第6天 平行四边形-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

窖期升级训练数学（北师版）八年级 第6天 一、选择题 1.如图，在□ABCD中，CE⊥AB于点E.若 ∠A=126°，则∠1的度数为 A.36° B.46° C.38 (第1题) D.64° 2.将如图①所示的△ABC按如图②所示的方 式作图.不需借助三角形全等，就能推出四 边形ABCD是平行四边形的依据是() ① (第2题) A.两组对边分别平行的四边形是平行四 边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 3.[无锡中考]在△ABC中，D,E分别是AB, AC的中点.若DE=4,则BC的长为( A.2 B.4 C.6 D.8 4.若□ABCD的对角线AC,BD交于点O,则 下列结论错误的是 () A.∠ABC=∠ADC B.□ABCD一定是中心对称图形 C.若AO⊥BD,则BC=DC D.口ABCD不可能是轴对称图形 5.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,且AC+BD=34,AB=10,则△OCD的 平行四边形 周长是 A.44 B.27 C.34 D.17 B (第5题) 6.如图，将梯形ABCD沿直线 的方向平移到梯形A'B'C 位置，其中AD∥BC,∠A 90°，D'C'交BC于点M.若BM=5,CM=1, BB'=2,则图中涂色部分的面积为() A.5 B.6 C.11D.22 7.如图，在□ABCD中，过点A分别作BC,CD 的垂线段，垂足分别为E,F.若BC=4, AE=4,CE=1,则线段AF的长为() A.3 B.3.2C.3.6D.4 (第7题) (第8题) 8.[自贡中考]如图，在□ABCD中，∠B=60°， AB=6cm,BC=12cm.点P从点A出发， 以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q 从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→ C>…往返运动，当点P到达端点D时，点 Q随之停止运动.在此运动过程中，线段 PQ=CD出现的次数是 ( A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 9.如图，a,b是两条平行线，则甲、乙两个平行 四边形的面积关系是甲 乙（填“>” “<”或“=”) (第9题) 16 10.新考向条件开放题如图，在四边形ABCD 中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F 请添加一个条件： (不另加辅助 线)，使得四边形AECF为平行四边形. (第10题) (第11题) 11.如图，在□ABCD中，AB=4,AD=12, AE,DF分别平分∠DAB,∠ADC,则EF 的长为 12.如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的 平分线交DE于点F.若∠DFB=32°，则 ∠ABC= (第12题) (第14题)》 13.★在□ABCD中，AD=BD,BE是边AD 上的高，∠EBD=20°，则∠C的度数为 14.[临沂中考]如图，在Rt 中，∠ABC=90°，AB=6 8.P为边AC上异于点 点，以PA,PB为邻边作☐PAQB,则线段 PQ长的最小值是 三、解答题 15.[济南中考]如图，在□ABCD中，点E,F 分别在BC和AD上，且AF=CE.求证： ∠AEB=∠CFD. (第15题) 17 复习·整合提优 16.[苏州中考]如图，C是线段AB的中点， ∠A=∠ECB,CDBE,连接DE. (1)求证：△DAC≌△ECB; (2)若AB=16,求DE的长. (第16题) 17.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AB=CD,AC⊥BD,AD=2,BC=8,求梯 形ABCD的面积. (第17题) 客期升级训练数学（北师版）八年级 18.如图，在四边形ABCD中，AD=12,BC= 32,AD∥BC,AB=16,∠ABC=60°，E是 BC的中点.点P以每秒2个单位长度的速 度从点A出发，沿AD向点D运动；同时 点Q以每秒4个单位长度的速度从点C出 发，沿CB向点B运动.当点P停止运动 时，点Q也随之停止运动.设运动时间为 t秒. (1)线段PD= .CQ= QE- (用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，以P,Q,E,D为顶点的 四边形是平行四边形？ (第18题) 18 19.如图①，在□ABCD BD交于点O,过点 别交AD,BC于点E (1)求证：OE=OF. (2)求证：四边形AEFB与四边形DEFC 的周长相等， (3)直线EF是否将口ABCD的面积分成 二等份？请说明理由， (4)如图②，张大伯家有一块平行四边形菜 园ABCD,园中有一口水井P,张大伯计划 把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和 茄子，且使两块地共用这口水井，请帮助张 大伯分地： ② (第19题)第5天分式与分式方程 -、1.C2.A3.B4.A5.C6.C7.A &.B解析：关于x的分式方程二-，2a=5的两边 x-22-x 都乘x-2,得4-a+2a=5x-10,解得x=a+10. 分式方程的解是非负数，∴.a十10≥0，即a≥一10. :分式方程的增根为x=2,∴.a十10≠2，即a≠一8. :a满足不等式a一1≤1，∴.a≤2.综上所述，一10≤a≤ 2且a≠一8.∴.所有满足条件的偶数a的值之和为 -10一6-4-2+0+2=一20. 二、9.210.-111.212.213.x 14-9 解析：①当x一3>-2，即x>1时，方程为 二3+（一2》=1，解得x=号经检验-号是原分式 方程的解@当x一3长-2，即x≤1时，方程为之 (一2)=1，解得x=2.x1,·不合题意，舍去.综上 所述，方程(x-3)8(一2)=1的解是x-号 三、15.(1)原方程两边同乘2(4+x),得2(3-x)=4+ x.去括号，得6一2x=4十x.移项，得-2x-x=4一6.合 并同类项，得-3x=-2.系数化为1，得x=子经检验， x=号是分式方程的解.“方程的解为x=号 (2)原方 程两边同乘2(x一3)，得x一2=2x一6，解得x=4.经检 验，x=4是分式方程的解.∴.方程的解为x=4 16(1)原式=2+x1.(z-)-x十1.x(x-1D x-1(x+1)2x-1(x+1) -2 x千1当x=-2时，原式=-2千1=2(2)原式 (et8-a).a,4-2。.a+2a-2 a+2a+2/ 2a+2 2 .a 2.由题意，得a≠士2.当a=0时，原式=0-2=-2；当 a=1时，原式=1-2=-1 17.(1)方程的增根是x=2或x=一2.将原方程的两边 都乘(x十2)(x一2)，得2(x十2)十mx=3(x一2).去括 号，得2x+4+mx=3x-6,即(m-1)x=-10.当x= 2时，(m一1)×2=-10，解得m=一4：当x=一2时， (m-1)×(-2)=-10,解得m=6.∴.当m=-4或m 6时，方程会产生增根(2)当m=一4或m=6时，方程 会产生增根，此时原方程无解.对于方程(m一1)x=一10， 当m=1时，此方程无解，即原方程无解.综上所述，当 m=一4或m=6或m=1时，方程无解 方法归纳 分式方程有增根与无解的辨析 分式方程产生增根的原因：对于分式方程，当分式 中分母为零时，相应的分式没有意义，即分式方程不允 许未知数取那些使分母为零的值.所以分式方程本身 就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整 式方程后，这种限制就取消了，那么就有可能出现增 根.所以解分式方程时，必须验根.注意增根是分式方 程转化成的整式方程的解，不是分式方程的解.分式方 程无解，包括两种情况：一是解分式方程产生增根时无 解：二是将分式方程转化为整式方程，此整式方程无 解，则此时分式方程也无解 18.(1)用智能机器人采摘的成本是(1一30%)a= 0.7a(元)(2)设1个工人每天可采摘该种水果x千克， 则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5.x千克.根 据题意，得0-00=1，解得x=200.经检验，x= 5.x 200是所列方程的解，且符合题意.∴.5.x=5×200= 1000.∴·这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果 1000千克 19.(1)”+1>n+2 理由：”+-n+2 n n+1 n n+1 (n+1)2-n(n+2)=2+2n十1-2-2 1 n(n+1) n(n+1) n(n+1) 1 n>0..n(n+1)>0.:nn+元>0..”f> n+2 n+1 (2)乙款礼盒的苹果单价更合算理由：设包装 盒的质量为mkg(0<m<5),则甲款礼盒的苹果单价为 0元，乙款礼盒的率果单价为n元0 50 100_50(10-m)-100(5-m) 10-m (5-m)(10-m) 500-50m-500+100m 50m (5-m)(10-m) (5-m)(10-m) 0m 5,∴.50m>0,(5-m)(10-m)>0, 50m 50 ,100.乙款礼盒 六6=m)10-m>0.m>10-m 的苹果单价更合算 20.(1)真分式1+3 22<2)王十七1x—3士41士 x-3x-3 二3·分式十的值为整数，“·x一3=±4或士2 或士1.∴.x=7或5或4或2或1或-1(3)1≤m<2 第6天平行四边形 -、1.A2.C3.D4.D5.B6.C7.B 8.B解析：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD= BC=12cm,AB=DC=6cm,∠B=∠D=60°，AD∥ BC.由题意，可得点P从点A到点D需12s,点Q从点C 到点B(或从点B到点C)需4s.设点P,Q的运动时间为 ts.①如图①，当0≤t≤4时，过点Q作QH⊥AD于点 H,过点C作CG⊥AD于点G.由题意，可知AP=tcm, 易得CQ=GH=3tcm..PD/CQ,PQ=CD,∴.当四边 形CQPD是等腰梯形时，∠QPH=∠D=60°.∴.易得 ∠PQH=30°，∠GCD=-30°.：'PQ=CD=6cm, PH-PQ=3 cm.DXG=CD=3 cm.AP+ PH+GH+DG=AD=12cm,∴.t+3+3t+3=12,解得 t=1.5.当四边形CQPD是平行四边形时，PD=CQ= 3tcm.AP+PD=AD,∴.t+3t=12,解得t=3.②如 图②，当4<t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，则 BQ=3(t-4)cm,AP=t cm..AD=BC,PD=CQ, ∴.BQ=AP.∴.3(t-4)=t,解得t=6.若四边形CQPD 是以CD,PQ为腰的等腰梯形，则PD>6cm,易得这种情 况在4<t≤8时不存在.③如图③，当8<t≤12时，若四 边形CQPD是平行四边形，则CQ=3(t-8)cm,PD= (12-t)cm.∴.3(t-8)=12-t,解得t=9.综上所述，线 段PQ=CD出现的次数是4， H ① Q ② ③ (第8题) 二、9.=10.答案不唯一，如AE=CF11.4 12.64 13.55或35°解析：分2种情况讨论：①如图①，：BE 是边AD上的高，∠EBD=20°，∴.∠BDE=90°一20°= 70:AD=BD.∠A=∠ABD=2X(180-10) 55°.∴.∠C=∠A=55°.②如图②.同①，可得∠BDE= 70.:AD=BD,.∠A=∠ABD=7∠BDE=35. ∴.∠C=∠A=35°.综上所述，∠C的度数为55或35°. ① (第13题) 易错分析 当平行四边形内出现等腰三角形时 因忽略分类讨论而致错 平行四边形被每条对角线分成两个三角形，当平 行四边形的一边和一条对角线相等时，分成的两个三 角形就是等腰三角形，这时往往容易忽略分类讨论而 导致错误.注意：当等腰三角形的角、边、顶点、高等不 确定时，要分类讨论 14.4.8解析：如图，设PQ与AB交于点M,过点B作 BD⊥AC于点D,取AD的中点N,连接MN. :∠ABC=90°，AB=6,BC=8,.AC VAB+C=10.:是AB·C=号AC·BD, :BD=ABBC=4&.:四边形PAQB是平行四边 AC 形，AM=2AB=3,PQ=2PM.N为AD的中点， MN-BD-2.4.MN//BD.MN LAC.PM MN..PQ≥2MN,即PQ≥4.8..PQ长的最小值是 4.8. B C (第14题) 三、15.四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. .∠DAE=∠AEB.AD∥BC,AF=CE,.四边形 AFCE是平行四边形.AE∥CF.∴.∠DAE= ∠CFD.∴.∠AEB=∠CFD 16.(1):CD∥BE,.∠DCA=∠B.:C是线段AB 的中点，：AC=CB=号AB.在△DAC和△bCB中， '∠A=∠ECB, AC=CB,'.△DAC≌△ECB(2).·AB=16, ∠DCA=∠B, :AC=CB=合AB=8由(I),可知△DAC2△BCB, ∴.CD=BE.又CD∥BE,∴.四边形BCDE是平行四 边形.∴DE=BC=8 17.如图，过点D作DEAC,交BC的延长线于点E,过 点D作DF⊥BC于点F.:'ADCB,DE∥AC,∴四边 形ADEC是平行四边形.∴.DE=AC,AD=CE=2.在等 腰梯形ABCD中，AB=CD,∴.DE=AC=BD.:'ACL BD,ACDE,∴.DE⊥BD.∴.△BDE是等腰直角三角 形.：AD=2,BC=8,易得DF=2BE=(BC+ CE)=5.·.梯形ABCD的面积为2×(2+8)X5=25 (第17题) 18.(1)12-2t4t16-4t或4t-16(2).以P,Q E,D为顶点的四边形是平行四边形，.PD=QE. ∴.12-2t=16-4t或12-2t=4t-16..t=2或t= 综上所述，当1=2或1-4时，以P,Q,E,D为顶点 14 的四边形是平行四边形 19.(1),四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD, AD∥BC..∠EDO=∠FBO.在△EDO和△FBO中， I∠EDO=∠FBO, OD=OB,.△EDO≌△FBO..∴.OE=OF ∠DOE=∠BOF, (2)由(1)，知△EDO2△FBO,∴.DE=BF.:四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,AD∥BC. ∴.∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中， I∠EAO=∠FCO, OA=OC, △AOE≌△COF..AE=CF. I∠EOA=∠FOC, ,AE十BF=CF+DE.四边形ABCD是平行四边 形，.AB=CD.∴.AE+BF+AB+EF=CF+DE+ CD十EF,即四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等 (3)直线EF将□ABCD的面积分成二等份理由： 四边形ABCD是平行四边形，∴.OD=OB,OC OD=OB, OA.在△DOC和△BOA中，∠DOC=∠BOA, OC=OA, .△DOC≌△BOA..S△x=SAaA·由(1)知， △EDO≌△FBO,由(2)知，△AOE2△COF,∴.S△0= SAr0,S△AOE=S△Or.∴.S△Oc+S△Eo+S△or= S△OA+S△Po+S△AOE,即四边形DEFC与四边形 AEFB的面积相等.∴.直线EF将□ABCD的面积分成 二等份.(4)如图，EF把平行四边形菜园ABCD平均 分成两块，且两块地共用水井P DE 0 B (第19题) 第7天与三角形有关的综合训练 -、1.A2.A3.D4.A 5.B解析：△ACD,△BCE是等边三角形，∴.AC= DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°.∴.∠ACD+ ∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.在 AC=DC, △ACE和△DCB中，∠ACE=∠DCB,∴.△ACE≌ CE=CB, △DCB..AE=DB,故①正确.∴.∠AEC=∠DBC :∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°，∴.∠DCE= ∠HCB=60°.在△CEG和△CBH中， ∠GCE=∠HCB, CE=CB, ∴.△CEG≌△CBH..CG=CH, ∠GEC=∠HBC, GE=HB,故④正确.：'∠GCH=60°，∴.△CGH是等边 三角形.∴.GH=GC.:GC<CD,CD=AC,AC<AB, ∴.GC<AB.∴.GH<AB,即GH≠AB,故②错误 :∠DHC是△BCH的外角，∴.∠DHC=∠HCB+ ∠HBC=60°+∠HBC.∠DCH=60°，∴.∠DHC≠ ∠DCH.∴.CD≠DH,即AD≠DH,故③错误 :∠AFD是△ABF的外角，.∠AFD=∠EAB十 ∠ABD..·△ACE≌△DCB,.∠CAE=∠CDB. ∴.∠AFD=∠CDB+∠ABD=∠ACD=60°，故⑤正 确.综上所述，正确的有①④⑤，共3个 =、6205”7号830 9.1四解析：如图，作点N关于直线CD的对称点N, 13 连接BN',MN.由题意，易得点N'在AC上.∴.MN'= MN,BM+MN'≥BN'.∴.当BN'⊥AC时，BN'的长最 短，即BM+MN'的值最小.：AC=BC=13,线段CD是 △AC的中线，CDLAB.Sx=AB·CD= 2AC·BN.:CD=12,AB=10,号×10X12= 合×1BBN.BN-器：BM+MN的最小值为 13,即BM+MN的最小值为20 120 13 D (第9题)