺序错误。 正反比例判断错误： 误认为相关联的量就一定成比例，忽略 “比值 / 乘积一定” 的核心条件； 圆的周长与半径成正比例，但圆的面积与半径不成比例（与半径的平方成正比例）； 正方形的周长与边长成正比例，但正方形的面积与边长不成比例。 比例尺前后项颠倒：放大比例尺误写成前项为 1，缩小比例尺误写成后项为 1。 2. 计算类易错点 解比例计算失误：转化为方程时乘错项、移项变号错误、小数分数计算偏差。 比例尺单位不统一：图上距离用厘米、实际距离用千米，未换算直接计算，导致结果数量级错误。 面积缩放比例错误：图形放大缩小时，误将面积比等同于边长比，正确应为面积比是边长比的平方。 比例性质误用：合比、分比定理使用时，错误改变分母，或等比定理忽略分母和不为 0 的前提。 3. 应用类易错点 正反比例用反：明明是反比例的题，列成了正比例的比例式，或反之；核心是先找定量，再判断是商一定还是积一定。 设未知数对应错误：列比例时，前后项的对应关系不一致，比如左边是 “路程：时间”，右边变成 “时间：路程”。 不变量份数统一错误：统一不变量时，计算最小公倍数出错，或变化量的份数增减计算错误。 行程比例方向错误：路程一定时，误用速度的正比关系，正确应为时间与速度成反比。 结果未检验：解完比例不代入验证，导致明显的计算错误无法及时发现。 培优练习 一、选择题 1．若（a、b、c、d均大于0），则下面四个比例中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比例的基本性质是“两内项之积等于两外项之积”，已知ab＝cd（a、b、c、d均大于0），需判断选项中比例的内、外项积是否为ab＝cd。 【详解】A．a∶b＝c∶d（a、b、c、d均大于0），内项积是b×c，外项积是a×d，即bc＝ad，与ab＝cd不符，错误。 B．b∶d＝a∶c（a、b、c、d均大于0），内项积是d×a，外项积是b×c，即ad＝bc，与ab＝cd不符，错误。 C．a∶d＝b∶c（a、b、c、d均大于0），内项积是d×b，外项积是a×c，即ac＝bd，与ab＝cd不符，错误。 D．d∶a＝b∶c（a、b、c、d均大于0），内项积是a×b，外项积是d×c，即ab＝cd，与ab＝cd相同，正确。 所以比例正确的是d∶a＝b∶c。 故答案为：D 2．下面不能与2、3、4组成比例的数是（    ）。 A． B．1.5 C．6 D．5 【答案】D 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；据此解答。 【详解】2×3÷4 ＝6÷4 ＝1.5 2×4÷3 ＝8÷3 ＝ 3×4÷2 ＝12÷2 ＝6 所以，或1.5或6都能与2、3、4组成比例，不能与2、3、4组成比例的是5。 故答案为：D 3．一种消毒液按“原液∶水＝1∶150”配制。现有3000毫升水，需原液（    ）毫升。 A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】已知消毒液按“原液∶水＝1∶150”配制，这意味着原液的量与水的量的比值是固定的，所以原液的量与水的量成正比例关系。设需要原液x毫升，现有3000毫升水，根据比例关系可列出比例式：x∶3000＝1∶150，然后根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，解比例即可。 【详解】解：设需要原液x毫升。 x∶3000＝1∶150 150x＝3000×1 150x＝3000 x＝3000÷150 x＝20 需原液20毫升。 故答案为：C 4．甲、乙两个长方体容器底面积比为3∶2，分别倒入相同体积的水后，甲容器水深10厘米，乙容器水深（    ）厘米。 A．15厘米 B．12厘米 C．8厘米 D．5厘米 【答案】A 【分析】设乙容器水深为x厘米。长方体体积公式为V＝S×h（S为底面积，h为水深）。已知甲、乙两个长方体容器底面积比为3∶2，把甲容器底面积看作3，乙容器底面积看作2。因为倒入的水体积相同，甲容器水深10厘米，所以甲容器中水的体积等于乙容器中水的体积，即3×10＝2x，然后解方程即可。 【详解】解：设乙容器水深为x厘米。 甲、乙两个长方体容器底面积比为3∶2，把甲容器底面积看作3，乙容器底面积看作2。 3×10＝2x 2x＝30 x＝30÷2 x＝15 乙容器水深15厘米。 故答案为：A 5．笑笑读一本书，已读页数和全书页数的比为2∶5，已读30页，还有x页没读。下面所列比例正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，根据已读页数∶全书页数＝已读页数∶全书页数，即可列出比例，据此逐项分析即可。 【详解】A．，已读页数∶全书页数≠已读页数∶没读页数，比例错误； B．，比的前项和后项是份数，（5－x）是全书份数－没读页数，无意义，比例错误； C．，已读页数∶全书页数≠没读页数∶已读页数，比例错误； D．，已读页数∶全书页数＝已读页数∶全书页数，比例正确。 所列比例正确的是。 故答案为：D 6．太行大峡谷位于安阳林州市境内，景物奇秀，为世所称。程程到太行大峡谷游玩，他想将拍下的一处美景做成长与宽之比为5∶3的照片放进匹配的长方形相框。相框的长是25cm，宽是（    ）cm。 A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【分析】将宽设为未知数，再根据长与宽之比是5∶3列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以5，解出x。 【详解】解：设宽是xcm。 25∶x＝5∶3 5x＝25×3 5x＝75 5x÷5＝75÷5 x＝15 所以，宽是15cm。 故答案为：C 二、填空题 7．甲仓库存粮的和乙仓库存粮数的相等，甲仓库存粮数和乙仓库存粮数的比是( )。 【答案】 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法；由题意可知：甲仓库存粮×＝乙仓库存粮×，根据比例的基本性质：内项积等于外项积，将乘法等式改写成比例的形式，求出甲仓库存粮数和乙仓库存粮数的比。 【详解】因为甲仓库存粮×＝乙仓库存粮× 所以甲仓库存粮∶乙仓库存粮＝∶ ∶ ＝∶ ＝9∶8 所以甲仓库存粮数和乙仓库存粮数的比是9∶8 8．在一个比例中，两个外项的积是最小的合数，一个内项是0.5，另一个内项是( )。 【答案】 【分析】比例的基本性质是两个外项的积等于两个内项的积，最小的合数是4，用4除以已知内项得出另一个内项。 【详解】4÷0.5＝8 9．若5a＝7b（a、b均不为0），则a∶b＝( )∶( )。 【答案】 7 5 【分析】比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。因为5a＝7b，那么a是外项时，5是另一个外项；b是内项时，7是另一个内项。据此填空。 【详解】若5a＝7b（a、b均不为0），则a∶b＝7∶5。 10．已知，则x∶y＝( )∶( )（填最简整数比）。 【答案】 5 8 【分析】比例的基本性质，两外项之积等于两内项之积，把和x看作两个外项，把和y看作两个内项，然后把写成比例的形式，化简后求出x∶y的最简整数比。 【详解】因为，所以x∶y＝∶＝（×12）∶（×12）＝5∶8 11．若m＝5n（m、n非0自然数），m、n最大公因数是( )，最小公倍数是( )，m∶n＝( )∶( )。 【答案】 n m 5 1 【分析】已知m等于5乘n，说明m是n的倍数，当两个非0自然数存在倍数关系时，较小数是两者的最大公因数，较大数是两者的最小公倍数。再根据比例的基本性质，将乘积相等的等式转化成对应比例。 【详解】m＝5n，所以m是n的倍数，m＞n，m、n最大公因数是n，最小公倍数是m，m∶n＝5∶1。 12．某班学生不超过50人，其中男生有a人，女生有b人，且满足。这个班男生与女生的人数比是( )，则这个班最多有学生( )人。 【答案】 7∶8 45 【分析】根据比例的基本性质将等式改写成比例，即可得出男生与女生的人数之比，再用比的基本性质化成最简整数比。 将男、女生人数的最简整数比看作份数，把男、女生的份数相加，人数必须是份数之和的倍数，且不超过50。 【详解】，则a∶b＝∶＝（×14）∶（×14）＝7∶8。 把男生人数看作7份，女生人数就是8份，全班共7＋8＝15份。 班级人数是15的倍数，15的倍数：15，30，45，60，…… 学生不超过50人，所以最多有45人。 13．如果3a＝4b，那么a∶b＝( )，a和b成( )比例；当＝y时，x和y成( )比例。 【答案】 4∶3 正 反 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，把3a＝4b写成比例的形式；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为3a＝4b，所以a∶b＝4∶3； a∶b＝4∶3＝4÷3＝（一定），比值一定，所以a和b成正比例； 当＝y时，xy＝4（一定），乘积一定，所以x和y成反比例。 14．一个比例的两个外项分别是2和5，其中一个内项是4，另一个内项是( )。 【答案】2.5// 【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，先求出外项的积，再用外项的积除以4即可。 【详解】（或或） 一个比例的两个外项分别是2和5，其中一个内项是4，另一个内项是2.5（或或）。 15．若3a＝5b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，若b＝15，则a＝( )。 【答案】 5 3 25 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，把3a＝5b改写成比例式，一个外项是a，内项是b的比例，则和a相乘的数3就作为比例的另一个外项，和b相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出比例。 把b＝15代入3a＝5b，解比例，即可求出a的值。 【详解】由3a＝5b，可得a∶b＝5∶3； 当b＝15时，则： 3a＝5×15 解：3a＝75 3a÷3＝75÷3 a＝25 因此，若3a＝5b（a、b均不为0），那么a∶b＝5∶3，若b＝15，则a＝25。 16．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是( )厘米。 【答案】6.2 【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把爸爸和王丹阳的实际身高都换算成以厘米为单位，再把照片上爸爸的身高设为x厘米，根据爸爸照片上的身高∶爸爸实际的身高＝王丹阳照片上的身高∶王丹阳实际的身高列出比例，最后根据比例的基本性质解出比例即可。 【详解】1.65米＝165厘米 1.86米＝186厘米 解：设照片上爸爸的身高是x厘米。 x∶186＝5.5∶165 165x＝186×5.5 165x＝1023 x＝1023÷165 x＝6.2 王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是6.2厘米。 三、判断题 17．若甲＝乙×3，则甲与乙的比是6∶1。( ) 【答案】√ 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，可求出甲和乙的比。 【详解】已知甲＝乙×3，根据比例的基本性质可得： 甲∶乙＝3∶＝（3×2）∶（×2）＝6∶1 故答案为：√ 18．1∶2和7∶15能组成比例。( ) 【答案】× 【分析】分别求出两个比的比值，比较是否相等即可判断能不能组成比例。 【详解】1∶2＝1÷2＝ 7∶15＝7÷15＝ ＞ 即＞ 所以1∶2和7∶15不能组成比例，原题说法错误。 故答案为：× 19．在比例里，两个外项的积除以两个内项的积，商是1。( ) 【答案】 √ 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。既然积相等，那么用两个外项的积除以两个内项的积（积不为0），商一定是1。据此判断即可。 【详解】设比例为，则两个外项的积为，两个内项的积为，因为，且比例中的项不为0，所以。 即两个外项的积除以两个内项的积，商是1，原题说法正确。 故答案为：√ 20．在比例4∶16＝6∶24中，如果将前一个比的前项加上8，要使比例成立，那么后一个比的后项应除以2。 ( ) 【答案】 × 【分析】利用比例的基本性质，即两个内项的积等于两个外项的积，计算前项变化后后一个比的后项的正确值，再判断说法是否正确。 【详解】变化后的前一个比的前项： 两个内项的积： 变化后后一个比的后项应为： 24÷3＝8，即后一个比的后项应除以3，不是除以2。 故答案为：× 21．在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是。( ) 【答案】× 【分析】运用比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。最小的质数是2，也就是两个外项乘积是2，所以两个内项乘积也等于2。已知其中一个内项，利用“内项积÷一个内项＝另一个内项”计算。 【详解】最小的质数是2，一个内项是 另一个内项为： 故答案为：× 22．在一个比例中，两个内项的积与两个外项的积，差为0，商为1。( ) 【答案】√ 【解析】比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，据此解答即可。 【详解】两内项之积等于两外项之积，所以差为0，商为1，说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题考查比例的基本性质，解答本题的关键是掌握比例的基本性质。 四、计算题 23．解方程或解比例。          x∶9＝0.3∶8.1         【答案】x＝5；x＝；x＝1.11 【分析】先化简，再根据等式的性质，方程两端同时除以0.1，算出方程的解。 根据比例的基本性质，把比例改写为8.1x＝9×0.3的形式，再根据等式的性质求解。 根据比例的基本性质，把比例改写为7x＝2.1×3.7的形式，再根据等式的性质求解。 【详解】x－90% x ＝ 解：x－0.9 x＝0.5 0.1x＝0.5 0.1x÷0.1＝0.5÷0.1 x＝5 x∶9＝0.3∶8.1 解：8.1x＝9×0.3 8.1x＝2.7 8.1x÷8.1＝2.7÷8.1 x＝ x＝ 解：7x＝2.1×3.7 7x＝7.77 7x÷7＝7.77÷7 x＝1.11 24．解方程（或比例）。     0.75x－8＝4     【答案】；； 【分析】（1）先根据乘法分配律逆运算将方程左边进行化简，将方程化为，再根据等式的性质，两边同时除以即可； （2）根据等式的性质1，方程两边同时加上8，再根据等式性质2，方程两边同时除以 0.75即可； （3）根据比例的基本性质：内项积等于外项积，把比例转化为，化简后再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【详解】 解： （2） 解： （3） 解： 五、解答题 25．乐乐调制两杯蜂蜜水，第一杯中放了15克蜂蜜和300克水，第二杯中有水400克。如果按第一杯中蜂蜜和水的比例调制，应在第二杯中加入蜂蜜多少克？ 【答案】20克 【分析】按第一杯的比例调制，说明两杯蜂蜜水中蜂蜜与水的比值相等，据此列比例求解即可。 【详解】解：设应在第二杯中加入蜂蜜克。 答：应在第二杯中加入蜂蜜20克。 26．工厂需要加工630个零件，前8天共加工了280个零件，照这样计算，加工完这批零件还需要几天？（用比例知识解答） 【答案】10天 【分析】工作总量÷工作时间＝工作效率（一定），则加工280个零件∶8天＝剩下未加工的零件数∶还需要的天数，据此列比例求还需要加工的天数。 【详解】解：设加工完这批零件还需要天。 答：加工完这批零件还需要10天。 27．王爷爷要给新建的一座房子的地面铺地砖，若用边长为0.8米的方砖铺地面，正好需要36块，若用边长为6分米的方砖铺地面，需要多少块？（用比例解答） 【答案】 64块 【分析】先统一长度单位，由于房子地面的总面积固定，所以每块方砖的面积越大，所需块数越少，因此每块方砖的面积和所需块数成反比例关系。再根据反比例中两个量的乘积相等列等式，利用等式的性质2，等式的两边同时除以36，即可求解。 【详解】米＝8分米 解：设需要块边长为6分米的方砖。 答：需要64块。 28．学校校园平面示意图的比例尺是，量得“教学楼A”到“教学楼B”的图上距离为6厘米。聪聪制作的AI智能小车每分钟能行驶约12.5米，则AI智能小车从“教学楼A”到“教学楼B”需要多少时间？ 【答案】21.6分钟 【分析】根据比例尺的定义“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及行程问题公式“时间＝路程÷速度”。首先根据图上距离和比例尺求出实际距离，注意将单位由厘米换算成米，再代入速度即可求出时间。 【详解】6×4500＝27000（厘米） 27000厘米＝270米 270÷12.5＝21.6（分钟） 答：AI智能小车从“教学楼A”到“教学楼B”需要21.6分钟。 29．小明在某个晴天的上午利用卷尺和2米长的竹竿测量学校旗杆的高度，他将竹竿直立在学校旗杆的旁边，量得竹竿的影长是1.6米，同一时刻测得旗杆的影长是9.6米，求旗杆的高度。（用比例解答） 【答案】12米 【分析】根据同一时刻、同一地点物体的实际长度与它的影长的比值一定，那么物体的实际长度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设旗杆的高度米。 2∶1.6＝∶9.6 1.6＝2×9.6 1.6＝19.2 ＝19.2÷1.6 ＝12 答：旗杆的高度12米。 30．赵爷爷准备用自己多年的积蓄9900元资助某地灾区的失学儿童，他先拿出540元资助了3名失学儿童。照这样计算，剩下的钱还可以资助多少名失学儿童？（用比例知识解决） 【答案】52名 【分析】根据照这样计算，资助每个失学儿童的钱数一定，即资助的钱数与被资助的失学儿童的人数的比值是一定的，二者成正比例，设出未知数，列出比例方程解答即可。 【详解】解：设剩下的钱还可以资助x名失学儿童。 （9900－540）∶x＝540∶3 540x＝（9900－540）×3 540x＝9360×3 540x＝28080 540x÷540＝28080÷540 x＝52 答：剩下的钱还可以资助52名失学儿童。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $