第12天 菱形的性质-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

预学·新知储备 第一章特殊平行四边形 27°..∠BAC=27 2.:E,F分别是AB,AC的中点，∴.EF是△ABC的中 第11天认识特殊的平行四边形 位线.：EF=3cm,.BC=2EF=6cm:四边形 【新知导学】 ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=DA.∴.菱形ABCD 1.:四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC.:∠BAD= 的周长=4×6=24(cm) 120°，.∠B=60°.又AB=BC=10,.△ABC是等边 3.四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=5,∴.菱形 三角形.，.AC=AB=10 ABCD的面积=号AC·BD=号×6X5=15 2.:四边形ABCD是矩形，.AB=DC,AB∥DC. 4.:四边形ABCD是菱形，边长为17，AC=16, ∴∠A+∠D=180°.：∠A=90°，.∠A=∠D.在 AE=DF, 0A=2AC=8.AB=17,∠A0B=9020B △ABE和△DCF中，{∠A=∠D,.∴.△ABE≌△DCF √AB2-OA=√172-82=15.∴.点B的坐标为 AB=DC, (-15,0) 3.:∠CED=91°，∠CDE=63°，∴.∠DCE=180° 【预学过关】 91°-63°=26°.：∠BCD=90°，∴∠BCE=90°-26°= 1.A解析：四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC= 64°.·BC=CD,BE=CD,∴.BE=BC.∴.∠BEC= CD=AD.∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形. ∠BCE=649 ∴.AB=AC=2dm.∴.菱形ABCD的周长=AB+BC十 【预学过关】 CD+AD=4AB=8dm. 1.B解析：AB=AD,∠ADB=40°，∴.∠ABD= 2.D解析：四边形ABCD是菱形，.AD=AB ∠ADB=40:BM=BE,∠BAE=∠BEA=号X CB=CD,CD∥AB.:∠BAD=150°，∴.∠D=180°- (180°-∠ABD)=70°. ∠BAD=30°.：CE⊥AD,∴.∠CED=90.∴.CD= 2.55°解析：·四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC. 2CE=2.∴.AD+AB+CB+CD=4CD=8..菱形 ∴.∠ADB=∠CBD.:BE平分∠ABC,∠ABC=90°， ABCD的周长为8. .∠CBE=45.∠DBE=10°，∠DBC=55. 3.C解析：：菱形ABCD的周长为40，对角线AC= ∴.∠ADB=∠CBD=55° 12,AB=10,0M=号AC=号×12=6，BD=20B, 3.,四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC=AB= AC⊥BD..OB=√AB2-OA7=√102-6=8. 1.:∠A=90°，.BD=√AB2+AD=√+1= 1 .1 √2..BE=BD=√2..CE=BE-BC=√2-1 BD=16.六SAm=2AC·BD=2X12X 4.如图，连接AC.:在菱形ABCD中，AB=BC,AB∥ 16=96. CD,.∠B=180°-∠BCD=60°.∴.△ABC是等边三角 4.B解析：·四边形ABCD是菱形，.AB=CB= 形.又，AE⊥BC于点E..BE=CE CD=AD,OB=OD.:菱形ABCD的周长为28m, ∴.4AB=28m.∴.AB=7m.:OB=OD,E为AD的中 点，5OE为△ABD的中位线.0E=号AB=号×7= 3.5(m). (第4题) 5 解析：：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, 第12天菱形的性质 AO=CO,BO=DO..∴.∠AOB=90°..·AO=4,BO=3, 【新知导学】 ∴.AB=√AO2+BO=5,AC=2AO=8,BD=2BO= 1.四边形ABCD是菱形，，∴.AB=BC,AB∥CD ∴.∠BAC=∠BCA,∠BAC=∠DCA..∠BCA= &:DH LAB,,S装n=AB·DH=号AC: ∠DCA.∠BCD=5,·∠BCA=号∠BCD=BD.5DH=X8X6,解得DH- 11 6.25解析：在菱形ABCD中，BD⊥AC,BD=2B0=.∠CFE=180°-75°-60°=45° 4:AC=2BD,AC=2X4=8.A0=2AC=4.在 Rt△AOB中，∠AOB=90°，.AB2=AO2+BO2. .AB=√AO2+BO2=25. 7.6解析：，四边形ABCD为菱形，∴.OC=OA,AD∥ (第11题) BC..∠FCO=∠EAO.:∠FOC=∠EOA. 第13天菱形的判定 ∴.△CFO2△AEO.∴.SACFO=SAAm..S色= 【新知导学】 1 S△Am+S△R=S△cro+S△OF=S△c= S装ACD= 1.√/10菱形解析：由题图，得AB=√32+1下= √10，BC=√32+1=√10，CD=√32+1=√0， 子×2×6×8=6. DA=√32+17=√10，∴.AB=BC=CD=DA.∴.四边 8.:四边形ABCD是菱形，.AB=BC.:AE=CF, 形ABCD是菱形 ∴.AB-AE=BC-CF,即BE=BF.在△ABF和△CBE 2.:BFDE,EF∥DB,∴.四边形BDEF是平行四边 [AB=CB, 形.：D,E分别是AB,BC的中点，BD=2AB,ED 中，∠B=∠B,.△ABF≌△CBE..AF=CE BF=BE. 是△AC的中位线.·ED=号AC.:AB=AC, 9.记AC,BD的交点为O.在菱形ABCD中，AO=OC, ∴.BD=ED.∴.四边形BDEF是菱形 BO=OD,AC⊥BD,AB=BC=24m.:∠ABC=60°， 3.D解析：当∠ADB=∠CBD时，AD∥BC.AD= .△ABC是等边三角形..AC=AB=24m..AO= BC,∴四边形ABCD为平行四边形.：AC LBD,∴.四 边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意.当AD∥BC 2AC=12m.在Rt△AOB中，由勾股定理，得B0= 时，：AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形 AC⊥BD,四边形ABCD为菱形，故选项B不符合 √AB2-AO=123m.∴.BD=2B0=24W5m 题意.当OB=OD时，AD=BC,∠AOD=∠COB= 10.:四边形ABCD是菱形，.AB=BC=DC,AB∥ 90°，∴.Rt△AOD2Rt△COB.∴OA=OC..四边形 CD.∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形，∠DCF= ABCD为平行四边形.：AC⊥BD,∴.四边形ABCD为 ∠ABC=60°.∴.∠BCE=60°.∴.∠BCE=∠DCF.在 菱形，故选项C不符合题意.由OA=OB无法得到四边形 BC=DC, ABCD为菱形，故选项D符合题意 △BEC和△DFC中， ∠BCE=∠DCF,∴.△BEC≌ 4.四边形ABCD是平行四边形，AC=8,BD=6, CE=CF, ∴.OA=4,OB=3.又AB=5,.AB2=25=9+16= △DFC OB2+OA2.∴.∠AOB=90°..∴.AC⊥BD..□ABCD 11.如图，连接AC.四边形ABCD是菱形，∴.AD= 是菱形 DC=AB=BC,∠B=∠D=60°.∴.△AB,△ADC均 【预学过关】 为等边三角形..AB=AC,∠ACD=60°..∠B= 1.C解析：对于选项A,四边形的四条边相等，判定四边 ∠ACF.:△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=60°，即 形是菱形，故不符合题意.对于选项B,:32+4=5, ∴.由勾股定理的逆定理，易推出四边形的对角线互相垂 ∠BAE+∠EAC=60°.·∠EAF=60°，即∠CAF+ 直.四边形的对角线又互相平分，判定四边形是菱 ∠EAC=60°，.∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACE 形，故不符合题意.对于选项C,三条边相等的四边形，不 ∠B=∠ACF, 能判定四边形是菱形，故符合题意.对于选项D,由同旁内 中，AB=AC, .△ABE≌△ACF..AE= 角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又 ∠BAE=∠CAF, 相等，判定四边形是菱形，故不符合题意。 AF.又：∠EAF=60°，∴.△AEF是等边三角形 2.A解析：由作图可知AD=AB=DC=BC,∴.四边形 ∴.∠AFE=60°..∠AFD=180°-45°-60°=75°， ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）. 12第12天 新知 知识点1 菱形的边的性质 菱形的四条边相等。 例1新情境传统文化我国传统建筑中常应用菱 形窗户，其设计美观大气.如图，该菱形窗户的 边框AB的长为1m,则该菱形窗户的周长为 (例1图) A.1m B.2m C.3m D.4m 解析：，：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CB CD=AD..AB=1 m,.AB+CB+CD+ AD=4AB=4m,即该菱形窗户的周长为4m. 答案：D 练1新情境生活实际如图所示为汽车常备的一 种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中 间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的度 数（菱形的边长不变）.若∠BCD=54°，求 ∠BAC的度数. 手柄 D (练1图) 预学·新知储备 菱形的性质 导学 练2如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AB, AC的中点，连接EF.若EF的长为3cm,求菱 形ABCD的周长. (练2图) 知识点2 菱形的对角线的性质 菱形的对角线互相垂直， 例2如图①，在菱形ABCD中，连接AC,BD, 若∠1=35°，则∠2的度数为 () A.65° B.55° C.45° D.35° C ① ② (例2图) 解析：如图②，设AC与BD交于点O.·四边 形ABCD是菱形，∴.AB∥CD,∠AOB=90. 在△AOB中，.∠AOB=90°，.∠OBA= 180°-∠AOB-∠1=180°-90°-35°=55°. .ABCD,∴.∠2=∠OBA=55. 答案：B. 31 窖期升级训练数学（北师版）八年级 练3如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC, BD相交于点O.若AC=6,BD=5,求菱形 ABCD的面积. (练3图) 预学 1.小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花 图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的 菱形ABCD(如图).若AC的长度为2dm, 则菱形ABCD的周长为 (第1题) A.8 dm B.10 dm C.16 dm D.20 dm 2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=150°， CE⊥AD,垂足为E.若CE=1,则菱形 ABCD的周长是 A.2 B.4 C.6 D.8 AE (第2题)》 (第3题》 3.如图，菱形ABCD的周长为40，对角线交于 点O,且AC=12,则菱形ABCD的面积为 A.24 B.48 C.96 D.192 练4如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边长为17.若AC=16,求点B的坐标. A D (练4图) 过关 4.如图，菱形菜圃ABCD的周长为28m,对角 线AC,BD交于点O,从点O处拉一根水管 至AD的中点E,则水管OE的长为() A.2m B.3.5m C.7m D.14 m (第4题) (第5题) 5.[巴中中考]如图，四边形ABCD是菱形，对 角线AC,BD相交于点O,AO=4,BO=3, DH⊥AB于点H,则DH的长为 6.如图，在菱形ABCD中，对角线BD与AC 交于点O,且AC=2BD,BO=2,则菱形的 边长为 (第6题) 7.如图，菱形ABCD的对角线 BD相交于点O,AC=6,B EF为过点O的一条直线 中涂色部分的面积为 2 8.[泸州中考]如图，在菱形ABCD中，E,F分 别是边AB,BC上的点，且AE=CF.求证： AF=CE. (第8题) 9.如图，菱形花坛ABCD的边长为24m, ∠ABC=60°，沿着菱形花坛ABCD的对角 线修建了两条小路AC,BD,求两条小路 AC,BD的长. C (第9题) 预学·新知储备 10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为 对角线AC上一点，连接BE.延长BC 至点F,使CF=CE,连接FD.求证： △BEC≌△DFC. (第10题) 11.如图，E,F分别是菱形ABCD的边BC, CD上的点，且∠EAF=∠D=60°， ∠FAD=45°，求∠CFE的度数， (第11题) 33