1.1.1 空间向量及其线性运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以基础练习为载体，通过概念辨析-线性运算-共线共面三级题组设计，实现从单一知识点到综合应用的梯度进阶，培养数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|空间向量基本概念（单位向量、相反向量等）|以选择、填空题为主，通过辨析（如第1题单位向量性质）和正方体情境（第2题）强化概念理解，培养抽象能力| |题组二|空间向量线性运算（加减、数乘及基底表示）|结合四面体、四棱锥等几何体（第5-8题），从简单运算到复杂模型中向量表示，提升运算能力与空间观念| |题组三|空间向量共线、共面问题|包含充要条件判断（第12题）和证明题（第15题），综合应用前序知识，发展逻辑推理与模型观念|

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 基础练习 题组一　空间向量的基本概念 1.(2026山东德州夏津第一中学开学考试)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.向量的模是一个正实数 C.若向量,满足||>||,则> D.存在某一向量与它的相反向量相等 2.(多选题)(2026河南新乡联考)给出下列命题,其中正确的是(　　) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,= D.数乘运算中,λ只能决定大小不能决定方向 3.(2026广东惠州第八中学月考)给出下列命题:①若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;②空间中,a∥b,b∥c,则a∥c;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与是相等向量;④在空间四边形ABCD中,与是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量一共有4个.其中正确命题的序号为　　　　.  题组二　空间向量的线性运算 4.(教材习题改编)(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为的是(　　) A.-- B.+- C.-- D.-+ 5.(2026北京师范大学附属中学月考)如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则可用向量a,b,c表示为(　　) A.a+b+c　　B.a+b+c　　 C.a+b+c　　D.a+b+c 6.(2026江苏镇江重点高中学情调查)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b+c　　B.a-b-c C.a-b+c　　D.a+b-c 7.(2026河南洛阳四校联考)如图,在四面体OABC中,设=a,=b,=c,G为△OAB的重心,H为AC的中点,则=(　　) A.a-b+c　　B.-a-b-c C.a-b+c　　D.-a-b+c 8.(2026福建莆田一中月考)在四面体OABC中,=a,=b,=c,=λ(λ>0),N为BC的中点,若=-a+b+c,则λ=(　　) A.　　B.3　　C.　　D.2 9.(多选题)(2026陕西咸阳阶段测试)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为CD1的中点,Q为CA1上靠近点A1的五等分点,则(　　) A.=++　　 B.2=+2+ C.=++　　 D.5=++4 10.(2026湖南长沙一中入学考试)已知四面体ABCD,P为空间中一点,且满足3+++=0,若四面体ABCD的体积为4,则四面体PBCD的体积为　　　　.  题组三　空间向量共线、共面问题 11.(多选题)(2026山东威海月考)若O为空间中任意一点,在下列条件中,不能使M与A,B,C四点共面的是(　　) A.=2--　　 B.=++ C.++=0　　 D.+++=0 12.(2026海南华中师范大学顺湖中学月考)对于下列说法:(1)若P,A,B,C为空间中不重合的四点,且有=α+β,则α+β=1是A,B,C三点共线的充要条件;(2)对于空间中的任意三个向量3a,2b,2a-b,它们一定是共面向量;(3)已知点M在平面ABC内,并且对空间中任意一点O,有=x++,则x的值为.其中正确说法的个数为(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 13.(2026江苏镇江第一中学开学考试)已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且=x+y-(x>0,y>0),若M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,则+的最小值为(　　) A.4　　B.5　　C.　　D.9 14.(多选题)(2025安徽合肥一中月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=x+y+z,则下列结论中正确的是(　　) A.若点P在直线A1D上,则x+y=1 B.若点P在直线AC1上,则x=y=z C.若点P在平面A1BD内,则x+y+z=1 D.若点P在平面B1BDD1内,则x+y=1 15.(教材习题改编)已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的动点(不与端点重合). (1)如图1,若==λ,求证:=+; (2)如图2,若G,H,I,J分别为AD,EF,BC,AF的中点,求证:G,H,I,J四点共面. 　 答案 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 基础练习 1.D　单位向量的模都相等,但方向是任意的,故A错误; 向量的模是一个非负实数,故B错误; 向量的模是实数,可以比较大小,但向量不能比较大小,故C错误; 零向量的相反向量还是零向量,故D正确. 2.BC　空间中共线的向量不一定在同一条直线上,有可能在平行直线上,故A错误; 相反向量的方向相反但模相等,所以|a|=|b|,故B正确; 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为四边形BDD1B1是矩形,所以=,故C正确; 向量数乘运算中,λ既决定大小(|λa|=|λ||a|)又决定方向(λ>0则同向,λ<0则反向,λ=0则方向任意),故D错误. 3.答案　①③ 解析　①正确,向量的相等满足传递性;②错误,平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行;③正确,与的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不是相反的;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量是,,,,,一共有5个. 4.AB　A中,--=-=; B中,+-=+=; C中,--=-=-=≠; D中,-+=++=+≠. 5.B　连接OD.因为D是BC的中点,E是AD的中点,所以=(+),(中线的向量表示) 且=(+)=+(+)=a+b+c. 6.C　连接BD,∵E为PD的中点,∴=(+)=(-++)=-+(-+-)=-+=a-b+c. 7.A　解法一:利用=-求解. 如图,连接OH,∵H为AC的中点,∴=(+)=(a+c). 连接OG并延长,交AB于点D,则D为AB的中点,且=, ∴=×(+)=(a+b), ∴=-=(a+c)-(a+b)=a-b+c. 解法二:取AB的中点D,在△ODH中,利用分点恒等式得=+,进而求解. 取AB的中点D,连接OH,DH,OD. 由题意得==,===,由分点恒等式可知=+,∴=-=-=-+. 8.B　连接ON.∵=λ(λ>0),N为BC的中点,∴=,=+,∴=-=+-=-a+b+c,又∵=-a+b+c,∴-=-,解得λ=3. 9.BD　由题得=++=++(+)=+-+=++,即2=+2+,故A错误,B正确; =+=+=+(++)=+(+-)=++,即5=++4,故C错误,D正确. 10.答案　2 解析　先将3+++=0进行转化,找到P点位置,再利用体积关系求解. 取BC的中点E,连接PE,则+=2,∴结合已知得3+2+=0, ∴2+2++=0,∴2(+)+(+)=0, 连接AE,取AE的中点M,AD的中点N,连接MN,则+=2,+=2, ∴4+2=0,∴=-2, ∴P是线段MN的靠近M的三等分点, 连接DE,易知MN为△AED的中位线,∴MN∥ED, ∴A到平面BCD的距离是P到平面BCD的距离的2倍, ∴V四面体PBCD=V四面体ABCD=×4=2. 11.ABD　空间四点A,B,C,M共面的充要条件是=x+y+z,其中O为空间中任意一点,且x+y+z=1.对于A,因为2-1-1=0≠1,所以A,B,C,M不共面;对于B,因为++=≠1,所以A,B,C,M不共面;对于C,=--,若,共线,则易知M,A,B,C四点一定共面,若,不共线,则由共面向量定理可知,,为共面向量,所以M与A,B,C一定共面;对于D,因为+++=0,所以=---,因为-1-1-1=-3≠1,所以A,B,C,M不共面. 12.C　对于(1),若α+β=1,则=α+β=α+(1-α)=+α(-),所以-=α(-),即=α,说明C在直线BA上,故A,B,C三点共线,充分性成立; 若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使得=λ,所以-=λ(-),整理得=λ+(1-λ),又=α+β,所以α+β=λ+1-λ=1,必要性成立,故(1)正确. 对于(2),因为2a-b=×3a-×2b,所以3a,2b,2a-b是共面向量,故(2)正确. 对于(3),由题知=x++=x+(-)+=++,因为点M在平面ABC内,所以x-++=1,解得x=,故(3)错误. 13.C　因为M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,=x+y-(x>0,y>0), 所以由四点共面的结论可得,x+y-1=1,即x+y=2,所以+=+(x+y)=≥5+2=,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立, 所以+的最小值为. 14.BCD　如图, 对于A,若点P在直线A1D上,则x=0,则=y+z,由于A1,P,D三点共线,所以y+z=1,因此A错误; 对于B,若点P在直线AC1上,则=λ,λ∈R,而=++, 结合=x+y+z,得x=y=z=λ,因此B正确; 对于C,若点P在平面A1BD内,即A1,B,D,P四点共面,则由=x+y+z,可知x+y+z=1,因此C正确; 对于D,若点P在平面B1BDD1内,则=m+n+s,m,n,s∈R,且m+n+s=1, 则=m+n+s(+)=(m+s)+n+s,又=x+y+z,故x+y=m+s+n=1,因此D正确. 15.证明　(1)证法一(回路法):由E,F分别是AB,CD上的动点,且==λ,得=λ,=λ, 所以+λ=0,+λ=0, 易知=++①,=++②, 由①+②×λ,得(1+λ)=+++λ(++)=λ+, 所以=+. 证法二(分点恒等式法):设O是空间内一点,由==λ,以及平面向量中的分点恒等式可得=,=, 则=-=-==, 即=+. (2)由E,F分别是AB,CD上的动点,设=m,=n. 因为G,I分别为AD,BC的中点,所以==1, 根据(1)中的结论,得==+. 又因为J,H分别为AF,EF的中点,所以=,=, 所以=m+n, 即直线GI在平面GHJ上,所以G,H,I,J四点共面. 7 学科网（北京）股份有限公司 $