1.4.1 正方形的性质-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第2课时矩形的判定 【知识要点分类练】 1.D2.AD⊥BC(答案不唯一) 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD=BC. AN DM,.'.AN AM DM +AM,NM AD, .NM=BC,.四边形BCMW是平行四边形 CM⊥AD,.∠CMN=90°，.平行四边形BCMN是矩形. 4.D 5.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD, ∴.∠AFC+∠FCE=180°，∠EAF+∠AEC=180. :AE⊥CD,CF⊥AB,∴.∠AFC=∠AEC=90°， .∠FCE=∠EAF=90°，∴.四边形AFCE是矩形. 6.B 7.(1)证明：：△AOB是等边三角形，∴.0A=0B. :四边形ABCD是平行四边形，0B=0D=2BD, 0A=0C=74C,BD=AC,口ABCD是矩形 (2)解：：口ABCD是矩形，∴∠BAD=90. ∠AB0=60°，∴.∠ADB=90°-60°=30°，.BD=2AB=8, ∴.在Rt△ABD中，AD=√BD2-AB2=4√5. 8.(1)30°(2)15° 9.(1)证明：.CE∥OD,DE∥AC, .四边形OCED是平行四边形..四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,即∠COD=90°，∴.四边形OCED是矩形 (2)解：：四边形ABCD是菱形，AB=1, BC=AB=1,0是AC的中点，即0C=7AC ·∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形，AC=AB=1， 0C=24C=分 1 :四边形0CED是矩形，DE=OC= 2 【能力提升综合练】 10.A11.A12.3 13.12 [解析]∠BAC=90°，且BA=3,AC=4,BC= √BA2+AC=5.DM⊥AB,DN⊥AC,.∠DMA=∠DNA =∠BAC=90°，∴.四边形DMAW是矩形.如答图，连接AD, 则MN=AD,,当AD⊥BC时，AD的值最小.此时，△ABC 的面积=2AB×AC=子BC×AD,AD=BXAC=号 BC ”5 MN的最小值为号 M D 13题答图 14.证明：(1)AF∥BC,∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE. 又E为AD的中点，AE=DE,.△AEF≌△DEC, .AF=DC.又.D为BC的中点，.BD=CD,.AF=BD (2):AF=BD,AF∥BD,.四边形ADBF是平行四边形 AB=AC,D为BC的中点，∴.AD⊥BC, .∠ADB=90°，.四边形ADBF是矩形. 参考答案及解析 【素养探究创新练】 15.解：(1)0E=0F 理由：MN∥BC,∴.∠OEC=∠ECB. CE平分∠ACB,.∠ACE=∠ECB, ∠OEC=∠ACE,.OE=0C. 同理可得0C=0F,∴.OE=0F (2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形 理由：OA=OC,OE=0F, ∴.四边形AECF是平行四边形. CE平分∠ACB,CF平分∠ACG, .LACE-LACB,LACF-LACC, LACE+LACF-(LACB+LACG)1 90°，即LECF=90°，∴.四边形AECF是矩形. 微专题3含60°角的特殊平行四边形 1.D2.753.23 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 【知识要点分类练】 1.C2.B3.45°4.B5.C6.A7.1358.39. 10.证明：四边形ABCD是正方形， ∴.OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD .·BE=CF,∴.△OBE≌△OCF,∴.∠BOE=∠COF AC⊥BD,∴.∠B0C=90 .∠EOF=∠EOB+∠BOF,∠BOC=∠COF+∠BOF ∴.∠E0F=∠B0C=90°，∴.OE⊥OF. 【能力提升综合练】 11.A12.C13.(-4,3)（-1,7)14.4 15.证明：延长BC,交AF的延长线于点G,如答图. D F B EC 15题答图 四边形ABCD是正方形，.AD∥BC,DA=DC, ∠D=90°，.∠DAF=∠G,∠FCG=∠D=90°. F是CD中点，CF=DF [LFCG=LD, 在△FCG和△FDA中，CF=DF, L∠2=∠1， .△FCG≌△FDA(ASA),CG=DA. .·AE=DC+CE,∴.AE=CG+CE=GE, ∴.∠EAF=∠G,∴.∠DAF=∠EAF,∴AF平分∠DAE. 【素养探究创新练】 16.(1)证明：.·四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，AB=AD,∴∠BAG+∠DAE=90°. DE⊥AG,∴∠AED=90°，.∠DAE+∠ADE=90°， ..∠ADE=∠BAG. :BF∥DE,.∠AFB=∠DEF=90°，.∠AED=∠BFA, ∴.△ADE≌△BAF,.AE=BF,.AF-BF=AF-AE=EF ·3… 全程导练·九年级数学·北师版·上册 (2)解：AF+BF=EF 证明：由(1)，得BA=AD,∠AED=90°，∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， .∠BAF=∠ADE. :BF∥DE,.∠AFB=180°-∠E=90°，.∠E=∠AFB, ∴.△ADE≌△BAF,∴.AE=BF,.AF+BF=AF+AE=EF (3)解：过点B作BF∥DE交AG于点F. 由(1)，得BF=AE=4, 1 1 ·SAABE=2AE,BF=2 ×4×4=8. 第2课时正方形的判定 【知识要点分类练】 1.C2.C3.D 4.证明：如答图，连接AC,交BD于点O 四边形ABCD是菱形， .A0=C0,B0=D0,AC⊥BD. ·BE=DF .BE +OB=DF +DO,..EO=FO, ,.四边形AECF是平行四边形. 0 .AC⊥BD, ∴.平行四边形AECF是菱形 在△AOE和△COE中， 4题答图 .OA=OC,∠AOE=∠C0E=90°， 0E=0E, ∴.△AOE≌△COE(SAS),∴.∠AEF=∠CEF 又：∠AED=45°，.∠AEC=90°， .菱形AECF是正方形 5.A6.127.202 8.证明：CE∥BD,DE∥AC, .四边形OCED是平行四边形. .·正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O .∴.OD=OC,∠DOC=90°，∴.平行四边形OCED是正方形. 【能力提升综合练】 9.C10.B 11.证明：(1)四边形ABCD是正方形 ∴.∠DAB=90°，AC平分∠DAB. :PM⊥AD,PN⊥AB,∴∠PMA=∠PNM=90°， ∴.四边形MAWP是矩形 AC平分∠DAB,PM⊥AD,PN⊥AB,∴PM=PN, ∴.四边形MANP是正方形 (2)四边形MAWP是正方形 .PM=PN,∠MPN=90°. .·∠EPB=9O°，∴.∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°， ∴.∠MPE=∠NPB. r∠PME=∠PNB=90°， 在△EPM和△BPN中， PM=PN. L∠MPE=∠NPB, .∴.△EPM≌△BPN(ASA),.EM=BN. 12.解：(1)四边形BPC0为平行四边形. 理由：：四边形ABCD为平行四边形， x0c=0A=74c,0B=0D=70 由作图，得OB=CP,BP=OC, .四边形BPCO为平行四边形 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 理由：：AC⊥BD,∴∠BOC=90°，∴.口BPC0为矩形 AG-BD,OB-BD,OC-AC. ∴.OB=OC,∴矩形BPC0为正方形. 4… 【素养探究创新练】 13.(1)证明：如答图，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于 点N,则四边形EMCN是矩形，∴.∠MEN=90. E是正方形ABCD对角线上的点，.EM=EN. ·.:四边形DEFG是矩形 .∴.∠DEF=90° .∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN. 在△DEN和△FEM中， A D r∠DNE=∠FME=90° EN=EM. L∠DEN=∠FEM, .∴.△DEN≌△FEM(ASA), .EF=DE. .·四边形DEFG是矩形， M F ∴矩形DEFG是正方形. 13题答图 (2)解：CE⊥CG.理由如下： :四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形， ∴.DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°， .∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°， ∴.∠CDG=∠ADE. rAD=CD. 在△ADE和△CDG中，{∠ADE=∠CDG, DE =DG, ..△ADE≌△CDG(SAS),.∠CAD=∠DCG .·∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°， .∠ACG=∠ACD+∠DCG=∠ACD+∠CAD=90°， .CE⊥CG. (3)解：2 专题1与正方形有关的常考膜型 1.C 2.证明：四边形ABCD是正方形， ,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° ∠AOB=180°-∠A0F=90°，∴.∠BAE+∠OBA=90° 又.：∠ABE=∠CBF+∠OBA=90°，.∠BAE=∠CBF ∴.△ABE≌△BCF,∴.BE=CF 3.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠A=90°. :△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴.BE=EF,∠AEB+∠FEM=90. FM⊥AD,.∠M=90°， ∴，∠FEM+∠MFE=90°，.∠AEB=∠MFE. r∠A=∠M=90°， 在△ABE和△MEF中， ∠AEB=∠MFE, BE EF. ∴.△ABE≌△MEF(AAS). (2)解：①DF=2AE 理由如下：由(1)，得△ABE≌△MEF .AE =MF,AB ME. 四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=ME ∴.AD-ED=ME-ED,即AE=DM,.DM=MF. ∠M=90°，.DF2=DM2+MF2=2MF2, .DF=√2MF(负值已舍去)，.DF=√2AE. ②①中的结论依然成立 理由如下：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠A=90° △BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴.BE=EF,∠AEB+∠FEM=90°. .FM⊥AD,.∠M=90°，全程导练·九年级数学·北师版·上册 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 [答案P3] 知识要点分类练单， 8.（怀化中考)如图，P是正方形ABCD的对角线AC 上的一点，PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线 餐知识点1正方形的边、角的性质 AB的距离为 1.(自贡中考)如图，边长为3的正方形OBCD两边 D 与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是 ( A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) 8题图 9题图 9.(吉林中考)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E是OA的中点，F是OD上一点，连 接R若LR0=450,则的值为 1题图 2题图 3题图 2.如图，在正方形ABCD中，M,N分别为CD,BC边 10.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点O, 点E,F分别在AB,BC上，且BE=CF 上的点，且AM⊥DN,AM与DN交于点P,连接 AW,Q为AN的中点，连接PQ,若AB=15,DM= 求证：0E10F 7,则PQ的长为 ( A.7 号 C.9 D.25 3.（教材母题变式)如图，在正方形ABCD的外侧作 等边三角形ABE,则∠BED= 10题图 餐知识点2正方形的对角线的性质 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有 的性质是 ( A.相等 B.互相平分 C.平分一组对角 D.互相垂直 5.正方形的对角线长为6√2，则其面积为（ A.242B.72 C.36 D.24 6.（内蒙古中考)如图，边长为2的正方形ABCD的 对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点， 能力提升综合练单” F是BD上一点，连接DE,EF.若△DEF与△DEC 关于直线DE对称，则△BEF的周长是() 11.(重庆A卷中考)如图，在正方形ABCD中，点E, A.22 B.2+2 C.4-22D.√2 F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF= 45°.若∠BAE=a,则∠FEC= () 6题图 7题图 11题图 7.如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的 A.2a B.90°-2ax 一点，∠1=∠2，则∠BPC的度数为 C.45°-ax D.90°- 10 见此图标照微信打码进人初中智慧学国自自 第一章特殊平行四边形又 12.(宜宾中考)如图，边长为6的正方形ABCD中， M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD 素养探究创新练单： 于点P,若PM=PC,则AM的长为 16.在学习正方形时，王老师带领同学们探索了课本 A.3(5-1) B.3(35-2) 上的一道几何题， C.6(3-1)》 D.6(35-2) 【课本再现】 D (1)如图①，四边形ABCD是正方形，G为BC上 的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE,交 AG于点F.求证：AF-BF=EF; 【类比探究】 0 12题图 13题图 (2)如图②，在正方形ABCD中，G为CB延长线 13.如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中， 上的任意一点，DE⊥AG交GA的延长线于点 0是坐标原点，点D的坐标为(3,4)，则点A的 E,BF∥DE交AG于点F.试探索AF,BF,EF 坐标为 ,点C的坐标为 之间的数量关系，并给出证明； 14.(青岛中考)如图，已知正方形ABCD的边长为 【迁移应用】 5,点E,F分别在AD,DC上，AE=DF=2,BE与 (3)如图③，四边形ABCD是正方形，G为BC上 AF相交于点G,H为BF的中点，连接GH,则GH 的一点，DE⊥AG于点E,连接BE.若AE=4, 的长为 请直接写出△ABE的面积， G B G 14题图 16题图① 16题图② 16题图③ 15.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F 是CD的中点，且AE=DC+CE.求证：AF平 分LDAE. 15题图 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园自 11