6.3 三角形的中位线（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形中位线的概念、定理及应用，通过“估测A、B两点距离”的实际问题导入，引导学生观察中点连线与第三边的关系，结合平行四边形知识，通过剪拼、旋转等操作搭建探究支架，衔接“探索—猜想—证明”的学习脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，通过三角形剪拼平行四边形、旋转构造全等证明定理等活动，发展数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。例2“中点四边形”证明体现数学语言表达（模型意识），小结系统梳理知识，助力学生构建逻辑体系，教师可借助完整探究流程提升教学效果。

3 三角形的中位线 第六章 平行四边形 学 习 目 标 1 2 理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法. 问题1：A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离： 在AB外选一点C， A B 连接MN, 连结AC和BC， 并分别找出AC和BC的中点M、N， M N C 测出MN的长，就可以知道A、B两点的距离了，你能说明其中的道理吗？ 新知探究 你能将一个三角形分成四个全等三角形吗？ 做法：连接每两边的中点 你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 新知探究 A B C D E 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 两层含义： ① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的中位线； ② 如果 DE 为 △ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的中点。 新知探究 思考：一个三角形有几条中位线？你能在 △ABC 中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有三条。如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF。 新知探究 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？ 操作思考 小明的做法是：在△ABC中，连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形? 猜想：四个全等的三角形 A B C D E F 问题2：如图，将 △ADE 绕点 E 按顺时针方向旋转180°到 △CFE 的位置，这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的□DBCM。 A B C D E M 新知探究 猜一猜：从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？ A D E F C B DE 和边 BC 的关系 数量关系： 位置关系： 平行 DE=BC 能证明你的猜想吗? 新知探究 已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线。 求证：DE∥BC，DE=BC。 A B C D E 平行 角相等 平行四边形 倍长短线 全等 一条线段是另一条线段的一半 线段相等 分析： 新知探究 已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线。 求证：DE∥BC，DE=BC。 A B C D E 证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE， ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A=∠ECF，AD=CF. ∴CF∥AB. ∵BD=AD， ∴CF=BD. ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴DF∥BC，DF=BC. ∴DE∥BC，DE= BC. 新知探究 归纳总结 三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言： ∵ DE 为 △ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，且DE=BC。 A B C D E 三角形中位线定理有两个结论： （1）表示位置关系------平行于第三边； （2）表示数量关系------等于第三边的一半. 新知探究 说说“问题”中小明解决问题的道理 在AB外选一点C， A B 连接MN, 连结AC和BC， 并分别找出AC和BC的中点M、N， M N C 测出MN的长，就可以知道A、B两点的距离了，你能说明其中的道理吗？ ∵MN是△ABC的中位线 ∴AB=2MN 新知探究 归纳总结 △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED 思考：如图，如何做辅助线，将△ABC分成4块面积相等的部分？ 方法一：中位线法 方法二：中线法 S△ADE = S△DBF = S△EFC = S△FED = S△ABC 典例分析 方法技巧 由平行四边形的性质及其三角形的中位线定理解题 例1.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AB的中点，∠ADB=90°，AC=6，OE=1。求AD和BD的长度。 C D A B O E 证明：∵□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴OA=OC，OD=OB（平行四边形的对角线互相平分）。 ∵E 为 AB 的中点， ∴OE 是 △ADB 的中位线（三角形的中位线的定义）。 ∴AD=2OE=2（三角形中位线定理）。 ∵AC=6，OA=OC，∴OA= AC= ×6=3。 在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD===。∴BD=2OD=2。 典例分析 方法技巧 将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. 例2.如图，任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流。 证明：如图，连接AC。 ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF= AC，HG∥AC，HG= AC。 ∴EF∥HG，EF=HG。 ∴四边形EFGH为平行四边形。 课堂小结 变式训练 1.如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=____，DF=____，DE=____，△DEF的周长为______ . 5cm 4cm 6cm 15cm 变式训练 2.如图，A，B 两村相隔一座大山，你能想办法测出 A，B 两村的直线距离 AB 的大小吗？ A B C 若测得 MN=360 m，则 AB = m. M N 解析：在 AB 外选一点 C，使 C 能 直接到达 A 和 B，连接 AC，BC； 分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N. 720 如果 M、N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ 两次利用中位线，分别取 CM，CN 的中点并测量其距离. 变式训练 3.如图，在□ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN= AD． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC． 又∵EF∥AB，∴EF∥CD． ∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形． 又∵M，N分别为□ABEF和□ECDF对角线的交点． ∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线． ∴MN∥AD且MN= AD． 感谢聆听! $