26.2.2 二次函数y=a(x-h)^2+k的图像与性质（知识清单，知识点&5易错&9题型）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了二次函数图象与性质的知识体系。从基础的y=ax²出发，逐步探究y=ax²+k（上下平移）、y=a(x-h)²（左右平移）到y=a(x-h)²+k（综合平移）的图象性质，明确开口方向、顶点坐标、对称轴及平移规律，构建从简单到复杂的学习支架。 知识链路按“特殊到一般”逻辑呈现，通过五点作图、对比表格归纳性质，结合易错点分析（如顶点坐标、平移方向）和题型分类（含方法技巧与例题）。以数学眼光抽象函数形式与图象关系，用数学思维推理平移规律，借数学语言（顶点式、口诀）精确表达，助力学生建立完整认知框架，提升应用能力。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象与性质 🔷知识点一　的图象与性质 首先，我们在同一个坐标系下，画出、、的图象： 按照五点作图法，得出以下各组数据： … … … … … … … … 描出图象： 完成下列表格，进行对比： 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 不难发现，这三个函数顶点坐标不同，再观察三个图象之间的位置关系，把抛物线 向上平移2个单位长度，就得到抛物线；把抛物线向下平移2个单位长度，就得到抛物线。 所以我们认为，随着的变化，二次函数的图象会向上或向下平移。 当时，即把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线； 当时，即把抛物线向下平移个单位长度，得到抛物线。 ⚠️特别提醒 上下平移前后，改变的是顶点的纵坐标（好比从变成），它的最值也会随之发生改变，而以下几个性质不会发生改变：①开口方向和大小（的符号和数值都没有发生改变）；②对称轴（仍是轴，即）；③抛物线的形状，更直观的理解，可以认为是对整个抛物线“整体搬家”。 📌 归纳总结 二次函数的图象性质： 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 🔷知识点二　的图象与性质 在同一坐标系中，画出、、 的图象，再对它们的性质进行对比。 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 经过对比，可以发现，把抛物线向左平移1 个单位长度，就得到抛物线; 把抛物线向右 平移 1 个单位长度，就得到抛物线; 所以我们认为，随着的变化，二次函数的图象会向左或向右平移。 当时，即把抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线； 当时，即把抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线。 💡 拓展延伸 关于求二次函数的对称轴的问题，有一个非常简单的办法，那就是：对称轴直线等于括号内之后的数字的相反数，例如： 的对称轴为：直线；其中，括号内之后的数为“”,因此对称轴就是“”的相反数，即. 的对称轴为：直线；其中，括号内之后的数为“”,因此对称轴就是“”的相反数，即. 📌 归纳总结 二次函数的图象性质： 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 🔷知识点三　的图象与性质 在同一坐标系中，画出、、 的图象，对比三个函数图象的各项性质，并观察三个图象之间的位置关系。 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 从中观察顶点坐标的位置变化： 向下平移1个单位 向左平移1个单位 从中观察对称轴的位置变化： 未移动 向左平移1个单位 不难看出： 向下平移 1个单位 向左平移 1个单位 因此我们可以得到结论： 向平移个单位 向左/右平移个单位 通过图象可以看出，的顶点为，我们也称该式为“顶 点式”。 📌 归纳总结 二次函数的图象性质： 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 易错点 1 顶点坐标写反 · 错例：对于二次函数，顶点坐标写成或； · 错因：受“括号内符号看反”的惯性影响，认为“有加号就是正，有减号就是负”，反向记忆； · 规避方法：可以通过计算的方法保证不出错，令括号内的整体等于“”，即，求出的就是顶点坐标横坐标，而顶点坐标的纵坐标就是顶点式最后面的常数，一定要带上前面的符号。 易错点 2 对称轴写错 · 错例：对于二次函数，对称轴写成轴或但无法理解； · 错因：只关注顶点，却忘了对称轴是“穿过顶点的竖直线”，缺乏“顶点横坐标即为对称轴”的关联意识； · 规避方法：对称轴就是直线，对称轴和顶点坐标横坐标是一样的，并非所有的对称轴都是轴。 易错点 3 平移方向混淆 · 错例：描述时，说成“向左平移3个单位、向上平移2各单位”； · 错因：将一些代表负面意义的词和主观想法强行联系在一起，亦或是和数轴上的点的平移混淆，认为往左平移就是减，往右平移就是加，引起这样错误的知识迁移； · 规避方法：除了“上加下减，左加右减”的方法之外，还可以看顶点如何移动，顶点的移动路径，就代表函数图象的移动路径。例如：原来的顶点是，变化之后顶点是，从变成需要先向右移动3个单位，再向上移动2个单位。 易错点 4 增减性不换“参照系” · 错例：对于二次函数，仍说“当时，随着的增加而减小”； · 错因：思维惯性，依然以轴为界，忘记了对称轴已经右移到； · 规避方法：做题第一步先写出对称轴，并在草稿纸上画出这条虚线竖线，所有讨论增减性的问题，必须以这条线为分界。 易错点 5 最值与开口方向“脱钩” · 错例：对于二次函数，认为有最小值； · 错因：只记住了“最值是”，但忘了前提是“开口向上才有最小值，开口向下才有最大值”； · 规避方法：先看确定函数有最大值还是最小值，再看对的取值范围是否有限制，如果可以取全部实数，则最值在顶点位置处；如果也有对应的取值范围，再判断端点值与顶点的大小，即可确定最值。 · 题型一：的图象及性质 📝方法技巧 的开口方向、开口大小、对称轴、增减性都和一样，只有顶点坐标和最值不同，的顶点坐标是，而它的最值也是。 当提到两个函数图象开口大小一样时，则代表相同；反之，若相同，则代表两个函数图象开口大小也是一样的。 1.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 6．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（    ） A．形状相同 B．顶点相同 C．最小值相同 D．最大值相同 7．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 题型二：上的点坐标相对大小 📝方法技巧 若需要比较函数上的点的纵坐标相对大小： ①找对称轴； ②标点； ③若点分布在对称轴同一侧，则根据函数增减性直接得到结论；若点分布在对称轴两侧，则看点的相对高低：越高的点，纵坐标的值越大；越低的点，纵坐标的值越小。 当然，也可以选择将的值代入到函数中求出进行比较，这种方法更直接一些。 1.（2026·吉林长春·一模）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·福建厦门·期末）已知点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 题型三：的图象及性质 📝方法技巧 熟记的以下各项性质： ①对称轴：直线； ②顶点坐标：； ③增减性：描述增减性时，是以直线未分界线的，并非是轴。 确认图象时，主要看以下几个关键点：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标。 1.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26九年级上·青海西宁·期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5.（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B．C． D． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型四：根据函数的增减性求取值范围 📝方法技巧 若根据函数的增减性求的取值范围，直接利用函数的增减性性质求不等式即可； 若是根据函数的增减性求参数的取值范围，则先确定函数的增减性，再和题干中描述的增减性对照，对参数取合适的范围即可。 1.（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：上的点坐标相对大小 📝方法技巧 和在上的点坐标判断的方法类似，在上： ①找对称轴； ②标点； ③点若分布在对称轴同一侧，则按照增减性直接判断即可；若分布在对称轴两侧，则需要对比点的相对高低，越高的点，值越大。 当然也可以选择直接代点计算，比较大小。 1.（2025九年级上·上海·专题练习）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·北京·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型六：二次函数对称性的应用 📝方法技巧 二次函数的图象具有对称性，若在对称轴一侧存在一点，则关于对称轴对称后，必然也会存在一点在函数图象上，并且这两个点的函数值相同。例如： 对于二次函数，其对称轴为直线，设在对称轴左侧图象上存在点，将其关于对称轴对称后，存在与之对应的点，并满足以下关系：，。 1.（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2021·湖南长沙·二模）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（    ） A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3 题型七：的图象及性质 📝方法技巧 二次函数的几条重要性质如下： ①顶点坐标： ②对称轴：直线 ③增减性：以直线为分界线描述，即：当时，随的增大而…；当时，随增大而…. 1.（21-22九年级上·广西百色·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 4．（2022九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 5．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 6．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（2022九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数，当时，y的取值范围____________． 题型八：由的增减性求参数取值范围 📝方法技巧 当已知两点在抛物线上时，若有给定的函数值的大小关系或增减性，可以通过以下方法求参数取值范围： ①不等式法：直接将假设好的两个点的横坐标代入到二次函数表达式中，得出与之对应的函数值，再根据给定的函数值的不等关系，列不等式，求解即可； ②性质法：利用二次函数自身的性质，先确定其开口方向以及对称轴，画草图，再根据给定的增减性，与之对照，找到对称轴和参数之间的关系即可。 1．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于 的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是__________． 4．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 题型九：的性质综合应用 📝方法技巧 对于二次函数的性质综合应用题，有以下几点性质需要重点关注： ①抓顶点：由解析式直接得顶点，对称轴； ②看开口：向上，向下，其决定增减性和最值类型； ③对称性：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称，横坐标满足以下关系：； ④比大小：点到对称轴的距离越远，时越大，时越小； ⑤区间最值：若区间含顶点，最值在顶点处；若不含，在端点处取得。注意分情况讨论。 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知抛物线，点，在抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，则实数m的取值范围是________． 2．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数（为常数，且）中x和y满足下表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 m ①；②；③若点在此抛物线上，则n的值为；④点为该函数图象上的两点，则当时，；⑤若当，函数有最小值12，则或8．其中正确的是________． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象与性质 🔷知识点一　的图象与性质 首先，我们在同一个坐标系下，画出、、的图象： 按照五点作图法，得出以下各组数据： … … … … … … … … 描出图象： 完成下列表格，进行对比： 函数 开口方向 开口向上 开口向上 开口向上 顶点坐标 对称轴 轴 轴 轴 不难发现，这三个函数顶点坐标不同，再观察三个图象之间的位置关系，把抛物线 向上平移2个单位长度，就得到抛物线；把抛物线向下平移2个单位长度，就得到抛物线。 所以我们认为，随着的变化，二次函数的图象会向上或向下平移。 当时，即把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线； 当时，即把抛物线向下平移个单位长度，得到抛物线。 ⚠️特别提醒 上下平移前后，改变的是顶点的纵坐标（好比从变成），它的最值也会随之发生改变，而以下几个性质不会发生改变：①开口方向和大小（的符号和数值都没有发生改变）；②对称轴（仍是轴，即）；③抛物线的形状，更直观的理解，可以认为是对整个抛物线“整体搬家”。 📌 归纳总结 二次函数的图象性质： 图象 开口方向 开口向上 顶点坐标 对称轴 轴 增减性 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 最值 时，函数取最小值为 图象 开口方向 开口向下 顶点坐标 对称轴 轴 增减性 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 最值 时，函数取最大值为 🔷知识点二　的图象与性质 在同一坐标系中，画出、、 的图象，再对它们的性质进行对比。 函数 开口方向 开口向上 开口向上 开口向上 顶点坐标 对称轴 经过对比，可以发现，把抛物线向左平移1个单位长度，就得到抛物线; 把抛物线向右平移1个单位长度，就得到抛物线; 所以我们认为，随着的变化，二次函数的图象会向左或向右平移。 当时，即把抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线； 当时，即把抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线。 💡 拓展延伸 关于求二次函数的对称轴的问题，有一个非常简单的办法，那就是：对称轴直线等于括号内之后的数字的相反数，例如： 的对称轴为：直线；其中，括号内之后的数为“”,因此对称轴就是“”的相反数，即. 的对称轴为：直线；其中，括号内之后的数为“”,因此对称轴就是“”的相反数，即. 📌 归纳总结 二次函数的图象性质： 图象 开口方向 开口向上 顶点坐标 对称轴 增减性 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 最值 时，函数取最小值为 图象 开口方向 开口向下 顶点坐标 对称轴 增减性 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 最值 时，函数取最大值为 🔷知识点三　的图象与性质 在同一坐标系中，画出、、 的图象，对比三个函数图象的各项性质，并观察三个图象之间的位置关系。 函数 开口方向 开口向上 开口向上 开口向上 顶点坐标 对称轴 直线 直线 直线 最值 最小值 最小值 最小值 从中观察顶点坐标的位置变化： 向下平移1个单位 向左平移1个单位 从中观察对称轴的位置变化： 未移动 向左平移1个单位 不难看出： 向下平移 1个单位 向左平移 1个单位 因此我们可以得到结论： 向平移个单位 向左/右平移个单位 通过图象可以看出，的顶点为，我们也称该式为“顶 点式”。 📌 归纳总结 二次函数的图象性质： 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 对称轴 直线 直线 增减性 当时，随增大而增大 当时，随增大而减小 当时，随增大而减小 当时，随增大而增大 最值 当时，函数最小值为 当时，函数最大值为 易错点 1 顶点坐标写反 · 错例：对于二次函数，顶点坐标写成或； · 错因：受“括号内符号看反”的惯性影响，认为“有加号就是正，有减号就是负”，反向记忆； · 规避方法：可以通过计算的方法保证不出错，令括号内的整体等于“”，即，求出的就是顶点坐标横坐标，而顶点坐标的纵坐标就是顶点式最后面的常数，一定要带上前面的符号。 易错点 2 对称轴写错 · 错例：对于二次函数，对称轴写成轴或但无法理解； · 错因：只关注顶点，却忘了对称轴是“穿过顶点的竖直线”，缺乏“顶点横坐标即为对称轴”的关联意识； · 规避方法：对称轴就是直线，对称轴和顶点坐标横坐标是一样的，并非所有的对称轴都是轴。 易错点 3 平移方向混淆 · 错例：描述时，说成“向左平移3个单位、向上平移2各单位”； · 错因：将一些代表负面意义的词和主观想法强行联系在一起，亦或是和数轴上的点的平移混淆，认为往左平移就是减，往右平移就是加，引起这样错误的知识迁移； · 规避方法：除了“上加下减，左加右减”的方法之外，还可以看顶点如何移动，顶点的移动路径，就代表函数图象的移动路径。例如：原来的顶点是，变化之后顶点是，从变成需要先向右移动3个单位，再向上移动2个单位。 易错点 4 增减性不换“参照系” · 错例：对于二次函数，仍说“当时，随着的增加而减小”； · 错因：思维惯性，依然以轴为界，忘记了对称轴已经右移到； · 规避方法：做题第一步先写出对称轴，并在草稿纸上画出这条虚线竖线，所有讨论增减性的问题，必须以这条线为分界。 易错点 5 最值与开口方向“脱钩” · 错例：对于二次函数，认为有最小值； · 错因：只记住了“最值是”，但忘了前提是“开口向上才有最小值，开口向下才有最大值”； · 规避方法：先看确定函数有最大值还是最小值，再看对的取值范围是否有限制，如果可以取全部实数，则最值在顶点位置处；如果也有对应的取值范围，再判断端点值与顶点的大小，即可确定最值。 · 题型一：的图象及性质 📝方法技巧 的开口方向、开口大小、对称轴、增减性都和一样，只有顶点坐标和最值不同，的顶点坐标是，而它的最值也是。 当提到两个函数图象开口大小一样时，则代表相同；反之，若相同，则代表两个函数图象开口大小也是一样的。 1.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 3．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式． 利用形如的二次函数的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：∵形如的二次函数，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】把抛物线化成顶点式，进而即可得到答案； 本题考查了抛物线的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键 【详解】解：根据题意，得， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为,即y 轴 故选：C 6．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（    ） A．形状相同 B．顶点相同 C．最小值相同 D．最大值相同 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，进而求解． 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意； ∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意； 故选：A． 7．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 题型二：上的点坐标相对大小 📝方法技巧 若需要比较函数上的点的纵坐标相对大小： ①找对称轴； ②标点； ③若点分布在对称轴同一侧，则根据函数增减性直接得到结论；若点分布在对称轴两侧，则看点的相对高低：越高的点，纵坐标的值越大；越低的点，纵坐标的值越小。 当然，也可以选择将的值代入到函数中求出进行比较，这种方法更直接一些。 1.（2026·吉林长春·一模）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小． 【详解】解：点和点都在抛物线上， 将代入解析式得； 将代入解析式得； ， ． 故选：． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期末）已知点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较．通过将点的横坐标代入抛物线解析式，直接计算纵坐标值，并比较大小即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，， ∴． 故选：A 题型三：的图象及性质 📝方法技巧 熟记的以下各项性质： ①对称轴：直线； ②顶点坐标：； ③增减性：描述增减性时，是以直线未分界线的，并非是轴。 确认图象时，主要看以下几个关键点：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标。 1.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的意义，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键． 直接利用二次函数顶点式求出对称轴即可． 【详解】∵ ∴对称轴为直线， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 5.（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 6．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式，判断图象即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ∴符合条件的只有选项D； 故选D． 题型四：根据函数的增减性求取值范围 📝方法技巧 若根据函数的增减性求的取值范围，直接利用函数的增减性性质求不等式即可； 若是根据函数的增减性求参数的取值范围，则先确定函数的增减性，再和题干中描述的增减性对照，对参数取合适的范围即可。 1.（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的增减性，先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据开口方向判断函数的增减区间即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴该函数图象开口向上， 又∵该函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， 故选：D． 题型五：上的点坐标相对大小 📝方法技巧 和在上的点坐标判断的方法类似，在上： ①找对称轴； ②标点； ③点若分布在对称轴同一侧，则按照增减性直接判断即可；若分布在对称轴两侧，则需要对比点的相对高低，越高的点，值越大。 当然也可以选择直接代点计算，比较大小。 1.（2025九年级上·上海·专题练习）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先理解题意，再直接计算出各点的函数值，最后比较大小，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象上有，，三点， ∴对于点：； ∴对于点：； ∴对于点：； ∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小． 【详解】解：二次函数为 ， 当时，； 当时，； 当 时，； ，，， 故 ． 故选． 4．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越大，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 先求得函数图象的开口方向和对称轴，再根据各点离对称轴的距离大小即可判断． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·北京·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．首先根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为且开口向上，其中点和在对称轴左侧，在对称轴右侧，找到点关于对称轴的对称点，然后再根据二次函数的性质得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为，且开口向上， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 和在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点是， ， 故选：B． 题型六：二次函数对称性的应用 📝方法技巧 二次函数的图象具有对称性，若在对称轴一侧存在一点，则关于对称轴对称后，必然也会存在一点在函数图象上，并且这两个点的函数值相同。例如： 对于二次函数，其对称轴为直线，设在对称轴左侧图象上存在点，将其关于对称轴对称后，存在与之对应的点，并满足以下关系：，。 1.（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 4．（2021·湖南长沙·二模）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（    ） A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3 【答案】B 【分析】根据函数的对称轴为：x=h和的位置关系，分三种情况讨论即可求解． 【详解】解：函数的对称轴为：x=h， ①当时，x=3时，函数取得最小值1，即， 解得h=4或h=2（舍去）； ②当时，x=1时，函数取得最小值1，即， 解得h=0或h=2（舍去）； ③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立， 综上，h=4或h=0， 故选：B． 【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键． 题型七：的图象及性质 📝方法技巧 二次函数的几条重要性质如下： ①顶点坐标： ②对称轴：直线 ③增减性：以直线为分界线描述，即：当时，随的增大而…；当时，随增大而…; 1.（21-22九年级上·广西百色·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 2．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 3．（22-23九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 4．（2022九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 6．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 7．（2022九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 题型八：由的增减性求参数取值范围 📝方法技巧 当已知两点在抛物线上时，若有给定的函数值的大小关系或增减性，可以通过以下方法求参数取值范围： ①不等式法：直接将假设好的两个点的横坐标代入到二次函数表达式中，得出与之对应的函数值，再根据给定的函数值的不等关系，列不等式，求解即可； ②性质法：利用二次函数自身的性质，先确定其开口方向以及对称轴，画草图，再根据给定的增减性，与之对照，找到对称轴和参数之间的关系即可。 1．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】∵点在抛物线上， ∴，． ∵， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 2．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于 的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数开口向下时，在对称轴右侧函数值随自变量增大而减小；根据条件时减小，可确定对称轴位置需满足的不等式． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小． 当时，随的增大而减小， ，解得． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 题型九：的性质综合应用 📝方法技巧 对于二次函数的性质综合应用题，有以下几点性质需要重点关注： ①抓顶点：由解析式直接得顶点，对称轴； ②看开口：向上，向下，其决定增减性和最值类型； ③对称性：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称，横坐标满足以下关系：； ④比大小：点到对称轴的距离越远，时越大，时越小； ⑤区间最值：若区间含顶点，最值在顶点处；若不含，在端点处取得。注意分情况讨论。 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知抛物线，点，在抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握性质是关键． 由题意得抛物线的对称轴为直线，得点D关于对称轴的对称点为，分两种情况，当点E在点D右侧时；当点E在点的左侧时，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点D关于对称轴的对称点为， 当点E在点D右侧时， 满足的任意实数，总成立，则需要， 从而得； 当点E在点的左侧时， 对于满足的任意实数，总成立， 则需要 ，从而得， 解得； 综上，满足条件的m取值范围为：或； 故答案为：或． 2．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数（为常数，且）中x和y满足下表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 m ①；②；③若点在此抛物线上，则n的值为；④点为该函数图象上的两点，则当时，；⑤若当，函数有最小值12，则或8．其中正确的是________． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求自变量的值，根据表格分析函数值先减小再增大，则抛物线开口向上，即可判断①，根据表格数据即可判断②，根据，在抛物线上，则或，即可判断③，待定系数法求得解析式，进而判断④，根据，函数有最小值12，分两种情况，即可求解． 【详解】解：根据表格可得当或时， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 由表格可得，函数值先减小再增大，则抛物线开口向上， ∴，故①错误， ∴当时，，故②，正确， ∵点在此抛物线上，在此抛物线上，对称轴为直线 ∴或 ∴或，故③错误， ∵顶点坐标为， 设抛物线解析式为，代入得 解得： ∴抛物线解析式为 点、为该函数图象上的两点， ∴ ∵ ∴ 解得：，故④正确； 当时， 解得： ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当，函数有最小值12， ∴或， 当时，则，解得： 当时，则，故⑤正确； 综上所述，②④⑤正确． 故答案为：②④⑤． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $