第14天 矩形的性质-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

第14天 新知 知识点1 矩形的角的性质 矩形的四个角都是直角 例1矩形ABCD的邻边长分别是1,2，则对角 线BD的长是 A.√5 B.3 C.5 D.2√5 解析：四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD= 90°..矩形ABCD的邻边长分别是1,2，∴.BD= √1+22=/5. 答案：C 练1如图，四边形ABCD和四边形AEFG都 是矩形.若∠BAG=30°，则∠DAE的度数为 4 (练1图) A.10°B.20° C.309 D.45° 练2如图，点E,F在矩形ABCD的边AD上， 连接BE,CF并延长，交于点P.若PE=PF, 求证：AE=DF. (练2图》 预学·新知储备 矩形的性质 导学 知识点2 矩形对角线的性质 矩形的对角线相等. 例2如图，矩形ABCD的对角线 BD与AC相交于点O,P,Q分 别为AO,AD的中点.若PQ=(例2图) 1.5,则AC的长为 A.3 B.6 C.7.5 D.9 解析：.·四边形ABCD是矩形，.OA=OC= OB=OD.·P,Q分别为AO,AD的中点， ∴.PQ是△AOD的中位线.∴.OD=2PQ=3. .OA=OC-3...AC-OA+OC-6. 答案：B 练3如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点 B的坐标为(1,3)，则对角线AC的长为( A.4 B B.√10 C.√13 0 D.22 (练3图) 练4如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于 点O,延长BD至点E,连接CE.若BD=2CE, ∠BDC=65°，求∠E的度数. (练4图) 期升级训练数学（北师版）八年级 知识点3直角三角形斜边上中线的 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 例3如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的 中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为 2km,则M,C两点间的距离为 () (例3图) A.2 km B.1km C.0.5 km D.1.5 km 解析：由题意，得AC⊥BC..∠ACB=90° .'AB=2km,M是AB的中点，.CM 2AB=1 km. 答案：B 预学 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,AE⊥BD于点E.若AE=√5， BD=6,则OE的长为 (第1题) A.6 B.3 C.5 D.2 2.直角三角形斜边上的高和中线分别为4cm 和6cm,则此三角形的面积为 cm2. 3.如图，四边形ABCD是矩形，AB=8.以点B 为圆心，BC长为半径作弧，交AD于点E, 连接BE.如果DE=3,那么BC的长为 (第3题) 练5如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°，O是对 角线AC的中点.若OB=3,则 OD的长为 (练5图) 练6如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB,E是AB的中点，∠DCE:∠B= 1:2,求∠A的度数. DE (练6图) 过关 4.如图，O是矩形ABC AC的中点，M是AD OM=0.5,BC=2,求 (第4题) 38 5.如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长 CD至点E,使得CE=AC,过点E作EF⊥ AC于点F.求证：EF=CB. B (第5题) 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 交于点O.若∠OAB=60°，OE=BE,求 ∠EOC的度数. (第6题) 预学·新知储备 7.如图，在△ABC中，AB=BC,CD⊥AB,交 边AB于点D,E是边BC的中点，连接DE. (1)若∠ACD=15°，求∠DEC的度数； (2)猜想∠ACD与∠DEC的数量关系，并 说明理由， (第7题) 393.B解析：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ CD,CEFD,CD=AB=4.:将线段AB水平向右平移 得到线段FE,∴.AB∥EFCD.∴.四边形ECDF为平行 四边形.当CD=CE=4时，□ECDF为菱形，此时a= BE=BC一CE=6-4=2. 4.B解析：AB=AD,O是BD的中点，.·AC⊥BD, ∠BAO=∠DAO.:'∠ABD=∠CDB,∴.AB∥CD. ∴.∠BAC=∠ACD.∴.∠DAC=∠ACD.∴.AD= CD.∴.AB=CD.ABCD,∴.四边形ABCD是平行 四边形.，AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.AB= 5,50=2BD=4,易得A0=3.AC=2A0=6, .四边形ABCD的面积为号×6X8=24. 5号解析：如图，连接CE交AB于点O.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,∴.AB= √AC+BC=I0.当□CDEB为菱形时，CE⊥BD, OD=OB,CD=CB.:号AB·Oc=2AC·BC, .C.0B-/B-C AD-AB- 20B-4 (第5题) 6.1解析：如图，连接AC,BD,过点B作BE⊥DC,交 DC的延长线于点E,过点D作DF⊥BC,交BC的延长 线于点F.∴.∠BEC=∠DFC=90°.由题意，可知AB∥ CD,ADCB,BE=DF.',四边形ABCD是平行四边 [∠BCE=∠DCF, 形.在△BCE和△DCF中， ∠BEC=∠DFC, BE=DF. ,.△BCE≌△DCF..BC=DC..□ABCD是菱 形.∴.四边形ABCD的面积为AC·BD=1cm E (第6题) 7.OA=OC(答案不唯一)：OA=OC,OB=OD, .四边形ABCD是平行四边形.又AC⊥BD,∴四边 形ABCD是菱形 8.DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边 形，∠EDA=∠FAD.·'AD是△ABC的角平分线， .∠EAD=∠FAD..∠EAD=∠EDA..EA= ED.,.四边形AEDF为菱形 9.(1)·AB⊥AC,EF⊥AC,.EF∥AB.:E为BC 的中点，.易得EG是△ABC的中位线..AG=GC .四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,.∠DAC= ∠ACB.又∠AGF=∠CGE,.△AGF≌△CGE (2):△AGF≌△CGE,∴.AF=CE.又AF∥CE, ∴.四边形AECF是平行四边形.又：EF⊥AC,∴.四边 形AECF是菱形 第14天矩形的性质 【新知导学】 1.C解析：，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩 形，.∠DAB=∠EAG=90°.：∠BAG=30°， ∴.∠DAG=∠DAB-∠BAG=60°..∴.∠DAE= ∠EAG-∠DAG=30°. 2..·四边形ABCD是矩形，.∠A=∠D=90°，AB= DC.:'PE=PF,∴.∠PEF=∠PFE.∴.∠BEA= ∠BEA=∠CFD, ∠CFD.在△ABE和△DCF中，∠A=∠D, AB=DC, .△ABE≌△DCF.∴.AE=DF 3.B解析：连接OB.四边形OABC是矩形，∴.OB= AC.点B的坐标为(1,3)，∴.AC=OB=√+3= w/10 4.·四边形ABCD是矩形，.OD=OC..∠BDC= ∠OCD=65°.∴.∠DOC=180°-∠BDC-∠OCD= 180°-65°-65°=50.BD=2CE,2OC=BD,∴.CO= CE,∴.∠E=∠DOC=50° 5.3解析：：'∠ABC=∠ADC=90°，O是对角线AC的 中点0D-2AC-OB=8 6.:∠ACB=90°，E是AB的中点，∴.∠A+∠B=90°， BE=CE.,.∠BCE=∠B.设∠DCE=x,则∠BCE= ∠B=2x.∴.∠DCB=∠DCE+∠BCE=3x.'CD⊥ AB,∴.∠ADC=90°..∠B+∠DCB=90°，即2x+ 3x=90°，解得x=18°..∠B=36°..∠A=90°- 36°=549 【预学过关】 1.D解析：，·四边形ABCD是矩形，，AC=BD=6, 3 AO-CO.AO-AC-3.AELBD,ZAEO- 90°.在Rt△AOE中，OE=√JAO2-AE= √/32-(5)2=2. 2.24解析：，这个直角三角形斜边上的中线是6cm: ∴.此直角三角形的斜边长是6×2=12(cm.:这个直角 三角形斜边上的高是4cm,∴.此直角三角形的面积= ×12X4=24(cm). 1 3得 解析：设BC=a.:四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=a,∠A=90°.：DE=3,∴.AE=AD- DE=a-3.由作图，可知BE=BC=a.在Rt△ABE中， 由勾股定理，得AB2+AE2=BE,∴.82+(a-3)2=a2, 解得a-召：5C的长为号 4.:四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=∠D=90°， AD=BC=2.'O是矩形ABCD的对角线AC的中点， M是AD的中点，∴.OM是△ADC的中位线.：OM= 0.5,.DC=2OM=1..AC=√AD2+DC=√5. :0号Ac-号 5.:四边形ABCD为矩形，∴.AB∥CD,∠B=90° ∴.∠FCE=∠BAC.EF⊥AC,.∠CFE=90°= ∠FCE=∠BAC, ∠B.在△CFE和△ABC中，∠CFE=∠B, CE=AC, ,∴.△CFE≌△ABC..∴.EF=CB 6.:四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，AC=BD, OA-AC,OB-BD.OA -OB.OBA- ∠OAB=60°.∴.∠OBE=∠ABC-∠OBA=90°-60°= 30°，∠BOC=∠OAB+∠OBA=120°.·'OE=BE, ∴.∠OBE=∠EOB=30°..∠EOC=∠BOC- ∠EOB=120°-30°=90° 7.(1)CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°.∴.∠A= 90°-∠ACD=90°-15°=75°.AB=BC,∴.∠BCA= ∠A=75..∠B=180°-∠A-∠BCA=30°. :∠BDC=90,E是BC的中点，·.DE=2BC BE.∴.∠B=∠BDE=30°..∠DEC=∠B+∠BDE= 60°(2)∠DEC=4∠ACD理由：由(1)知∠A= ∠BCA.:∠B+∠A+∠BCA=180°，∴.∠B+2∠A 180°.：∠A+∠ACD=90°，.2∠A+2∠ACD= 180.∴.∠B=2∠ACD.由(1)知∠DEC=2∠B, ∴.∠DEC=4∠ACD. 第15天矩形的判定 【新知导学】 1.A解析：：AD=BC=4,AB=CD=3,∴.四边形 ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题 意.∠A=∠B=∠D=90°，∴.四边形ABCD是矩形， 故选项B不符合题意.：∠A=∠B=90°，∴.∠A十 ∠B=180°..AD∥BC.AD=BC=4,.四边形 ABCD是平行四边形.，∠A=90°，∴.□ABCD为矩形， 故选项C不符合题意.AB=CD=3,AD=BC=4, .四边形ABCD是平行四边形.：AC=5,.AB2+ BC2=AC2.∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90° ∴.口ABCD是矩形，故选项D不符合题意。 2.CE⊥AB,AF⊥CD,∴.∠AEC=∠AFC= ∠AFD=90°.，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ CD...∠FAE=∠AFD=90°...∠AEC=∠AFC= ∠FAE=90°..∴.四边形AECF是矩形 3.D解析：：四边形ABCD是平行四边形，AD⊥DC, ∴□ABCD是矩形，故选项A不符合题意.，'四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC=2AC,OB=OD= 2BD,:OA=OBAC=BD.口ABCD是矩形，故 选项B不符合题意.：AC=BD,∴.□ABCD是矩形，故 选项C不符合题意.由OA=AB不能判定口ABCD是矩 形，故选项D符合题意 4.'DE=AD,DF=CD,∴.四边形ACEF是平行四边 形.四边形ABCD是菱形，.AD=CD.∴.AD十 DE=CD+DF,即AE=CF..四边形ACEF是矩形 【预学过关】 1.C解析：由题意，可知∠O=∠B=∠PCO=90°， PC十PB=6.∴.四边形OCPB是矩形.∴.四边形OCPB 的周长=2(PC+PB)=12. 2.D解析：，四边形ABCD是平行四边形，.AB= CD,BC=AD,BC∥AD,ABCD.'DE=AD,∴.BC= DE.'BCAD,即BCDE,∴.四边形DBCE是平行四 边形.选项A.:∠ADB=90°，∴.∠BDE=180°- ∠ADB=90°.∴□DBCE是矩形，故不符合题意.选项 B.AB=BE,AB=CD,.BE=CD.∴□DBCE是 矩形，故不符合题意.选项C.BE=CD,∴.☐DBCE 是矩形，故不符合题意选项D.:BE⊥CD,∴□DBCE 是菱形，不能判定其为矩形，故符合题意 3.10解析：当AC=10时，.AB=6,BC=8,.AB2+ BC2=AC2..∴∠ABC=90.,∴.□ABCD是矩形