3.3幂函数（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学幂函数同步练，采用“ABC必做+拓展选做”分层设计，从单一知识点到高考综合应用，构建梯度化知识巩固路径，培养数学抽象、推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|幂函数判断、解析式、图像等单一知识点|基础题型对应核心概念，如幂函数判断、求解析式，夯实数学抽象能力| |B组能力进阶|单调性应用、奇偶性与单调性综合|综合题整合性质应用，如利用单调性解不等式，培养推理能力| |C组思维拔高|跨知识点探究、开放题|创新题型如自定义函数设计，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题及模拟题|对接高考考点，如幂函数与不等式结合，强化应用意识|

分层作业 3.3 幂函数 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 幂函数的判断 题型02 求幂函数的解析式或函数值 题型03 幂函数的图像（重点） 题型04 根据幂函数求参数（常考点） 题型05 幂函数过定点 题型06 幂函数的单调性（重点） 题型07 比较幂值的大小 题型08 利用幂函数的单调性解不等式（重点） 题型09 幂函数的奇偶性 题型10 幂函数性质的综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 幂函数的判断题型01 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 求幂函数的解析式或函数值题型02 4．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 5．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 6．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 幂函数的图象题型03 7．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 11．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 根据幂函数求参题型04 12．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 14．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数，则是__________． 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数是幂函数，则________. 幂函数过定点题型05 16．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 18．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 幂函数的单调性题型06 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 20．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 21．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 22．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 23．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 比较幂值的大小题型07 24．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 利用幂函数的单调性解不等式题型08 28．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 30．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 31．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数则不等式的解集为______． 幂函数的奇偶性题型09 32．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 33．（多选）（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 34．（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 35．（25-26高一上·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 36．（25-26高一上·重庆·期末）若幂函数是偶函数，则整数m的取值可以是__________（写一个即可）. 幂函数性质的综合题型10 37．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 38．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数是偶函数 C．函数的单调增区间为 D．函数的值域为 39．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论正确的有（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．当时，恒成立 40．（多选）（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 41．（25-26高一上·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 1．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 6．（多选）（25-26高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 7．（多选）（25-26高一上·重庆·期中）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 9．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 10．（25-26高一上·上海·期末）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 11．（22-23高一上·河南·期中）已知函数满足下列3个条件： ①函数的图象关于轴对称； ②函数在上单调递增； ③函数无最值． 请写出一个满足题意的函数的解析式：______． 12．（25-26高一上·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1）求下列不等式的解集：（i）；（ii）； （2）已知幂函数在上单调递增，设，当时，求函数的值域． 14．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知是幂函数，且在上单调递增. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 15．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1．【知识融合】（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．【逻辑推理】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．【逻辑推理】（多选）（25-26高一上·河南开封·期中）已知幂函数，则（    ） A．的图象可能经过第四象限 B．两个幂函数的图象最多有3个交点 C．若的图象经过点，则对任意， D．若，则为奇函数 4．【数学抽象】（25-26高一下·广西钦州·开学考试）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 5．【新定义问题】（22-23高一下·湖北荆州·阶段检测）已知，若线段分别交幂函数于，两点，且两点均为的三等分点. (1)求； (2)定义：设函数定义在上，用分割将区间任意分割为个小区间，若存在常数，使得，则称函数在区间上“准Riemann可积”.设函数，试判断函数在区间上是否“准Riemann可积”，若是，求出的最小值；若不是，请说明理由. 1．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 2．（2015·湖北·高考真题）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2011·陕西·高考真题）函数的图象是 A．       B．  C．   D．   4．（2011·上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 5．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 6．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 7．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 8．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 幂函数 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 幂函数的判断 题型02 求幂函数的解析式或函数值 题型03 幂函数的图像（重点） 题型04 根据幂函数求参数（常考点） 题型05 幂函数过定点 题型06 幂函数的单调性（重点） 题型07 比较幂值的大小 题型08 利用幂函数的单调性解不等式（重点） 题型09 幂函数的奇偶性 题型10 幂函数性质的综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 幂函数的判断题型01 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 2．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 3．（多选）（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 求幂函数的解析式或函数值题型02 4．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 5．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【详解】由题知：，，所以. . 6．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 幂函数的图象题型03 7．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 8．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，值域为，排除B，D选项， 又函数函数图像为曲线非直线，故C错误， A选项图像大致符合函数图像. 故选：A 9．（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 11．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 根据幂函数求参题型04 12．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 13．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数，则是__________． 【答案】1 【详解】因为函数为幂函数， 所以. 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数是幂函数，则________. 【答案】 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解之可得，则. 故答案为： 幂函数过定点题型05 16．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 17．（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 18．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 【答案】 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 幂函数的单调性题型06 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 20．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【详解】因为幂函数 在单调递增，所以，解得： 21．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 22．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 23．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 比较幂值的大小题型07 24．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 25．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 26．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 27．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 利用幂函数的单调性解不等式题型08 28．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 29．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 30．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 31．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数， 所以函数在为单调递减函数， 不等式，即为， 平方整理得，解得， 所以不等式的解集为. 幂函数的奇偶性题型09 32．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 33．（多选）（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 34．（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 35．（25-26高一上·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 36．（25-26高一上·重庆·期末）若幂函数是偶函数，则整数m的取值可以是__________（写一个即可）. 【答案】0 【详解】要使幂函数为偶函数，需满足, 则取 ， 此时，函数为是偶函数。 幂函数性质的综合题型10 37．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 38．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数是偶函数 C．函数的单调增区间为 D．函数的值域为 【答案】ACD 【详解】由题设，令，且，则， 所以的定义域为且单调递增，值域为，是非奇非偶函数. 所以正确的有ACD，而B错误. 故选：ACD 39．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论正确的有（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．当时，恒成立 【答案】ACD 【详解】对于A选项，因为，解得，所以， 所以，即的图象经过点，A对； 对于B选项，函数为奇函数，该函数的图象关于原点对称，B错； 对于C选项，函数在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，故当时，恒成立，D对. 故选：ACD. 40．（多选）（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 41．（25-26高一上·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】对于幂函数，定义域为， 由于，即是奇函数； 且在上单调递减，故符合题意的一个函数为. 1．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】指数函数在上单调递增，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 将的指数化为相同，得， 幂函数在上单调递增，，， 综上所述，. 故选：. 2．（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 【答案】D 【详解】由，解得或. 当时，；当时，. 因为函数的图象与坐标轴有交点，故. 又，所以， 因为为在R上单调递增的奇函数， 所以，即. 故选：D 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 4．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 5．（多选）（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 6．（多选）（25-26高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 【答案】ABD 【详解】因为幂函数的图象过， 所以，解得，A正确； 所以，定义域为，因为， 所以是奇函数，B正确； 在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误； 根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确. 故选：ABD. 7．（多选）（25-26高一上·重庆·期中）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则， 又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下： 函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误. 故选：AC. 8．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． 9．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，所以，得， 当时，，函数图象在区间上单调递增，不满足条件， 当时，，函数图象在区间上单调递减，满足条件， 所以. 10．（25-26高一上·上海·期末）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 【答案】或 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 11．（22-23高一上·河南·期中）已知函数满足下列3个条件： ①函数的图象关于轴对称； ②函数在上单调递增； ③函数无最值． 请写出一个满足题意的函数的解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由的图象关于轴对称知为偶函数，在上单调递增，无最值， 根据幂函数的性质可知满足题意的一个函数为. 12．（25-26高一上·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，定义域为，符合题意， 当时，定义域为，不符合题意， 故. （2）由（1）得，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以， 所以，解得. 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1）求下列不等式的解集：（i）；（ii）； （2）已知幂函数在上单调递增，设，当时，求函数的值域． 【答案】（1）（i）；（ii）；（2） 【详解】（1）（i）因式分解得， 解得，所以原不等式的解集为. （ii）移项，得，通分得，即，等价于， 解得，所以原不等式的解集为. （2）函数为幂函数，，解得或， 又在上单调递增，，即， ，对称轴为，在上单调递增， ，故函数的值域为. 14．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知是幂函数，且在上单调递增. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)答案见解析； 【详解】（1）由题意得，解得或， 在上单调递增，故，故； （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，所以， 因为，所以，故， 故，在上单调递增； （3），理由如下： 由（2）知，在上单调递增， 故，即， 即 15．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图象不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． （2）由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． （3）法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． 1．【知识融合】（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 2．【逻辑推理】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 3．【逻辑推理】（多选）（25-26高一上·河南开封·期中）已知幂函数，则（    ） A．的图象可能经过第四象限 B．两个幂函数的图象最多有3个交点 C．若的图象经过点，则对任意， D．若，则为奇函数 【答案】BC 【详解】对于选项A：当时，， 所以的图象不可能经过第四象限，故A错误； 对于选项B：对于幂函数，，且， 令，可得， 则是方程的根，至多有2个根，可知两个幂函数的图象最多有3个交点， 例如的交点为，有3个，故B正确； 对于选项C：若的图象经过点，则， 可得，即，解得，即， 则在内单调递增， 所以对任意，，故C正确； 对于选项D：令，则， 所以不为奇函数，故D错误； 故选：BC. 4．【数学抽象】（25-26高一下·广西钦州·开学考试）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 5．【新定义问题】（22-23高一下·湖北荆州·阶段检测）已知，若线段分别交幂函数于，两点，且两点均为的三等分点. (1)求； (2)定义：设函数定义在上，用分割将区间任意分割为个小区间，若存在常数，使得，则称函数在区间上“准Riemann可积”.设函数，试判断函数在区间上是否“准Riemann可积”，若是，求出的最小值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)在区间上“准Riemann可积”，且的最小值为 【详解】（1）因为，所以线段的两个三等分点为、， 因为两点均为的三等分点，且，所以， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知，， 由幂函数的性质可知，函数在上递增， 又区间的分割， ， 所以 ， 故存在常数，使得， 在区间上“准Riemann可积”，且的最小值为. 1．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 2．（2015·湖北·高考真题）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为表示不超过的最大整数．由得， 由得， 由得，所以， 所以， 由得， 所以， 由得，与矛盾， 故正整数的最大值是4． 考点：函数的值域，不等式的性质． 3．（2011·陕西·高考真题）函数的图象是 A．       B．  C．   D．   【答案】B 【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 4．（2011·上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 5．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 6．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 8．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____. 【答案】 【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.3幂函数 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 幂函数的判断 1.C 2.D 3.BD 颗型02 奇偶函数的图像特征 4.D 5.27 6.f(x)=x2 题型03 幂函数的图象 7.A 8.A 9.B 10.C 11.D 题型04 由奇偶性求对称区间上的解析式 12.A 13.A 14.1 15.-1 颗型05 幂函数过定点 16.B 17(2,-1) 18,3) 颗型06 幂函数的单调性 19.C 20.C 21.-1 22.6 23.2 颗型07 比较幂值的大小 24.D 25.A 26.B 27.B 1/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型08 利用幂函数的单调性解不等式 28.D 29.(（1,2） 30 31.(0,2) 题型09 幂函数的奇偶性 32.B 33.ACD 34.C 35.2 36.0 题型10 幂函数性质的综合 37.D 38.ACD 39 ACD 40.AD 41.fx)=x(答案不唯一) B组 能力进阶 1.c 2.D 3.D 4.B 5,AC 6.ABD 7.AC 8.3 9:2 10.0或2 .G) (答案不唯一) 12. 【答案】四m-1:2xe(-2(3别 【详解】(1)因为函数f(x)=(m2+8m-8)x2 是幂函数， 所以m2+8m-8=1,解得m=-9或m=1, 当m=1时f()=x,定义域为R,符合题意， 当m=-9时f(x)=x’,定义域为(-，0)U(0,+∞)，不符合题意， 故m=1. (2)由1)得f()=x,所以f()在R上单调递增， 所以由f }等之 2x+3 所以x x+422+3x-x-4_2+2x-4_2(x+20x-s0, 2x+3 2x+3 2x+3 2x+3 (x+2)(x-1)(2x+3)≤0 所以 2x+3≠0 解得xe(m-2小(3别 217 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.【答案】(1) w[2引 (2)（1,15) 【详解】(1)（①因式分解得2x2+3x-2=(2x-1(x+2)≤0， 解得-2≤x≤2 所以限不等式的解集为2引 (移项，得2-x-1≥0，通分 1-4x)3x+1)≥0 3x+1 2-x-(3x+0≥0，即4≥0，等价于Bx+1≠0 3x+1 3x+1 (117 解得-3<x≤4，所以原不等式的解集为34 (2)~函数f)=(m2-m-x为幂函数，÷m2-m-1=1,解得m=2或m=-1, 又f(x)在(0，+o)上单调递增，m=2,即f()=x2, ∴g(x)=2x2-3,对称轴为x=0,在x∈(，3)上单调递增， g()=2-3=-1,g(3)=29-3=15,故函数g()的值域为(-1,15). 14.【答案】(1)m=3,(2)答案见解析；(3)答案见解析： 【详解】(1)由题意得m2-2m-2=1,解得m=3或-1， f(x)=(m2-2m-2)x在(0，+o）上单调递增，故m>0,故m=3; (2)g(x)=x-x-1在（山，+o)上单调递增，证明如下： 由(1)知，8()=x3-x-1, 任取，52∈(1，+0），且x<x, 则8(6)-g()=x-x-1-(-x-1)=(x-)-(x-x3) =)+)-(-x)=(x)+-1) 因为，为∈(1，+∞)，所以+x+号-1>0， 因为x<5,所以x-为<0，故8()-g()=(:-5)(x+x+万-)<0， 故8(x)<g(),g(x)=x-x-1在(（L,+∞)上单调递增： (3)a<b<c,理由如下： 由(2)知，8()=x-x-1在(，+∞)上单调递增， 故8(2025)<g(2026)<8(2027),即20253-2026<2026-2027<20273-2028， 即a<b<c 317 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15【答1n=号何-，E0+:包溶案见解折：B。+引 3 【详解】(（1)由幂函数的定义可知了2m=l,解得m=± 2 当m=2时，f(x)=x2，x>0: 又内-的图象不过（女小整不诗是短， 当m=2时，)-，将点(0入和=得n=2 综上所述，n=2 ，且f(x)=x,x∈(0，to) ②白四可g树=a[严，国左)”-石+x -2 任取，x∈（山+o）,不妨设x<, )e⅓位小-动小5 因为为>>1，所以-为<0，V5>V>1, 则乐+V6>1,V>1, 防以(+吗5>1则+小N5之0， -on 则8()g(:)<0,即g(x)<g(), 故g(x)在(1，+o∞)上单调递增. (3)法：由题可知()f因2x=+2x. 不等式(>m么G-)在xe（得4 上恒成立， 4/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即E+2x>m2-在xe存4]上恒成立， 1=则22 不等式化为：t+22>m(2t-1): 又传210 整理得m< 2t-11 恒成立， 令u=21-1∈0,3]，则1=“ 2 24+1)2 u+1 22+t （22+3m+2=“+山+3≥2“.1+3=2+} 一十一 2t-1 2u2'u'2-V2u2 当且仅当u=V2时取等号， ..m< 22+1 2t-1 2+3 2 min 综上， m的取位范同（5+》】 法=：由题可知()f问2x=医+2， 不等武h(>m2-)在xe存4 上恒成立， 即+2x>m-)在xe得4上恒成立， 令1-则eG2 不等式化为：22+(1-2m)t+m>0: 昆F0=2r+0-2g+m:则F0>01(合2] 恒成立 2m-1 抛物线开口向上，且对称轴：。= 4 06兮2北时r0在后]上用避。 2’4 F0=合)-2+-2)片m=方+方m+m=1>0成立， 3 故m≤2满足条件 .3 2 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 r0-P6)-0-22mba-少m-t1 8 8 4m2+12m-l>0. 8 解不等式4md+12m-1>0即4n 3 2<m 3+2√2 2 @%≥2202→m≥号此时F0在2 4 上单调递减， F(0)m=F(2)=2.4+(1-2m)小-2+m=8+2-4m+m=10-3m>0, 10 解得m<3,故此情况无解， 综上所述，m 的取值范围是 -∞，v2 3 C组 思维拔高 1 1.D 2.D 3.BC 4.f(四)京（答案不唯一） 5.【答案】()2：(2)h(x)在区间[l,2]上“准Riemc可积”，且M的最小值为4N2-1 【详解】 a四为44)所议股6的雨个三等分点(2 因为CD两点均为B的三等分点：具m0所uc》p》 所以 G- 解得 m=2n=2 5 所以m+m= 2)由1)知，f)=,g)=,h()=fg)=r=x, 由幂函数的性质可知，函数h(x)在山，2]上递增， 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又区间，2]的分割T:1=x<x<x3<…<xn=2, ∴.h)=h(x)<h(x)<h(x)<<h(x)=h(2), 所以2h()-(=[a()-h0]+[h(3)-(】++[(2)-(x] =h(2)-h0=4w2-1, 故存在常数M>0,使得4V2-1≤M, .h(:)在区间[，2]上“准Riemam可积”，且M的最小值为42-1. 拓展 链接高考 1.c 2.B 3.B 4.A 5.-1 6.-4 7.-1 8.(0,1) 717