第2章 §4 4.2 简单幂函数的图象和性质(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．若幂函数f(x)的图象经过点，则f等于(　　) A．4　　　 B．2　　　　 C.　　　 D． 解析　设f(x)＝xα，则＝2α，∴α＝－2. ∴f(x)＝x－2.∴f＝－2＝22＝4. 答案　A 2．已知幂函数(m∈Z)是偶函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递增，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．3 解析　因为f(x)是偶函数且在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m2＋2m－3<0，解得－3<m<1，又m∈Z，所以m＝－2或－1或0.当m＝0或m＝－2时，f(x)＝x－3，此时f(x)为奇函数，不满足题意；当m＝－1时，f(x)＝x－4，此时f(x)为偶函数，满足题意． 答案　B 3．(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，则(　　) A．α＝ B．函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C．函数f(x)为偶函数 D．若x>1，则f(x)>1 解析　由题意得4α＝2，则α＝，故A正确．f(x)＝，则函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)为非奇非偶函数，故B、C错误．f(x)为增函数，所以当x>1时，f(x)>f(1)＝1，故D正确． 答案　AD 4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________(填序号)． ①y＝x2；②y＝x；③y＝；④y＝x3；⑤y＝x－1. 解析　由奇偶性的定义知y＝x2为偶函数，y＝x＝既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数的单调性知y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，易知②④满足题意． 答案　②④ 5．已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为________． 解析　α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足条件； 当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件； 当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为[0，＋∞)，不满足条件； 当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R满足条件． 答案　1,3 6．已知幂函数f(x)＝(p2－3p＋3)(p为常数)，且满足f(3)<f(5)． (1)求f(x)的解析式； (2)若f(3－a)>f(2a－1)，求实数a的取值范围． 解析　(1)由f(x)＝(p2－3p＋3)是幂函数，可得p2－3p＋3＝1，解得p＝1或p＝2. 当p＝1时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，不满足f(3)<f(5)； 当p＝2时，f(x)＝在[0，＋∞)上单调递增，满足f(3)<f(5)，故f(x)＝x. (2)由(1)知f(x)＝，则函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且为增函数． 因为f(3－a)>f(2a－1)， 所以解得≤a<， 所以实数a的取值范围是. [关键能力·综合提升] 7．已知f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是(　　) A．f(a)＜f(b)＜f＜f B．f＜f＜f(b)＜f(a) C．f(a)＜f(b)＜f＜f D．f＜f(a)＜f＜f(b) 解析　因为0＜a＜b＜1，所以0＜a＜b＜1＜＜.又函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，所以f(a)＜f(b)＜f＜f.故选C. 答案　C 8．(多选)(2024·广西崇左期末)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(0<x1<x2)，若幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则(　　) A．x1＋f(x1)<x2＋f(x2) B．x1－f(x1)<x2－f(x2) C．x1f(x1)<x2f(x2) D．x2f(x1)<x1f(x2) 解析　设f(x)＝xα(α为常数)，将(9,3)代入可得9α＝3，解得α＝，则f(x)＝.因为f(x)和函数y＝x在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数y＝x＋在(0，＋∞)上单调递增，则x1＋f(x1)<x2＋f(x2)，A正确； 函数y＝x－＝2－在上单调递减，在上单调递增，故x1－f(x1)与x2－f(x2)的大小不确定，B错误； 因为函数y＝xf(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，所以x1f(x1)<x2f(x2)，C正确； 因为函数y＝＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，即x2f(x1)>x1f(x2)，D错误． 答案　AC 9．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 解析　由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝，则y＝，由＝3，得x＝9，即明文是9. 答案　9 10．已知幂函数y＝xp－3(p∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足<的a的取值范围． 解析　∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上单调递减， ∴p－3<0，即p<3. 又∵p∈N＋，∴p＝1或p＝2. ∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称， ∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2. 原不等式可化为. ∵函数y＝在R上是增函数， ∴a＋1<3－2a，解得a<. 故实数a的取值范围是. [核心价值·探索创新] 11．已知幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数． (1)求函数f(x)的解析式，并画出它的图象； (2)讨论函数g(x)＝a－(a，b∈R)的奇偶性． 解析　(1)由幂函数(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是减函数，得m2－2m－3＜0， 即－1＜m＜3. 又m∈Z，得m＝0,1,2. 因为函数f(x)的图象关于y轴对称， 所以f(x)是偶函数， 所以m2－2m－3是偶数． 将m＝0,1,2分别代入m2－2m－3检验，得m＝1.所以f(x)＝x－4. f(x)＝x－4的图象如下图所示． (2)把f(x)＝x－4代入g(x)的解析式，得 g(x)＝a－＝－bx3(x≠0)， 则g(－x)＝－b(－x)3＝＋bx3. 所以当a≠0，b≠0时，g(x)为非奇非偶函数； 当a＝0，b≠0时，g(x)为奇函数； 当a≠0，b＝0时，g(x)为偶函数； 当a＝0，b＝0时，g(x)既为奇函数又为偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$