1.1.1 空间向量及其线性运算（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的概念、线性运算及共线共面向量定理，通过类比平面向量搭建知识体系，从定义表示、特殊向量到线性运算律，再到共线共面判定，形成完整学习支架。 资料以类比迁移与分层训练为特色，随学随练结合题型分类，培养数学眼光（空间观念）与数学思维（逻辑推理），通过几何体实例用向量语言表达空间关系，课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

司 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 课标要点 1.类比平面向量，掌握空间向量的定义、表示及各类基础概念，明晰两者的异同。 2.掌握空间向量线性运算及几何意义，熟练运用运算律化简向量表达式。 3.掌握空间共线向量定理，能利用定理判定向量共线、证明三点共线。 学习重难点 重点： 1.空间向量基本概念，依托平面向量搭建空间向量知识体系。 2.空间向量线性运算的法则、几何意义与运算律，向量式子的化简与变形。 3.空间共线向量定理，向量共线、空间三点共线的判定与证明。 难点： 1.突破平面思维，在立体图形中精准识别、绘制空间向量，理解向量自由平移的特性。 2.灵活运用线性运算，表示空间几何体中的线段对应向量。 3.吃透共线向量定理充要条件，区分向量共线与空间直线平行、重合的关系。 知识点 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为．规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 特别提醒 1．注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． 2．在空间中仍然有：（，不共线）四边形为平行四边形． 3．若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 随学随练 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误.故选：D. 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误.故选：B. 知识点 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）几何意义：当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （3）运算律： 分配律：；结合律：． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，， 则. 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以.故选：D. 知识点 共线向量与共面向量 1、共线向量 （1）空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得． （2）直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得． 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 2、共面向量 （1）共面向量的定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 随学随练 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而， 据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 2．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得向量共面， 而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 题型 空间向量的概念辨析 ▌例1 （24-25高二上·海南·阶段检测）（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】如图， 在平行六面体中，与相等的向量有3个， 分别是，，．故选：BC． 解题贴士 在空间向量中，向量的方向、向量的大小（模）、单位向量、相等向量、相反向量等概念和平面向量中的一致． ▌对点练1-1 （25-26高二上·甘肃定西·期中）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【解析】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD ▌对点练1-2 （25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解析】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误.故选：C. 题型 空间向量的线性运算 ▌例2 （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以，故选：D. 解题贴士 1.运算法则活用：空间向量运算依旧满足三角形法则、平行四边形法则，运算律与平面向量一致，可直接套用化简向量式． 2.化简核心技巧：优先合并共线向量、消去相反向量，利用数乘运算统一向量系数，简化复杂向量式． 3.几何转化思想：结合几何体边长、平行、相等关系，将线段关系转化为向量关系． ▌对点练2-1 （25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的中点，所以， 因为， 所以． ▌对点练2-2 （25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确.故选：A． ▌对点练2-3 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 题型 空间向量共线的判定 ▌例3 （24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 解题贴士 1、判断向量共线的方法：判断两个向量，是否共线，就是寻找是否存在非零实数，使成立．要充分运用空间向量的运算法则，结合图形得出，从而判断出，共线． 2、三点共线与直线平行的判断 （1）线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量，平行，还要证明一条直线上有一点不在另一条直线上． （2）三点共线：证明三点共线，只需证明存在非零实数，使或即可． ▌对点练3-1 （24-25高二上·广东佛山·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而， 据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确；故选：D. ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东河源·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件，故选：C. 题型 由空间向量共线求参数 ▌例4 （24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（    ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【解析】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以.故选：B. 解题贴士 由空间向量共线求参数，核心依据为非零共线向量存在唯一实数使两向量成数乘关系、对应分量成比例，解题时先化简已知向量，构造共线向量等式，依据向量分量相等列方程求解参数；遇三点共线问题，可转化为任意两组两点向量共线简化运算，同时需注意检验零向量情况，规避漏解、错解，严格区分向量共线与空间直线平行、重合的不同． ▌对点练4-1 （25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【解析】因为，所以，即，， 所以. ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津武清·阶段检测）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以.故选：C. ▌对点练4-3 （25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以.故选：D 题型 向量（四点）共面的判定 ▌例5 （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 解题贴士 判断三个向量共面一般用． 证明三线共面常用． 证明四点共面常用（其中）． ▌对点练5-1 （25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确.故选：D. ▌对点练5-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． ▌对点练5-3 （25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A:由知，为共面向量， 故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 题型 由向量（四点）共面求参数 ▌例6 （25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【解析】因为四点共面，所以，解得. 解题贴士 四点共面的核心依据是从同一点出发的三个对应向量共面，满足其中一个向量可由另外两个不共线向量线性表示，且系数和为1； 解题时先选取公共顶点构造三组向量，利用向量线性运算化简式子，根据共面向量定理建立等式，结合向量对应分量相等列方程求解参数，解题中需注意验证基底向量不共线，同时区分向量共面与空间四点重合、共面、异面的位置关系，避免解题失误． ▌对点练6-1 （25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得.故选：A ▌对点练6-2 （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为四点共面， 所以，解得. ▌对点练6-3 （25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【解析】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 基础通关 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【解析】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确.故选：A 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 3．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在正方体中，. 故选：A. 4．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知点是空间中四点，点分别为的中点，则（    ） A．对任意点恒有 B．当且仅当点共面时 C．对任意点恒有 D．当且仅当点共面时 【答案】C 【解析】由点分别为的中点，得， 因此，且， 两式相加得， 所以对任意点恒有，C正确，ABD错误.故选：C 5．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于F为BE的中点， 所以，结合， 整理得，①， 由，得， 即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【答案】D 【解析】因为，即，即， 又与不共线，所以共面，故D正确A错误； 因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；故选：D 7．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得.故选：D. 8．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正六棱柱中. （1）化简：______； （2）化简：______. 【答案】 【解析】（1） . （2） 9．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 【答案】0 【解析】由于共线，则，即， 所以，则. 10．（24-25高二下·江苏淮安·阶段检测）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【解析】， 四点共面．即点平面ABC． 故答案为：属于 素养提升 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 12．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以.故选：D 13．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则， 因为四点共面，所以，即， 因为，从而， 当且仅当，即，时取等.故选：B. 14．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【解析】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即，解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有，解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 迁移创新 16．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（    ） A．存在唯一一组实数、，使得 B． C．不存在实数、，使得 D． 【答案】BD 【解析】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数、，使得，那么可以直接得出与、共面； 反之，若与、共面，也一定存在唯一一组实数、，使得， 所以“存在唯一一组实数、，使得”是“与、共面”的充要条件，而不是充分不必要条件，故A选项不符合要求； 当时，显然可以由和线性表示，即与、共面，所以“”能推出“与、共面”； 但是当与、共面时，不一定就等于，还可能有其他的线性组合形式， 所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故B选项符合要求； “不存在实数、，使得”，这与“与、共面”是相互矛盾的关系， 即“不存在实数、，使得”能推出“与、不共面”，而不是“与、共面”，所以C选项不符合要求； 因为零向量与任意向量都共面，所以时，与、共面，即“”能推出“与、共面”； 反之，当与、共面时，不一定为零向量，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故D选项符合要求. 故选：BD. 17．（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【解析】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 18．（25-26高二上·山东青岛·期中）在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】如图所示，延长、、至点、、，使得，，， 所以， 又由，所以、、、四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为，则点到平面的距离是点到平面的距离的， 又因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接、，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 课标要点 1.类比平面向量，掌握空间向量的定义、表示及各类基础概念，明晰两者的异同。 2.掌握空间向量线性运算及几何意义，熟练运用运算律化简向量表达式。 3.掌握空间共线向量定理，能利用定理判定向量共线、证明三点共线。 学习重难点 重点： 1.空间向量基本概念，依托平面向量搭建空间向量知识体系。 2.空间向量线性运算的法则、几何意义与运算律，向量式子的化简与变形。 3.空间共线向量定理，向量共线、空间三点共线的判定与证明。 难点： 1.突破平面思维，在立体图形中精准识别、绘制空间向量，理解向量自由平移的特性。 2.灵活运用线性运算，表示空间几何体中的线段对应向量。 3.吃透共线向量定理充要条件，区分向量共线与空间直线平行、重合的关系。 知识点 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为．规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 特别提醒 1．注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． 2．在空间中仍然有：（，不共线）四边形为平行四边形． 3．若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 随学随练 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 知识点 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）几何意义：当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （3）运算律： 分配律：；结合律：． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 知识点 共线向量与共面向量 1、共线向量 （1）空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得． （2）直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得． 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 2、共面向量 （1）共面向量的定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 随学随练 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（    ） A． B． C． D． 题型 空间向量的概念辨析 ▌例1 （24-25高二上·海南·阶段检测）（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 解题贴士 在空间向量中，向量的方向、向量的大小（模）、单位向量、相等向量、相反向量等概念和平面向量中的一致． ▌对点练1-1 （25-26高二上·甘肃定西·期中）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 ▌对点练1-2 （25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 题型 空间向量的线性运算 ▌例2 （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1.运算法则活用：空间向量运算依旧满足三角形法则、平行四边形法则，运算律与平面向量一致，可直接套用化简向量式． 2.化简核心技巧：优先合并共线向量、消去相反向量，利用数乘运算统一向量系数，简化复杂向量式． 3.几何转化思想：结合几何体边长、平行、相等关系，将线段关系转化为向量关系． ▌对点练2-1 （25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 题型 空间向量共线的判定 ▌例3 （24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、判断向量共线的方法：判断两个向量，是否共线，就是寻找是否存在非零实数，使成立．要充分运用空间向量的运算法则，结合图形得出，从而判断出，共线． 2、三点共线与直线平行的判断 （1）线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量，平行，还要证明一条直线上有一点不在另一条直线上． （2）三点共线：证明三点共线，只需证明存在非零实数，使或即可． ▌对点练3-1 （24-25高二上·广东佛山·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东河源·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 由空间向量共线求参数 ▌例4 （24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（    ） A． B． C．8 D．13 解题贴士 由空间向量共线求参数，核心依据为非零共线向量存在唯一实数使两向量成数乘关系、对应分量成比例，解题时先化简已知向量，构造共线向量等式，依据向量分量相等列方程求解参数；遇三点共线问题，可转化为任意两组两点向量共线简化运算，同时需注意检验零向量情况，规避漏解、错解，严格区分向量共线与空间直线平行、重合的不同． ▌对点练4-1 （25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津武清·阶段检测）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练4-3 （25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型 向量（四点）共面的判定 ▌例5 （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 解题贴士 判断三个向量共面一般用． 证明三线共面常用． 证明四点共面常用（其中）． ▌对点练5-1 （25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-3 （25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 题型 由向量（四点）共面求参数 ▌例6 （25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 解题贴士 四点共面的核心依据是从同一点出发的三个对应向量共面，满足其中一个向量可由另外两个不共线向量线性表示，且系数和为1； 解题时先选取公共顶点构造三组向量，利用向量线性运算化简式子，根据共面向量定理建立等式，结合向量对应分量相等列方程求解参数，解题中需注意验证基底向量不共线，同时区分向量共面与空间四点重合、共面、异面的位置关系，避免解题失误． ▌对点练6-1 （25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． ▌对点练6-2 （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-3 （25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 基础通关 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知点是空间中四点，点分别为的中点，则（    ） A．对任意点恒有 B．当且仅当点共面时 C．对任意点恒有 D．当且仅当点共面时 5．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 7．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正六棱柱中. （1）化简：______； （2）化简：______. 9．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 10．（24-25高二下·江苏淮安·阶段检测）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 素养提升 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 13．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 迁移创新 16．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（    ） A．存在唯一一组实数、，使得 B． C．不存在实数、，使得 D． 17．（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________. 18．（25-26高二上·山东青岛·期中）在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为___________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $