第六单元 放大和缩小（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑链，系统整合图形缩放的定义、规律与解题方法，通过分层题型与易错指南培养比例思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3大概念模块|缩放比判定、四步画图法|定义→缩放比→边/周长/面积规律递进| |题型策略|10+类奥数题型|份数法解差量、分数乘法复合缩放|基础计算→进阶应用→拓展提升分层| |易错指南|12个高频易错点|面积比平方关系、缩放比前后项辨析|概念混淆→计算错误→应用误区归类| |培优练习|5类28题|比例法解几何、组合图形缩放规律|选择/填空/作图/解答全覆盖核心考点|

第六单元 放大和缩小（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 图形放大与缩小的定义 图形的放大和缩小是指将图形的所有对应边按照指定的比进行同步扩大或缩小，得到与原图形形状相同、大小不同的新图形，本质是图形的相似变换，是比例知识在几何中的基础应用。 图形放大：对应边长度变长，图形整体变大，形状保持不变。 图形缩小：对应边长度变短，图形整体变小，形状保持不变。 核心判定标准：只有当图形所有对应边都按同一个比变化时，才是数学意义上的放大或缩小；如果各边变化比例不同，图形形状会发生改变，不属于放大与缩小。 2. 缩放比的意义与表示 缩放比是指变化后图形的边长与原图形对应边长的比，记作 “现图边长：原图边长”。 放大比：比的前项大于后项，通常后项为 1，如，表示现图边长是原图的 2 倍，图形放大到原来的 2 倍。 缩小比：比的前项小于后项，通常前项为 1，如，表示现图边长是原图的，图形缩小到原来的。 易错提醒：缩放比的前项始终对应变化后的图形，后项对应原图形，顺序不能颠倒。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：衔接 “比” 与 “比例” 的几何过渡内容，是学习比例尺、相似图形的前置基础。 奥数价值：通过边长、周长、面积的变化规律，培养比例思维、份数思想与空间想象能力，是小学几何比例问题的核心考点之一。 二、核心性质与变化规律 1. 对应边与对应角的性质 对应边成比例：放大或缩小后，新图形与原图形对应边长度的比，完全等于指定的缩放比。 对应角大小不变：图形放大或缩小只改变边长，不改变角度的大小，因此图形的形状保持不变。 延伸：图形中所有对应线段（如高、对角线、半径）的长度比，都等于缩放比。 2. 周长的变化规律 图形按指定的比放大或缩小后，周长的变化倍数与边长的变化倍数完全相同。 若按放大，则新图形周长：原图形周长，即周长扩大到原来的倍。 若按缩小，则新图形周长：原图形周长，即周长缩小到原来的。 原理：周长是所有边长的和，每条边都按相同倍数变化，总和也按相同倍数变化。 3. 面积的变化规律（奥数核心考点） 图形按指定的比放大或缩小后，面积的变化倍数是边长变化倍数的平方。 若按放大，则新图形面积：原图形面积，即面积扩大到原来的倍。 若按缩小，则新图形面积：原图形面积，即面积缩小到原来的。 示例：正方形按放大，边长扩大 3 倍，周长扩大 3 倍，面积扩大倍。 奥数延伸：该规律适用于所有平面图形，包括长方形、三角形、圆、组合图形，只要是整体按比缩放，面积比均为边长比的平方。 4. 多次缩放的复合规律 若图形先按一个比缩放，再按另一个比缩放，最终的总缩放比等于两次缩放比的乘积。 示例：图形先按放大，再按缩小，总缩放比为，即最终图形是原图的缩小。 解题技巧：将所有缩放比转化为分数相乘，最终结果化为最简整数比，即可得到总缩放比。 三、图形放大与缩小的标准画图方法 1. 通用四步画图法 找关键点：确定原图形的所有关键点（顶点、端点、圆心等决定图形形状的点）。 算对应长度：根据指定的缩放比，计算出各关键点对应边的新长度。 描新关键点：按照算出的长度，在方格图或坐标系中描出变化后的所有关键点。 顺次连线：按照原图形的连接顺序，依次连接各个新关键点，得到放大或缩小后的图形。 2. 常见图形的画图要点 长方形 / 正方形：先确定一组邻边的长度，算出新边长后描出四个顶点，再连线。 三角形：先确定底和对应高的长度，算出新的底和高，再描出三个顶点连线。 梯形：先确定上底、下底和高的长度，算出新长度后描出四个顶点连线。 圆：圆心位置不变，先算出缩放后的半径 / 直径长度，再用圆规画出新的圆。 3. 画图注意事项 所有对应边必须严格按同一个比缩放，不能只改变部分边的长度。 角度不能改变，尤其是三角形、梯形的倾斜角度要与原图保持一致。 方格图中画图时，要数准格子数，确保边长计算准确。 四、奥数常见题型及解题策略 （一）基础概念与计算类 缩放比的判断与辨析 题型：给出一组比，判断哪些是放大比、哪些是缩小比；或判断图形变化是否属于放大 / 缩小。 解题策略：比较比的前项和后项大小，前项大是放大，后项大是缩小；判断图形变化时，看所有边是否按同比例变化。 对应边长的互算 题型：已知原边长和缩放比，求变化后的边长；或已知变化后的边长和缩放比，求原边长。 解题策略：牢记 “现图边长 = 原图边长 × 缩放比的前项 ÷ 后项”，求原图边长用除法反向计算。 周长、面积变化的基础判断 题型：给出缩放比，直接判断周长、面积扩大或缩小的倍数。 解题策略：周长倍数 = 边长倍数，面积倍数 = 边长倍数的平方，直接套用规律快速作答。 （二）进阶奥数题型 1. 差量对应问题（份数法核心应用） 题型特征：已知图形放大 / 缩小后，周长或面积的增加 / 减少量，求原图形或新图形的周长、面积。 解题策略：用份数思想，把原图形的边长看作 1 份，对应周长 1 份、面积 1 份；根据缩放比确定新图形的份数，算出份数差，用 “数量差 ÷ 份数差 = 1 份量” 求解。 示例：正方形按放大后，面积增加了 36 平方厘米，求原正方形面积。 解析：原面积 1 份，现面积 4 份，份数差份，对应 36 平方厘米；1 份平方厘米，即原面积为 12 平方厘米。 2. 多次复合缩放问题 题型特征：图形经过两次及以上的放大或缩小，求最终的缩放效果，或反推中间的缩放比。 解题策略：将每次的缩放比转化为分数，连续相乘得到总缩放比；反推时用最终缩放比除以已知缩放比。 3. 不同图形的缩放规律验证 题型特征：针对三角形、梯形、圆等特殊图形，考查缩放后高、底、半径、面积的变化关系。 解题策略：所有平面图形均遵循 “边长比 = 周长比，面积比 = 边长平方比” 的统一规律，无需单独记忆，抓住核心规律即可通用。 4. 画图纠错类 题型特征：给出错误的缩放图形，找出错误并改正。 解题策略：分别测量各对应边的比，检查是否全部等于指定缩放比；检查对应角是否相等，形状是否改变。 （三）拓展提升类 1. 体积缩放初步（拓展延伸） 规律：立体图形按比缩放时，体积的变化倍数是边长变化倍数的立方。 示例：正方体按放大，体积扩大到原来的倍。 奥数作用：衔接小学立体几何与初中相似体知识，培养空间推理能力。 2. 组合图形的缩放计算 题型特征：由多个基本图形组成的组合图形按比缩放，求周长或面积的变化量。 解题策略：组合图形整体缩放后，各部分的缩放比与整体一致，可分别计算各部分变化后再求和，也可直接用整体面积乘面积变化倍数。 3. 比例法解几何图形题 题型特征：已知两个形状相同的图形（放大缩小关系），其中一个的边长、面积，求另一个的未知量。 解题策略：根据边长比、面积比的规律，列比例式求解，本质是正比例关系的应用。 4. 操作探究类问题 题型特征：探究 “长宽按不同比例变化”“只放大一条边” 等情况，判断形状是否改变。 解题策略：只有所有对应边按相同比例变化，形状才不变；比例不同则形状改变，不属于数学上的放大与缩小。 五、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 缩放比前后项颠倒：误将 “原图：现图” 当作缩放比，正确顺序是 “变化后图形：原图形”，前项对应新图，后项对应原图。 面积比与边长比混淆：误认为面积变化倍数和边长一样，高频错误；牢记面积比是边长比的平方，周长比才等于边长比。 “放大到” 与 “放大了” 混淆：“放大到原来的 n 倍” 是直接乘 n；“放大了 n 倍” 是在原基础上增加 n 倍，即乘，二者意义不同。 形状变化误解：认为图形放大后角会变大，实际上角度始终不变，形状完全相同。 2. 计算类易错点 面积倍数计算错误：计算面积变化时直接乘边长倍数，忘记平方；如按 3:1 放大，误算面积扩大 3 倍，正确是 9 倍。 反推边长比出错：已知面积扩大 9 倍，误推出边长扩大 9 倍，正确应为边长扩大 3 倍。 复合缩放比计算错误：多次缩放时，将放大和缩小的比例搞反，导致总缩放比计算颠倒。 份数差计算错误：差量问题中，误将变化后的份数当作份数差，正确应为 “新份数 - 原份数”。 3. 应用类易错点 画图漏缩放高：画三角形、梯形时，只缩放底的长度，忘记按相同比例缩放高，导致图形形状变形。 圆的缩放找错要素：误将圆的面积比当作半径比，正确是半径比等于缩放比，面积比是半径比的平方。 单位不统一：原图与新图的长度单位不一致时，未换算直接计算比例，导致结果错误。 组合图形重复计算：计算缩放后的组合图形面积时，重叠部分重复计算，未按容斥原理去重。 培优练习 一、选择题 1．把长为4厘米、宽为2厘米的长方形，各边放大（    ）倍后得到长为24厘米、宽为12厘米的长方形。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意知：4的几倍是24，2的几倍是12，根据除法的意义，列式：24÷4、12÷2后计算即可。据此解答。 【详解】24÷4＝6 12÷2＝6 把长为4厘米、宽为2厘米的长方形，各边放大6倍后得到长为24厘米、宽为12厘米的长方形。 故答案为：C 【点睛】本题考查了有关图形的放大知识，求一数是另一个数的几倍，用除法计算。 2．把一个正方形的边长缩小为原来的，缩小后正方形的面积为原来的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方形面积＝边长×边长，那么如果把一个正方形的边长缩小为原来的，那么面积缩小为原来的×。 【详解】×＝ 所以，缩小后正方形的面积为原来的。 故答案为：C 【点睛】本题考查了图形的放大和缩小，掌握正方形的面积公式和图形的缩小方法是解题关键。 3．把一个长10cm、宽6cm的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据放大比例尺求出放大后的长方形的长和宽，再根据“长方形的面积＝长×宽”求出放大后长方形的面积，据此解答。 【详解】长：10×3＝30（cm） 宽：6×3＝18（cm） 面积：30×18＝540（cm2） 所以，得到的图形的面积是540cm2。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查图形的放大与缩小，求出放大后长方形的长和宽是解答题目的关键。 4．一个长3厘米、宽2厘米的长方形按3∶1的比放大，得到的图形的周长是（    ）厘米，面积是（    ）平方厘米。 A．15；18 B．18；54 C．30；54 D．54；18 【答案】C 【分析】长方形按3∶1的比放大，也就是把长方形的长和宽扩大到原来的3倍，则分别用3×3和2×3求出放大后的长和宽，再根据长方形周长计算公式、长方形面积计算公式求出放大后的长方形的周长及面积。 【详解】3×3＝9（厘米） 2×3＝6（厘米） （9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 9×6＝54（平方厘米） 得到的图形的周长是30厘米，面积是54平方厘米。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查了图形放大与缩小的意义，以及长方形周长与面积的计算。 5．一个三角形的底边长是18cm，高是6cm，把它按缩小，得到的图形的面积是（    ）。 A．108 B．54 C．27 D．6 【答案】D 【分析】把三角形的底边长和高都缩小到原来的，再根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可。 【详解】（18×）×（6×）÷2 ＝6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 则得到的图形的面积是6。 故答案为：D 【点睛】本题考查图形的放大或缩小，明确缩小的是图形的各个边长是解题的关键。 6．把一个底是4cm，高是3cm的平行四边形按2∶1放大画在图纸上，放大后的平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．12 B．24 C．48 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，按2∶1，就是把平行四边形扩大2倍，即底和高都扩大2倍，再根据平行四边形的面积公式：底×高，代入数据，即可解答。 【详解】4×2＝8（cm） 3×2＝6（cm） 8×6＝48（cm2） 故答案为：C 【点睛】本题考查了图形的放大与缩小、平行四边形的面积，需熟练掌握计算方法。 二、填空题 7．一个长4cm，宽3cm的长方形，按2∶1放大后得到的图形的面积是( )。 【答案】48 【分析】按2∶1放大就是将长方形的长和宽都放大到原来的2倍。先计算出放大后的长方形的长和宽，再用“长方形的面积＝长×宽”计算放大后的长方形面积。 【详解】4×2＝8（cm） 3×2＝6（cm） 8×6＝48（） 8．一张长方形照片长3厘米，宽2厘米，按8∶1放大后照片的长与宽的比是______。 【答案】 【分析】图形放大的性质：图形按一定比例放大或缩小，只是改变了边的长度，不会改变边的比例关系。 【详解】 按8∶1放大，长和宽同时乘8： 比的前项和后项同时乘同一个不为0的数，比值不变。 所以长与宽的比仍为。 9．把一个长5厘米，宽3厘米的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。 【答案】135 【分析】图形按3∶1放大，指的是图形的各边长都扩大到原来的3倍：将放大后的长和宽代入长方形面积公式：长×宽＝面积求解。 【详解】放大后的长：5×3＝15（厘米），放大后的宽：3×3＝9（厘米），则放大后的面积：15×9＝135（平方厘米）。 10．电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按( )放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按( )缩小了。 【答案】 5∶1 1∶3 【分析】第一个空，把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1，据此写出变大后的长与原来长的比，化简即可；第二个空，把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n，据此写出缩小后的长与原来长的比，化简即可。 【详解】15cm∶3cm＝（15÷3）∶（3÷3）＝5∶1 1cm∶3cm＝1∶3 电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按5∶1放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按1∶3缩小了。 11．《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约( )cm，宽约( )cm。打印后，图的( )不变，( )改变。 【答案】106；5；形状；大小。 【分析】按的比缩小，意义就是原来的5份对应为现在的1份，根据此意义进行计算可得缩小后的长与宽。 图形按比放大与缩小，只改变图形的大小，图形的形状不改变。 【详解】（厘米） （厘米） 图形按比放大与缩小，只改变图形的大小，图形的形状不改变。 《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约106cm，宽约5cm。打印后，图的形状不变，大小改变。 12．美术老师想将一幅作品放大后贴在橱窗里展览。他调到300%来复印，相当于将这幅作品按( )∶( )的比放大复印出来。 【答案】 3 1 【分析】先将百分数转化为比，因为复印比例为300%，所以转化为比是，再化简比，根据比的基本性质，比的前项和后项同时除以它们的最大公因数进行化简，求出结果。 【详解】 所以他调到300%来复印，相当于将这幅作品按的比放大复印出来。 13．一个平行四边形的底是8cm，高是3cm，按1∶2的比缩小后，底与高的比是( )。 【答案】8∶3 【分析】把平行四边形按1：2缩小后，底与高的长度都缩短到原来的，所以两者的比不变；据此解答。 【详解】底与高的长度都缩短到原来的，两者的比不变； 所以底与高的比为8∶3。 14．一个长8厘米、宽6厘米的长方形，按1∶2缩小得到的长方形的周长是( )，面积是( )。 【答案】 14厘米/14cm 12平方厘米/12cm2 【分析】一个长是8厘米，宽是6厘米的长方形，把它的长和宽按1∶2的比缩小，即把长、宽缩小到原来长、宽的，就是新长方形的长、宽；根据长方形的周长计算公式：，代入数据即可求得这新长方形的周长；根据长方形的面积计算公式：，代入数据计算即可求得新长方形的面积。 【详解】1∶2＝ （厘米） （厘米） （厘米） 4×3＝12（平方厘米） 一个长8厘米、宽6厘米的长方形，按1∶2缩小得到的长方形的周长是14厘米，面积是12平方厘米。 15．一个长4厘米，宽3厘米的长方形按10∶1放大后，得到的图形的面积是( )平方厘米。 【答案】1200 【分析】根据题意，一个长4厘米，宽3厘米的长方形按10∶1放大，那么长方形的长和宽都乘10，即是放大后长方形的长和宽，然后根据长方形的面积＝长×宽，求出放大后长方形的面积。 【详解】（4×10）×（3×10） ＝40×30 ＝1200（平方厘米） 得到的图形的面积是1200平方厘米。 16．一个直角三角形的三条边长度分别是6厘米、8厘米和10厘米，这个直角三角形斜边上的高是( )厘米，如果把这个三角形按照2∶1放大后，它的面积是( )平方厘米。 【答案】 4.8 96 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，把直角三角形的两条直角边看作底和高，代入数据，求出三角形的面积，再根据高＝面积×2÷底，代入数据，求出斜边上的高；把这个三角形按2∶1放大，即把三角形的各个边放大2倍，放大后两条直角边分别是（6×2）厘米，（8×2）厘米，再代入三角形面积公式，即可解答。 【详解】6×8÷2×2÷10 ＝48÷2×2÷10 ＝24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（厘米） （6×2）×（8×2）÷2 ＝12×16÷2 ＝192÷2 ＝96（平方厘米） 一个直角三角形的三条边长度分别是6厘米、8厘米和10厘米，这个直角三角形斜边上的高是4.8厘米，如果把这个三角形按照2∶1放大后，它的面积是96平方厘米。 三、判断题 17．一幅图纸的比例尺是3∶1，表示绘图时把零件的尺寸缩小到原来的。( ) 【答案】× 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，由此可知，比例尺的前项表示图上距离，后项表示实际距离，据此分析。 【详解】一幅图纸的比例尺是3∶1，表示绘图时把零件的尺寸扩大到原来的3倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 18．把一个长方形按2∶1放大后，面积将扩大到原来的2倍。( ) 【答案】× 【分析】设长方形的长是a，宽是b；按2∶1放大后，长是2a，宽是2b，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；分别求出原来长方形面积和放大后长方形面积，再用放大后长方形面积÷原来长方形面积，求出面积扩大到原来的倍数，再进行比较，即可解答。 【详解】设长方形的长是a，宽是b，则放大后的长是2a，宽是2b。 （2a×ab）÷（a×b） ＝（4ab）÷（ab） ＝4 把一个长方形按2∶1放大后，面积将扩大到原来的4倍。 原题干说法错误。 故答案为：× 19．将一个正方形按照2∶1的比例放大后，放大前后的面积之比是1∶2。( ) 【答案】× 【分析】把一个正方形按照2∶1的比例放大，就是把边长扩大到原来的2倍，假设原来的边长是a，面积为a2，扩大后的边长为2a，面积为（2a）2，据此求出放大前后的面积比即可。 【详解】假设原来的边长是a，面积为a2，扩大后的边长为2a，面积为4a2； a2∶（2a）2 ＝a2∶4a2 ＝1∶4 即放大前后的面积之比是1∶4。所以原题说法错误。 故答案为：× 20．把边长是5cm的正方形按2∶1放大后，放大后的正方形的面积是100cm2。( ) 【答案】√ 【分析】图形的放大或缩小是指围成图形的每条边按比例放大或缩小。已知一个边长是5cm的正方形按2∶1放大，那么放大后正方形的边长是cm；根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，即可求出放大后正方形的面积。 【详解】5×2＝10（cm） 10×10＝100（cm2） 放大后的正方形的面积是100cm2。 故答案为：√ 21．一个面积为14平方厘米的长方形，把它的各边都放大到原来的2倍，放大后的长方形面积是30平方厘米。( ) 【答案】× 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），积也扩大到原来几倍或缩小到原来的几分之一；所以如果把长方形的长和宽都放大到原来的2倍，则面积放大到原来的（2×2）倍，据此解答。 【详解】14×2×2＝56（平方厘米） 一个面积为14平方厘米的长方形，把它的各边都放大到原来的2倍，放大后的长方形面积是56平方厘米。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了图形的放大，明确长方形面积公式以及积的变化规律是解答本题的关键。 22．把一个底6cm、高3cm的三角形按2∶1放大，得到的图形的面积是18cm2。( ) 【答案】× 【分析】一个底6cm、高3cm的三角形按2∶1放大，即三角形的底和高都扩大到原来的2倍，再利用三角形的面积公式计算，即可完成解答。 【详解】6×2＝12（cm） 3×2＝6（cm） 12×6÷2 ＝72÷2 ＝36（cm2） 所以得到的图形的面积是36cm2。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查的是三角形面积的计算应用，关键是求出放大后的图形的底和高。 四、作图题 23．（1）小旗子绕O点按逆时针方向旋转90°后的图形。 （2）小旗子向右平移4格后的图形。 （3）小旗子按2∶1放大后的图形。 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据旋转的特征，小旗子绕点O逆时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图形。 （2）根据平移的特征，把小旗子的各个顶点分别向右平移四格，依次连接，即可得到平移后的图形。 （3）根据放大的意义：把小旗的各个边分别扩大到原来的2倍，画出扩大后的图形。 【详解】（1）图略 （2）图略 （3）图略 24．按要求画图，并完成填空。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)将①号三角形向( )平移( )格，就与梯形拼成一个长方形。 (2)画出将①号三角形按的比放大后的图形。 (3)画出将②号三角形绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形。 (4)以虚线为对称轴，画出轴对称图形③的另一半。 【答案】(1) 左 4 (2) (3) (4) 【分析】（1）如下图，观察可知，把①号三角形向左平移4格，点H平移至点P位置，点I平移至点N位置，点J平移至点K位置，连接KP、PN，三角形KPN与梯形KLMN正好拼成一个长方形； （2）将①号三角形按的比放大，作H'I'＝2HI，作H'J'＝2HJ，连接I'J',三角形H'I'J'即为所求； （3）点O固定，线段OA旋转至OA'位置,线段OB旋转至OB'，连接A'B'，三角形OA'B'即为所求； （4）分别作出C、D、E、F、G关于直线a的对称点C、D'、E'、F'、G,顺次连接点C、D'、E'、F'、G，即可画出轴对称图形③的另一半。 【详解】（1）把①号三角形向左平移4格，点H平移至点P位置，点I平移至点N位置，点J平移至点K位置，连接KP、PN，三角形KPN与梯形KLMN正好拼成一个长方形。 将①号三角形向左平移四格，就与梯形拼成一个长方形。 （2）略 （3）略 （4）略 五、解答题 25．下面表格中的正方形的边长是1厘米，请按要求完成下面问题。 （1）在方格纸中作一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。 （2）画出上面图形按2∶1放大的图形。 （3）原图的面积是（    ）平方厘米，放大后的图形的面积是（    ）平方厘米。 （4）观察上面的数据，可以看出把图形放大到原来的n倍，则周长扩大到原来的（    ）倍，面积扩大到原来的（    ）倍。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）6；24 （4）n；n2 【分析】（1）根据长方形的特征，画出一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。 （2）长方形按2∶1放大，原来长方形的长和宽都乘2，即是放大后长方形的长和宽，据此画出放大后的长方形。 （3）根据长方形的面积＝长×宽，分别求出原长方形和放大后的长方形的面积。 （4）长方形按2∶1放大，那么长方形的每一条边都扩大到原来的2倍； 原来长方形的周长是10厘米，放大后长方形的周长是20厘米，周长扩大到原来的2倍； 原来长方形的面积是6平方厘米，放大后长方形的面积是24平方厘米，面积扩大到原来的4倍；据此得出规律。 【详解】（1）长为3厘米、宽为2厘米的长方形如下图。 （2）放大后长方形的长是：3×2＝6（厘米） 放大后长方形的宽是：2×2＝4（厘米） 放大后的长方形如下图。 （3）原长方形的面积：3×2＝6（平方厘米） 放大后长方形的面积：6×4＝24（平方厘米） 原图的面积是6平方厘米，放大后的图形的面积是24平方厘米。 （4）观察上面的数据，可以看出把图形放大到原来的n倍，则周长扩大到原来的n倍，面积扩大到原来的n2倍。 【点睛】本题考查长方形的画法、作放大后的图形、长方形面积公式的运用以及图形放大后，图形的周长、面积的变化规律。 26．下图中每个方格的边长为1厘米，请按要求画一画。 （1）画出三角形ABC向上平移2格的图形，平移后，点C的位置用数对表示为（    ）。 （2）画出三角形ABC绕顶点B顺时针旋转90度的图形，旋转后，点A的位置用数对表示为（    ）。 （3）画出三角形ABC按2∶1放大后的图形，放大后，三角形的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）图形见详解；（5，10）； （2）图形见详解；（2，3）； （3）图形见详解；12 【分析】（1）找出构成图形的关键点；确定平移方向（向上）和平移距离（2格）；由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；依次连接各对应点，最后用数对（列数，行数）表示出点C对应点的位置； （2）根据题目要求确定旋转中心（点B）、旋转方向（顺时针）、旋转角度（90度），分析所作图形，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形，并用数对表示出点A对应点的位置； （3）原来三角形ABC的长直角边为3厘米，放大后长直角边为3×2＝6厘米，原来三角形ABC的短直角边为2厘米，放大后短直角边为2×2＝4厘米，据此画出放大后的三角形，最后根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出放大后三角形的面积，据此解答。 【详解】作图如下： （1）平移后，点C的位置用数对表示为（5，10）。 （2）旋转后，点A的位置用数对表示为（2，3）。 （3）3×2＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） 6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 所以，放大后，三角形的面积是12平方厘米。 【点睛】掌握平移、旋转和放大图形的作图方法是解答题目的关键。 27．填一填，画一画。    （1）图中（    ）号图是①号长方形缩小后的图形，它是按（    ）∶（    ）的比缩小的。 （2）按1∶3的比画出图形④缩小后的图形。 （3）按2∶1的比画出平行四边形放大后的图形。 【答案】（1）③；1；2；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）图形的缩小就是将原来的图形按一定的比例缩小，形状不变，图形变小；要找几号图形是①号图形缩小后的图形，先找出比①号长方形小的图形，看看长和宽缩小的比例是否一样，据此即可确定出要找的图形； （2）图形④按1∶3缩小，也就是将长和宽缩小到原来的，原来的长有6格，宽有3格，分别用6÷3、3÷3即可求出缩小后的长和宽，据此画图； （3）平行四边形按2∶1放大，也就是将底和高扩大到原来的2倍，已知原来的底有3格，高有2格，分别用3×2、2×2即可求出扩大后的底和高，据此画图。 【详解】（1）比①号图形小的长方形有2个，②和③，②的宽没有发生变化，不符合，所以③号符合，③号的宽有1格，①号的宽有2格，所以图中③号图是①号长方形缩小后的图形，它是按1∶2的比缩小的。 （2）原来的长有6格，宽有3格， 6÷3＝2（格） 3÷3＝1（格） （3）已知原来的底有3格，高有2格， 3×2＝6（格） 2×2＝4（格） 如图：    【点睛】本题考查了图形的放大和缩小的方法，同时要注意图形的放大或缩小形状不变。 28．按要求填一填、画一画。 （1）以虚线为对称轴，画出轴对称图形①的另一半。 （2）画出图形②绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）图中（    ）号图形是③号图形放大后的图形，它是按（    ）∶（    ）的比放大的。 （4）画出将图形③缩小的图形，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是。 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 （3）④；3；1 （4）图见详解。（画图位置不唯一） 【分析】（1）轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线垂直对称轴，据此作图； （2）以点O为旋转中心，将图形②各边顺时针旋转90°，画出旋转后的图形； （3）观察图中长方形，发现只有④长和宽都是③的3倍，据此填空； （4）将③的长和宽都除以2，画出缩小后的图形。 【详解】（1）（2）如图： （3）图中④号图形是③号图形放大后的图形，它是按3∶1的比放大的。 （4）如图： 【点睛】本题考查了轴对称、旋转以及图形的放大和缩小，掌握作图方法是解题的关键。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 放大和缩小（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 图形放大与缩小的定义 图形的放大和缩小是指将图形的所有对应边按照指定的比进行同步扩大或缩小，得到与原图形形状相同、大小不同的新图形，本质是图形的相似变换，是比例知识在几何中的基础应用。 图形放大：对应边长度变长，图形整体变大，形状保持不变。 图形缩小：对应边长度变短，图形整体变小，形状保持不变。 核心判定标准：只有当图形所有对应边都按同一个比变化时，才是数学意义上的放大或缩小；如果各边变化比例不同，图形形状会发生改变，不属于放大与缩小。 2. 缩放比的意义与表示 缩放比是指变化后图形的边长与原图形对应边长的比，记作 “现图边长：原图边长”。 放大比：比的前项大于后项，通常后项为 1，如，表示现图边长是原图的 2 倍，图形放大到原来的 2 倍。 缩小比：比的前项小于后项，通常前项为 1，如，表示现图边长是原图的，图形缩小到原来的。 易错提醒：缩放比的前项始终对应变化后的图形，后项对应原图形，顺序不能颠倒。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：衔接 “比” 与 “比例” 的几何过渡内容，是学习比例尺、相似图形的前置基础。 奥数价值：通过边长、周长、面积的变化规律，培养比例思维、份数思想与空间想象能力，是小学几何比例问题的核心考点之一。 二、核心性质与变化规律 1. 对应边与对应角的性质 对应边成比例：放大或缩小后，新图形与原图形对应边长度的比，完全等于指定的缩放比。 对应角大小不变：图形放大或缩小只改变边长，不改变角度的大小，因此图形的形状保持不变。 延伸：图形中所有对应线段（如高、对角线、半径）的长度比，都等于缩放比。 2. 周长的变化规律 图形按指定的比放大或缩小后，周长的变化倍数与边长的变化倍数完全相同。 若按放大，则新图形周长：原图形周长，即周长扩大到原来的倍。 若按缩小，则新图形周长：原图形周长，即周长缩小到原来的。 原理：周长是所有边长的和，每条边都按相同倍数变化，总和也按相同倍数变化。 3. 面积的变化规律（奥数核心考点） 图形按指定的比放大或缩小后，面积的变化倍数是边长变化倍数的平方。 若按放大，则新图形面积：原图形面积，即面积扩大到原来的倍。 若按缩小，则新图形面积：原图形面积，即面积缩小到原来的。 示例：正方形按放大，边长扩大 3 倍，周长扩大 3 倍，面积扩大倍。 奥数延伸：该规律适用于所有平面图形，包括长方形、三角形、圆、组合图形，只要是整体按比缩放，面积比均为边长比的平方。 4. 多次缩放的复合规律 若图形先按一个比缩放，再按另一个比缩放，最终的总缩放比等于两次缩放比的乘积。 示例：图形先按放大，再按缩小，总缩放比为，即最终图形是原图的缩小。 解题技巧：将所有缩放比转化为分数相乘，最终结果化为最简整数比，即可得到总缩放比。 三、图形放大与缩小的标准画图方法 1. 通用四步画图法 找关键点：确定原图形的所有关键点（顶点、端点、圆心等决定图形形状的点）。 算对应长度：根据指定的缩放比，计算出各关键点对应边的新长度。 描新关键点：按照算出的长度，在方格图或坐标系中描出变化后的所有关键点。 顺次连线：按照原图形的连接顺序，依次连接各个新关键点，得到放大或缩小后的图形。 2. 常见图形的画图要点 长方形 / 正方形：先确定一组邻边的长度，算出新边长后描出四个顶点，再连线。 三角形：先确定底和对应高的长度，算出新的底和高，再描出三个顶点连线。 梯形：先确定上底、下底和高的长度，算出新长度后描出四个顶点连线。 圆：圆心位置不变，先算出缩放后的半径 / 直径长度，再用圆规画出新的圆。 3. 画图注意事项 所有对应边必须严格按同一个比缩放，不能只改变部分边的长度。 角度不能改变，尤其是三角形、梯形的倾斜角度要与原图保持一致。 方格图中画图时，要数准格子数，确保边长计算准确。 四、奥数常见题型及解题策略 （一）基础概念与计算类 缩放比的判断与辨析 题型：给出一组比，判断哪些是放大比、哪些是缩小比；或判断图形变化是否属于放大 / 缩小。 解题策略：比较比的前项和后项大小，前项大是放大，后项大是缩小；判断图形变化时，看所有边是否按同比例变化。 对应边长的互算 题型：已知原边长和缩放比，求变化后的边长；或已知变化后的边长和缩放比，求原边长。 解题策略：牢记 “现图边长 = 原图边长 × 缩放比的前项 ÷ 后项”，求原图边长用除法反向计算。 周长、面积变化的基础判断 题型：给出缩放比，直接判断周长、面积扩大或缩小的倍数。 解题策略：周长倍数 = 边长倍数，面积倍数 = 边长倍数的平方，直接套用规律快速作答。 （二）进阶奥数题型 1. 差量对应问题（份数法核心应用） 题型特征：已知图形放大 / 缩小后，周长或面积的增加 / 减少量，求原图形或新图形的周长、面积。 解题策略：用份数思想，把原图形的边长看作 1 份，对应周长 1 份、面积 1 份；根据缩放比确定新图形的份数，算出份数差，用 “数量差 ÷ 份数差 = 1 份量” 求解。 示例：正方形按放大后，面积增加了 36 平方厘米，求原正方形面积。 解析：原面积 1 份，现面积 4 份，份数差份，对应 36 平方厘米；1 份平方厘米，即原面积为 12 平方厘米。 2. 多次复合缩放问题 题型特征：图形经过两次及以上的放大或缩小，求最终的缩放效果，或反推中间的缩放比。 解题策略：将每次的缩放比转化为分数，连续相乘得到总缩放比；反推时用最终缩放比除以已知缩放比。 3. 不同图形的缩放规律验证 题型特征：针对三角形、梯形、圆等特殊图形，考查缩放后高、底、半径、面积的变化关系。 解题策略：所有平面图形均遵循 “边长比 = 周长比，面积比 = 边长平方比” 的统一规律，无需单独记忆，抓住核心规律即可通用。 4. 画图纠错类 题型特征：给出错误的缩放图形，找出错误并改正。 解题策略：分别测量各对应边的比，检查是否全部等于指定缩放比；检查对应角是否相等，形状是否改变。 （三）拓展提升类 1. 体积缩放初步（拓展延伸） 规律：立体图形按比缩放时，体积的变化倍数是边长变化倍数的立方。 示例：正方体按放大，体积扩大到原来的倍。 奥数作用：衔接小学立体几何与初中相似体知识，培养空间推理能力。 2. 组合图形的缩放计算 题型特征：由多个基本图形组成的组合图形按比缩放，求周长或面积的变化量。 解题策略：组合图形整体缩放后，各部分的缩放比与整体一致，可分别计算各部分变化后再求和，也可直接用整体面积乘面积变化倍数。 3. 比例法解几何图形题 题型特征：已知两个形状相同的图形（放大缩小关系），其中一个的边长、面积，求另一个的未知量。 解题策略：根据边长比、面积比的规律，列比例式求解，本质是正比例关系的应用。 4. 操作探究类问题 题型特征：探究 “长宽按不同比例变化”“只放大一条边” 等情况，判断形状是否改变。 解题策略：只有所有对应边按相同比例变化，形状才不变；比例不同则形状改变，不属于数学上的放大与缩小。 五、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 缩放比前后项颠倒：误将 “原图：现图” 当作缩放比，正确顺序是 “变化后图形：原图形”，前项对应新图，后项对应原图。 面积比与边长比混淆：误认为面积变化倍数和边长一样，高频错误；牢记面积比是边长比的平方，周长比才等于边长比。 “放大到” 与 “放大了” 混淆：“放大到原来的 n 倍” 是直接乘 n；“放大了 n 倍” 是在原基础上增加 n 倍，即乘，二者意义不同。 形状变化误解：认为图形放大后角会变大，实际上角度始终不变，形状完全相同。 2. 计算类易错点 面积倍数计算错误：计算面积变化时直接乘边长倍数，忘记平方；如按 3:1 放大，误算面积扩大 3 倍，正确是 9 倍。 反推边长比出错：已知面积扩大 9 倍，误推出边长扩大 9 倍，正确应为边长扩大 3 倍。 复合缩放比计算错误：多次缩放时，将放大和缩小的比例搞反，导致总缩放比计算颠倒。 份数差计算错误：差量问题中，误将变化后的份数当作份数差，正确应为 “新份数 - 原份数”。 3. 应用类易错点 画图漏缩放高：画三角形、梯形时，只缩放底的长度，忘记按相同比例缩放高，导致图形形状变形。 圆的缩放找错要素：误将圆的面积比当作半径比，正确是半径比等于缩放比，面积比是半径比的平方。 单位不统一：原图与新图的长度单位不一致时，未换算直接计算比例，导致结果错误。 组合图形重复计算：计算缩放后的组合图形面积时，重叠部分重复计算，未按容斥原理去重。 培优练习 一、选择题 1．把长为4厘米、宽为2厘米的长方形，各边放大（    ）倍后得到长为24厘米、宽为12厘米的长方形。 A．2 B．4 C．6 D．8 2．把一个正方形的边长缩小为原来的，缩小后正方形的面积为原来的（    ）。 A． B． C． D． 3．把一个长10cm、宽6cm的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个长3厘米、宽2厘米的长方形按3∶1的比放大，得到的图形的周长是（    ）厘米，面积是（    ）平方厘米。 A．15；18 B．18；54 C．30；54 D．54；18 5．一个三角形的底边长是18cm，高是6cm，把它按缩小，得到的图形的面积是（    ）。 A．108 B．54 C．27 D．6 6．把一个底是4cm，高是3cm的平行四边形按2∶1放大画在图纸上，放大后的平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．12 B．24 C．48 D．6 二、填空题 7．一个长4cm，宽3cm的长方形，按2∶1放大后得到的图形的面积是( )。 8．一张长方形照片长3厘米，宽2厘米，按8∶1放大后照片的长与宽的比是______。 9．把一个长5厘米，宽3厘米的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。 10．电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按( )放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按( )缩小了。 11．《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约( )cm，宽约( )cm。打印后，图的( )不变，( )改变。 12．美术老师想将一幅作品放大后贴在橱窗里展览。他调到300%来复印，相当于将这幅作品按( )∶( )的比放大复印出来。 13．一个平行四边形的底是8cm，高是3cm，按1∶2的比缩小后，底与高的比是( )。 14．一个长8厘米、宽6厘米的长方形，按1∶2缩小得到的长方形的周长是( )，面积是( )。 15．一个长4厘米，宽3厘米的长方形按10∶1放大后，得到的图形的面积是( )平方厘米。 16．一个直角三角形的三条边长度分别是6厘米、8厘米和10厘米，这个直角三角形斜边上的高是( )厘米，如果把这个三角形按照2∶1放大后，它的面积是( )平方厘米。 三、判断题 17．一幅图纸的比例尺是3∶1，表示绘图时把零件的尺寸缩小到原来的。( ) 18．把一个长方形按2∶1放大后，面积将扩大到原来的2倍。( ) 19．将一个正方形按照2∶1的比例放大后，放大前后的面积之比是1∶2。( ) 20．把边长是5cm的正方形按2∶1放大后，放大后的正方形的面积是100cm2。( ) 21．一个面积为14平方厘米的长方形，把它的各边都放大到原来的2倍，放大后的长方形面积是30平方厘米。( ) 22．把一个底6cm、高3cm的三角形按2∶1放大，得到的图形的面积是18cm2。( ) 四、作图题 23．（1）小旗子绕O点按逆时针方向旋转90°后的图形。 （2）小旗子向右平移4格后的图形。 （3）小旗子按2∶1放大后的图形。 24．按要求画图，并完成填空。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)将①号三角形向( )平移( )格，就与梯形拼成一个长方形。 (2)画出将①号三角形按的比放大后的图形。 (3)画出将②号三角形绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形。 (4)以虚线为对称轴，画出轴对称图形③的另一半。 五、解答题 25．下面表格中的正方形的边长是1厘米，请按要求完成下面问题。 （1）在方格纸中作一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。 （2）画出上面图形按2∶1放大的图形。 （3）原图的面积是（    ）平方厘米，放大后的图形的面积是（    ）平方厘米。 （4）观察上面的数据，可以看出把图形放大到原来的n倍，则周长扩大到原来的（    ）倍，面积扩大到原来的（    ）倍。 26．下图中每个方格的边长为1厘米，请按要求画一画。 （1）画出三角形ABC向上平移2格的图形，平移后，点C的位置用数对表示为（    ）。 （2）画出三角形ABC绕顶点B顺时针旋转90度的图形，旋转后，点A的位置用数对表示为（    ）。 （3）画出三角形ABC按2∶1放大后的图形，放大后，三角形的面积是（    ）平方厘米。 27．填一填，画一画。    （1）图中（    ）号图是①号长方形缩小后的图形，它是按（    ）∶（    ）的比缩小的。 （2）按1∶3的比画出图形④缩小后的图形。 （3）按2∶1的比画出平行四边形放大后的图形。 28．按要求填一填、画一画。 （1）以虚线为对称轴，画出轴对称图形①的另一半。 （2）画出图形②绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）图中（    ）号图形是③号图形放大后的图形，它是按（    ）∶（    ）的比放大的。 （4）画出将图形③缩小的图形，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $