新课预习1.4 正方形的性质与判定-【假期成才路·暑假】2026年八年级数学复习与衔接（北师大版·新教材）

4正方形的 基础导 1.正方形的定义： (1)有一个角是直角的菱形叫做正方形 (2)有一组邻边相等的矩形叫做正方形. 2.正方形的性质： (1)正方形具有平行四边形的性质. (2)正方形四条边相等。 (3)正方形四个内角是直角. (4)正方形对角线互相垂直、平分、相等，并 . 且每条对角线平分一组对角. (5)正方形是轴对称图形，又是中心对称图 形.它有4条对称轴，它的对称中心是对角线的 交点. 3.正方形的判定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形 (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)对角线相等且互相垂直的平行四边形是 正方形 (4)对角线相等的菱形是正方形 (5)对角线互相垂直的矩形是正方形. 典例探究 知识点1：正方形的性质 例1如图，在正方形ABCD中，E是AB 上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD成立吗？为什么？ (1)证明：‘在正方形 ABCD中，BC=CD,∠B= ∠CDF,BE=DF, ∴.△CBE≌△CDF (SAS). ∴.CE=CF (2)解：GE=BE+GD成立. 理由是：.由(1)得：△CBE≌△CDF, ∴.∠BCE=∠DCF, 49 第三部分九年级上册新课预习 性质与判定 ∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD, 即∠ECF=∠BCD=90°， 又∠GCE=45°，∴.∠GCF=∠GCE=45°. .CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴.△ECG≌△FCG(SAS). ∴.GE=GF..GE=DF+GD=BE十GD. 知识点2：正方形的性质与判定的综合应用 例2如图，已知四边形ABCD为正方形， AB=2√2，点E为对角线AC上一动点，连接 DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以 DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是， 请求出这个定值；若不是，请说明理由， (1)证明：过E作EM ⊥BC于M点，过E作EN ⊥CD于N点，如图所示： .四边形ABCD为正 B M 方形， ∴.∠BCD=90°，∠ECN=45°， ∴.∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°， 且NE=NC,'.四边形EMCN为正方形， .四边形DEFG是矩形， '.EM-EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+ ∠NEF=90°，∴.∠DEN=∠MEF, 又∠DNE=∠FME=90°， 在△DEN和△FEM中，∠DNE= ∠FME,EN=EM,∠DEN=∠FEM, ∴.△DEN≌△FEM(ASA), .ED=EF,∴矩形DEFG为正方形， (2)解：CE十CG的值为定值，理由如下： 矩形DEFG为正方形， ∴.DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°， .四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°， ∴.∠ADE=∠CDG, 在△ADE和△CDG中，AD=CD,∠ADE =∠CDG,DE=DG, 假期成才路·八年级数学(BS) ∴.△ADE≌△CDG(SAS),∴.AE=CG, ∴.AC=AE+CE=√2AB=√2X2√2=4， ∴.CE+CG=4是定值. 有主网练 1.下列命题中，真命题是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 ADE.AC,BE相交于点F,则∠BF℃为( A.45° B.55° C.60° D.75° B 第2题图 第3题图 3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折 叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为 GH.若BE:EC=2：1,则线段CH的长是 () A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD 上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至 △AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG, CF.则下列结论： ①△ABG≌△AFG,②BG=CG;③AG∥CF; ④S△Gc=S△AE;⑤∠AGB+∠AED=145°. 其中正确的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 D 第4题图 第5题图 5.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到 E,使AE=AC,则∠BCE的度数是 6.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,E为BC上一点，CE=5,F为 ·5 DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的 长为 第6题图 第7题图 7.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD 的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC 于点H、G,则BG= 8.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF, BE=BF,EF与BC交于点G (1)求证：AE=CF; (2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小. 9.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC, BD交于点O,E是BD延长线上的点，且 △ACE是等边三角形. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD 是正方形 0·假期成才路·八年级数学(BS) 23.解：(1)如图，△AB1C1为所作； (2)如图，△A2B2C2.为所作； 24.(1)证明略(2)证明略(3)EF=√2 25.(1)84(2)m十n的最大值为15，最小值为12 26.初步探究：Sam-0,简单应用：Sam=c。 综合训练（五） 一、选择题 1.D2.C3.D4.C5.C6.C7.C8.C9.D 10.D11.D 二、填空题 12.4013.∠x+∠y-∠x=180°14.①③④ 15.108°16.317.8218.2119.号 三、解答题 20.证明略21.(1)证明略(2)∠B=30° 22.解：.PC平分∠BCD,PD平分∠EDC, ∴.∠BCD=2∠PCD,∠EDC=2∠PDC .∠P=80°， ∴.∠PCD+∠PDC=180°-∠P=180°-80°=100°， .∠BCD+∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2X 100°=200°， .∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC=(5-2) ×180°=540°， ∴.∠A+∠B+∠E=540°-∠BCD-∠EDC= 540°-200°=340°. 23.证明略24.证明略 第三部分 九年级上册新课预习 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 自主训练 1.D2.A3.A4.C5.(1)菱形(2)正方形 6.两组对边分别相等7.58.70° 2菱形的性质与判定 自主训练 1.D2.D3.A4.B5.83 6.AB=CD7.(1)证明略(2)168.证明略 3矩形的性质与判定 自主训练 1.A2.C3.B4.A5.306.EB=DC 7.(4.5,1.5)8.(1)证明略(2)89.证明略 4正方形的性质与判定 自主训练 1.C2.C3B4C5.2.5°67.4 7 8.(1)证明略(2)∠EGC=80°9.证明略 九年级入学测试卷 一、选择题 1.C2.A3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.A 10.B11.C12.C 二、填空题 13.x≤414.a(x+y)(x-y) 15.x<3且x≠-3-2 16.1517.x>-218.-2或-是 19.-2<a≤-120号 三、解答题 212x-0x-2）2品 22.(1)-1<x≤2(2)无解 1 23.原式=一(a-12,当a=2时，原式=-1 24.证明略 25.(1)BD=1cm(2)Saw影ec-7 5cm2 26.(1)A1(2,4),C1(3,2),图略 (2)D(0,1),D1(-2,-1),D2(-4,3) 27.(1)每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租 费是500元； (2)租用60座客车合算. 28.解：(1)，DM、EN分别垂直平分AB和AC, ∴.AD=BD,AE=EC, .∠B=∠BAD,∠C=∠EAC, :∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE, ∴.∠BAC=∠DAE+∠B+∠C; 又.∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°， ∴.∠BAC=115°. (2).△ADE的周长为19cm, ∴.AD+AE+DE=19cm, 由(1)知，AD=BD,AE=EC, ∴.BD+DE+EC=19,即BC=19cm. 60