第13天 菱形的判定-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

6.2W5解析：在菱形ABCD中，BD⊥AC,BD=2BO= 4:AC=2BD,AC=2X4=8.A0=2AC=4.在 Rt△AOB中，∠AOB=90°，.AB2=AO2+BO2. .AB=W/AO2+BO2=25」 7.6解析：：四边形ABCD为菱形，∴.OC=OA,AD∥ BC..∠FCO=∠EAO.∠FOC=∠EOA. ∴.△CFO≌△AE0..SACFO=SAAm.∴.S色= 1 SAAo+SAr=S△CRm+S△P=SAc= 4S装无An= 子×2×6×8=6. 8.四边形ABCD是菱形，.AB=BC.AE=CF, ∴.AB-AE=BC-CF,即BE=BF.在△ABF和△CBE AB=CB, 中，3∠B=∠B,∴.△ABF≌△CBE..AF=CE BF=BE. 9.记AC,BD的交点为O.在菱形ABCD中，AO=OC, BO=OD,AC⊥BD,AB=BC=24m.:'∠ABC=60°， ∴.△ABC是等边三角形.∴.AC=AB=24m.∴.AO= 2AC=12m在Rt△AOB中，由勾股定理，得B0= W√AB2-AO=12√3m.∴.BD=2B0=245m 10.:四边形ABCD是菱形，.AB=BC=DC,AB∥ CD.∠ABC=60,∴.△ABC是等边三角形，∠DCF= ∠ABC=60°.∴.∠BCE=60°.∴.∠BCE=∠DCF.在 BC=DC, △BEC和△DFC中，∠BCE=∠DCF,∴.△BEC≌ CE=CF, △DFC 11.如图，连接AC.四边形ABCD是菱形，.AD= DC=AB=BC,∠B=∠D=60°.∴.△ABC,△ADC均 为等边三角形.∴.AB=AC,∠ACD=60°..∠B= ∠ACF.:△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=60°，即 ∠BAE+∠EAC=60°.：'∠EAF=60°，即∠CAF+ ∠EAC=60°，'.∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF ∠B=∠ACF, 中，AB=AC, .△ABE≌△ACF.∴.AE= ∠BAE=∠CAF, AF.又∠EAF=60°，.△AEF是等边三角形 .∠AFE=60°.∠AFD=180°-45°-60°=75°， ∴.∠CFE=180°-75°-60°=45 C (第11题) 第13天菱形的判定 【新知导学】 1.√/10菱形解析：由题图，得AB=√32+1下= √10，BC=√32+1=√10，CD=√32+1=√10， DA=√32+1下=√I0,∴.AB=BC=CD=DA.∴.四边 形ABCD是菱形 2.·BFDE,EF∥DB,∴.四边形BDEF是平行四边 形.：D,E分别是AB,BC的中点，BD=号AB,ED 是△ABC的中位线.·ED=号AC.:AB=AC, ∴.BD=ED..四边形BDEF是菱形 3.D解析：当∠ADB=∠CBD时，AD∥BC.:'AD= BC,.四边形ABCD为平行四边形.：AC⊥BD,∴.四 边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意.当AD∥BC 时，AD=BC,.四边形ABCD为平行四边形 :AC⊥BD,.四边形ABCD为菱形，故选项B不符合 题意.当OB=OD时，'AD=BC,∠AOD=∠COB= 90°，∴.Rt△AOD2Rt△COB.∴.OA=OC.∴.四边形 ABCD为平行四边形.：AC⊥BD,∴.四边形ABCD为 菱形，故选项C不符合题意.由OA=OB无法得到四边形 ABCD为菱形，故选项D符合题意. 4..·四边形ABCD是平行四边形，AC=8,BD=6, ∴.OA=4,OB=3.又AB=5,∴.AB2=25=9+16= OB2+OA2..∠AOB=90°.∴.AC⊥BD.∴.□ABCD 是菱形 【预学过关】 1.C解析：对于选项A,四边形的四条边相等，判定四边 形是菱形，故不符合题意.对于选项B,32+4=5, ∴·由勾股定理的逆定理，易推出四边形的对角线互相垂 直.四边形的对角线又互相平分，∴.判定四边形是菱 形，故不符合题意.对于选项C,三条边相等的四边形，不 能判定四边形是菱形，故符合题意.对于选项D,由同旁内 角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又 相等，判定四边形是菱形，故不符合题意」 2.A解析：由作图可知AD=AB=DC=BC,∴.四边形 ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）. 2 3.B解析：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ CD,CEFD,CD=AB=4.:将线段AB水平向右平移 得到线段FE,∴.AB∥EFCD.∴.四边形ECDF为平行 四边形.当CD=CE=4时，□ECDF为菱形，此时a= BE=BC一CE=6-4=2. 4.B解析：AB=AD,O是BD的中点，.·AC⊥BD, ∠BAO=∠DAO.:'∠ABD=∠CDB,∴.AB∥CD. ∴.∠BAC=∠ACD.∴.∠DAC=∠ACD.∴.AD= CD.∴.AB=CD.ABCD,∴.四边形ABCD是平行 四边形.，AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.AB= 5,50=2BD=4,易得A0=3.AC=2A0=6, .四边形ABCD的面积为号×6X8=24. 5号解析：如图，连接CE交AB于点O.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,∴.AB= √AC+BC=I0.当□CDEB为菱形时，CE⊥BD, OD=OB,CD=CB.:号AB·Oc=2AC·BC, .C.0B-/B-C AD-AB- 20B-4 (第5题) 6.1解析：如图，连接AC,BD,过点B作BE⊥DC,交 DC的延长线于点E,过点D作DF⊥BC,交BC的延长 线于点F.∴.∠BEC=∠DFC=90°.由题意，可知AB∥ CD,ADCB,BE=DF.',四边形ABCD是平行四边 [∠BCE=∠DCF, 形.在△BCE和△DCF中， ∠BEC=∠DFC, BE=DF. ,.△BCE≌△DCF..BC=DC..□ABCD是菱 形.∴.四边形ABCD的面积为AC·BD=1cm E (第6题) 7.OA=OC(答案不唯一)：OA=OC,OB=OD, .四边形ABCD是平行四边形.又AC⊥BD,∴四边 形ABCD是菱形 8.DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边 形，∠EDA=∠FAD.·'AD是△ABC的角平分线， .∠EAD=∠FAD..∠EAD=∠EDA..EA= ED.,.四边形AEDF为菱形 9.(1)·AB⊥AC,EF⊥AC,.EF∥AB.:E为BC 的中点，.易得EG是△ABC的中位线..AG=GC .四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,.∠DAC= ∠ACB.又∠AGF=∠CGE,.△AGF≌△CGE (2):△AGF≌△CGE,∴.AF=CE.又AF∥CE, ∴.四边形AECF是平行四边形.又：EF⊥AC,∴.四边 形AECF是菱形 第14天矩形的性质 【新知导学】 1.C解析：，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩 形，.∠DAB=∠EAG=90°.：∠BAG=30°， ∴.∠DAG=∠DAB-∠BAG=60°..∴.∠DAE= ∠EAG-∠DAG=30°. 2..·四边形ABCD是矩形，.∠A=∠D=90°，AB= DC.:'PE=PF,∴.∠PEF=∠PFE.∴.∠BEA= ∠BEA=∠CFD, ∠CFD.在△ABE和△DCF中，∠A=∠D, AB=DC, .△ABE≌△DCF.∴.AE=DF 3.B解析：连接OB.四边形OABC是矩形，∴.OB= AC.点B的坐标为(1,3)，∴.AC=OB=√+3= w/10 4.·四边形ABCD是矩形，.OD=OC..∠BDC= ∠OCD=65°.∴.∠DOC=180°-∠BDC-∠OCD= 180°-65°-65°=50.BD=2CE,2OC=BD,∴.CO= CE,∴.∠E=∠DOC=50° 5.3解析：：'∠ABC=∠ADC=90°，O是对角线AC的 中点0D-2AC-OB=8 6.:∠ACB=90°，E是AB的中点，∴.∠A+∠B=90°， BE=CE.,.∠BCE=∠B.设∠DCE=x,则∠BCE= ∠B=2x.∴.∠DCB=∠DCE+∠BCE=3x.'CD⊥ AB,∴.∠ADC=90°..∠B+∠DCB=90°，即2x+ 3x=90°，解得x=18°..∠B=36°..∠A=90°- 36°=549 【预学过关】 1.D解析：，·四边形ABCD是矩形，，AC=BD=6, 3期升级训练数学（北师版）八年级 第13天 新知 知识点1 菱形的判定定理1 四边相等的四边形是菱形 例1活动课上，小明用四根细木条搭成如图所 示的四边形，现要判断这个四边形是否为菱形， 下列测量方案正确的是 (例1图) A.测量对角线是否互相垂直 B.测量两组对边是否分别平行 C.测量是否有三个角是直角 D.测量四条边是否都相等 解析：选项A:只测量对角线是否互相垂直不能 说明是菱形，故错误；选项B:两组对边分别平 行的四边形是平行四边形，还需要邻边相等才 能说明是菱形，故错误；选项C:三个角是直角 的四边形不一定是菱形，故错误；选项D:四条 边都相等的四边形是菱形，这是菱形的判定定 理，故正确. 答案：D 练1如图，在由小正方形组成的网格图中，四 边形ABCD的顶点都在格点上.若每个小正方 形的边长均为1，则四边形ABCD的四条边 AB,BC,CD,DA的长都是 ,从而可知 四边形ABCD的形状是 -L- (练1图) 菱形的判定 导学 练2如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别 是AB,BC的中点，BF∥DE,EF∥DB.求证： 四边形BDEF是菱形. (练2图) 知识点2 菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 例2[龙东地区中考]如图，在□ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O.请添加一个条件： ,使□ABCD为菱形（写出一个即可）. D (例2图) 解析：，对角线互相垂直的平行四边形是菱 形，.添加条件AC⊥BD,可以使□ABCD为 菱形. 答案：AC⊥BD(答案不唯一)， 练3如图，在四边形ABCD中，AD=BC, AC⊥BD于点O.添加下列一个条件，不能使四 边形ABCD成为菱形的是 (练3图) A.∠ADB=∠CBDB.ADBC C.OB=OD D.OA=OB 预学 1.根据所标数据，下列四边形不一定为菱形 的是 B 5品 ◇70 60 D 2.如图，在∠A的基础上用尺规作图：①以点 A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两 边分别交于点B,D;②分别以点B,D为圆 心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C; ③分别连接DC,BC.可以直接判定四边形 ABCD是菱形的依据是 () A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B (第2题) (第3题) 3.如图，在□ABCD中，AB=4,BC=6,将线 段AB水平向右平移a个单位长度得到线 段FE.如果四边形ECDF为菱形，那么a 预学·新知储备 练4如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,AB=5,AC=8,BD=6.求证：□ABCD 是菱形 (练4图) 过关 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O, 且O是BD的中点.若AB=AD=5,BD= 8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面 积为 ( A.40 B.24 C.20 D.15 (第4题) (第5题) 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 8,BC=6,D为斜边AB上一点，以CD,CB 为边作□CDEB.当AD= 时， □CDEB为菱形. 6.如图，将两条等宽的纸条交叉叠 放在一起，重叠部分构成四边形 若A,C两点间的距离为1cm,B D两点间的距离为2cm,则四边形ABCD 的面积为 cm. (第6题) 5 毫期升级训练数学（北师版）八年级 7.小惠自编一题：如图，在四边形ABCD中，对 角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB= OD.求证：四边形ABCD是菱形.她将自己 的证明过程与小洁交流， 小惠：.·AC⊥BD,OB=OD .AC垂直平分BD. ∴.AB=AD,CB=CD .四边形ABCD是菱形 () 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个 条件才能证明， 若赞同小惠的证法，请在( )中打“V”; 若赞同小洁的说法，请你补充一个条件，并 证明， 补充的条件： 证明： D R (第7题) 36 8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求 证：四边形AEDF是菱形. (第8题) 9.[徐州中考]如图，在□ABCD中，E为BC的 中点，EF⊥AC于点G,交AD于点F,AB⊥ AC,连接AE,CF.求证： (1)△AGF≌△CGE; (2)四边形AECF是菱形. (第9题)