第16天 正方形的性质-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

第16天 新为 知识点1 正方形的边、角性质 正方形的四个角都是直角，四条边相等， 例1如图，在正方形ABCD中，E为对角线 AC上一点，连接BE,DE.若∠ABE=35°，则 ∠CEB的度数为 () (例1图) A.45°B.67.5°C.80° D.90° 解析：.四边形ABCD是正方形，.∠ABC 90,AB=BC.∠BAC=∠BCA-2180° ∠ABC)=45°..'∠CEB=∠ABE+∠BAE, ∠ABE=35°，∴.∠CEB=35°+45°=80° 答案：C 练1如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是 等边三角形，求∠ADE的度数， (练1图) 预学·新知储备 正方形的性质 导学 练2[陕西中考]如图，在正方形ABCD中，点 E,F分别在边BC,CD上，且∠BAE= ∠DAF,求证：CE=CF. (练2图)》 知识点2 正方形的对角线的性质 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 例2菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有 的性质是 () A.对边相等 B.对边平行 C.对角线互相平分D.对角线互相垂直 解析：对于选项A,菱形、正方形、矩形的对边相 等，故不符合题意.对于选项B,菱形、正方形、 矩形的对边平行，故不符合题意.对于选项C, 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，故不符 合题意.对于选项D,菱形、正方形的对角线互 相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故符合 题意. 答案：D. 43 窖期升级训练数学（北师版）八年级 练3如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交 于点O.给出下列结论：①AB=BC=CD= DA;②AO=BO=CO=DO;③AC⊥BD.其 中，正确的有 () (练3图) A.0个 B.1个C.2个 D.3个 预学 1.若一个正方形的对角线长为4cm,则它的面 积是 ( A.8 cm2 B.16 cm2 C.32 cm2 D.72 cm2 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方 形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，则点C 的坐标是 A(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) y D 0 B (第2题) (第3题) 3.如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上 一点，CE=BD,AE交DC于点F,则∠E 的度数为 A.15°B.22.5°C.45°D.50° 4.如图，正方形ABCD的边长AB=10,在正 方形内有一点E,且满足∠AEB=90°， AE=6,则涂色部分的面积为 (第4题) (第5题) 5.[吉林中考]如图，正方形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,E是OA的中点，F是 练4如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交 于点O,点E,F分别在OB,OC上，连接AE, DF.若AE=DF,求证：∠AEO=∠DFO (练4图) 过关 OD上点连接E若∠PB0=45则爱 的值为 6.2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝 邀请赛.参赛的一个风筝的主骨架由一个边 长为2m的正方形构成，副骨架由该正方形 的两条对角线构成，则副骨架的总长为 m(结果保留根号)， 7.如图，在正方形ABCD中，点E在DA的延 长线上，点F在AD的延长线上，连接BE, CF,且BE=CF.求证：∠ABE=∠DCF. (第7题) 44 8.如图，在正方形ABC 对角线AC,BD的交 作OE⊥OF,分别交 点E,F,连接EF.若AE=3,CF=1,求EF 的长 0 (第8题) 9.[徐州中考]如图，四边形ABCD为正方形， 点E在BD的延长线上，连接EA,EC. (1)求证：△EAB≌△ECB; (2)若∠AE℃=45°，求证：DC=DE. E (第9题) 预学·新知储备 10.[浙江中考]如图，某兴趣小组需要在正方 形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（涂色部 分)，点E在对角线BD上 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组 成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程； (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼 角”∠BAE的度数. (第10题) 454.BE=CF(答案不唯一)解析：，四边形ABCD是平 行四边形，.AD∥BC,AD=BC.BE=CF,.BE十 CE=CF十CE,即BC=EF.∴.AD=EF.AD∥EF, ∴.四边形AEFD是平行四边形.又：AE⊥BC, '.∠AEF=90°..∴.□AEFD是矩形 5.2或10解析：设运动的时间为ts.:四边形ABCD 是平行四边形，AC=12,BD=8OA=0C=2AC= 6,0B=OD=号BD=4.由题意可知，AE=CF=t, ,.OE=OF=6一t(0t≤6)或OE=OF=t一6(6t 12).∴.四边形BEDF是平行四边形.∴.当EF=BD时， 四边形BEDF是矩形.∴.OE=OD,即6-t=4或t一6= 4.∴.t=2或t=10.∴.经过2s或10s,四边形BEDF是 矩形 6.:AB=AC,AD平分∠BAC,.AD⊥BC .∠ADB=∠ADC=90°..AN∥BC,∴.∠DAE= ∠ADB=90°.又：CE⊥AN,.∠CEA=90. ∴.∠ADC=∠DAE=∠CEA=90°.∴.四边形ADCE是 矩形 7.·OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∠AOB=180°， .易得∠DOF=90°.，OA=OC,.OD⊥AC ∠CDO=90°.CF⊥OF,∴.∠CFO=90. ∴.∠CDO=∠DOF=∠CFO=90°.∴.四边形CDOF是 矩形 8.(1).∠ABO=∠DCO=90°，∴.ABCD..∠A= ∠A=∠D, ∠D.在△AOB和△DOC中，∠ABO=∠DCO, OB=OC, ∴.△AOB≌△DOC.∴.OA=OD.E,F分别是AO, D0的中点0E=20A,0F=20D.∴0E=0F (2)OB=OC,OE=OF,∴.四边形BECF是平行四边 形.∠A=30,OB=OA=0E.0E=0F. OB=OC,.OE=OF=OB=OC.∴.BC=EF.∴.四边 形BECF是矩形 9.(1)四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AB=CD..∠GAE=∠HCF.G,H分别是AB,CD 的中点，∴.AG=CH=DH.在△AGE和△CHF中， AE-CF, ∠GAE=∠HCF,∴.△AGE≌△CHF(2)如图，连 AG-CH, 接GH.·△AGE≌△CHF,∴.GE=HF,∠AEG= ∠CFH..∠GEF=∠HFE.∴.GE∥HF.∴.四边形 EGFH是平行四边形.AG=DH,AB∥CD,∴.四边形 AGHD是平行四边形.∴.AD=GH.EF=AD, ∴.EF=GH.∴.四边形EGFH是矩形 D (第9题) 第16天正方形的性质 【新知导学】 1.:四边形ABCD是正方形，.∠ADC=∠DCB= 90°，BC=CD.:△CBE是等边三角形，∴.∠ECB= 60°，BC=CE.∴.CD=CE,∠ECD=∠DCB-∠ECB= 30.:∠CDE=2(180-∠BCD)=75.&∠ADE ∠ADC-∠CDE=15 2.:四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=DC=AD, ∠B=∠D=90°.在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D, RAB=AD, .△ABE≌△ADF..BE= ∠BAE=∠DAF, DF.∴.BC一BE=DC一DF,即CE=CF 3.D解析：根据正方形的性质即可判断①②③都正确 4.在正方形ABCD中，AC=BD,∠AOE=∠DOF= 9e,A0=号AC=号BD=D0.在R△0AE和 Rt△ODF中， AE=DF,:R△OAE≌R△ODF. AO-DO, ∴.∠AEO=∠DFO 【预学过关】 1.A解析：如图.四边形ABCD是正方形，且对角线 的长为4cm,∴AC⊥BD,AC=BD=4cm∴.OA= QC=-2mSm=2X号BD×0A=2X号×1X 2=8(cm). D (第1题) 2.C解析：：正方形的边长为3，∴.DC=BC=3,DC 与BC分别垂直于y轴和x轴.：点C在第一象限，∴.点 C的坐标为(3,3). 3.B解析：如图，连接AC,在正方形ABCD中，AC= BD,∠ACB=45°，CE=BD,.CE=AC.∴.∠E= 5 ∠CAE..∠ACB=∠E+∠CAE=45°，∴.∠E= ∠CAE=22.5°. (第3题) 4.76解析：在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6, AB=10,由勾股定理，得BE=√AB2-AE=8.:正方 形ABCD的面积为10×10=100，△AEB的面积= AE·BE-24,涂色部分的面积-100-24=76. 1 5号解析：四边形ABCD是正方形，·∠BAC- ∠DAC=45°，AD=BC.:∠FEO=45°，.∠FEO= ∠DAC.∴.EF∥AD.:E是OA的中点，∴.易得F是 OD的中点.∴.EF是△AOD的中位线.∴.EF= 号An.EF子C,脚既子 6.42解析：如图.，四边形ABCD是正方形，且边长 为2m,∴.AB=BC=2m,∠ABC=90°，AC=BD.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC √22+22=2√2(m)..BD=AC=22m..BD+ AC=4√2m,即副骨架的总长为42m B C (第6题) 7.·四边形ABCD是正方形，.AB=DC,∠BAD= ∠CDA=90°..∴.∠BAE=∠CDF=90°.在Rt△ABE和 (BE=CF, Rt△DCF中， AB=DC, ∴.Rt△ABE≌Rt△DCF. ,.∠ABE=∠DCF 8.在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AO=BO, ∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，∴.∠AOE+ ∠BOE=90°.，OE⊥OF,.∠BOF+∠BOE=90°. ∴.∠AOE=∠BOF.在△AOE和△BOF中， '∠AOE=∠BOF, AO-BO, .△AOE2△BOF...AE=BF= ∠OAE=∠OBF, 3.同理，可得BE=CF=1.在Rt△BEF中，EF= √BE+BF=√10 9.(1)四边形ABCD为正方形，∴.AB=CB, ∠ABE=∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中， AB=CB, ∠ABE=∠CBE,∴.△EAB≌△ECB(2)四边形 BE=BE. ABCD为正方形，·.∠BDC=号∠CDA=45 △EAB≌△ECB,∠AEC=45°，.∠AED= ∠CED=2∠AEC=22.5,·∠BDC=∠CED+ ∠DCE=45°，∴.∠DCE=22.5°.∴.∠CED=∠DCE. ∴.DC=DE 10.(1)四边形ABCD是正方形，∴.AB=CB, ∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中， AB=CB, ∠ABE=∠CBE,∴.△ABE≌△CBE(2)四边形 BE=BE, ABCD是正方形，..∠BAD=90°，∠ADB=45° DE=DA,∴.∠DAE=∠DEA=67.5°.∴.∠BAE= ∠BAD-∠DAE=22.5 第17天正方形的判定 【新知导学】 1.AC LBD(答案不唯一)解析：，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴.四边形ABCD为 矩形.∴.当AC⊥BD时，四边形ABCD为正方形 2.:四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠B=∠C= 90.:EFCD,.∠BFE=∠C=90°.∠A=∠B= ∠BFE=90°，∴.四边形ABFE是矩形.：AE=AB, ∴.四边形ABFE是正方形 3.B解析：设对角线AC和BD交于点O.:四边形 ABCD为菱形，∴.AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,OA= OC,OB=OD.①：对角线相等的菱形是正方形，∴.补 充条件AC=BD,可以判定四边形ABCD为正方形 ②菱形的对角线AC⊥BD,∴.补充条件AC⊥BD,不 能判定四边形ABCD为正方形.③：AB2+AD= BD,∴.∠BAD=90°.∴.菱形ABCD为正方形..补充 条件AB2十AD?=BD,可以判定四边形ABCD为正方 形.④当∠ACD=∠ADC时，AC=AD.又：AD=CD, .AD=AC=CD.∴.△ACD为等边三角形. ∴.∠ADC=60°.∴.补充条件∠ACD=∠ADC,不能判定 四边形ABCD为正方形.综上所述，符合题意的是①③. 4.在菱形ABCD中，OB=OD,OA=OC,AC⊥BD. AE=CF,∴.OA+AE=OC+CF,即OE=OF 6