第三单元 数与运算的再认识（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

**基本信息** 聚焦数与运算的系统性整合，以计数单位为核心纽带，构建从概念到简算的完整方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数的概念整合|5个核心概念|计数单位统一法、性质互推法|整数/小数/分数同源，基于“计数单位累加”构建数系| |运算体系构建|4类运算法则|相同单位直算、转化思想|加减/乘除互逆，算理统一于计数单位拆分与合并| |简算技巧进阶|6大奥数技巧|提取公因数、裂项相消、换元法|从基础定律到进阶变形，形成简算策略链| |奥数题型突破|7类典型题|错中求解倒推法、定义新运算转化法|题型与方法对应，强化应用意识与模型观念|

第三单元 数与运算的再认识（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、数的再认识 —— 核心概念与体系整合 1. 数的意义与分类体系 本单元是对小学阶段整数、小数、分数三类核心数的系统梳理，三类数形式不同，但本质都是计数单位的累加，构成统一的数系认知。 整数：表示物体个数的数，包含正整数、0 和负整数，小学阶段核心研究自然数（0 和正整数），用于表示完整数量的计数。 小数：十进制分数的另一种表现形式，用于表示不足 1 的数量，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 分数：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数；分为真分数（小于 1）、假分数（大于等于 1）、带分数（假分数的整数 + 真分数形式）。 内在联系：整数可以看作分母为 1 的特殊分数；小数是十进分数的简写形式；三类数的核心都是 “计数单位的累加”。 2. 计数单位与数位 计数单位是数的基本度量单位，所有数都由若干个计数单位组成。 整数部分：计数单位从右到左依次为个、十、百、千、万…… 相邻两个计数单位的进率是 10，对应数位为个位、十位、百位等。 小数部分：计数单位从左到右依次为十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）…… 相邻进率也是 10，对应数位为十分位、百分位等。 分数：分数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是几分之一；分子表示有几个这样的分数单位。 十进制计数法：整数与小数遵循统一的十进制规则，相邻计数单位进率为 10，是整数、小数运算规则统一的底层逻辑。 3. 数的基本性质（内在统一） 小数、分数、除法的核心性质本质同源，都是 “计数单位变化，总量不变”。 小数的性质：小数的末尾添上 “0” 或去掉 “0”，小数的大小不变；作用是化简小数、统一小数位数。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为 0 的数，分数的大小不变；作用是约分、通分。 商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商不变；作用是小数除法转化、除法简算。 奥数拓展：三者可以互相推导，是构造公因数、统一计数单位、进行简算变形的核心依据。 4. 数的大小比较 整数比较：位数多的数更大；位数相同时，从最高位依次比较。 小数比较：先比较整数部分，整数部分大的数更大；整数部分相同，再从十分位开始依次比较小数部分。 分数比较：同分母分数，分子大的分数大；同分子分数，分母小的分数大；异分母分数先通分转化为同分母再比较。 混合比较：小数、分数混合比较大小时，通常统一化为小数（能化有限小数时）或统一化为分数，再进行比较。 5. 数的改写与近似数 数的改写：将整万、整亿的数改写为以 “万”“亿” 为单位的数，大小不变，用 “=” 连接。 近似数：用四舍五入法省略指定数位后面的尾数，得到近似值，大小发生变化，用 “≈” 连接。 注意：保留小数位数时，近似数末尾的 0 不能去掉，它代表精确度；例如保留两位小数结果是 3.00，不能写成 3。 二、四则运算的意义与内在关系 1. 四则运算的意义（整数、小数、分数统一） 四则运算的核心意义在整数、小数、分数中完全一致，只是表现形式不同。 加法：把两个数合并成一个数的运算，本质是计数单位的合并。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，是加法的逆运算。 乘法： 整数乘法：求几个相同加数和的简便运算； 一个数乘小数 / 分数：求这个数的几分之几、百分之几是多少，是乘法意义的拓展。 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，是乘法的逆运算；包含 “平均分” 和 “包含除” 两种意义。 2. 四则运算各部分间的关系 是验算、解方程、错中求解题型的核心依据。 加法：和 = 加数 + 加数；一个加数 = 和 - 另一个加数 减法：差 = 被减数 - 减数；减数 = 被减数 - 差；被减数 = 差 + 减数 乘法：积 = 因数 × 因数；一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 除法：商 = 被除数 ÷ 除数；除数 = 被除数 ÷ 商；被除数 = 商 × 除数 有余数的除法：被除数 = 商 × 除数 + 余数；余数必须小于除数。 3. 特殊数的运算特性 关于 0 的运算： 一个数加 0 或减 0，仍得原数：， 一个数和 0 相乘，仍得 0： 0 除以任何不为 0 的数，都得 0： 0 不能作除数、不能作分母、不能作比的后项。 关于 1 的运算： 一个数乘 1 或除以 1，仍得原数：， 两个相同的非 0 数相除，商是 1： 4. 运算的互逆与转化思想 加减互逆、乘除互逆，可以通过逆运算对计算结果进行验算。 转化思想是运算的核心：小数除法转化为整数除法，分数除法转化为分数乘法，所有复杂运算最终都转化为基础的整数运算。 三、四则运算法则与算理本质 1. 加减法计算法则（本质统一） 核心算理：只有相同计数单位的数，才能直接相加减。 整数加减法：相同数位对齐，从低位算起，满十进一，退一当十。 小数加减法：小数点对齐（即相同数位对齐），从低位算起，得数的小数点与横线上的小数点对齐。 分数加减法： 同分母分数：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数； 异分母分数：先通分（统一分数单位），再按同分母分数加减法计算。 2. 乘法计算法则 核心算理：计数单位的个数相乘，计数单位本身也相乘。 整数乘法：从低位到高位，用第二个因数每一位上的数分别去乘第一个因数，再把所得的积相加。 小数乘法：先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；位数不足时用 0 补足。 分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；计算前优先交叉约分，简化计算量。 3. 除法计算法则 核心算理：平均分的统一逻辑，商不变规律是小数、分数除法转化的核心。 整数除法：从被除数的高位除起，除到哪一位，商就写在哪一位的上面；每次除得的余数必须比除数小。 小数除法：除数是小数时，利用商不变规律，将除数和被除数同时扩大相同倍数，转化为除数是整数的除法；商的小数点要和移动后的被除数小数点对齐。 分数除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数；将除法统一转化为乘法后，按分数乘法规则计算。 4. 四则运算的内在联系 加法是所有运算的基础，乘法是相同加数加法的简便运算。 减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。 整数、小数、分数的运算规则形式不同，但底层逻辑完全一致，都是围绕计数单位的拆分与合并。 四、运算定律与简便计算体系 整数的所有运算定律、运算性质对小数和分数完全通用，是奥数简算的核心工具。 1. 五大运算定律（全类型通用） 类别 定律名称 字母表示 核心作用 加法 加法交换律 调整加数位置，凑整计算 加法结合律 两两结合，凑出整数简化计算 乘法 乘法交换律 交换因数位置，优先凑整 / 约分 乘法结合律 两两结合，凑整或交叉约分 乘法分配律 拆数凑整、提取公因数，应用最广泛 2. 两大运算性质 减法运算性质： 连减性质：，连续减去两个数等于减去两个数的和； 去括号规则：，括号前是减号，去括号后内部符号要变号。 除法运算性质： 连除性质：，连续除以两个数等于除以两个数的积； 商不变性质：，用于除数凑整、构造公因数。 3. 基础简算通用技巧 带符号搬家：同级运算中，数字可以连同它前面的运算符号一起移动位置，计算结果不变；用于调整顺序凑整。 去 / 添括号法则：括号前是加号、乘号，去添括号后内部符号不变；括号前是减号、除号，去添括号后内部符号全部改变。 凑整思想：利用运算定律，将零散的数凑成整十、整百、整千数，或凑成单位 “1”，简化计算。 4. 奥数进阶简算技巧 （1）提取公因数法 基础型：算式各部分含有相同因数，直接提取后合并剩余部分。 变形型：利用积不变规律、分数基本性质，通过扩缩分子分母构造相同公因数，再提取计算。 （2）拆分凑整法 拆数凑整：将接近整十、整百的数拆成 “整数 + 零头” 或 “整数 - 零头”，用乘法分配律简化。 带分数拆分：将带分数拆成 “整数 + 真分数”，分配后分别计算。 （3）裂项相消法 针对分母为相邻 / 间隔自然数乘积的分数连加，拆分后中间项相互抵消，大幅简化计算。 核心裂差公式： 拓展裂差公式： （4）分组计算法 长算式加减混合时，按规律将能凑整、能抵消的数两两分组，分组计算后再求和。 （5）换元法 复杂算式中存在多处重复的部分时，将重复部分用字母代替，简化算式结构，计算后再代回数值，避免重复计算。 （6）繁分数化简 分层计算法：从最内层开始，逐层计算分子分母，最终转化为除法。 扩倍消分母法：分子分母同时乘所有分母的最小公倍数，一次性消去所有分母，转化为整数运算。 五、四则混合运算规范 1. 通用运算顺序 同级运算（只有加减或只有乘除）：从左往右依次计算。 两级运算（同时有加减和乘除）：先算乘除法，后算加减法。 含括号运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；多层括号从内向外逐层计算。 2. 小数分数混合运算策略 根据数字特征灵活选择计算形式，提升效率与准确率。 加减运算：若分数能化为有限小数（分母仅含质因数 2、5），统一为小数计算更简便；否则统一为分数计算。 乘除运算：优先统一为分数形式，通过交叉约分简化计算，尤其适配 0.25、0.125 等特殊小数。 特殊数值牢记：、、、。 3. 验算的常用方法 逆运算验算：利用加减互逆、乘除互逆，从结果倒推验证。 重算验算：按正确运算顺序重新计算，对比两次结果。 估算验算：通过凑整估算结果的大致范围，快速排查小数点错位、数量级错误。 六、奥数常见题型及解题策略 （一）基础概念类 数的意义辨析 题型：判断计数单位、分数单位，辨析小数与分数的意义，判断数的性质应用是否正确。 解题策略：紧扣定义，区分 “数的大小相等” 和 “计数单位不同” 的差异。 运算关系应用 题型：根据四则各部分关系填空、求方框中的未知数。 解题策略：熟记各部分关系，求未知量时用对应逆运算求解。 （二）计算类 四则混合脱式计算 解题要点：先标注运算顺序，按步计算；能简算的主动使用简便方法，最终结果化到最简。 易错提醒：禁止随意跳步，括号内运算必须先完成。 文字列式计算 解题要点：抓住 “和、差、积、商、除、除以、的几分之几” 等关键词，确定运算顺序；需要改变优先级时主动添加括号。 （三）简算巧算类 凑整巧算：识别接近整数的数，拆分后用分配律计算，做到 “多退少补”。 提取公因数：从直接提取到构造公因数，逐步进阶，核心是统一相同因数。 裂项计算：识别分母乘积特征，套用裂差 / 裂和公式，重点验证拆分后是否与原式相等。 分组计算：按周期规律分组，每组计算结果相同或形成简单数列，简化长算式。 换元计算：复杂重复算式用字母代换，简化算式结构，最后代回数值。 （四）错中求解问题 题型特征：看错数字、看错运算符号、漏看括号、点错小数点，得到错误结果，求正确结果或原数。 解题策略：抓住不变量，从错误的计算过程中倒推求出原数，再代入正确算式计算。 典型题型：漏看括号的乘法分配律错误、小数点移动引起的积 / 商变化错误。 （五）定义新运算 题型特征：规定新的运算符号与规则，代入整数、小数、分数进行四则混合运算。 解题策略：严格按照定义转化为常规四则运算，注意运算顺序和括号；有多层新运算时，从内向外逐层计算。 （六）规律探究类 算式规律探究：给出一组算式，寻找递变规律，求第 n 个算式的结果或前 n 项和。 算式大小比较：利用运算性质、积商变化规律，无需计算直接比较算式大小。 （七）拓展提升类 繁分数与连分数化简：多层复杂分数，用分层法或扩倍法化简。 等差数列求和：利用 “（首项 + 末项）× 项数 ÷2” 计算数列和，常与分组法结合。 数值估算与放缩：通过放大、缩小数值范围，估算结果的整数部分或取值区间。 运算数字谜：竖式数字谜、横式数字谜，根据运算规则和数位特征推理未知数字。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 混淆 “数位” 和 “计数单位”，表述不规范。 误认为小数末尾添 0 去 0，计数单位也不变；忽略大小不变但精确度改变。 错误认为除法有 “分配律”，将拆分为。 分数单位与分数大小混淆，误认为分母越大分数单位越大。 2. 计算类易错点 运算顺序错误：两级运算中先算加减后算乘除，同级运算不按从左到右顺序。 去括号符号错误：括号前是减号、除号时，去括号后忘记改变内部运算符号。 小数计算错误：乘法中点错小数点位置，除法中被除数补 0 遗漏、商中间漏商 0。 分数计算错误：异分母加减忘记通分，分数除法直接分子分母分别相除，结果不约分。 运算定律混淆：乘法结合律与乘法分配律混用，简算时套错公式。 3. 审题类易错点 混淆 “除” 和 “除以”，导致被除数和除数颠倒。 列式计算时，该加括号的地方遗漏括号，改变运算顺序。 简算题硬算，未主动使用运算定律简化过程。 单位不统一直接计算，出现数量级偏差。 培优练习 一、选择题 1．“一盒牛奶有升”，升的意思是把（    ）看作单位“1”，平均分成5份，表示这样的4份。 A．1升牛奶 B．4升牛奶 C．5升牛奶 D．一盒牛奶 【答案】A 【分析】把1升牛奶看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是升，升表示有这样的4份，据此解答。 【详解】由分析可得：“一盒牛奶有升”，升的意思是把1升牛奶看作单位“1”，平均分成5份，表示这样的4份。 2．丽丽用9颗珠子在计数器上拨出了一个三位数，这个三位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； 3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数。 用9颗珠子在计数器上拨出一个三位数，即各个数位上数的和是9，所以这个数一定是3的倍数。 【详解】由分析可知：丽丽用9颗珠子在计数器上拨出了一个三位数，这个三位数一定是3的倍数。 3．下面的算式中，“4”和“3”能直接相减的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分数减法计算时，只有两个数的计数单位相同，对应的数字才可以直接相减。即分数单位相同，分母是几，分数单位就是几分之一。 【详解】A．的计数单位是，的计数单位是，二者计数单位不同，4和3不能直接相减。 B．的计数单位是，的计数单位是，二者计数单位不同，3和4为分母，不能直接相减。 C．和是同分母分数，计数单位均为，二者计数单位相同，分子4和3可以直接相减。 D．4的计数单位是1，的计数单位是，二者计数单位不同，4和3不能直接相减。 “4”和“3”能直接相减的算式是。 4．一枚1元硬币大约重6克。照这样计算，1000枚1元硬币大约重6千克，100万枚1元硬币大约重（    ）吨。 A．6 B．60 C．600 D．6000 【答案】A 【分析】一枚1元的硬币大约重6克，求100万枚1元硬币有多重，用乘法解答即可。根据1吨＝1000千克＝1000000克进行单位换算。 【详解】100万＝1000000 6×1000000＝6000000（克） 6000000克＝6000千克＝6吨 100万枚1元的硬币大约重6吨。 5．如果a、b都是非0的自然数，且，那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比的关系判断a和b成倍数关系，如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数，据此解答。 【详解】由a∶b＝2∶1可得a＝2b，可知a是b的2倍，两个非0自然数成倍数关系时，最小公倍数是其中较大的数a。 6．在学习了分数的基本性质后，同学们都尝试用字母来表示自己的理解，下面表示正确的一组是（    ）（a，b，c均不为0）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（除外），分数的大小不变，据此判断即可。 【详解】．是分子分母同时加相同的数，不符合分数基本性质，错误。 ．右边分子为，与左边非的分数不相等，错误。 ．是分子和分母同时乘相同的非数，符合分数基本性质，正确。 ．是分数的分子除以分子，分母除以分母，不符合分数的基本性质，错误。 二、填空题 7．＝10÷（    ）＝＝（    ）（填小数）。 【答案】50；4；0.2 【分析】根据分数与除法的关系，分数的分子相当于除法的被除数，分母相当于除法的除数。 分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 把分数化成小数，用分子除以分母，结果用小数表示。 【详解】 8．涂色部分占整个图形的几分之几？ ( )                ( )                    ( ) 【答案】 【分析】正方形被平均分成了4份，将第三个小正方形涂色部分和第四个小正方形空白部分交换位置，此时涂色部分是1份。 平行四边形被平均分成了2份，将左边涂色部分小三角形平移到右边涂色部分，斜边对齐，此时涂色部分是1份。 长方形被平均分成了5份，将第二个小长方形涂色部分与第四个小长方形空白部分交换位置，此时涂色部分是1份。 【详解】正方形被平均分成了4份，涂色部分是1份，涂色部分占整个图形的。 平行四边形被平均分成了2份，涂色部分是1份，涂色部分占整个图形的。 长方形被平均分成了5份，涂色部分是1份，涂色部分占整个图形的。 9．下图中涂色部分用分数表示是，用小数表示是（    ）。 【答案】；0.5 【分析】把一个图形平均分成10份，每份都是它的，写成小数是0.1。其中的几份就是十分之几，用小数表示就是零点几。 【详解】一个长方形平均分成10份，涂出其中的5份，用分数表示是，用小数表示是0.5。 10．的是( )m；时相当于( )时的；48kg增加后是( )kg；( )公顷减少后是60公顷。 【答案】 54 90 【分析】第一个空：把m看作单位“1”，求它的是多少m，单位“1”已知，用乘法，用×解答。 第二个空：把要求的时看作单位“1”，它的对应的是时，求单位“1”，用除法，用÷解答。 第三个空：把48kg看作单位“1”，求它的（1＋）是多少kg，单位“1”已知，用乘法，用48×（1＋）解答。 第四个空：把要求的面积看作单位“1”，它的（1－）对应的是60公顷，求单位“1”，用60÷（1－）解答。 【详解】×＝（m） ÷ ＝× ＝（时） 48×（1＋） ＝48× ＝54（kg） 60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝90（公顷） 11．天安门广场是世界上最大的城市中心广场，东西宽500米，南北长880米。它的占地面积是( )平方米，相当于( )公顷，1平方千米大约有( )个这样的广场。 【答案】 440000 44 2 【分析】天安门广场形状近似长方形，根据长方形面积公式“面积＝长×宽”，代入数据计算即可得到平方米数； 1公顷＝10000平方米，将平方米数除以10000即可得到公顷数； 1平方千米＝100公顷，用1平方千米对应的公顷数除以天安门广场的公顷数，结果保留整数即可。 【详解】（平方米） （公顷） 1平方千米＝100公顷 （个） 12．在（    ）里填上“”“”或“”。 ( )     ( )                   ( ) ( )   ( )        60公顷( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ ＝ 【分析】15÷2.5和0.15÷0.25：计算出括号两边算式的结果再进行比较。 和：先通分再进行比较。 和：先把带分数转假分数，再进行比较。 和：被除数相同的时候，除数越小商越大。 和：根据先统一单位，再进行比较。 60公顷和：根据公顷，先统一单位，再进行比较。 【详解】，，6＞0.6，所以填＞。 ，，，所以＜。 ，，所以＝。 0.9＜1.1，所以左边的商更大，＞。 ，30000＜3000000，所以＜。 公顷，两边相等，所以公顷＝。 13．一根4米长的绳子，先剪下，再剪下米，这根绳子短了( )米。 【答案】2.5 【分析】把这根绳子的长度看作单位“1”。用总长度乘算出第一次剪下的长度，再加上第二次剪下的长度即可。 【详解】4×＋ ＝2＋0.5 ＝2.5（米） 14．一条红彩带长，另一条黄彩带的长度是红彩带的，这两条彩带的长度共( )m。 【答案】 【分析】先把红彩带的长度看作单位“1”，用红彩带的长度乘求出黄彩带的长度，再用红彩带的长度加上黄彩带的长度，求出两条彩带的总长度。 【详解】＋× ＝＋ ＝（m） 15．教室的植物角摆放了一些绿萝和君子兰，绿萝每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水，聪聪在6月1日给绿萝和君子兰同时浇了水，下一次给这两种绿植同时浇水的时间是( )月( )日。 【答案】 6 13 【分析】绿萝每 4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水，两种绿植同时浇水的间隔天数是4和6的最小公倍数。求出最小公倍数后，从起始日期6月1日向后推算即可得到下一次同时浇水的日期。 【详解】4的倍数：4、8、12、16……； 6的倍数：6、12、18、24……； 4和6公倍数：12、24……，最小公倍数是12； 即每12天同时给这两种绿植浇水。 下一次同时浇水的时间：6月1日＋12天＝6月13日 16．“亩”是我国传统的土地面积单位。为了保护耕地、确保粮食安全，根据《湖南省国土空间规划（20212035年）》文件要求，到2035年湖南省永久基本农田保护面积不低于四千八百零四万一千二百亩。横线上的数写作( )，省略万位后面的尾数约是( )万。 【答案】 48041200 4804 【分析】（1）写数时从高位写起，四千八百零四万一千二百，万级是4804，个级是1200； （2）省略万后面的尾数，看千位上的数字。千位是1，小于5，直接舍去写4804，再在后面加个万字。 【详解】横线上的数写作48041200，省略万位后面的尾数约是4804万。 三、判断题 17．大于且小于的分数有无数个。( ) 【答案】√ 【分析】任意两个不相等的数之间都存在无数个分数，利用分数的基本性质将两个分数的分子分母同时扩大到原来的相同倍数，就能得到更多符合条件的分数。 【详解】将和的分子、分母同时扩大到原来的2倍。可得：，，此时中间有符合要求的分数。 将和的分子、分母同时扩大到原来的3倍。可得：，，此时中间有符合要求的分数、。 以此类推，可将两个分数的分子分母同时扩大到原来的任意大的倍数，中间会不断出现更多符合要求的分数，因此大于且小于的分数有无数个。 故答案为：√ 18．假分数一定大于真分数。( ) 【答案】√ 【分析】真分数的分子小于分母，分数值小于1；假分数的分子大于或等于分母，分数值大于或等于1。据此举例判断解答即可。 【详解】真分数的分数值小于1，假分数的分数值大于或等于1，大于或等于1的数一定大于小于1的数，例如真分数，假分数、，所有假分数的分数值都大于真分数的分数值。因此该说法正确。 故答案为：√ 19．要使31□0这个四位数同时是2、3、5的倍数，□里能填2、5、8。( ) 【答案】 √ 【分析】的倍数：个位是、、、、的数（偶数）；的倍数：个位是或的数；同时是和的倍数：个位必须是；的倍数：各个数位上数字相加的和能被整除；同时是、、三者的倍数：个位为，且所有数位数字之和是的倍数。这个数个位已经是，只需验证方框填、、时数字和是否为的倍数即可。 【详解】已知数位的数字和：， 若□里填：，是的倍数，符合要求； 若□里填：，是的倍数，符合要求； 若□里填：，是的倍数，符合要求。 故答案为：√ 20．。( ) 【答案】√ 【分析】根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c进行判断。 【详解】算式符合乘法分配律的计算规则，所以等式成立。 故答案为：√ 21．a、b都是非0自然数，如果a×＝b×，则a一定小于b。( ) 【答案】× 【分析】先比较已知因数和的大小，再根据“非0数相乘，积相等，一个因数大，另一个因数就小”的规律判断和的大小关系。 【详解】，，，所以； ，因为且 a、b都是非0自然数，所以。因此，原题说法错误。 故答案为：× 22．求的和个，列式都是×，意义也相同。( ) 【答案】× 【分析】分数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。在乘法算式中，乘号前后的数所代表的含义不同，单位“1”也不同。虽然根据乘法交换律，两个算式的计算结果相同，但表示的具体意义不同。 【详解】求的，是把看作单位“1”，表示求的是多少，列式为；个，是把看作单位“1”，表示求的是多少，列式为。两者的单位“1”不同，意义不同，所以原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 23．直接写得数。                                   【答案】 ；；；；； ；；；； 【解析】略 24．脱式计算，能简便的要简便运算。 3.6×3－9.8    133÷25÷4    3.7×0.75＋6.3×0.75          【答案】1；1.33；7.5； 0；； 【分析】根据四则运算顺序，先算乘法，再算减法。 用除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的积，简便计算。 用乘法分配律简便计算。 通分成分母为10的同分母分数计算。 去括号简便运算，括号前是减号去括号后符号变号。 借个凑整最后再减去。 【详解】3.6×3－9.8 ＝10.8－9.8 ＝1 133÷25÷4 ＝133÷（25×4） ＝133÷100 ＝1.33 3.7×0.75＋6.3×0.75 ＝（3.7＋6.3）×0.75 ＝10×0.75 ＝7.5 ＝ ＝0 ＝ ＝ 五、解答题 25．有一包糖果，无论是平均分给2人，5人，还是7人，都正好分完，这包糖果至少有多少块？ 【答案】70块 【分析】糖果平均分给2人、5人、7人都正好分完，说明糖果总数是这三个数的公倍数，求至少有多少块，就是求2、5、7的最小公倍数。 【详解】2、5、7是互质数，2、5、7的最小公倍数为：2×5×7＝70。 所以，这包糖果至少有70块。 答：这包糖果至少有70块。 26．星星游泳馆新修一条108米的迎宾长廊，在长廊的一侧从头到尾摆了一排植物。原来6米摆一盆，考虑到不够美观，现在改为4米摆一盆，除了第一盆植物不用移动，还有几盆植物也不用移动？ 【答案】9盆 【分析】不用移动的植物位置既是6的倍数也是4的倍数，即4和6的公倍数。先求出4和6的最小公倍数，再结合两端都栽的植树问题规律，即棵数＝全长÷间距＋1，算出不用移动的总盆数，最后减去第一盆即可。 【详解】4的倍数：4、8、12、16… 6的倍数：6、12、18… 可知4和6的最小公倍数是12，即间隔是12米。 108÷12＋1 ＝9＋1 ＝10（盆） 10－1＝9（盆） 答：还有9盆植物也不用移动。 27．星星游泳馆扩建后总占地面积为3000m2，其中儿童游泳池占地500m2，休息区占游泳馆总面积的，儿童游泳池和休息区哪个占地面积大？这两个区域的面积之和占游泳馆总面积的几分之几？ 【答案】儿童游泳池占地面积大； 【分析】先根据游泳馆总面积和休息区的占比算出休息区面积，与儿童游泳池面积比较大小；再计算两个区域的面积和，除以总面积并约分得到占比。 【详解】表示将3000平方米平均分成10份，占其中的一份。 3000÷10＝300（平方米） 500＞300 500＋300＝800（平方米） 800÷3000＝ 答：儿童游泳池占地面积大；两个区域的面积之和占游泳馆总面积的。 28．一支钢笔售价5.85元，比一支圆珠笔贵2.43元，小明买了一支钢笔和一支圆珠笔，他付20元钱，售货员应找他多少钱？ 【答案】10.73元 【分析】已知钢笔售价及钢笔比圆珠笔贵的金额，需先用减法求出圆珠笔的售价；再将两种笔的售价相加求出总花费；最后用付出的钱数减去总花费求出找回的钱数。 【详解】（元） （元） （元） 答：售货员应找他元。 29．为了提升书写水平，小明给自己制定了练字计划，要在一周内写完288个楷书毛笔字。他坚持每天练习，前3天每天都认真书写32个毛笔字。如果想要按时完成练字任务，剩下的日子里，小明平均每天需要写多少个毛笔字？ 【答案】48个 【分析】首先明确时间单位换算，1周＝7天。解题思路是先求剩余工作量，再求剩余工作时间，最后求工作效率。根据“计划总数－已完成总数剩余总数”求出剩下要写的字数，根据“总天数－已用天数剩余天数”求出剩下的天数，最后利用“剩余总数÷剩余天数平均每天写的字数”进行计算。 【详解】一周等于7天。 （个） 答：小明平均每天需要写48个毛笔字。 30．一个工程队预计4天修完一条路。第一天修了这条路的，比第二天少修了这条路的，第三天修了这条路的。 (1)第二天修了这条路的几分之几？ (2)第四天修了这条路的几分之几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把这条路的总长度看作单位“1”，第一天修路的所占分率＋第一天比第二天少修的所占分率＝第二天修路的所占分率，据此解答； （2）把这条路的总长度看作单位“1”，用1依次减去前三天修路的所占分率，即可求得第四天修了这条路的几分之几。 【详解】（1）＋＝＝＝ 答：第二天修了这条路的。 （2）1－－－ ＝－－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝ 答：第四天修了这条路的。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数与运算的再认识（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、数的再认识 —— 核心概念与体系整合 1. 数的意义与分类体系 本单元是对小学阶段整数、小数、分数三类核心数的系统梳理，三类数形式不同，但本质都是计数单位的累加，构成统一的数系认知。 整数：表示物体个数的数，包含正整数、0 和负整数，小学阶段核心研究自然数（0 和正整数），用于表示完整数量的计数。 小数：十进制分数的另一种表现形式，用于表示不足 1 的数量，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 分数：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数；分为真分数（小于 1）、假分数（大于等于 1）、带分数（假分数的整数 + 真分数形式）。 内在联系：整数可以看作分母为 1 的特殊分数；小数是十进分数的简写形式；三类数的核心都是 “计数单位的累加”。 2. 计数单位与数位 计数单位是数的基本度量单位，所有数都由若干个计数单位组成。 整数部分：计数单位从右到左依次为个、十、百、千、万…… 相邻两个计数单位的进率是 10，对应数位为个位、十位、百位等。 小数部分：计数单位从左到右依次为十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）…… 相邻进率也是 10，对应数位为十分位、百分位等。 分数：分数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是几分之一；分子表示有几个这样的分数单位。 十进制计数法：整数与小数遵循统一的十进制规则，相邻计数单位进率为 10，是整数、小数运算规则统一的底层逻辑。 3. 数的基本性质（内在统一） 小数、分数、除法的核心性质本质同源，都是 “计数单位变化，总量不变”。 小数的性质：小数的末尾添上 “0” 或去掉 “0”，小数的大小不变；作用是化简小数、统一小数位数。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为 0 的数，分数的大小不变；作用是约分、通分。 商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商不变；作用是小数除法转化、除法简算。 奥数拓展：三者可以互相推导，是构造公因数、统一计数单位、进行简算变形的核心依据。 4. 数的大小比较 整数比较：位数多的数更大；位数相同时，从最高位依次比较。 小数比较：先比较整数部分，整数部分大的数更大；整数部分相同，再从十分位开始依次比较小数部分。 分数比较：同分母分数，分子大的分数大；同分子分数，分母小的分数大；异分母分数先通分转化为同分母再比较。 混合比较：小数、分数混合比较大小时，通常统一化为小数（能化有限小数时）或统一化为分数，再进行比较。 5. 数的改写与近似数 数的改写：将整万、整亿的数改写为以 “万”“亿” 为单位的数，大小不变，用 “=” 连接。 近似数：用四舍五入法省略指定数位后面的尾数，得到近似值，大小发生变化，用 “≈” 连接。 注意：保留小数位数时，近似数末尾的 0 不能去掉，它代表精确度；例如保留两位小数结果是 3.00，不能写成 3。 二、四则运算的意义与内在关系 1. 四则运算的意义（整数、小数、分数统一） 四则运算的核心意义在整数、小数、分数中完全一致，只是表现形式不同。 加法：把两个数合并成一个数的运算，本质是计数单位的合并。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，是加法的逆运算。 乘法： 整数乘法：求几个相同加数和的简便运算； 一个数乘小数 / 分数：求这个数的几分之几、百分之几是多少，是乘法意义的拓展。 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，是乘法的逆运算；包含 “平均分” 和 “包含除” 两种意义。 2. 四则运算各部分间的关系 是验算、解方程、错中求解题型的核心依据。 加法：和 = 加数 + 加数；一个加数 = 和 - 另一个加数 减法：差 = 被减数 - 减数；减数 = 被减数 - 差；被减数 = 差 + 减数 乘法：积 = 因数 × 因数；一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 除法：商 = 被除数 ÷ 除数；除数 = 被除数 ÷ 商；被除数 = 商 × 除数 有余数的除法：被除数 = 商 × 除数 + 余数；余数必须小于除数。 3. 特殊数的运算特性 关于 0 的运算： 一个数加 0 或减 0，仍得原数：， 一个数和 0 相乘，仍得 0： 0 除以任何不为 0 的数，都得 0： 0 不能作除数、不能作分母、不能作比的后项。 关于 1 的运算： 一个数乘 1 或除以 1，仍得原数：， 两个相同的非 0 数相除，商是 1： 4. 运算的互逆与转化思想 加减互逆、乘除互逆，可以通过逆运算对计算结果进行验算。 转化思想是运算的核心：小数除法转化为整数除法，分数除法转化为分数乘法，所有复杂运算最终都转化为基础的整数运算。 三、四则运算法则与算理本质 1. 加减法计算法则（本质统一） 核心算理：只有相同计数单位的数，才能直接相加减。 整数加减法：相同数位对齐，从低位算起，满十进一，退一当十。 小数加减法：小数点对齐（即相同数位对齐），从低位算起，得数的小数点与横线上的小数点对齐。 分数加减法： 同分母分数：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数； 异分母分数：先通分（统一分数单位），再按同分母分数加减法计算。 2. 乘法计算法则 核心算理：计数单位的个数相乘，计数单位本身也相乘。 整数乘法：从低位到高位，用第二个因数每一位上的数分别去乘第一个因数，再把所得的积相加。 小数乘法：先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；位数不足时用 0 补足。 分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；计算前优先交叉约分，简化计算量。 3. 除法计算法则 核心算理：平均分的统一逻辑，商不变规律是小数、分数除法转化的核心。 整数除法：从被除数的高位除起，除到哪一位，商就写在哪一位的上面；每次除得的余数必须比除数小。 小数除法：除数是小数时，利用商不变规律，将除数和被除数同时扩大相同倍数，转化为除数是整数的除法；商的小数点要和移动后的被除数小数点对齐。 分数除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数；将除法统一转化为乘法后，按分数乘法规则计算。 4. 四则运算的内在联系 加法是所有运算的基础，乘法是相同加数加法的简便运算。 减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。 整数、小数、分数的运算规则形式不同，但底层逻辑完全一致，都是围绕计数单位的拆分与合并。 四、运算定律与简便计算体系 整数的所有运算定律、运算性质对小数和分数完全通用，是奥数简算的核心工具。 1. 五大运算定律（全类型通用） 类别 定律名称 字母表示 核心作用 加法 加法交换律 调整加数位置，凑整计算 加法结合律 两两结合，凑出整数简化计算 乘法 乘法交换律 交换因数位置，优先凑整 / 约分 乘法结合律 两两结合，凑整或交叉约分 乘法分配律 拆数凑整、提取公因数，应用最广泛 2. 两大运算性质 减法运算性质： 连减性质：，连续减去两个数等于减去两个数的和； 去括号规则：，括号前是减号，去括号后内部符号要变号。 除法运算性质： 连除性质：，连续除以两个数等于除以两个数的积； 商不变性质：，用于除数凑整、构造公因数。 3. 基础简算通用技巧 带符号搬家：同级运算中，数字可以连同它前面的运算符号一起移动位置，计算结果不变；用于调整顺序凑整。 去 / 添括号法则：括号前是加号、乘号，去添括号后内部符号不变；括号前是减号、除号，去添括号后内部符号全部改变。 凑整思想：利用运算定律，将零散的数凑成整十、整百、整千数，或凑成单位 “1”，简化计算。 4. 奥数进阶简算技巧 （1）提取公因数法 基础型：算式各部分含有相同因数，直接提取后合并剩余部分。 变形型：利用积不变规律、分数基本性质，通过扩缩分子分母构造相同公因数，再提取计算。 （2）拆分凑整法 拆数凑整：将接近整十、整百的数拆成 “整数 + 零头” 或 “整数 - 零头”，用乘法分配律简化。 带分数拆分：将带分数拆成 “整数 + 真分数”，分配后分别计算。 （3）裂项相消法 针对分母为相邻 / 间隔自然数乘积的分数连加，拆分后中间项相互抵消，大幅简化计算。 核心裂差公式： 拓展裂差公式： （4）分组计算法 长算式加减混合时，按规律将能凑整、能抵消的数两两分组，分组计算后再求和。 （5）换元法 复杂算式中存在多处重复的部分时，将重复部分用字母代替，简化算式结构，计算后再代回数值，避免重复计算。 （6）繁分数化简 分层计算法：从最内层开始，逐层计算分子分母，最终转化为除法。 扩倍消分母法：分子分母同时乘所有分母的最小公倍数，一次性消去所有分母，转化为整数运算。 五、四则混合运算规范 1. 通用运算顺序 同级运算（只有加减或只有乘除）：从左往右依次计算。 两级运算（同时有加减和乘除）：先算乘除法，后算加减法。 含括号运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；多层括号从内向外逐层计算。 2. 小数分数混合运算策略 根据数字特征灵活选择计算形式，提升效率与准确率。 加减运算：若分数能化为有限小数（分母仅含质因数 2、5），统一为小数计算更简便；否则统一为分数计算。 乘除运算：优先统一为分数形式，通过交叉约分简化计算，尤其适配 0.25、0.125 等特殊小数。 特殊数值牢记：、、、。 3. 验算的常用方法 逆运算验算：利用加减互逆、乘除互逆，从结果倒推验证。 重算验算：按正确运算顺序重新计算，对比两次结果。 估算验算：通过凑整估算结果的大致范围，快速排查小数点错位、数量级错误。 六、奥数常见题型及解题策略 （一）基础概念类 数的意义辨析 题型：判断计数单位、分数单位，辨析小数与分数的意义，判断数的性质应用是否正确。 解题策略：紧扣定义，区分 “数的大小相等” 和 “计数单位不同” 的差异。 运算关系应用 题型：根据四则各部分关系填空、求方框中的未知数。 解题策略：熟记各部分关系，求未知量时用对应逆运算求解。 （二）计算类 四则混合脱式计算 解题要点：先标注运算顺序，按步计算；能简算的主动使用简便方法，最终结果化到最简。 易错提醒：禁止随意跳步，括号内运算必须先完成。 文字列式计算 解题要点：抓住 “和、差、积、商、除、除以、的几分之几” 等关键词，确定运算顺序；需要改变优先级时主动添加括号。 （三）简算巧算类 凑整巧算：识别接近整数的数，拆分后用分配律计算，做到 “多退少补”。 提取公因数：从直接提取到构造公因数，逐步进阶，核心是统一相同因数。 裂项计算：识别分母乘积特征，套用裂差 / 裂和公式，重点验证拆分后是否与原式相等。 分组计算：按周期规律分组，每组计算结果相同或形成简单数列，简化长算式。 换元计算：复杂重复算式用字母代换，简化算式结构，最后代回数值。 （四）错中求解问题 题型特征：看错数字、看错运算符号、漏看括号、点错小数点，得到错误结果，求正确结果或原数。 解题策略：抓住不变量，从错误的计算过程中倒推求出原数，再代入正确算式计算。 典型题型：漏看括号的乘法分配律错误、小数点移动引起的积 / 商变化错误。 （五）定义新运算 题型特征：规定新的运算符号与规则，代入整数、小数、分数进行四则混合运算。 解题策略：严格按照定义转化为常规四则运算，注意运算顺序和括号；有多层新运算时，从内向外逐层计算。 （六）规律探究类 算式规律探究：给出一组算式，寻找递变规律，求第 n 个算式的结果或前 n 项和。 算式大小比较：利用运算性质、积商变化规律，无需计算直接比较算式大小。 （七）拓展提升类 繁分数与连分数化简：多层复杂分数，用分层法或扩倍法化简。 等差数列求和：利用 “（首项 + 末项）× 项数 ÷2” 计算数列和，常与分组法结合。 数值估算与放缩：通过放大、缩小数值范围，估算结果的整数部分或取值区间。 运算数字谜：竖式数字谜、横式数字谜，根据运算规则和数位特征推理未知数字。 七、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 混淆 “数位” 和 “计数单位”，表述不规范。 误认为小数末尾添 0 去 0，计数单位也不变；忽略大小不变但精确度改变。 错误认为除法有 “分配律”，将拆分为。 分数单位与分数大小混淆，误认为分母越大分数单位越大。 2. 计算类易错点 运算顺序错误：两级运算中先算加减后算乘除，同级运算不按从左到右顺序。 去括号符号错误：括号前是减号、除号时，去括号后忘记改变内部运算符号。 小数计算错误：乘法中点错小数点位置，除法中被除数补 0 遗漏、商中间漏商 0。 分数计算错误：异分母加减忘记通分，分数除法直接分子分母分别相除，结果不约分。 运算定律混淆：乘法结合律与乘法分配律混用，简算时套错公式。 3. 审题类易错点 混淆 “除” 和 “除以”，导致被除数和除数颠倒。 列式计算时，该加括号的地方遗漏括号，改变运算顺序。 简算题硬算，未主动使用运算定律简化过程。 单位不统一直接计算，出现数量级偏差。 培优练习 一、选择题 1．“一盒牛奶有升”，升的意思是把（    ）看作单位“1”，平均分成5份，表示这样的4份。 A．1升牛奶 B．4升牛奶 C．5升牛奶 D．一盒牛奶 2．丽丽用9颗珠子在计数器上拨出了一个三位数，这个三位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．以上都有可能 3．下面的算式中，“4”和“3”能直接相减的是（    ）。 A． B． C． D． 4．一枚1元硬币大约重6克。照这样计算，1000枚1元硬币大约重6千克，100万枚1元硬币大约重（    ）吨。 A．6 B．60 C．600 D．6000 5．如果a、b都是非0的自然数，且，那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．无法确定 6．在学习了分数的基本性质后，同学们都尝试用字母来表示自己的理解，下面表示正确的一组是（    ）（a，b，c均不为0）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．＝10÷（    ）＝＝（    ）（填小数）。 8．涂色部分占整个图形的几分之几？ ( )                ( )                    ( ) 9．下图中涂色部分用分数表示是，用小数表示是（    ）。 10．的是( )m；时相当于( )时的；48kg增加后是( )kg；( )公顷减少后是60公顷。 11．天安门广场是世界上最大的城市中心广场，东西宽500米，南北长880米。它的占地面积是( )平方米，相当于( )公顷，1平方千米大约有( )个这样的广场。 12．在（    ）里填上“”“”或“”。 ( )     ( )                   ( ) ( )   ( )        60公顷( ) 13．一根4米长的绳子，先剪下，再剪下米，这根绳子短了( )米。 14．一条红彩带长，另一条黄彩带的长度是红彩带的，这两条彩带的长度共( )m。 15．教室的植物角摆放了一些绿萝和君子兰，绿萝每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水，聪聪在6月1日给绿萝和君子兰同时浇了水，下一次给这两种绿植同时浇水的时间是( )月( )日。 16．“亩”是我国传统的土地面积单位。为了保护耕地、确保粮食安全，根据《湖南省国土空间规划（20212035年）》文件要求，到2035年湖南省永久基本农田保护面积不低于四千八百零四万一千二百亩。横线上的数写作( )，省略万位后面的尾数约是( )万。 三、判断题 17．大于且小于的分数有无数个。( ) 18．假分数一定大于真分数。( ) 19．要使31□0这个四位数同时是2、3、5的倍数，□里能填2、5、8。( ) 20．。( ) 21．a、b都是非0自然数，如果a×＝b×，则a一定小于b。( ) 22．求的和个，列式都是×，意义也相同。( ) 四、计算题 23．直接写得数。                                   24．脱式计算，能简便的要简便运算。 3.6×3－9.8    133÷25÷4    3.7×0.75＋6.3×0.75          五、解答题 25．有一包糖果，无论是平均分给2人，5人，还是7人，都正好分完，这包糖果至少有多少块？ 26．星星游泳馆新修一条108米的迎宾长廊，在长廊的一侧从头到尾摆了一排植物。原来6米摆一盆，考虑到不够美观，现在改为4米摆一盆，除了第一盆植物不用移动，还有几盆植物也不用移动？ 27．星星游泳馆扩建后总占地面积为3000m2，其中儿童游泳池占地500m2，休息区占游泳馆总面积的，儿童游泳池和休息区哪个占地面积大？这两个区域的面积之和占游泳馆总面积的几分之几？ 28．一支钢笔售价5.85元，比一支圆珠笔贵2.43元，小明买了一支钢笔和一支圆珠笔，他付20元钱，售货员应找他多少钱？ 29．为了提升书写水平，小明给自己制定了练字计划，要在一周内写完288个楷书毛笔字。他坚持每天练习，前3天每天都认真书写32个毛笔字。如果想要按时完成练字任务，剩下的日子里，小明平均每天需要写多少个毛笔字？ 30．一个工程队预计4天修完一条路。第一天修了这条路的，比第二天少修了这条路的，第三天修了这条路的。 (1)第二天修了这条路的几分之几？ (2)第四天修了这条路的几分之几？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $