第六单元 比例尺（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

第六单元 比例尺（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 比例尺的定义与本质 一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。本质是对图形缩放程度的量化标准，是比的知识在几何与生活场景中的典型应用，也是连接图上尺寸与真实尺寸的核心桥梁。 核心本质：比例尺是一个长度比，只对应线段长度的缩放比例，不直接对应面积、体积的缩放。 核心公式： 书写规范：比例尺通常写成前项或后项为 1 的最简整数比，不带单位名称。 2. 各部分对应关系 前项：对应图上距离，代表图纸上的长度； 后项：对应实际距离，代表真实物体的长度； 比值：代表图上长度是实际长度的几分之几（缩小比例尺）或几倍（放大比例尺）。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是 “比和比例” 单元的核心应用小节，衔接图形放大缩小、比例方程、几何计算等知识，是小学几何与代数结合的重要考点。 奥数价值：通过长度、面积的比例换算，强化比例思维、单位换算能力与综合应用能力，常与行程、工程、几何面积结合出题，是小升初高频考点。 二、比例尺的分类 1. 按表现形式分类 （1）数值比例尺 用数字形式直接表示的比例尺，如 ，读作 “一比一千”。 含义：图上 1 份长度对应实际 1000 份长度；例： 表示图上 1 厘米对应实际 1000 厘米（即 10 米）。 特点：精准严谨，便于计算，是数学题中最常见的形式。 （2）线段比例尺 在图上附有一条标注数量的线段，直观表示图上距离与实际距离的对应关系。 示例：0 50 100 150千米，表示图上 1 厘米对应实际 50 千米。 特点：直观易懂，多用于地图、工程图纸；每一段线段对应 1 厘米图上距离，读取时需看清单段代表的实际长度。 2. 按缩放功能分类 （1）缩小比例尺 图上距离小于实际距离，前项为 1，形式为 （）。 应用场景：地图、建筑图纸、城市规划图等，将大尺寸物体缩小画在图纸上。 示例： 表示图上 1 厘米对应实际 2000 厘米，实际尺寸更大。 （2）放大比例尺 图上距离大于实际距离，后项为 1，形式为 （）。 应用场景：精密零件图纸、微生物绘图等，将微小物体放大绘制。 示例： 表示图上 10 毫米对应实际 1 毫米，图上尺寸更大。 易错提醒：放大比例尺后项为 1，缩小比例尺前项为 1，顺序不可颠倒。 三、核心计算公式与单位换算 1. 三类核心互算公式 求比例尺： 求图上距离： 求实际距离： 2. 核心单位换算（高频易错点） 比例尺计算中，图上距离通常用厘米作单位，实际距离常用米、千米作单位，单位统一是计算正确的前提。 长度进率： ， 快速换算：千米转厘米，直接在数字后加 5 个 0；厘米转千米，直接去掉 5 个 0。 例：5 千米 = 500000 厘米，3000000 厘米 = 30 千米。 3. 标准计算四步走 看形式：明确是数值比例尺还是线段比例尺，线段比例尺先转化为数值比例尺； 统单位：将图上距离与实际距离统一为相同单位（通常统一为厘米）； 代公式：根据已知条件选择对应公式，代入数值计算； 转单位：根据题目要求，将结果转换为合适的单位作答。 四、比例尺的基本性质与化简 1. 比例尺的化简依据 比例尺本质是一个比，因此完全遵循比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0 的数，比值不变。 化简目标：化为最简整数比，通常缩小比例尺前项化为 1，放大比例尺后项化为 1。 2. 比例尺的变化规律 若图上距离不变，实际距离扩大 n 倍，比例尺缩小到原来的； 若实际距离不变，图上距离扩大 n 倍，比例尺也扩大到原来的 n 倍； 比例尺的前后项同时扩大或缩小相同倍数，比例尺的意义不变，只是表现形式不同。 3. 比例尺的反向理解 已知比例尺，可直接推导： 实际距离是图上距离的倍； 图上距离是实际距离的。 该结论可用于快速估算，无需分步计算。 五、基础应用题型与解法 1. 数值比例尺与线段比例尺互化 线段转数值：先读出 1 厘米图上距离对应的实际长度，统一单位后写成比的形式，化简为前项为 1 的比。 例：线段比例尺 1cm 对应 50km，50km=5000000cm，数值比例尺为。 数值转线段：将后项的厘米数转化为米或千米，画出 1 厘米线段标注对应实际距离即可。 2. 已知比例尺和图上距离，求实际距离 方法一：公式法，直接用 “图上距离 ÷ 比例尺”，注意单位换算； 方法二：份数法，1 份图上对应 n 份实际，图上距离 ×n = 实际距离； 方法三：比例法，设实际距离为，列比例式 “图上距离:= 比例尺” 求解。 3. 已知比例尺和实际距离，求图上距离 方法一：公式法，实际距离 × 比例尺 = 图上距离； 方法二：份数法，实际距离 ÷n = 图上距离； 解题关键：先将实际距离换算为厘米，再代入计算，避免单位错误。 4. 已知图上距离和实际距离，求比例尺 解题步骤：① 统一单位；② 写成 “图上：实际” 的比；③ 化简为前项（或后项）为 1 的最简整数比。 易错提醒：顺序不可颠倒，必须是图上距离在前，实际距离在后。 六、奥数进阶题型与解题策略 （一）比例尺与周长、面积的关系（奥数核心考点） 1. 核心规律 比例尺是长度比，因此： 图上周长：实际周长 = 比例尺（长度比）； 图上面积：实际面积 = 比例尺的平方，即若比例尺为，面积比为。 放大比例尺同理：若比例尺为，面积比为。 2. 常见考法与解题策略 正向求面积：已知比例尺和图上面积，求实际面积。 解题：实际面积 = 图上面积 × 后项的平方，注意面积单位是平方单位，进率为长度进率的平方。 反向求比例尺：已知图上面积和实际面积，求比例尺。 解题：先算面积比，再开平方得到长度比，即为比例尺。 典型易错：直接用 “图上面积 ÷ 比例尺” 求实际面积，正确应为除以比例尺的平方。 （二）复合比例尺（多次缩放问题） 题型特征：物体先按一个比例尺绘制，再对图纸进行放大或缩小，求最终的实际比例尺；或已知两次缩放比例，求总缩放效果。 解题策略： 将每次的比例尺都转化为 “图上：实际” 的分数形式； 多次缩放时，总比例尺为各次比例尺的乘积（统一对应关系后相乘）； 最终结果化为最简整数比。 示例：先按绘制图纸，再将图纸按放大，最终比例尺 = ，即。 （三）多幅图比例尺对比问题 题型特征：同一段实际距离，在两幅不同比例尺的地图上图上距离不同；或同一张图上，不同物体的实际尺寸对比。 解题策略： 实际距离相同时，图上距离与比例尺成正比；比例尺越大，图上距离越长。 图上距离相同时，实际距离与比例尺成反比；比例尺越小，代表的实际距离越长。 奥数应用：无需计算具体数值，直接通过比例关系判断长短、大小。 （四）比例尺与实际问题综合 1. 比例尺与行程问题结合 题型：在地图上量得两地距离，已知比例尺和交通工具速度，求行驶时间；或已知时间求速度。 解题步骤：① 根据比例尺算出实际路程；② 利用 “路程 ÷ 速度 = 时间” 等行程公式计算。 易错点：路程单位与速度单位不统一，需先换算再计算。 2. 比例尺与面积应用题结合 题型：地图上量得长方形地块的长和宽，已知比例尺，求实际面积、实际周长，或结合单价求总价（如铺地砖、种庄稼）。 解题策略：方法一，先算实际长和宽，再算实际面积；方法二，先算图上面积，再乘比例尺平方得实际面积。推荐方法一，更不易错。 3. 精密零件放大比例尺专项 题型：精密零件图纸用放大比例尺，已知图上尺寸求实际尺寸，或已知实际尺寸画图上尺寸。 解题关键：牢记放大比例尺后项为 1，图上尺寸＞实际尺寸；计算时避免与缩小比例尺搞反，可用 “实际小、图上大” 的常识验证结果。 （五）拓展提升类 1. 比例尺中的错中求解 题型：看错比例尺的前后项、看错单位，算错实际 / 图上距离，求正确结果。 解题策略：抓住不变量（如正确的实际距离），从错误的计算中先求出不变量，再代入正确比例尺计算。 2. 不规则图形的实际面积估算 题型：地图上不规则图形（如湖泊、地块），已知比例尺，估算实际面积。 解题方法：方格估算法，数格子（满格算 1，不满格算半格）得到图上面积，再通过面积比换算为实际面积。 3. 比例方程解复杂比例尺问题 题型：涉及多个未知量、比例关系复杂的题目。 解题策略：设未知数，根据 “图上距离：实际距离 = 比例尺” 列出比例方程，用比例的基本性质解比例，思路清晰不易错。 七、核心解题方法汇总 单位统一法：计算前先统一单位，是所有比例尺题的前提。 份数法：将比例尺看作份数比，通过 1 份的量快速计算总量，适合口算与速算。 比例方程法：设未知数列比例式，用比例基本性质求解，适合复杂题型。 倍数关系法：利用长度倍、面积平方倍的规律，快速判断缩放效果，无需精确计算。 验证法：计算后用 “缩小比例尺实际更大、放大比例尺图上更大” 的常识验证结果合理性。 八、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 前后项颠倒：误将 “实际距离：图上距离” 当作比例尺，正确顺序是图上距离在前、实际距离在后。 长度面积混淆：误认为面积比等于比例尺，正确应为比例尺的平方，是最高频易错点。 放大缩小混淆：分不清和哪个是放大、哪个是缩小；记住 “前项是图上，前项大就是放大”。 线段比例尺读错：误将整条线段的总长度当作 1 厘米对应量，正确是每一小段代表 1 厘米图上距离。 2. 计算类易错点 单位不统一：图上用厘米、实际用千米，未换算直接计算，导致结果数量级偏差极大。 单位进率记错：千米与厘米的进率误记为 1000，正确是 100000（5 个 0）。 面积单位换算错误：面积单位进率是长度单位的平方，如 1 平方千米 = 10000000000 平方厘米，易少算 0。 化简不彻底：求比例尺时未化为最简整数比，或未化成前项 / 后项为 1 的标准形式。 3. 应用类易错点 行程问题单位错配：实际距离算出来是厘米，直接除以千米 / 小时的速度，未统一单位。 长方形面积直接乘比例尺：先算图上面积再直接乘比例尺，正确应先算实际长宽再算面积，或乘比例尺平方。 零件题算反结果：放大比例尺求实际尺寸，结果算得比图上还大，明显不符合常识，需反向验证。 忽略比例尺的单位前提：数值比例尺没有单位，必须结合长度单位才有实际意义，不可脱离单位谈大小。 培优练习 一、选择题 1．一个零件的实际长度是7mm，在图上量得的长度是3.5dm。这幅图的比例尺是（    ）。 A．5∶1 B．1∶5 C．1∶2 D．50∶1 2．中山路小学的校园是一个长方形，长240m，宽180m，丽丽绘制了一张校园平面图，平面图上的长为24cm，则这张校园平面图的比例尺为（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 3．在比例尺是5∶1的图纸上，量得齿轮的直径是2厘米，这个齿轮的直径实际长度是（    ）厘米。 A．0.04 B．0.4 C．4 D．10 4．要把一个长100米、宽50米的长方形操场平面图画在作业本上，选择合适的比例尺是（    ）。 A．1000∶1 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 5．在比例尺是10∶1的图纸上，量得一个零件的长是1.8厘米，这个零件的实际长度是（    ）厘米。 A．0.018 B．0.18 C．1.8 D．180 6．华为“麒麟980”是中国最新一代芯片，是世界上第一个采用台积电7纳米工艺制造的商用手机SOC芯片组。在一次产品发布会上，按40∶1的比例尺展示了“麒麟980的外形图片，该图片边长是70厘米。“麒麟980”实际的边长是（    ）毫米。 A．1.75 B．17.5 C．175 D．280 二、填空题 7．学校操场长300米，宽150米。小明图纸上用的比例尺是，写成数值比例尺是___________。 8．“上海天文馆”是目前全球最大的天文馆之一，其主体建筑中有一个巨大的球形投影幕墙，在1∶2000的设计图纸上，该球形幕墙的底面直径为25cm。它的实际底面直径是________m。 9．王师傅把一个长4毫米的精密电子零件画在图纸上，量得该零件在图上的长度为24厘米，这张图纸的比例尺是( )。 10．一个体育场的长是330m，它在一幅图纸上的长是66cm，这幅图纸的比例尺是( )，这个体育场在这幅图纸上的宽是45cm，实际的宽是( )m。 11．一种机器零件，横截面是环形，外直径是8毫米，画在图纸上的长度是4厘米。这张图纸的比例尺是( )。 12．“天下大事必作于细”，工匠精神是社会文明进步的重要尺度，是中国制造前行的精神源泉。某精密零件的长是2毫米，为了保证加工精度，将其画在图纸上，量得长度为10厘米。这张图纸的比例尺是( )。 13．六（1）班学生李囡囡参加了“传承红色基因，描绘魅力阿荣”的书画比赛。她画了一幅画，用8cm的线段表示实际长度1600m。这幅画的比例尺是( )。 14．大余曾举办“奔跑大余  勇毅前行”马拉松越野赛，全程约为56千米，已知地图上量得马拉松全程距离为25厘米，这张地图的比例尺为( )。 15．一幅地图的线段比例尺为，改写成数值比例尺是( )。在图中量得甲、乙两地的距离是2.4厘米，甲、乙两地实际相距( )千米。 16．把一个长方形操场画在比例尺是1∶200的平面图上，这个操场的实际周长是图上周长的( )倍，实际面积是图上面积的( )倍。 三、判断题 17．某零件长5.4mm，画在图纸上长27cm，这幅图的比例尺是5∶1。( ) 18．图上距离总比实际距离小。( ) 19．一幅北京地图的比例尺是，一幅武汉地图的比例尺是，武汉地图的比例尺比北京地图的比例尺大。( ) 20．在一幅地图上，用5分米的线段表示实际长度250厘米，这幅地图的比例尺是。( ) 21．一幅地图的比例尺是cm。( ) 22．一条长8.4千米的公路，在比例尺是1∶6000的地图上应画14厘米。( ) 四、作图题 23．汽车站开设了一条市内旅游专线。请根据相关信息填一填，画一画。 (1)旅游大巴车从汽车站出发，向( )行驶( )km到达科技馆。海洋馆在科技馆( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (2)旅游大巴车从海洋馆出发，向东偏北30°方向行驶20km，就到达了终点站植物园。请在图中画出植物园的位置。 (3)如果将这条旅游专线画在比例尺为1∶200000的地图上，植物园到海洋馆的图上距离是( )cm。 24．2022年6月5日10时44分，“神舟十四号”载人飞船开启了“天宫”空间站的新纪元，距地380千米高度的“天宫”空间站即将成型，我国的载人航天事业将正式进入“空间站”时代。请在下图中画出我国空间站距离地面的位置。 五、解答题 25．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是5.4厘米，则甲地到乙地的实际距离是多少千米？ 26．实验小学东、西校区之间的实际距离是1080米，画在图纸上是16厘米，要在这两个校区之间修一座桥，在同样的图纸上测量是2厘米，这座桥实际长多少米？ 27．乐乐一家准备乘坐新能源出租车出去游玩，出发前乐乐在一幅比例尺是1∶300000的地图上量得他家与目的地的距离是5.8厘米。请你算一算，乐乐一家从家出发到达目的地需要花多少元车费？ 新能源出租车收费标准 3千米以内（包含3千米） 9.00元 超过3千米 （不足1千米按照1千米计算） 每千米2.20元 28．港珠澳大桥是连接中国香港、珠海和澳门的世界最长跨海大桥。在一幅比例尺是的地图上，量得港珠澳大桥的图上距离是5cm。如果一辆汽车以平均每小时75千米的速度过桥，通过港珠澳大桥大约需要多少时间？ 29．两幅不同的地图，第一幅的比例尺是1∶300000，量得甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是1.8厘米，在第二幅的图上距离2.7厘米。请根据以上信息，完成下面各题。 (1)算出甲乙两地实际距离。 (2)计算第二幅地图的比例尺。 (3)如果哥哥想从甲地到乙地参加活动，请结合题目中的信息，还有你周围的实际交通情况，为哥哥推荐比较合适的出行方式，并说明理由。 ①步行约60米/分；②骑共享单车约200米/分；③开私家车约900米/分。 30．甲、乙两车分别从两地同时相对开出，甲车每小时行80千米，乙车速度是甲车的。经过3小时两车相遇。 (1)两地相距多少千米？ (2)两地的距离画在比例尺是1∶2000000的地图上，应该画多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 比例尺（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 比例尺的定义与本质 一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。本质是对图形缩放程度的量化标准，是比的知识在几何与生活场景中的典型应用，也是连接图上尺寸与真实尺寸的核心桥梁。 核心本质：比例尺是一个长度比，只对应线段长度的缩放比例，不直接对应面积、体积的缩放。 核心公式： 书写规范：比例尺通常写成前项或后项为 1 的最简整数比，不带单位名称。 2. 各部分对应关系 前项：对应图上距离，代表图纸上的长度； 后项：对应实际距离，代表真实物体的长度； 比值：代表图上长度是实际长度的几分之几（缩小比例尺）或几倍（放大比例尺）。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：是 “比和比例” 单元的核心应用小节，衔接图形放大缩小、比例方程、几何计算等知识，是小学几何与代数结合的重要考点。 奥数价值：通过长度、面积的比例换算，强化比例思维、单位换算能力与综合应用能力，常与行程、工程、几何面积结合出题，是小升初高频考点。 二、比例尺的分类 1. 按表现形式分类 （1）数值比例尺 用数字形式直接表示的比例尺，如 ，读作 “一比一千”。 含义：图上 1 份长度对应实际 1000 份长度；例： 表示图上 1 厘米对应实际 1000 厘米（即 10 米）。 特点：精准严谨，便于计算，是数学题中最常见的形式。 （2）线段比例尺 在图上附有一条标注数量的线段，直观表示图上距离与实际距离的对应关系。 示例：0 50 100 150千米，表示图上 1 厘米对应实际 50 千米。 特点：直观易懂，多用于地图、工程图纸；每一段线段对应 1 厘米图上距离，读取时需看清单段代表的实际长度。 2. 按缩放功能分类 （1）缩小比例尺 图上距离小于实际距离，前项为 1，形式为 （）。 应用场景：地图、建筑图纸、城市规划图等，将大尺寸物体缩小画在图纸上。 示例： 表示图上 1 厘米对应实际 2000 厘米，实际尺寸更大。 （2）放大比例尺 图上距离大于实际距离，后项为 1，形式为 （）。 应用场景：精密零件图纸、微生物绘图等，将微小物体放大绘制。 示例： 表示图上 10 毫米对应实际 1 毫米，图上尺寸更大。 易错提醒：放大比例尺后项为 1，缩小比例尺前项为 1，顺序不可颠倒。 三、核心计算公式与单位换算 1. 三类核心互算公式 求比例尺： 求图上距离： 求实际距离： 2. 核心单位换算（高频易错点） 比例尺计算中，图上距离通常用厘米作单位，实际距离常用米、千米作单位，单位统一是计算正确的前提。 长度进率： ， 快速换算：千米转厘米，直接在数字后加 5 个 0；厘米转千米，直接去掉 5 个 0。 例：5 千米 = 500000 厘米，3000000 厘米 = 30 千米。 3. 标准计算四步走 看形式：明确是数值比例尺还是线段比例尺，线段比例尺先转化为数值比例尺； 统单位：将图上距离与实际距离统一为相同单位（通常统一为厘米）； 代公式：根据已知条件选择对应公式，代入数值计算； 转单位：根据题目要求，将结果转换为合适的单位作答。 四、比例尺的基本性质与化简 1. 比例尺的化简依据 比例尺本质是一个比，因此完全遵循比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0 的数，比值不变。 化简目标：化为最简整数比，通常缩小比例尺前项化为 1，放大比例尺后项化为 1。 2. 比例尺的变化规律 若图上距离不变，实际距离扩大 n 倍，比例尺缩小到原来的； 若实际距离不变，图上距离扩大 n 倍，比例尺也扩大到原来的 n 倍； 比例尺的前后项同时扩大或缩小相同倍数，比例尺的意义不变，只是表现形式不同。 3. 比例尺的反向理解 已知比例尺，可直接推导： 实际距离是图上距离的倍； 图上距离是实际距离的。 该结论可用于快速估算，无需分步计算。 五、基础应用题型与解法 1. 数值比例尺与线段比例尺互化 线段转数值：先读出 1 厘米图上距离对应的实际长度，统一单位后写成比的形式，化简为前项为 1 的比。 例：线段比例尺 1cm 对应 50km，50km=5000000cm，数值比例尺为。 数值转线段：将后项的厘米数转化为米或千米，画出 1 厘米线段标注对应实际距离即可。 2. 已知比例尺和图上距离，求实际距离 方法一：公式法，直接用 “图上距离 ÷ 比例尺”，注意单位换算； 方法二：份数法，1 份图上对应 n 份实际，图上距离 ×n = 实际距离； 方法三：比例法，设实际距离为，列比例式 “图上距离:= 比例尺” 求解。 3. 已知比例尺和实际距离，求图上距离 方法一：公式法，实际距离 × 比例尺 = 图上距离； 方法二：份数法，实际距离 ÷n = 图上距离； 解题关键：先将实际距离换算为厘米，再代入计算，避免单位错误。 4. 已知图上距离和实际距离，求比例尺 解题步骤：① 统一单位；② 写成 “图上：实际” 的比；③ 化简为前项（或后项）为 1 的最简整数比。 易错提醒：顺序不可颠倒，必须是图上距离在前，实际距离在后。 六、奥数进阶题型与解题策略 （一）比例尺与周长、面积的关系（奥数核心考点） 1. 核心规律 比例尺是长度比，因此： 图上周长：实际周长 = 比例尺（长度比）； 图上面积：实际面积 = 比例尺的平方，即若比例尺为，面积比为。 放大比例尺同理：若比例尺为，面积比为。 2. 常见考法与解题策略 正向求面积：已知比例尺和图上面积，求实际面积。 解题：实际面积 = 图上面积 × 后项的平方，注意面积单位是平方单位，进率为长度进率的平方。 反向求比例尺：已知图上面积和实际面积，求比例尺。 解题：先算面积比，再开平方得到长度比，即为比例尺。 典型易错：直接用 “图上面积 ÷ 比例尺” 求实际面积，正确应为除以比例尺的平方。 （二）复合比例尺（多次缩放问题） 题型特征：物体先按一个比例尺绘制，再对图纸进行放大或缩小，求最终的实际比例尺；或已知两次缩放比例，求总缩放效果。 解题策略： 将每次的比例尺都转化为 “图上：实际” 的分数形式； 多次缩放时，总比例尺为各次比例尺的乘积（统一对应关系后相乘）； 最终结果化为最简整数比。 示例：先按绘制图纸，再将图纸按放大，最终比例尺 = ，即。 （三）多幅图比例尺对比问题 题型特征：同一段实际距离，在两幅不同比例尺的地图上图上距离不同；或同一张图上，不同物体的实际尺寸对比。 解题策略： 实际距离相同时，图上距离与比例尺成正比；比例尺越大，图上距离越长。 图上距离相同时，实际距离与比例尺成反比；比例尺越小，代表的实际距离越长。 奥数应用：无需计算具体数值，直接通过比例关系判断长短、大小。 （四）比例尺与实际问题综合 1. 比例尺与行程问题结合 题型：在地图上量得两地距离，已知比例尺和交通工具速度，求行驶时间；或已知时间求速度。 解题步骤：① 根据比例尺算出实际路程；② 利用 “路程 ÷ 速度 = 时间” 等行程公式计算。 易错点：路程单位与速度单位不统一，需先换算再计算。 2. 比例尺与面积应用题结合 题型：地图上量得长方形地块的长和宽，已知比例尺，求实际面积、实际周长，或结合单价求总价（如铺地砖、种庄稼）。 解题策略：方法一，先算实际长和宽，再算实际面积；方法二，先算图上面积，再乘比例尺平方得实际面积。推荐方法一，更不易错。 3. 精密零件放大比例尺专项 题型：精密零件图纸用放大比例尺，已知图上尺寸求实际尺寸，或已知实际尺寸画图上尺寸。 解题关键：牢记放大比例尺后项为 1，图上尺寸＞实际尺寸；计算时避免与缩小比例尺搞反，可用 “实际小、图上大” 的常识验证结果。 （五）拓展提升类 1. 比例尺中的错中求解 题型：看错比例尺的前后项、看错单位，算错实际 / 图上距离，求正确结果。 解题策略：抓住不变量（如正确的实际距离），从错误的计算中先求出不变量，再代入正确比例尺计算。 2. 不规则图形的实际面积估算 题型：地图上不规则图形（如湖泊、地块），已知比例尺，估算实际面积。 解题方法：方格估算法，数格子（满格算 1，不满格算半格）得到图上面积，再通过面积比换算为实际面积。 3. 比例方程解复杂比例尺问题 题型：涉及多个未知量、比例关系复杂的题目。 解题策略：设未知数，根据 “图上距离：实际距离 = 比例尺” 列出比例方程，用比例的基本性质解比例，思路清晰不易错。 七、核心解题方法汇总 单位统一法：计算前先统一单位，是所有比例尺题的前提。 份数法：将比例尺看作份数比，通过 1 份的量快速计算总量，适合口算与速算。 比例方程法：设未知数列比例式，用比例基本性质求解，适合复杂题型。 倍数关系法：利用长度倍、面积平方倍的规律，快速判断缩放效果，无需精确计算。 验证法：计算后用 “缩小比例尺实际更大、放大比例尺图上更大” 的常识验证结果合理性。 八、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 前后项颠倒：误将 “实际距离：图上距离” 当作比例尺，正确顺序是图上距离在前、实际距离在后。 长度面积混淆：误认为面积比等于比例尺，正确应为比例尺的平方，是最高频易错点。 放大缩小混淆：分不清和哪个是放大、哪个是缩小；记住 “前项是图上，前项大就是放大”。 线段比例尺读错：误将整条线段的总长度当作 1 厘米对应量，正确是每一小段代表 1 厘米图上距离。 2. 计算类易错点 单位不统一：图上用厘米、实际用千米，未换算直接计算，导致结果数量级偏差极大。 单位进率记错：千米与厘米的进率误记为 1000，正确是 100000（5 个 0）。 面积单位换算错误：面积单位进率是长度单位的平方，如 1 平方千米 = 10000000000 平方厘米，易少算 0。 化简不彻底：求比例尺时未化为最简整数比，或未化成前项 / 后项为 1 的标准形式。 3. 应用类易错点 行程问题单位错配：实际距离算出来是厘米，直接除以千米 / 小时的速度，未统一单位。 长方形面积直接乘比例尺：先算图上面积再直接乘比例尺，正确应先算实际长宽再算面积，或乘比例尺平方。 零件题算反结果：放大比例尺求实际尺寸，结果算得比图上还大，明显不符合常识，需反向验证。 忽略比例尺的单位前提：数值比例尺没有单位，必须结合长度单位才有实际意义，不可脱离单位谈大小。 培优练习 一、选择题 1．一个零件的实际长度是7mm，在图上量得的长度是3.5dm。这幅图的比例尺是（    ）。 A．5∶1 B．1∶5 C．1∶2 D．50∶1 【答案】D 【分析】统一长度单位，把图上的“分米”换算成“毫米”；根据公式“比例尺图上距离实际距离”求出比；然后化简整数比，得到这幅图的比例尺。 【详解】毫米分米 所以这幅图的比例尺是。 2．中山路小学的校园是一个长方形，长240m，宽180m，丽丽绘制了一张校园平面图，平面图上的长为24cm，则这张校园平面图的比例尺为（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 【答案】C 【分析】计算比例尺要先统一图上距离和实际距离的单位，再根据比例尺的定义用图上距离比实际距离，然后化简即可。 【详解】 3．在比例尺是5∶1的图纸上，量得齿轮的直径是2厘米，这个齿轮的直径实际长度是（    ）厘米。 A．0.04 B．0.4 C．4 D．10 【答案】B 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可。 【详解】2÷ ＝2÷5 ＝0.4（厘米） 这个齿轮的直径实际长度是0.4厘米。 4．要把一个长100米、宽50米的长方形操场平面图画在作业本上，选择合适的比例尺是（    ）。 A．1000∶1 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 【答案】C 【分析】100米＝10000厘米，50米＝5000厘米，实际距离已知，要在作业本上画操场平面图，那么图上距离应该以“厘米”为单位，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出操场的长和宽的图上距离，再与练习本的实际长度比较即可选出合适的比例尺。 【详解】A．属于放大比例尺，不符合实际情况； B．10000×＝100（厘米），5000×＝50（厘米），作业本没有这么大，故不合适； C．10000×＝10（厘米），5000×＝5（厘米），可在作业本上画出操场平面图； D．10000×＝1（厘米），5000×＝0.5（厘米），缩小后的操场平面图太小，故不合适。 5．在比例尺是10∶1的图纸上，量得一个零件的长是1.8厘米，这个零件的实际长度是（    ）厘米。 A．0.018 B．0.18 C．1.8 D．180 【答案】B 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，则实际距离＝图上距离÷比例尺，把题目中的数据代入公式计算，据此解答。 【详解】1.8÷10＝0.18（厘米） 所以，这个零件的实际长度是0.18厘米。 故答案为：B 6．华为“麒麟980”是中国最新一代芯片，是世界上第一个采用台积电7纳米工艺制造的商用手机SOC芯片组。在一次产品发布会上，按40∶1的比例尺展示了“麒麟980的外形图片，该图片边长是70厘米。“麒麟980”实际的边长是（    ）毫米。 A．1.75 B．17.5 C．175 D．280 【答案】B 【分析】分析题目，根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出实际距离，再根据1厘米＝10毫米把单位换算成毫米。 【详解】70÷40＝1.75（厘米） 1.75厘米＝17.5毫米 所以“麒麟980”实际的边长是17.5毫米。 故答案为：B 二、填空题 7．学校操场长300米，宽150米。小明图纸上用的比例尺是，写成数值比例尺是___________。 【答案】1∶5000/ 【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可将线段比例尺改为数值比例尺，1米＝100厘米。 【详解】1厘米∶50米 ＝1厘米∶5000厘米 ＝1∶5000 即写成数值比例尺是1∶5000。 8．“上海天文馆”是目前全球最大的天文馆之一，其主体建筑中有一个巨大的球形投影幕墙，在1∶2000的设计图纸上，该球形幕墙的底面直径为25cm。它的实际底面直径是________m。 【答案】500 【分析】先根据图上的直径算出对应的实际长度，再把单位转换成题目要求的米，就能得到结果，做题的依据就是比例尺的定义：图上距离∶实际距离＝比例尺，反过来可以用图上距离乘比例尺的后项得到实际距离。 【详解】比例尺1∶2000代表图上1cm对应实际2000cm，已知图上底面直径是25cm，那么实际直径的厘米数为：25×2000＝50000（cm）。 因为1m＝100cm，进行单位换算：50000÷100＝500（m）。 9．王师傅把一个长4毫米的精密电子零件画在图纸上，量得该零件在图上的长度为24厘米，这张图纸的比例尺是( )。 【答案】60∶1 【分析】统一实际长度和图上长度的单位，因为两个长度的单位不同，所以需要将厘米换算为毫米，或者将毫米换算为厘米。比例尺＝图上距离∶实际距离，所以用换算后同单位的图上长度比实际长度，化简得到比例尺。 【详解】24厘米＝240毫米 240∶4 ＝（240÷4）∶（4÷4） ＝60∶1 这张图纸的比例尺是60∶1。 10．一个体育场的长是330m，它在一幅图纸上的长是66cm，这幅图纸的比例尺是( )，这个体育场在这幅图纸上的宽是45cm，实际的宽是( )m。 【答案】 1∶500 225 【分析】求比例尺：比例尺的定义是图上距离∶实际距离，计算前需要先统一单位，再化简比。 求实际宽度：根据比例尺的关系，实际距离＝图上距离÷比例尺，计算后再把单位换算成米。 【详解】比例尺：66cm∶330m ＝66cm∶33000cm ＝66∶33000 ＝（66÷66）∶（33000÷66） ＝1∶500 实际宽度：45÷ ＝45×500 ＝22500（cm） 22500cm＝225m 11．一种机器零件，横截面是环形，外直径是8毫米，画在图纸上的长度是4厘米。这张图纸的比例尺是( )。 【答案】 【分析】，图上距离是4厘米，实际距离是8毫米，先统一单位，再根据公式计算比例尺。 【详解】 因此，这张图纸的比例尺是。 12．“天下大事必作于细”，工匠精神是社会文明进步的重要尺度，是中国制造前行的精神源泉。某精密零件的长是2毫米，为了保证加工精度，将其画在图纸上，量得长度为10厘米。这张图纸的比例尺是( )。 【答案】 【分析】比例尺是指图上距离与实际距离的比。先将图上距离和实际距离的单位统一，再写出比并化简为最简整数比。注意比例尺是一个比，不带单位名称。 【详解】10厘米＝100毫米 100：2＝（100÷2）：（2÷2）＝50：1 这张图纸的比例尺是50：1。 13．六（1）班学生李囡囡参加了“传承红色基因，描绘魅力阿荣”的书画比赛。她画了一幅画，用8cm的线段表示实际长度1600m。这幅画的比例尺是( )。 【答案】 【分析】先统一图上距离和实际距离的单位，再根据比例尺的定义，，代入对应数值即可计算，最后将得到的比化简为前项是1的最简整数比。 【详解】，所以， 即比例尺为 14．大余曾举办“奔跑大余  勇毅前行”马拉松越野赛，全程约为56千米，已知地图上量得马拉松全程距离为25厘米，这张地图的比例尺为( )。 【答案】 【分析】先统一单位，再根据比例尺的计算公式：进行计算，最后再化简比即可。 【详解】56千米＝5600000厘米 15．一幅地图的线段比例尺为，改写成数值比例尺是( )。在图中量得甲、乙两地的距离是2.4厘米，甲、乙两地实际相距( )千米。 【答案】 1∶500000 12 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米代表实际距离5千米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据解答即可；用图上距离除以比例尺即可。 【详解】1厘米∶5千米＝1厘米∶500000厘米＝1∶500000； （厘米） 1200000厘米＝12千米 16．把一个长方形操场画在比例尺是1∶200的平面图上，这个操场的实际周长是图上周长的( )倍，实际面积是图上面积的( )倍。 【答案】 200 40000 【分析】周长是所有边长的和，所有边长都扩大到原来的200倍，周长也会随之扩大到原来的200倍；根据长方形面积＝长×宽，实际长是图上长的200倍，实际宽是图上宽的200倍，代入公式计算即可。 【详解】根据分析可得：实际周长是图上周长的200倍。 实际面积： （200×图上长）×（200×图上宽） ＝200×200×（图上长×图上宽） ＝40000×图上面积 所以实际面积是图上面积的40000倍。 三、判断题 17．某零件长5.4mm，画在图纸上长27cm，这幅图的比例尺是5∶1。( ) 【答案】 × 【分析】先统一图上距离和实际距离的单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，计算二者的比并化简为后项是1的比，和题干给出的比例尺对比判断。 【详解】 计算得到的比例尺为。 故答案为：× 18．图上距离总比实际距离小。( ) 【答案】× 【分析】比例尺＝图上距离÷实际距离，比例尺不仅有缩小比例尺，还有放大比例尺，放大比例尺下的图上距离大于实际距离。 【详解】绘制地图等场景使用缩小比例尺，此时图上距离小于实际距离；绘制精密零件等精细物品的图纸时，使用放大比例尺，此时图上距离大于实际距离。因此图上距离不是总比实际距离小，原题说法错误。 故答案为：× 19．一幅北京地图的比例尺是，一幅武汉地图的比例尺是，武汉地图的比例尺比北京地图的比例尺大。( ) 【答案】× 【分析】比较两幅地图比例尺的大小，首先需要将线段比例尺转化为数值比例尺，并统一单位。比例尺本质上是图上距离与实际距离的比（即分数），分子相同的情况下，分母越小，分数值越大，比例尺就越大。 【详解】武汉地图的线段比例尺，表示图上 1cm代表实际距离 40km，40km＝4000000cm。所以，武汉地图的数值比例尺为 1∶4000000。 1∶300000＝ 1∶4000000＝ ＞，所以武汉地图的比例尺比北京地图的比例尺小。原题说法错误。 故答案为：× 20．在一幅地图上，用5分米的线段表示实际长度250厘米，这幅地图的比例尺是。( ) 【答案】× 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。 【详解】5分米∶250厘米 ＝50∶250 ＝1∶5 这幅地图的比例尺是。 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。 21．一幅地图的比例尺是cm。( ) 【答案】× 【分析】一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，比例尺是一个比，据此解答。 【详解】比例尺是一个比，不是一个具体数，后面不能带单位，所以一幅地图的比例尺不能表示为cm。 故答案为： 【点睛】本题主要考查比例尺的相关知识点，掌握比例尺的意义是解答题目的关键。 22．一条长8.4千米的公路，在比例尺是1∶6000的地图上应画14厘米。( ) 【答案】× 【分析】利用公式：实际距离×比例尺＝图上距离，计算出图上距离，验证结果正确与否。 【详解】8.4千米＝840000厘米 840000×＝140（厘米） 故答案为：× 【点睛】此题的解题关键是比例尺的应用，熟悉图上距离和实际距离之间的换算。 四、作图题 23．汽车站开设了一条市内旅游专线。请根据相关信息填一填，画一画。 (1)旅游大巴车从汽车站出发，向( )行驶( )km到达科技馆。海洋馆在科技馆( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (2)旅游大巴车从海洋馆出发，向东偏北30°方向行驶20km，就到达了终点站植物园。请在图中画出植物园的位置。 (3)如果将这条旅游专线画在比例尺为1∶200000的地图上，植物园到海洋馆的图上距离是( )cm。 【答案】(1) 东 15 东 南 40 10 (2) (3)10 【分析】在地图上按照“上北下南，左西右东”确定方向，注意观测点的位置。根据图上距离和比例尺的关系确定实际距离；据实际距离与比例尺的关系确定图上距离，再根据方位关系即可确定植物园的位置；图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据计算。 【详解】（1）根据图中方向标（北）及线段比例尺（1段代表5km），汽车站到科技馆有3段，故行驶距离为3×5＝15（km），方向为东；海洋馆在科技馆东偏南40°方向或者南偏东50°方向，有2段，距离为2×5＝10（km）。 所以旅游大巴车从汽车站出发，向东行驶15km到达科技馆。海洋馆在科技馆东偏南40°方向上，距离是10km。 （2）先根据比例尺算出20km对应的图上距离：20÷5＝4（段）；再以海洋馆为观测点，向东偏北30°方向画4段长度的线段，端点即为植物园位置。 （3）因为20km＝2000000cm； 比例尺为1：200000， 图上距离为（cm）； 所以如果将这条旅游专线画在比例尺为1∶200000的地图上，植物园到海洋馆的图上距离是10cm。 24．2022年6月5日10时44分，“神舟十四号”载人飞船开启了“天宫”空间站的新纪元，距地380千米高度的“天宫”空间站即将成型，我国的载人航天事业将正式进入“空间站”时代。请在下图中画出我国空间站距离地面的位置。 【答案】见详解 【分析】先将380千米化成38000000厘米，然后根据比例尺＝图上距离∶实际距离，计算出图上距离，然后在合适位置画出空间站距离地面的位置即可。 【详解】380千米＝38000000厘米 38000000÷20000000＝1.9（厘米） 则画图如下： 五、解答题 25．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是5.4厘米，则甲地到乙地的实际距离是多少千米？ 【答案】162千米 【分析】已知图上距离和比例尺，用图上距离除以比例尺得到实际距离的厘米数，再换算成千米。 【详解】5.4÷ ＝5.4×3000000 ＝16200000（厘米） 16200000厘米＝162千米 答：甲地到乙地的实际距离是162千米。 26．实验小学东、西校区之间的实际距离是1080米，画在图纸上是16厘米，要在这两个校区之间修一座桥，在同样的图纸上测量是2厘米，这座桥实际长多少米？ 【答案】 135米 【分析】因为同一幅图纸的比例尺固定，所以先根据东、西校区的实际距离和图上距离，计算出该图纸的比例尺。 因为桥的图上距离已知，且和校区使用相同比例尺，所以根据“实际距离=图上距离÷比例尺”的公式，即可求出桥的实际长度。 【详解】1080米 = 108000厘米 （厘米） 13500厘米＝135米 答：这座桥实际长135米。 27．乐乐一家准备乘坐新能源出租车出去游玩，出发前乐乐在一幅比例尺是1∶300000的地图上量得他家与目的地的距离是5.8厘米。请你算一算，乐乐一家从家出发到达目的地需要花多少元车费？ 新能源出租车收费标准 3千米以内（包含3千米） 9.00元 超过3千米 （不足1千米按照1千米计算） 每千米2.20元 【答案】42元 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出乐乐从家出发到达目的地的实际距离，根据“1千米＝100000厘米”将距离单位换算成“千米”；超出的距离＝实际距离－3；超出的费用＝超出的距离×超出后每千米的价格（注意将不足1千米的按1千米计算）；实际费用＝初始费用＋超出的费用。 【详解】 （厘米） 1740000厘米＝17.4千米 17.4千米≈18千米 9＋（18－3）×2.2 ＝9＋15×2.2 ＝9＋33 ＝42（元） 答：乐乐一家从家出发到达目的地需要花42元车费。 28．港珠澳大桥是连接中国香港、珠海和澳门的世界最长跨海大桥。在一幅比例尺是的地图上，量得港珠澳大桥的图上距离是5cm。如果一辆汽车以平均每小时75千米的速度过桥，通过港珠澳大桥大约需要多少时间？ 【答案】小时 【分析】根据实际距离图上距离比例尺，求出实际距离，再将求出的实际距离单位从厘米换算为千米，最后根据时间路程速度，求出通过大桥所需的时间即可。 【详解】（厘米） （小时） 答：通过港珠澳大桥大约需要小时。 29．两幅不同的地图，第一幅的比例尺是1∶300000，量得甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是1.8厘米，在第二幅的图上距离2.7厘米。请根据以上信息，完成下面各题。 (1)算出甲乙两地实际距离。 (2)计算第二幅地图的比例尺。 (3)如果哥哥想从甲地到乙地参加活动，请结合题目中的信息，还有你周围的实际交通情况，为哥哥推荐比较合适的出行方式，并说明理由。 ①步行约60米/分；②骑共享单车约200米/分；③开私家车约900米/分。 【答案】(1)千米 (2) (3)推荐骑共享单车，理由：用时适中，既锻炼身体又环保。（答案不唯一） 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可得实际距离＝图上距离÷比例尺。1千米＝1000米＝100000厘米，据此把数据代入计算即可。 （2）第二幅图的比例尺＝第二幅图的图上距离∶实际距离。 （3）根据时间＝路程÷速度，求出步行、骑共享单车、开私家车分别需要的时间，结合实际情况推荐合适的出行方式。 【详解】（1） （厘米） 厘米千米 答：甲乙两地实际距离是千米。 （2） ＝（2.7÷2.7）∶（540000÷2.7） 答：第二幅地图的比例尺是。 （3）千米米 （分） （分） （分） ，开私家车用时最短，骑共享单车时间也适中。 答：推荐骑共享单车，理由：用时适中，既锻炼身体又环保。 30．甲、乙两车分别从两地同时相对开出，甲车每小时行80千米，乙车速度是甲车的。经过3小时两车相遇。 (1)两地相距多少千米？ (2)两地的距离画在比例尺是1∶2000000的地图上，应该画多少厘米？ 【答案】(1) 450千米 (2) 22.5厘米 【分析】把甲车的速度看作单位“”，乙车速度是甲车的，乙车的速度甲车的速度，根据“总路程相遇时间速度和”求出两地之间的距离，再把单位转化为“厘米”，最后根据“图上距离实际距离比例尺”求出应该画的长度。 【详解】（1） （千米） 答：两地相距千米。 （2）千米厘米 （厘米） 答：应该画厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $