第15天 矩形的判定-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

AO-CO.AO-AC-3.AELBD,ZAEO- 90°.在Rt△AOE中，OE=√JAO2-AE= √/32-(5)2=2. 2.24解析：，这个直角三角形斜边上的中线是6cm: ∴.此直角三角形的斜边长是6×2=12(cm.:这个直角 三角形斜边上的高是4cm,∴.此直角三角形的面积= ×12X4=24(cm). 1 3得 解析：设BC=a.:四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=a,∠A=90°.：DE=3,∴.AE=AD- DE=a-3.由作图，可知BE=BC=a.在Rt△ABE中， 由勾股定理，得AB2+AE2=BE,∴.82+(a-3)2=a2, 解得a-召：5C的长为号 4.:四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=∠D=90°， AD=BC=2.'O是矩形ABCD的对角线AC的中点， M是AD的中点，∴.OM是△ADC的中位线.：OM= 0.5,.DC=2OM=1..AC=√AD2+DC=√5. :0号Ac-号 5.:四边形ABCD为矩形，∴.AB∥CD,∠B=90° ∴.∠FCE=∠BAC.EF⊥AC,.∠CFE=90°= ∠FCE=∠BAC, ∠B.在△CFE和△ABC中，∠CFE=∠B, CE=AC, ,∴.△CFE≌△ABC..∴.EF=CB 6.:四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，AC=BD, OA-AC,OB-BD.OA -OB.OBA- ∠OAB=60°.∴.∠OBE=∠ABC-∠OBA=90°-60°= 30°，∠BOC=∠OAB+∠OBA=120°.·'OE=BE, ∴.∠OBE=∠EOB=30°..∠EOC=∠BOC- ∠EOB=120°-30°=90° 7.(1)CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°.∴.∠A= 90°-∠ACD=90°-15°=75°.AB=BC,∴.∠BCA= ∠A=75..∠B=180°-∠A-∠BCA=30°. :∠BDC=90,E是BC的中点，·.DE=2BC BE.∴.∠B=∠BDE=30°..∠DEC=∠B+∠BDE= 60°(2)∠DEC=4∠ACD理由：由(1)知∠A= ∠BCA.:∠B+∠A+∠BCA=180°，∴.∠B+2∠A 180°.：∠A+∠ACD=90°，.2∠A+2∠ACD= 180.∴.∠B=2∠ACD.由(1)知∠DEC=2∠B, ∴.∠DEC=4∠ACD. 第15天矩形的判定 【新知导学】 1.A解析：：AD=BC=4,AB=CD=3,∴.四边形 ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题 意.∠A=∠B=∠D=90°，∴.四边形ABCD是矩形， 故选项B不符合题意.：∠A=∠B=90°，∴.∠A十 ∠B=180°..AD∥BC.AD=BC=4,.四边形 ABCD是平行四边形.，∠A=90°，∴.□ABCD为矩形， 故选项C不符合题意.AB=CD=3,AD=BC=4, .四边形ABCD是平行四边形.：AC=5,.AB2+ BC2=AC2.∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90° ∴.口ABCD是矩形，故选项D不符合题意。 2.CE⊥AB,AF⊥CD,∴.∠AEC=∠AFC= ∠AFD=90°.，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ CD...∠FAE=∠AFD=90°...∠AEC=∠AFC= ∠FAE=90°..∴.四边形AECF是矩形 3.D解析：：四边形ABCD是平行四边形，AD⊥DC, ∴□ABCD是矩形，故选项A不符合题意.，'四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC=2AC,OB=OD= 2BD,:OA=OBAC=BD.口ABCD是矩形，故 选项B不符合题意.：AC=BD,∴.□ABCD是矩形，故 选项C不符合题意.由OA=AB不能判定口ABCD是矩 形，故选项D符合题意 4.'DE=AD,DF=CD,∴.四边形ACEF是平行四边 形.四边形ABCD是菱形，.AD=CD.∴.AD十 DE=CD+DF,即AE=CF..四边形ACEF是矩形 【预学过关】 1.C解析：由题意，可知∠O=∠B=∠PCO=90°， PC十PB=6.∴.四边形OCPB是矩形.∴.四边形OCPB 的周长=2(PC+PB)=12. 2.D解析：，四边形ABCD是平行四边形，.AB= CD,BC=AD,BC∥AD,ABCD.'DE=AD,∴.BC= DE.'BCAD,即BCDE,∴.四边形DBCE是平行四 边形.选项A.:∠ADB=90°，∴.∠BDE=180°- ∠ADB=90°.∴□DBCE是矩形，故不符合题意.选项 B.AB=BE,AB=CD,.BE=CD.∴□DBCE是 矩形，故不符合题意.选项C.BE=CD,∴.☐DBCE 是矩形，故不符合题意选项D.:BE⊥CD,∴□DBCE 是菱形，不能判定其为矩形，故符合题意 3.10解析：当AC=10时，.AB=6,BC=8,.AB2+ BC2=AC2..∴∠ABC=90.,∴.□ABCD是矩形 4.BE=CF(答案不唯一)解析：，四边形ABCD是平 行四边形，.AD∥BC,AD=BC.BE=CF,.BE十 CE=CF十CE,即BC=EF.∴.AD=EF.AD∥EF, ∴.四边形AEFD是平行四边形.又：AE⊥BC, '.∠AEF=90°..∴.□AEFD是矩形 5.2或10解析：设运动的时间为ts.:四边形ABCD 是平行四边形，AC=12,BD=8OA=0C=2AC= 6,0B=OD=号BD=4.由题意可知，AE=CF=t, ,.OE=OF=6一t(0t≤6)或OE=OF=t一6(6t 12).∴.四边形BEDF是平行四边形.∴.当EF=BD时， 四边形BEDF是矩形.∴.OE=OD,即6-t=4或t一6= 4.∴.t=2或t=10.∴.经过2s或10s,四边形BEDF是 矩形 6.:AB=AC,AD平分∠BAC,.AD⊥BC .∠ADB=∠ADC=90°..AN∥BC,∴.∠DAE= ∠ADB=90°.又：CE⊥AN,.∠CEA=90. ∴.∠ADC=∠DAE=∠CEA=90°.∴.四边形ADCE是 矩形 7.·OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∠AOB=180°， .易得∠DOF=90°.，OA=OC,.OD⊥AC ∠CDO=90°.CF⊥OF,∴.∠CFO=90. ∴.∠CDO=∠DOF=∠CFO=90°.∴.四边形CDOF是 矩形 8.(1).∠ABO=∠DCO=90°，∴.ABCD..∠A= ∠A=∠D, ∠D.在△AOB和△DOC中，∠ABO=∠DCO, OB=OC, ∴.△AOB≌△DOC.∴.OA=OD.E,F分别是AO, D0的中点0E=20A,0F=20D.∴0E=0F (2)OB=OC,OE=OF,∴.四边形BECF是平行四边 形.∠A=30,OB=OA=0E.0E=0F. OB=OC,.OE=OF=OB=OC.∴.BC=EF.∴.四边 形BECF是矩形 9.(1)四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AB=CD..∠GAE=∠HCF.G,H分别是AB,CD 的中点，∴.AG=CH=DH.在△AGE和△CHF中， AE-CF, ∠GAE=∠HCF,∴.△AGE≌△CHF(2)如图，连 AG-CH, 接GH.·△AGE≌△CHF,∴.GE=HF,∠AEG= ∠CFH..∠GEF=∠HFE.∴.GE∥HF.∴.四边形 EGFH是平行四边形.AG=DH,AB∥CD,∴.四边形 AGHD是平行四边形.∴.AD=GH.EF=AD, ∴.EF=GH.∴.四边形EGFH是矩形 D (第9题) 第16天正方形的性质 【新知导学】 1.:四边形ABCD是正方形，.∠ADC=∠DCB= 90°，BC=CD.:△CBE是等边三角形，∴.∠ECB= 60°，BC=CE.∴.CD=CE,∠ECD=∠DCB-∠ECB= 30.:∠CDE=2(180-∠BCD)=75.&∠ADE ∠ADC-∠CDE=15 2.:四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=DC=AD, ∠B=∠D=90°.在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D, RAB=AD, .△ABE≌△ADF..BE= ∠BAE=∠DAF, DF.∴.BC一BE=DC一DF,即CE=CF 3.D解析：根据正方形的性质即可判断①②③都正确 4.在正方形ABCD中，AC=BD,∠AOE=∠DOF= 9e,A0=号AC=号BD=D0.在R△0AE和 Rt△ODF中， AE=DF,:R△OAE≌R△ODF. AO-DO, ∴.∠AEO=∠DFO 【预学过关】 1.A解析：如图.四边形ABCD是正方形，且对角线 的长为4cm,∴AC⊥BD,AC=BD=4cm∴.OA= QC=-2mSm=2X号BD×0A=2X号×1X 2=8(cm). D (第1题) 2.C解析：：正方形的边长为3，∴.DC=BC=3,DC 与BC分别垂直于y轴和x轴.：点C在第一象限，∴.点 C的坐标为(3,3). 3.B解析：如图，连接AC,在正方形ABCD中，AC= BD,∠ACB=45°，CE=BD,.CE=AC.∴.∠E= 5期升级训练数学（北师版）八年级 第15天 新知 知识点1 矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 例1活动课上，小明用四根细木条搭成如图所 示的一个四边形.现要判断这个四边形是否为 矩形，下列测量方案正确的是 ( A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等 (例1图) D.测量对角线是否互相垂直 解析：·有三个角是直角的四边形是矩形， '.测量四边形的三个角是否为直角即可判断 这个四边形是否为矩形. 答案：A 练1根据所标数据，下列四边形不一定为矩形 的是 () 4 D A90° 909D 4 B690 A B 90 D 练2如图，在□ABCD中，CE⊥AB,AF⊥CD, 垂足分别为E,F,求证：四边形AECF是矩形. B4 (练2图) 矩形的判定 导学 知识点2 矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 例2如图，工人师傅砌门时， 要想检验门框ABCD是否符 合设计要求（即门框是否为矩 形)，在确保两组对边分别相等 (例2图) 的前提下，只要测量出对角线AC,BD的长，然 后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的 依据是 解析：.·两组对边分别相等，∴.四边形ABCD 是平行四边形.AC=BD,∴.四边形ABCD 是矩形.∴.只要测量出对角线AC,BD的长，然 后看它们是否相等就可以判断了.这种做法的 依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 答案：对角线相等的平行四边形是矩形 练3小明准备检查一个书架是否为矩形.如 图，书架ABCD是平行四边形，对角线AC,BD 相交于点O.下列验证方法错误的是 A.AD⊥DC D B.OA=OB C.AC=BD (练3图) D.OA=AB 练4如图，AC是菱形ABCD的一条对角线， 延长AD,CD,分别至点E,F,使DE=AD, DF=CD,连接AF,FE,EC.求证：四边形 ACEF是矩形. (练4图) 0 预学过 1.如图，∠AOB=90°，∠AOB内的任意一点 6 P,到这个角的两边的距离之和为6，则四边 形OCPB的周长为 ( A.3 B.6 C.12 D.24 0 (第1题) (第2题) 2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长 AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC, DB.添加下列一个条件，不能判定四边形 DBCE为矩形的是 () A.∠ADB=90° B.AB-BE C.BE=CD D.BE⊥CD 3.如图，在□ABCD中，AB=6,BC=8.当 AC- 时，□ABCD是矩形 (第3题) (第4题) 4.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,点F 在边BC的延长线上，连接DF.只需再添加 一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这 个条件可以是 (写出一个即可) 5.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,点E,F每秒运动1个单位长度，分 别从点A,C同时出发，沿AC,CA方向运 动.当点E到达点C时，两点都停止运动.若 AC=12,BD=8,则经过 s,四边形 BEDF是矩形， (第5题) 41 预学·新知储备 如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分 ∠BAC,过点A作AN∥BC,过点C作 CE⊥AN,垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形 R (第6题) 如图，O是线段AB上的一点，OA=OC,OD 平分∠AOC,交AC于点D,OF平分 ∠COB,CF⊥OF于点F.求证：四边形 CDOF是矩形 (第7题) 毫期升级训练数学（北师版）八年级 8.如图，AD和BC相交于点O,∠ABO= ∠DCO=90°，OB=OC,E,F分别是AO, DO的中点 (1)求证：OE=OF; (2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是 矩形 (第8题) 42 9.如图，四边形ABCD是平 形，G,H分别是AB,C 点，点E,F在对角线A AE=CF. (1)求证：△AGE≌△CHF; (2)若EF=AD,求证：四边形EGFH是 矩形. (第9题)