第17天 正方形的判定-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

窖期升级训练数学（北师版）八年级 第17天 新为 知识点1 根据矩形判定正方形 1.有一组邻边相等的矩形是正方形 2.对角线互相垂直的矩形是正方形 例1在数学活动中，老师把一张矩形纸片按如 图①所示的方式折一下，就可以裁出正方形纸 片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形 (例1图①) 解析：如图②，由折叠，得AF=AB,∠AFE ∠B=90°..·∠BAF=90°，∴.四边形ABEF 是矩形.·有一组邻边相等的矩形是正方形， 且AF=AB,∴.四边形ABEF是正方形. B-- (例1图②) 答案：有一组邻边相等」 练1如图，在四边形ABCD中，∠ABC ∠BCD=∠CDA=90°，对角线AC与BD相交 于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四 边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件 是 (写出一个即可)： B (练1图) 练2如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的 点，AE=AB,EFCD交BC于点F.求证：四 正方形的判定 导学 边形ABFE是正方形. (练2图》 知识点2 根据菱形判定正方形 1.有一个角是直角的菱形是正方形 2.对角线相等的菱形是正方形 例2数学活动课上，小彤用四根长度相同的木 条制作成如图所示的能够活动的菱形学具.小 彤想要让这个菱形学具成为正方形学具，需要 添加的条件可以是 (例2图) A.∠ABC=90° B.AB=BC C.AB∥CD D.∠B=∠D 解析：有一个角是直角的菱形是正方形，故选项 A符合题意.选项B,C,D不能判定菱形为正方 形，故不符合题意. 答案：A. 46 练3如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线， 再补充下列一个条件：①AC=BD;②AC1 BD;③AB2+AD2=BD2；④∠ACD= ∠ADC.其中，能判定其为正方形的是( A.①② B.①③ C.②③ D.②④ (练3图) 练4如图，菱形ABCD的对角线交于点O,E, F是对角线AC所在直线上的两点，且∠BEC= 预学 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交 于点O.添加下列一个条件，能使矩形 ABCD成为正方形的是 A.BD-AC B.DC=AD 0 C.∠AOB=60° (第1题) D.OD-CD 2.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三 个条件便得到正方形：a.两组对边分别相 等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相 等；d.一个角是直角.有下列顺序：①a→ cd;②b→d→c;③a→b→c.其中，正确 的是 添加条件 四边形 正方形 (第2题)》 A① B.③ C.①②D.②③ 3.如图，将一张矩形纸片左右、上下各对折一 次，然后剪下一个角，打开.如果要剪出一个 正方形，那么∠1的度数为 A.22.5 B.30° C.45 D.60° (第3题) 预学·新知储备 45°，AE=CF,连接ED,DF,BF.求证：四边形 BEDF是正方形. (练4图) 过关 4.如图，在菱形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,且△AB 是边长为4cm的等边三角形.点 E,F同时从点O出发，在线段AC上以 0.5cm/s的速度反向运动（点E,F分别到 达A,C两点时停止运动)，连接DE,DF, BE,BF.当运动时间为 s时，四边 形DEBF为正方形 (第4题) 5.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E, CF⊥AD于点F,AE=CE,求证：四边形 AECF是正方形 (第5题) 毫期升级训练数学（北师版）八年级 6.如图，在矩形ABCD中，菱形EFGH的三个 顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB, CD,DA上，AH=DG.求证：四边形EFGH 为正方形 H (第6题) 7.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD, BD相交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC 于点F,求证：四边形DECF是正方形 (第7题) 48 8.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，DE∥AB,交AC于点E,DF∥AC,交 AB于点F (1)求证：四边形AEDF是菱形； (2)当△ABC满足 时，四边形 AEDF是正方形. (第8题)∠CAE..∠ACB=∠E+∠CAE=45°，∴.∠E= ∠CAE=22.5°. (第3题) 4.76解析：在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6, AB=10,由勾股定理，得BE=√AB2-AE=8.:正方 形ABCD的面积为10×10=100，△AEB的面积= AE·BE-24,涂色部分的面积-100-24=76. 1 5号解析：四边形ABCD是正方形，·∠BAC- ∠DAC=45°，AD=BC.:∠FEO=45°，.∠FEO= ∠DAC.∴.EF∥AD.:E是OA的中点，∴.易得F是 OD的中点.∴.EF是△AOD的中位线.∴.EF= 号An.EF子C,脚既子 6.42解析：如图.，四边形ABCD是正方形，且边长 为2m,∴.AB=BC=2m,∠ABC=90°，AC=BD.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC √22+22=2√2(m)..BD=AC=22m..BD+ AC=4√2m,即副骨架的总长为42m B C (第6题) 7.·四边形ABCD是正方形，.AB=DC,∠BAD= ∠CDA=90°..∴.∠BAE=∠CDF=90°.在Rt△ABE和 (BE=CF, Rt△DCF中， AB=DC, ∴.Rt△ABE≌Rt△DCF. ,.∠ABE=∠DCF 8.在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AO=BO, ∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，∴.∠AOE+ ∠BOE=90°.，OE⊥OF,.∠BOF+∠BOE=90°. ∴.∠AOE=∠BOF.在△AOE和△BOF中， '∠AOE=∠BOF, AO-BO, .△AOE2△BOF...AE=BF= ∠OAE=∠OBF, 3.同理，可得BE=CF=1.在Rt△BEF中，EF= √BE+BF=√10 9.(1)四边形ABCD为正方形，∴.AB=CB, ∠ABE=∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中， AB=CB, ∠ABE=∠CBE,∴.△EAB≌△ECB(2)四边形 BE=BE. ABCD为正方形，·.∠BDC=号∠CDA=45 △EAB≌△ECB,∠AEC=45°，.∠AED= ∠CED=2∠AEC=22.5,·∠BDC=∠CED+ ∠DCE=45°，∴.∠DCE=22.5°.∴.∠CED=∠DCE. ∴.DC=DE 10.(1)四边形ABCD是正方形，∴.AB=CB, ∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中， AB=CB, ∠ABE=∠CBE,∴.△ABE≌△CBE(2)四边形 BE=BE, ABCD是正方形，..∠BAD=90°，∠ADB=45° DE=DA,∴.∠DAE=∠DEA=67.5°.∴.∠BAE= ∠BAD-∠DAE=22.5 第17天正方形的判定 【新知导学】 1.AC LBD(答案不唯一)解析：，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴.四边形ABCD为 矩形.∴.当AC⊥BD时，四边形ABCD为正方形 2.:四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠B=∠C= 90.:EFCD,.∠BFE=∠C=90°.∠A=∠B= ∠BFE=90°，∴.四边形ABFE是矩形.：AE=AB, ∴.四边形ABFE是正方形 3.B解析：设对角线AC和BD交于点O.:四边形 ABCD为菱形，∴.AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,OA= OC,OB=OD.①：对角线相等的菱形是正方形，∴.补 充条件AC=BD,可以判定四边形ABCD为正方形 ②菱形的对角线AC⊥BD,∴.补充条件AC⊥BD,不 能判定四边形ABCD为正方形.③：AB2+AD= BD,∴.∠BAD=90°.∴.菱形ABCD为正方形..补充 条件AB2十AD?=BD,可以判定四边形ABCD为正方 形.④当∠ACD=∠ADC时，AC=AD.又：AD=CD, .AD=AC=CD.∴.△ACD为等边三角形. ∴.∠ADC=60°.∴.补充条件∠ACD=∠ADC,不能判定 四边形ABCD为正方形.综上所述，符合题意的是①③. 4.在菱形ABCD中，OB=OD,OA=OC,AC⊥BD. AE=CF,∴.OA+AE=OC+CF,即OE=OF 6 OB=OD,∴四边形BEDF是平行四边形.：EF⊥ BD,∴.四边形BEDF是菱形..∠DEF=∠BEC= 45.∴.∠BED=90°.∴.四边形BEDF是正方形 【预学过关】 1.B解析：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定 定理解答：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角 线互相垂直的矩形是正方形.∴.添加DC=AD,能使矩形 ABCD成为正方形. 2.C解析：①两组对边分别相等的四边形是平行四边 形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角 的菱形是正方形，故符合题意.②一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩 形，有一组邻边相等的矩形是正方形，故符合题意.③只 能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故不符 合题意. 3.C解析：一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱 形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分 线，∴.当∠1=45时，菱形就变成了正方形 4.4解析：：'△ABD是边长为4cm的等边三角形， ,BD=4cm.四边形ABCD是菱形，.BD⊥AC, 0B=0D=2BD=2cm·当0E=0F=0B=0D 2cm时，四边形DEBF为正方形.：'点E,F同时从点O 出发，在线段AC上以0.5cm/s的速度反向运动，∴.运动 时间为2÷0.5=4(s). 5.:四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC :CF LAD,AE⊥BC,∴.∠BCF=∠AFC=∠DAE= ∠AEC=90°.∴.四边形AECF是矩形.：AE=CE, ∴.四边形AECF是正方形 6.:四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形， .∠D=∠A=90°，HG=EH.在Rt△AHE和 EH=HG, Rt△DGH中， AH=DG, ∴.Rt△AHE≌Rt△DGH ∴.∠HEA=∠GHD.∠AHE+∠HEA=90°， ∴.∠AHE+∠GHD=90°.∴∠EHG=90°.∴.四边形 EFGH为正方形 7.如图，过点D作DH⊥AB于点H.DE⊥BC,DF⊥ AC,.∠DEC=∠DFC=∠C=90°..四边形DECF 是矩形.，BD平分∠ABC,AD平分∠BAC,DE⊥BC, DF⊥AC,DH⊥AB,.DE=DH,DH=DF.∴.DE= DF.∴.四边形DECF是正方形 (第7题) 8.(1):DE∥AB,DF∥AC,∴.四边形AEDF是平行四 边形，∠EDA=∠FAD.:AD是∠BAC的平分线， ∴.∠EAD=∠FAD.∴.∠EAD=∠EDA.∴.EA= ED.∴.四边形AEDF是菱形 (2)∠BAC=90°解析：由(1)知，四边形AEDF是菱 形，：∠BAC=90°，∴.四边形AEDF是正方形（有一个 角是直角的菱形是正方形). 第18天第一章综合检测 一、1.B解析：有一个角是直角的平行四边形是矩 形，∴.(1)处可填∠A=90°.∴.选项A正确，不符合题 意.'邻边相等的矩形是正方形，AD与BC是对边， ∴，(2)处填AD=BC不能得到矩形ABCD是正方形. ∴选项B错误，符合题意.，邻边相等的平行四边形是 菱形，∴.(3)处可填DC=CB.∴选项C正确，不符合题 意.四边形ABCD是菱形，∴.∠B+∠C=180°.当 ∠B=∠C时，∠B=∠C=90°.有一个角是直角的菱 形是正方形，∴.(4)处可填∠B=∠C.∴.选项D正确，不 符合题意 2.D解析：，四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC. .∴.∠EFD=∠2=118°.EG⊥AE,..∠E=90° :∠EFD=∠1+∠E,.∠1=∠EFD-∠E=28. 3.A解析：由题意，得AD=DC=DE,∠ADC=90°， ∠CDE=60°，∠DAC=45°.∴.∠ADE=∠ADC+ ∠CDE=150°.：AD=DE,∴.∠DAE=∠DEA= 15°.∴.∠EAC=∠DAC-∠DAE=30°. 4.B解析：：CF⊥AB,M为BC的中点，BC=20, FM=号BC=10.同理，可得ME=号BC=10, :EF=8,∴.△EFM的周长=FM+ME+EF=10+ 10+8=28. 5.B解析：如图，连接AC交OB于点D.:B(4,0), ∴.OB=4.四边形OABC是正方形，.OB=AC=4, AC,OB互相垂直平分.∴.OD=DB=DA=DC=2. ∴.顶点C的坐标是(2，一2). D R 0 (第5题) 6.D解析：对于选项A,当∠ABC=90°时，□ABCD是 矩形，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项正 确，不符合题意.对于选项B,当∠DOA=90时，□ABCD 是菱形，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项