第四单元 比（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

**基本信息** 以比的概念本质为起点，构建“概念-性质-计算-应用”四层逻辑体系，提炼份数法、不变量法等可迁移解题模型，覆盖基础到奥数全题型，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4类定义+联系表|比与除法、分数转化法|从本质（倍比关系）到名称、形式，建立数与代数关联| |基本性质|3类性质+变化规律|比值变化规律推导法|基于基本性质延伸，构建比的动态变化认知| |核心计算|4类化简+区别表|整数/小数/分数比化简三步法|明确求比值与化简比的本质差异，强化运算能力| |应用模型|4类分配+连比|份数法（总量/部分量/差量）|从两量到多量分配，形成按比例解决问题的通用框架| |奥数题型|4类进阶+避坑指南|不变量法（和/差/单量）|结合行程、工程等场景，培养推理意识与问题转化能力|

第四单元 比（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、比的基础概念与核心意义 1. 比的定义与本质 两个数相除又叫做两个数的比，本质是表示两个数量之间的倍比关系，是对 “倍数关系” 的标准化表达，也是连接除法、分数的核心桥梁。 同类量的比：两个单位相同的量相比，表示一个量是另一个量的几分之几或几倍。例如：男生 20 人、女生 30 人，男女人数比为 20:30，体现人数的倍数关系。 不同类量的比：两个单位不同的量相比，会产生新的物理量。例如：路程与时间的比得到速度，总价与数量的比得到单价。 核心注意：比只表示关系，不带单位名称；比的后项不能为 0，与除数、分母的限制一致。 2. 比的各部分名称 在比 a : b = c 中： 前项：比号前面的数 a，相当于除法中的被除数、分数中的分子； 比号：记作 “:”，读作 “比”，相当于除法中的除号、分数中的分数线； 后项：比号后面的数 b，相当于除法中的除数、分数中的分母； 比值：前项除以后项所得的商 c，相当于除法的商、分数的分数值。 示例：，其中 3 是前项，2 是后项，1.5 是比值。 3. 比的两种表达形式 比号形式：用 “:” 连接，如 ，是比的标准形式； 分数形式：写作 ，读作 “a 比 b”，形式与分数一致，但表示的是两个数的比的关系，而非一个数。 4. 比与除法、分数的联系与区别 三者本质同源、可以互相转化，但数学意义完全不同，是小学数与代数的核心关联点。 类别 对应关系（前→后） 核心区别 限制条件 比 前项：后项 = 比值 表示两个量的关系 后项不能为 0 除法 被除数 ÷ 除数 = 商 是一种运算 除数不能为 0 分数 分子 / 分母 = 分数值 是一个数 分母不能为 0 内在统一：比的基本性质、商不变规律、分数的基本性质完全一致，都是 “同扩同缩相同倍数（0 除外），核心值不变”。 奥数意义：三者可以灵活转化，是解分率应用题、比例应用题的核心转化工具。 二、比的基本性质与最简整数比 1. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0 的数，比值不变。 字母表示： 核心作用：是化简比的唯一依据，也是构造相等比、统一份数的基础。 2. 比值的变化规律（奥数拓展） 基于比的基本性质延伸，可快速判断比值变化： 前项扩大 n 倍，后项不变 → 比值扩大 n 倍；前项缩小 n 倍，后项不变 → 比值缩小 n 倍。 后项扩大 n 倍，前项不变 → 比值缩小 n 倍；后项缩小 n 倍，前项不变 → 比值扩大 n 倍。 前项扩大 a 倍，后项扩大 b 倍 → 比值变为原来的 倍；a>b 时比值变大，b>a 时比值变小。 3. 最简整数比 定义：比的前项和后项都是整数，且只有公因数 1（即前项后项互质），叫做最简整数比。 判定标准：① 前后项均为整数；② 最大公因数为 1。 化简比的最终目标就是得到最简整数比。 三、核心计算：求比值与化简比 1. 求比值 方法：用比的前项除以后项，通过除法计算出商。 结果形式：比值是一个数值，可以是整数、小数或分数，不带单位。 示例：（或 ）。 2. 化简比 化简比的核心依据是比的基本性质，针对不同类型的比有对应化简方法： （1）整数比化简 前项和后项同时除以它们的最大公因数，一步化为最简。 示例： （2）小数比化简 先把前项后项同时扩大相同的倍数，转化为整数比，再按整数比方法化简。 示例： （3）分数比化简 方法一：前项后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化为整数比，再化简。 示例： 方法二：用求比值的方法计算，最终结果写成比的形式。 示例： （4）混合形式比化简（小数 + 分数） 先统一为分数或统一为小数，再按对应类型的方法化简。 示例： 3. 求比值与化简比的核心区别 维度 求比值 化简比 目的 计算前项是后项的多少倍 / 几分之几 把比化为最简整数比的形式 依据 比的意义（除法） 比的基本性质 结果形式 一个数（整数、小数、分数） 一个比（带比号或分数形式的比） 读法 读作 “一点五” 等数值 读作 “三比二” 等关系 四、比的应用核心模型 1. 基础按比例分配模型 把一个总量按照给定的比，分成对应的几个部分量，是比最基础的应用场景。 核心解题方法 份数法（奥数通用）： 求总份数：比的各项相加得到总份数； 求每份数：总量 ÷ 总份数 = 每份对应的数量； 求各部分量：每份数 × 各部分对应份数 = 各部分量。 分数法： 计算各部分占总量的几分之几； 总量 × 对应分率 = 各部分量。 示例：甲乙两数和是 50，甲：乙 = 2:3，求甲乙两数。 总份数：2+3=5 份，每份数：50÷5=10，甲 = 10×2=20，乙 = 10×3=30。 2. 已知部分量求总量 / 其他量 题型特征：只给出一个部分量和对应比，求总量或另一个部分量。 解题策略：先通过已知部分量和对应份数求出每份数，再乘总份数得总量，乘对应份数得其他量。 示例：甲数是 20，甲：乙 = 2:3，求乙数。 每份数：20÷2=10，乙数：10×3=30。 3. 已知差量求各部分 题型特征：给出两个量的差值，以及两个量的比，求各部分量。 解题策略：先求份数差，用 “数量差 ÷ 份数差 = 每份数”，再求各部分量。 示例：甲比乙少 10，甲：乙 = 2:3，求甲乙两数。 份数差：3-2=1 份，对应数量差 10，每份数 = 10，甲 = 20，乙 = 30。 4. 连比问题（三量及以上） （1）单比化连比 题型特征：已知两个两量之比，求三个量的连比。 解题核心：找到两个比中的公共量，求出公共量份数的最小公倍数，统一公共量的份数，再同步调整前后项。 示例：甲：乙 = 2:3，乙：丙 = 4:5，求甲：乙: 丙。 公共量是乙，3 和 4 的最小公倍数是 12； 甲：乙 = 8:12，乙：丙 = 12:15，因此甲：乙: 丙 = 8:12:15。 （2）连比的按比例分配 解题方法与两量分配完全一致：先求总份数，再求每份数，最后求各部分量。 五、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 各类比的化简与求比值 解题要点：先区分题目要求是求比值还是化简比；混合形式的比先统一为同一种形式再计算；最终结果要符合对应形式要求。 易错提醒：带单位的比必须先统一单位，再化简或求比值，如 1 米：20 厘米需先化为 100 厘米：20 厘米。 比与分数、除法的互化填空 题型特征：给出三者之一，填写另外两个的对应项。 解题策略：利用三者的对应关系，结合基本性质同步扩缩，依次推导未知项。 比值变化判断 题型特征：前项、后项发生扩大、缩小、增加、减少的变化，判断比值如何变化。 解题策略：熟记比值变化规律，不确定时可代入具体数值举例验证。 （二）基础应用类 隐藏总量的按比例分配 题型特征：分配的总量不直接给出，需要通过几何公式或数量关系先计算。 典型场景：长方形周长按比分配（先除以 2 得到长 + 宽的和）、三角形内角和分配（内角和固定 180°）、长方体棱长和分配（先除以 4 得到长 + 宽 + 高的和）。 解题关键：先求出对应分配的 “总数量”，确保总量和总份数一一对应。 隐藏差量的按比例分配 题型特征：两个量的差值不直接给出，需要通过条件推导，再对应份数差求解。 解题策略：先通过题意计算出具体数量差，再匹配对应的份数差，求出每份数。 平均数与比结合 题型特征：已知几个数的平均数和它们的比，求各数。 解题策略：先通过 “平均数 × 个数” 求出总量，再按比例分配。 （三）进阶奥数核心题型 1. 不变量法解比的应用题（奥数核心方法） 当题目中两个量发生变化时，抓住不变的量，统一不变量的份数，通过份数变化对应数量变化求解，分为三类： 和不变：两个量之间转移、调配，总量始终不变。例如甲乙两堆货物，从甲运一部分到乙，总重量不变。 差不变：两个量同时增加或减少相同的数量，差值不变。例如年龄问题，两人年龄差永远不变。 单量不变：其中一个量保持不变，另一个量发生变化。例如班级里男生人数不变，女生人数增加，总人数变化。 通用解题步骤：① 找出不变量；② 统一不变量的份数；③ 计算变化量对应的份数差；④ 求出每份对应的实际数量；⑤ 计算最终所求量。 2. 比在行程问题中的应用 利用行程三量的比例关系，不用计算具体数值也可快速解题： 时间相同，路程比 = 速度比； 速度相同，路程比 = 时间比； 路程相同，速度比 = 时间的反比。 奥数应用：相遇问题中路程比等于速度比，可直接按速度比分配总路程。 3. 比在工程问题中的应用 工作时间相同，工作总量比 = 工作效率比； 工作总量相同，工作效率比 = 工作时间的反比。 常与合作工程问题结合，通过效率比分配工作量。 4. 浓度中的比 溶液 = 溶质 + 溶剂，浓度 = 溶质：溶液； 利用溶质不变、溶剂不变或溶液不变的比例关系，解决稀释、浓缩、混合类浓度问题。 （四）拓展提升类 正反比例初步 正比例：两个相关联的量，比值一定，则成正比例关系，一个量扩大另一个量同步扩大。 反比例：两个相关联的量，乘积一定，则成反比例关系，一个量扩大另一个量反而缩小。 应用：判断变量关系，用比例法解复杂应用题，减少方程计算量。 复杂连比与多量分配 四个及以上量的比例关系，通过多个中间量逐步统一份数，转化为连比后再分配。 常与分数应用题结合，将多个分率关系转化为连比，用份数法统一求解。 定义新运算与比结合 题型特征：规定包含比的新运算规则，代入数值计算。 解题策略：严格按照定义转化为常规四则运算，注意运算顺序和比的计算规则。 比例方案优化 题型特征：多种配比方案，求最优成本、最大收益等。 解题策略：分别计算不同配比下的结果，对比选择最优方案。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 比的顺序颠倒：“甲与乙的比” 和 “乙与甲的比” 前后项完全相反，审题时需明确谁在前、谁在后。 后项为 0 的误区：数学中的比后项不能为 0，体育比赛的 “比分” 只是计分形式，不是数学意义上的比，二者本质不同。 混淆比和比值：化简比最终写成了数值（如 2:3 写成并读作三分之二），或求比值最终写成了比的形式。 单位不统一：带单位的两个量相比时，未统一单位直接计算，导致比例完全错误。 2. 计算类易错点 小数比化简不彻底：扩倍成整数比后，忘记继续约分到最简整数比。 连比统一错误：单比化连比时，只改变中间项的份数，前后项未同步扩大，导致比例关系错误。 分数比方法误用：用求比值法化简后，忘记把结果写成比的形式，直接写成了分数数值。 增加减少类比值计算错误：前项增加 n，误当作扩大 n 倍，正确做法是计算新的前项再求比值变化。 3. 应用类易错点 总量与总份数不对应：最典型的是长方形周长直接按比分配，忘记周长是 2 倍的（长 + 宽），需先除以 2 再分配。 差量与份数差错配：找错数量差对应的份数差，导致每份数计算错误，最终所有结果偏差。 不变量份数统一错误：统一不变量时，计算最小公倍数出错，或变化量的份数增减计算错误。 反比关系误用：路程相同、总量相同时，误用正比关系，正确应为反比。 培优练习 一、选择题 1．从学校到电影院，鹏鹏用了8分钟，田田用了10分钟，鹏鹏和田田的速度比是（    ）。 A．4∶5 B．5∶4 C．4∶9 D．5∶9 2．一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做16天完成，甲、乙两队的工作效率最简比是（    ）。 A．16∶12 B．12∶16 C．4∶3 D．3∶4 3．被减数、减数与差的和是120，减数与差的比是3∶1，减数是（    ）。 A．15 B．30 C．45 D．60 4．张老师把一批书按2∶3∶4或按2∶4∶5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（    ）本。 A．90 B．99 C．110 D．120 5．妈妈调制了一杯蜂蜜水，蜂蜜质量占蜂蜜水质量的。蜂蜜和水的质量比是（    ）。 A．3∶20 B．3∶23 C．3∶17 D．17∶3 6．如图，涂色部分面积既是小梯形面积的，又是大梯形面积的，则大、小两个梯形的面积之比是（    ）。 A．11∶6 B．33∶2 C．6∶11 D．11∶2 二、填空题 7．把化成最简单的整数比是( )，比值是( )。 8．全州红油米粉店的招牌宣传海报，长与宽的比是3∶2，海报的宽是80厘米，它的长是( )厘米。 9．六年级参加社团活动的学生人数在80~100之间，其中男生人数和女生人数的比是4∶5。六年级参加社团活动的男生最少有( )人，女生最少有( )人。 10．小宇家距离学校560米，他从家出发走8分钟到学校。他走路路程与时间的比是( )（填最简比），比值是( )。 11．1.6∶0.4的比值是( )；如果比的前项减去0.8，要使比值不变，后项应减去( )。 12．农历五月初五是我国传统节日端午节。小明家包了蛋黄粽子、红豆粽子一共28个，蛋黄粽子、红豆粽子的数量比是3∶4，小明家包了( )个蛋黄粽子，( )个红豆粽子。 13．一个直角三角形，两条直角边的长度之和是21cm，它们的比是3∶4。这个直角三角形的斜边长是15cm，它斜边上的高是( )cm。 14．与1.6化成最简单的整数比是( )，比值是( )。如果这个最简单的整数比的前项增加4，要使比值不变，后项应( )。 15．学校舞蹈队有队员36人，男女队员人数的比是1∶3，舞蹈队有男队员( )人，女队员( )人。 16．项城白芝麻，河南省周口市项城市特产，全国农产品地理标志。某批发市场售卖白芝麻，王阿姨买了60千克，孙阿姨买了48千克。如果孙阿姨送给王阿姨( )千克，那么王阿姨与孙阿姨所拥有白芝麻的质量比就是3∶1。 三、判断题 17．把2时∶45分化成最简单的整数比是。( ) 18．5∶4的前项和后项都加上20，比值不变。( ) 19．甲数的等于乙数的，所以甲数小于乙数。( ) 20．男生和女生的人数比是5∶3，表示男生比女生多。( ) 21．一条水渠，甲20天能挖完，乙30天能挖完，甲、乙工作效率的比是2∶3。( ) 22．一杯盐水，盐和水的质量比是1∶10，倒掉一半后，剩余盐水中盐和水的质量比是1∶5。( ) 四、计算题 23．化简比，并求出比值。 0.9∶3.6                  1时20分∶30分 24．化简下面各比，并求出比值。 90∶45    0.25∶       1.5∶0.12 五、解答题 25．一个长方形的长和宽的比是3∶2，这个长方形的周长是320厘米。那么，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 26．2024年海门马拉松活力开跑，共有10000名选手参赛。本次赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑三个项目，据统计，三个项目的参赛人数比为3∶4∶3，全程马拉松比半程马拉松少多少名选手？ 27．学校组织“绿色环保我先行”宣传活动，六年级三个班到超市和菜市场向顾客赠送自制环保袋，平均每班向顾客赠送自制环保袋200个，已知六（1）班、六（2）班、六（3）班赠送环保袋个数的比是。六（3）班送出环保袋多少个？ 28．曾经黄沙蔽日的塞罕坝，经过几代人的艰苦治理，如今已成为郁郁葱葱的林海。塞罕坝种植的主要树种为落叶松、樟子松和云杉，其中一片人工林场里有落叶松和樟子松共2400棵，棵数比是11∶4，这片人工林场里落叶松和樟子松分别有多少棵？ 29．一种什锦糖礼盒，由奶糖、巧克力糖、水果糖按1∶2∶4组成，三种糖各有36千克，当巧克力糖用完的时候，奶糖还剩多少千克？水果糖已经增加了多少千克？ 30．甲、乙、丙三人合作投资兴办服装厂，甲投资30万元，乙投资40万元，丙投资50万元。服装厂去年获得纯利润是48万元。按投资额分配，丙获得利润多少万元？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、比的基础概念与核心意义 1. 比的定义与本质 两个数相除又叫做两个数的比，本质是表示两个数量之间的倍比关系，是对 “倍数关系” 的标准化表达，也是连接除法、分数的核心桥梁。 同类量的比：两个单位相同的量相比，表示一个量是另一个量的几分之几或几倍。例如：男生 20 人、女生 30 人，男女人数比为 20:30，体现人数的倍数关系。 不同类量的比：两个单位不同的量相比，会产生新的物理量。例如：路程与时间的比得到速度，总价与数量的比得到单价。 核心注意：比只表示关系，不带单位名称；比的后项不能为 0，与除数、分母的限制一致。 2. 比的各部分名称 在比 a : b = c 中： 前项：比号前面的数 a，相当于除法中的被除数、分数中的分子； 比号：记作 “:”，读作 “比”，相当于除法中的除号、分数中的分数线； 后项：比号后面的数 b，相当于除法中的除数、分数中的分母； 比值：前项除以后项所得的商 c，相当于除法的商、分数的分数值。 示例：，其中 3 是前项，2 是后项，1.5 是比值。 3. 比的两种表达形式 比号形式：用 “:” 连接，如 ，是比的标准形式； 分数形式：写作 ，读作 “a 比 b”，形式与分数一致，但表示的是两个数的比的关系，而非一个数。 4. 比与除法、分数的联系与区别 三者本质同源、可以互相转化，但数学意义完全不同，是小学数与代数的核心关联点。 类别 对应关系（前→后） 核心区别 限制条件 比 前项：后项 = 比值 表示两个量的关系 后项不能为 0 除法 被除数 ÷ 除数 = 商 是一种运算 除数不能为 0 分数 分子 / 分母 = 分数值 是一个数 分母不能为 0 内在统一：比的基本性质、商不变规律、分数的基本性质完全一致，都是 “同扩同缩相同倍数（0 除外），核心值不变”。 奥数意义：三者可以灵活转化，是解分率应用题、比例应用题的核心转化工具。 二、比的基本性质与最简整数比 1. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0 的数，比值不变。 字母表示： 核心作用：是化简比的唯一依据，也是构造相等比、统一份数的基础。 2. 比值的变化规律（奥数拓展） 基于比的基本性质延伸，可快速判断比值变化： 前项扩大 n 倍，后项不变 → 比值扩大 n 倍；前项缩小 n 倍，后项不变 → 比值缩小 n 倍。 后项扩大 n 倍，前项不变 → 比值缩小 n 倍；后项缩小 n 倍，前项不变 → 比值扩大 n 倍。 前项扩大 a 倍，后项扩大 b 倍 → 比值变为原来的 倍；a>b 时比值变大，b>a 时比值变小。 3. 最简整数比 定义：比的前项和后项都是整数，且只有公因数 1（即前项后项互质），叫做最简整数比。 判定标准：① 前后项均为整数；② 最大公因数为 1。 化简比的最终目标就是得到最简整数比。 三、核心计算：求比值与化简比 1. 求比值 方法：用比的前项除以后项，通过除法计算出商。 结果形式：比值是一个数值，可以是整数、小数或分数，不带单位。 示例：（或 ）。 2. 化简比 化简比的核心依据是比的基本性质，针对不同类型的比有对应化简方法： （1）整数比化简 前项和后项同时除以它们的最大公因数，一步化为最简。 示例： （2）小数比化简 先把前项后项同时扩大相同的倍数，转化为整数比，再按整数比方法化简。 示例： （3）分数比化简 方法一：前项后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化为整数比，再化简。 示例： 方法二：用求比值的方法计算，最终结果写成比的形式。 示例： （4）混合形式比化简（小数 + 分数） 先统一为分数或统一为小数，再按对应类型的方法化简。 示例： 3. 求比值与化简比的核心区别 维度 求比值 化简比 目的 计算前项是后项的多少倍 / 几分之几 把比化为最简整数比的形式 依据 比的意义（除法） 比的基本性质 结果形式 一个数（整数、小数、分数） 一个比（带比号或分数形式的比） 读法 读作 “一点五” 等数值 读作 “三比二” 等关系 四、比的应用核心模型 1. 基础按比例分配模型 把一个总量按照给定的比，分成对应的几个部分量，是比最基础的应用场景。 核心解题方法 份数法（奥数通用）： 求总份数：比的各项相加得到总份数； 求每份数：总量 ÷ 总份数 = 每份对应的数量； 求各部分量：每份数 × 各部分对应份数 = 各部分量。 分数法： 计算各部分占总量的几分之几； 总量 × 对应分率 = 各部分量。 示例：甲乙两数和是 50，甲：乙 = 2:3，求甲乙两数。 总份数：2+3=5 份，每份数：50÷5=10，甲 = 10×2=20，乙 = 10×3=30。 2. 已知部分量求总量 / 其他量 题型特征：只给出一个部分量和对应比，求总量或另一个部分量。 解题策略：先通过已知部分量和对应份数求出每份数，再乘总份数得总量，乘对应份数得其他量。 示例：甲数是 20，甲：乙 = 2:3，求乙数。 每份数：20÷2=10，乙数：10×3=30。 3. 已知差量求各部分 题型特征：给出两个量的差值，以及两个量的比，求各部分量。 解题策略：先求份数差，用 “数量差 ÷ 份数差 = 每份数”，再求各部分量。 示例：甲比乙少 10，甲：乙 = 2:3，求甲乙两数。 份数差：3-2=1 份，对应数量差 10，每份数 = 10，甲 = 20，乙 = 30。 4. 连比问题（三量及以上） （1）单比化连比 题型特征：已知两个两量之比，求三个量的连比。 解题核心：找到两个比中的公共量，求出公共量份数的最小公倍数，统一公共量的份数，再同步调整前后项。 示例：甲：乙 = 2:3，乙：丙 = 4:5，求甲：乙: 丙。 公共量是乙，3 和 4 的最小公倍数是 12； 甲：乙 = 8:12，乙：丙 = 12:15，因此甲：乙: 丙 = 8:12:15。 （2）连比的按比例分配 解题方法与两量分配完全一致：先求总份数，再求每份数，最后求各部分量。 五、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 各类比的化简与求比值 解题要点：先区分题目要求是求比值还是化简比；混合形式的比先统一为同一种形式再计算；最终结果要符合对应形式要求。 易错提醒：带单位的比必须先统一单位，再化简或求比值，如 1 米：20 厘米需先化为 100 厘米：20 厘米。 比与分数、除法的互化填空 题型特征：给出三者之一，填写另外两个的对应项。 解题策略：利用三者的对应关系，结合基本性质同步扩缩，依次推导未知项。 比值变化判断 题型特征：前项、后项发生扩大、缩小、增加、减少的变化，判断比值如何变化。 解题策略：熟记比值变化规律，不确定时可代入具体数值举例验证。 （二）基础应用类 隐藏总量的按比例分配 题型特征：分配的总量不直接给出，需要通过几何公式或数量关系先计算。 典型场景：长方形周长按比分配（先除以 2 得到长 + 宽的和）、三角形内角和分配（内角和固定 180°）、长方体棱长和分配（先除以 4 得到长 + 宽 + 高的和）。 解题关键：先求出对应分配的 “总数量”，确保总量和总份数一一对应。 隐藏差量的按比例分配 题型特征：两个量的差值不直接给出，需要通过条件推导，再对应份数差求解。 解题策略：先通过题意计算出具体数量差，再匹配对应的份数差，求出每份数。 平均数与比结合 题型特征：已知几个数的平均数和它们的比，求各数。 解题策略：先通过 “平均数 × 个数” 求出总量，再按比例分配。 （三）进阶奥数核心题型 1. 不变量法解比的应用题（奥数核心方法） 当题目中两个量发生变化时，抓住不变的量，统一不变量的份数，通过份数变化对应数量变化求解，分为三类： 和不变：两个量之间转移、调配，总量始终不变。例如甲乙两堆货物，从甲运一部分到乙，总重量不变。 差不变：两个量同时增加或减少相同的数量，差值不变。例如年龄问题，两人年龄差永远不变。 单量不变：其中一个量保持不变，另一个量发生变化。例如班级里男生人数不变，女生人数增加，总人数变化。 通用解题步骤：① 找出不变量；② 统一不变量的份数；③ 计算变化量对应的份数差；④ 求出每份对应的实际数量；⑤ 计算最终所求量。 2. 比在行程问题中的应用 利用行程三量的比例关系，不用计算具体数值也可快速解题： 时间相同，路程比 = 速度比； 速度相同，路程比 = 时间比； 路程相同，速度比 = 时间的反比。 奥数应用：相遇问题中路程比等于速度比，可直接按速度比分配总路程。 3. 比在工程问题中的应用 工作时间相同，工作总量比 = 工作效率比； 工作总量相同，工作效率比 = 工作时间的反比。 常与合作工程问题结合，通过效率比分配工作量。 4. 浓度中的比 溶液 = 溶质 + 溶剂，浓度 = 溶质：溶液； 利用溶质不变、溶剂不变或溶液不变的比例关系，解决稀释、浓缩、混合类浓度问题。 （四）拓展提升类 正反比例初步 正比例：两个相关联的量，比值一定，则成正比例关系，一个量扩大另一个量同步扩大。 反比例：两个相关联的量，乘积一定，则成反比例关系，一个量扩大另一个量反而缩小。 应用：判断变量关系，用比例法解复杂应用题，减少方程计算量。 复杂连比与多量分配 四个及以上量的比例关系，通过多个中间量逐步统一份数，转化为连比后再分配。 常与分数应用题结合，将多个分率关系转化为连比，用份数法统一求解。 定义新运算与比结合 题型特征：规定包含比的新运算规则，代入数值计算。 解题策略：严格按照定义转化为常规四则运算，注意运算顺序和比的计算规则。 比例方案优化 题型特征：多种配比方案，求最优成本、最大收益等。 解题策略：分别计算不同配比下的结果，对比选择最优方案。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 比的顺序颠倒：“甲与乙的比” 和 “乙与甲的比” 前后项完全相反，审题时需明确谁在前、谁在后。 后项为 0 的误区：数学中的比后项不能为 0，体育比赛的 “比分” 只是计分形式，不是数学意义上的比，二者本质不同。 混淆比和比值：化简比最终写成了数值（如 2:3 写成并读作三分之二），或求比值最终写成了比的形式。 单位不统一：带单位的两个量相比时，未统一单位直接计算，导致比例完全错误。 2. 计算类易错点 小数比化简不彻底：扩倍成整数比后，忘记继续约分到最简整数比。 连比统一错误：单比化连比时，只改变中间项的份数，前后项未同步扩大，导致比例关系错误。 分数比方法误用：用求比值法化简后，忘记把结果写成比的形式，直接写成了分数数值。 增加减少类比值计算错误：前项增加 n，误当作扩大 n 倍，正确做法是计算新的前项再求比值变化。 3. 应用类易错点 总量与总份数不对应：最典型的是长方形周长直接按比分配，忘记周长是 2 倍的（长 + 宽），需先除以 2 再分配。 差量与份数差错配：找错数量差对应的份数差，导致每份数计算错误，最终所有结果偏差。 不变量份数统一错误：统一不变量时，计算最小公倍数出错，或变化量的份数增减计算错误。 反比关系误用：路程相同、总量相同时，误用正比关系，正确应为反比。 培优练习 一、选择题 1．从学校到电影院，鹏鹏用了8分钟，田田用了10分钟，鹏鹏和田田的速度比是（    ）。 A．4∶5 B．5∶4 C．4∶9 D．5∶9 【答案】B 【分析】可先将总路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别计算两人速度后，再写出他们的速度比化简即可。 【详解】把从学校到电影院的总路程看作单位“1”。 鹏鹏的速度： 田田的速度： 两人的速度比： 2．一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做16天完成，甲、乙两队的工作效率最简比是（    ）。 A．16∶12 B．12∶16 C．4∶3 D．3∶4 【答案】C 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据工作效率工作总量工作时间，分别表示出甲、乙两队的工作效率，再写出比并化成最简整数比，据此解答。 【详解】把这项工程的工作总量看作单位“1”。 甲队的工作效率：1÷12＝ 乙队的工作效率：1÷16＝ 甲、乙两队的工作效率比：∶ ＝（×48）∶（×48） ＝4∶3 3．被减数、减数与差的和是120，减数与差的比是3∶1，减数是（    ）。 A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】根据减法各部分之间的关系，被减数等于减数加差，用三个数的和除以2可求出减数与差的和，再按比分配求出减数。 【详解】 4．张老师把一批书按2∶3∶4或按2∶4∶5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（    ）本。 A．90 B．99 C．110 D．120 【答案】B 【分析】两种分配方案都能正好分完，说明这批书的总数是两种方案总份数的公倍数，先求出两种分法的总份数，再找对应公倍数即可。 【详解】第一种分法总份数：（份） 第二种分法总份数： （份） 9和11互质，最小公倍数是 A．90不是9和11的公倍数，不符合题意。 B．99是9和11的公倍数，符合题意。 C．110不是9的倍数，不符合题意。 D．120不是9和11的公倍数，不符合题意。 5．妈妈调制了一杯蜂蜜水，蜂蜜质量占蜂蜜水质量的。蜂蜜和水的质量比是（    ）。 A．3∶20 B．3∶23 C．3∶17 D．17∶3 【答案】C 【分析】蜂蜜质量占蜂蜜水质量的，表示蜂蜜与蜂蜜水的质量比为3：20。蜂蜜水由蜂蜜和水组成，因此水的质量等于蜂蜜水质量减去蜂蜜质量。可将蜂蜜水设为 20 份，则蜂蜜设为3份，水设为17份，故蜂蜜和水的质量比为3：17。 【详解】根据题意可得：将蜂蜜水看作20份，蜂蜜质量3份，由于蜂蜜水＝蜂蜜＋水，则水可看作：20−3＝17（份）。 则蜂蜜和水的质量比为3：17。 故答案为：C 6．如图，涂色部分面积既是小梯形面积的，又是大梯形面积的，则大、小两个梯形的面积之比是（    ）。 A．11∶6 B．33∶2 C．6∶11 D．11∶2 【答案】A 【分析】假设涂色部分的面积是1。已知涂色部分面积既是小梯形面积的，把小梯形面积看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；涂色部分面积又是大梯形面积的，把大梯形面积看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。分别计算出大梯形面积和小梯形面积，写出对应的比，再根据比的基本性质，将其化简为最简单的整数比。 【详解】假设涂色部分的面积是1。 1÷ ＝1× ＝ 1÷ ＝1×3 ＝3 ∶3 ＝（×2）∶（3×2） ＝11∶6 所以大、小两个梯形的面积之比是11∶6。 故答案为：A 二、填空题 7．把化成最简单的整数比是( )，比值是( )。 【答案】 【分析】化简比先要统一单位，利用1L＝1000mL把升换算成毫升，再依据“比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变”的基本性质化简得到最简整数比；比值是比的前项除以后项得到的商。 【详解】0.45L＝450mL 0.45L∶500mL ＝450mL∶500mL ＝450∶500 ＝（450÷50）∶（500÷50） ＝9∶10 9∶10＝9÷10＝0.9 8．全州红油米粉店的招牌宣传海报，长与宽的比是3∶2，海报的宽是80厘米，它的长是( )厘米。 【答案】120 【分析】长与宽的比是3∶2，可以把长看作3份、宽看作2份，先算出1份的长度，再乘3份就得到长。 【详解】80÷2×3 ＝40×3 ＝120（厘米） 它的长是120厘米。 9．六年级参加社团活动的学生人数在80~100之间，其中男生人数和女生人数的比是4∶5。六年级参加社团活动的男生最少有( )人，女生最少有( )人。 【答案】 36 45 【分析】男女生人数比是4∶5，说明把总人数分成了4＋5＝9份，因为人数只能是整数，所以总人数是9的整数倍；算男生和女生的最少人数，则总人数最少，找9的整数倍中在80~100之间的最小值即总人数，总人数÷（4＋5）＝每份人数，每份人数×4＝男生人数，每份人数×5＝女生人数。 【详解】因为80÷9＝8……8，100÷9＝11……1，所以9在80~100之间的倍数有9×9＝81，9×10＝90，9×11＝99，其中最小的是81，所以总人数最少是81人； 81÷（4＋5） ＝81÷9 ＝9（人） 男生：9×4＝36（人） 女生：9×5＝45（人） 10．小宇家距离学校560米，他从家出发走8分钟到学校。他走路路程与时间的比是( )（填最简比），比值是( )。 【答案】 70∶1/ 70 【分析】求路程与时间的比，就是用路程作比的前项，时间作比的后项，写成560∶8，再根据比的基本性质化成最简整数比；求比值是用比的前项除以比的后项所得的商。 【详解】路程与时间的比是：560∶8＝（560÷8）∶（8÷8）＝70∶1 比值是： 70÷1＝70 11．1.6∶0.4的比值是( )；如果比的前项减去0.8，要使比值不变，后项应减去( )。 【答案】 4 0.2/ 【分析】比的比值＝比的前项÷比的后项。 比的前项减去0.8，相当于前项除以2，根据比的基本性质，比的后项也要除以2，据此求出后项减去几。 【详解】1.6∶0.4＝1.6÷0.4＝4 1.6－0.8＝0.8，1.6÷0.8＝2，0.4÷2＝0.2，0.4－0.2＝0.2 12．农历五月初五是我国传统节日端午节。小明家包了蛋黄粽子、红豆粽子一共28个，蛋黄粽子、红豆粽子的数量比是3∶4，小明家包了( )个蛋黄粽子，( )个红豆粽子。 【答案】 12 16 【分析】将比的前后项看成份数，总个数÷总份数＝一份数，一份数分别乘蛋黄粽子、红豆粽子的对应份数，即可求出蛋黄粽子、红豆粽子的个数。 【详解】一份数：28÷（3＋4） ＝28÷7 ＝4（个） 蛋黄粽子：4×3＝12（个） 红豆粽子：4×4＝16（个） 13．一个直角三角形，两条直角边的长度之和是21cm，它们的比是3∶4。这个直角三角形的斜边长是15cm，它斜边上的高是( )cm。 【答案】7.2 【分析】先根据按比分配求出两条直角边，再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形的面积，最后根据面积不变求斜边上的高：斜边的高＝2×三角形的面积÷斜边长 【详解】21÷（3＋4） ＝21÷7 ＝3（cm） 3×3＝9（cm） 3×4＝12（cm） 三角形的面积： 9×12÷2 ＝108÷2 ＝54（） 斜边上的高： 54×2÷15 ＝108÷15 ＝7.2（cm） 14．与1.6化成最简单的整数比是( )，比值是( )。如果这个最简单的整数比的前项增加4，要使比值不变，后项应( )。 【答案】 1∶2 乘5/加8 【分析】把分数化成小数，前后项同时除以0.8变成整数比；求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数。最简单的整数比的前项增加4，利用前项加上4，利用变化后的前项除以原来的前项，再把后项也乘几或加上几即可。 【详解】 ∶1.6＝0.8∶1.6＝（0.8÷0.8）∶（1.6÷0.8）＝1∶2＝ 1＋4＝5 5÷1＝5 5×2＝10 10－2＝8 因此与1.6化成最简单的整数比是1∶2，比值是。如果这个最简单的整数比的前项增加4，要使比值不变，后项应乘5或加8。 15．学校舞蹈队有队员36人，男女队员人数的比是1∶3，舞蹈队有男队员( )人，女队员( )人。 【答案】 9 27 【分析】把舞蹈队人数看作单位“1”，由“男、女队员人数的比是1∶3”，男队员占舞蹈队人数的，女队员占舞蹈队人数的，根据分数乘法的意义，用乘法计算即可得男女队员各有多少人。 【详解】36× ＝36× ＝9（人） 36× ＝36× ＝27（人） 舞蹈队有男队员9人，女队员27人。 16．项城白芝麻，河南省周口市项城市特产，全国农产品地理标志。某批发市场售卖白芝麻，王阿姨买了60千克，孙阿姨买了48千克。如果孙阿姨送给王阿姨( )千克，那么王阿姨与孙阿姨所拥有白芝麻的质量比就是3∶1。 【答案】21 【分析】孙阿姨送给王阿姨一些白芝麻后，两人白芝麻的总质量不变，先用王阿姨买的白芝麻的质量加上孙阿姨买的白芝麻的质量，求出两人白芝麻的总质量，当质量比为3∶1时，总质量一共是3＋1＝4份，用两人白芝麻的总质量除以4求出1份是多少千克，也就是孙阿姨剩下的白芝麻质量，再用48千克减去孙阿姨剩下的白芝麻的质量即可解答。 【详解】（60＋48）÷（3＋1） ＝108÷4 ＝27（千克） 48－27＝21（千克） 所以如果孙阿姨送给王阿姨21千克，那么王阿姨与孙阿姨所拥有白芝麻的质量比就是3∶1。 三、判断题 17．把2时∶45分化成最简单的整数比是。( ) 【答案】× 【分析】1时＝60分，据此统一单位。化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【详解】2时∶45分＝120分∶45分＝（120÷15）∶（45÷15）＝8∶3 把2时∶45分化成最简单的整数比是8∶3，原题说法错误。 故答案为：× 18．5∶4的前项和后项都加上20，比值不变。( ) 【答案】× 【分析】比的前项和后项同时加上相同的数，比值会发生变化。题中5∶4的前项和后项都加上20后变为25∶24，计算两个比的比值即可判断。 【详解】原比5∶4的比值为。 前项和后项都加上20后，变为25∶24，其比值为。 因为，所以比值改变。 故答案为：× 19．甲数的等于乙数的，所以甲数小于乙数。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，甲数的等于乙数的，即×甲＝×乙。通过等式变形可知，甲与乙的比为4∶5，因此即可判定。 【详解】设甲数为甲，乙数为乙。根据题意列式：两边同时乘20，两边同时除以5，得：，一个数乘一个小于1（0除外）的数，乘积小于这个数，因为小于1，所以甲数小于乙数。 故答案为：√ 20．男生和女生的人数比是5∶3，表示男生比女生多。( ) 【答案】× 【分析】男生和女生的人数比是5∶3，根据比的意义，男生人数占5份，女生人数占3份。男生比女生多5－3＝2份，多的部分应占女生人数的2÷3＝。 【详解】男生占5份，女生占3份。 （5－3）÷3 ＝2÷3 ＝ 所以男生比女生多，原说法错误。 故答案为：× 21．一条水渠，甲20天能挖完，乙30天能挖完，甲、乙工作效率的比是2∶3。( ) 【答案】× 【分析】工作效率是指单位时间完成的工作量。甲单独完成需20天，乙需30天，故甲的工作效率为1÷20＝，乙为1÷30＝。将甲、乙两者效率比化简后即可判断。 【详解】1÷20＝ 1÷30＝ ＝ 甲、乙工作效率的比应为3∶2，而非题目中的2∶3，原题说法错误。 故答案为：× 22．一杯盐水，盐和水的质量比是1∶10，倒掉一半后，剩余盐水中盐和水的质量比是1∶5。( ) 【答案】× 【分析】由题意可知，盐和水的质量比是盐的质量与水的质量的比例关系，当倒掉一半盐水时，盐的质量和水的质量同时减少一半，此时它们的质量比保持不变，举例说明即可。 【详解】原来盐和水的质量比是1∶10，则盐的质量占1份，水的质量占10份，倒掉一半盐水后，盐的质量占1÷2＝0.5份，水的质量占10÷2＝5份，此时盐的质量∶水的质量＝0.5∶5＝（0.5×10）∶（5×10）＝5∶50＝（5÷5）∶（50÷5）＝1∶10，所以剩余盐水中盐和水的质量比还是1∶10，原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 23．化简比，并求出比值。 0.9∶3.6                  1时20分∶30分 【答案】1∶4； 10∶9； 8∶3； 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，用比的前项除以后项得到比的比值。单位不同的先统一单位，既有分数又有百分数的，先统一成分数，再化简求比值，据此解答。 【详解】0.9∶3.6 ＝（0.9÷0.9）∶（3.6÷0.9） ＝1∶4 0.9∶3.6＝0.9÷3.6＝ ∶40% ＝∶0.4 ＝∶ ＝（×45）∶（×45） ＝20∶18 ＝（20÷2）∶（18÷2） ＝10∶9 ∶40%＝÷＝×＝ 1时20分∶30分 ＝（60分＋20分）∶30分 ＝80分∶30分 ＝80∶30 ＝（80÷10）∶（30÷10） ＝8∶3 1时20分∶30分＝8∶3＝8÷3＝ 24．化简下面各比，并求出比值。 90∶45    0.25∶       1.5∶0.12 【答案】2∶1，2；1∶1，1；8∶21，；25∶2，12.5 【分析】化成最简比方法：先统一形式（如小数化分数、分数化小数），再根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变， 找前项和后项的最大公因数（或最小公倍数），同时乘或除以该数，得到最简比。 求比值的方法：用最简比的前项除以后项即得比值。 【详解】 五、解答题 25．一个长方形的长和宽的比是3∶2，这个长方形的周长是320厘米。那么，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】6144平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式，周长除以2等于长与宽的和。已知长和宽的比是3∶2，可以将长与宽的和看作单位“1”，利用按比例分配的方法分别求出长和宽的长度。最后根据长方形的面积公式“面积＝长×宽”求出面积。 【详解】长与宽的和：（厘米） 总份数： 长：（厘米） 宽：（厘米） 面积：（平方厘米） 答：这个长方形的面积是 6144 平方厘米。 26．2024年海门马拉松活力开跑，共有10000名选手参赛。本次赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑三个项目，据统计，三个项目的参赛人数比为3∶4∶3，全程马拉松比半程马拉松少多少名选手？ 【答案】1000名 【分析】将参加全程马拉松的人数看作3份，参加半程马拉松的人数看作4份，参加健康跑的人数看作3份，相加求出总份数，每一份的人数＝总人数÷总份数；将参加全程和半程马拉松的人数份数求差计算出份数差；全程马拉松比半程马拉松少的人数＝每一份的人数×份数差。 【详解】10000÷（3＋4＋3）×（4－3） ＝10000÷10×1 ＝1000×1 ＝1000（名） 答：全程马拉松比半程马拉松少1000名选手。 27．学校组织“绿色环保我先行”宣传活动，六年级三个班到超市和菜市场向顾客赠送自制环保袋，平均每班向顾客赠送自制环保袋200个，已知六（1）班、六（2）班、六（3）班赠送环保袋个数的比是。六（3）班送出环保袋多少个？ 【答案】120个 【分析】用200×3求出三个班向顾客赠送自制环保袋的总个数，六（3）班赠送环保袋个数占总个数的，总个数再乘六（3）班向顾客赠送自制环保袋的个数占总个数的几分之几即可解答。 【详解】 （个） 答：六（3）班送出环保袋120个。 28．曾经黄沙蔽日的塞罕坝，经过几代人的艰苦治理，如今已成为郁郁葱葱的林海。塞罕坝种植的主要树种为落叶松、樟子松和云杉，其中一片人工林场里有落叶松和樟子松共2400棵，棵数比是11∶4，这片人工林场里落叶松和樟子松分别有多少棵？ 【答案】落叶松1760棵；樟子松640棵 【分析】考查按比例分配知识点，根据落叶松和樟子松的棵数比11∶4算出总份数为11＋4＝15份，再用两种树的总棵数2400除以总份数15，得到每份有160棵，最后分别用每份的棵数乘落叶松和樟子松对应的份数11和4，算出落叶松有1760棵，樟子松有640棵。 【详解】2400× ＝2400× ＝1760（棵） 2400－1760＝640（棵） 答：这片人工林场里落叶松有1760棵，樟子松有640棵。 29．一种什锦糖礼盒，由奶糖、巧克力糖、水果糖按1∶2∶4组成，三种糖各有36千克，当巧克力糖用完的时候，奶糖还剩多少千克？水果糖已经增加了多少千克？ 【答案】还剩18千克；增加了36千克 【分析】根据比的分配，当巧克力糖用完时，用36千克除以份数2计算出每份的重量，进而求出奶糖和水果糖的使用量，再与原有数量比较得出剩余和增加量。 【详解】36÷2×1 ＝18×1 ＝18（千克） 奶糖还剩：36－18＝18（千克） 36÷2×4 ＝18×4 ＝72（千克） 水果糖增加：72－36＝36（千克） 答：当巧克力糖用完的时候，奶糖还剩18千克，水果糖已经增加了36千克。 30．甲、乙、丙三人合作投资兴办服装厂，甲投资30万元，乙投资40万元，丙投资50万元。服装厂去年获得纯利润是48万元。按投资额分配，丙获得利润多少万元？ 【答案】20万元 【分析】甲投资30万元，乙投资40万元，丙投资50万元。根据比的意义和化简，得出三人投资额的比为3∶4∶5，即甲、乙、丙的投资额分别占三人总投资的、、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出按投资额分配，三人各应获得利润。 【详解】30∶40∶50 ＝（30÷10）∶（40÷10）∶（50÷10） ＝3∶4∶5 丙：48× ＝48× ＝20（万元） 答：丙获得利润20万元。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $