第4天 因式分解-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

点”避由：点A的横坐标为2,2-号-令<1A 是直线l,的“邻近点”.②B是直线，的“邻近点”， a2-引1解得-<a≤号 ⑧：点G在 直线1，上，点G的横坐标为受：点C的横坐标为 号，含-号=1△AC向右平移T1个单位长度.由 题意，可知点F的横坐标为a十3.∴.a十3=0.∴.a= -3.∴.A(2,一3)..点E的横坐标为3.：点F的纵坐 标为号a+6=-2+6,5四-号：合×8X1-2叶 61-,即1-2+61=号当-2+6=号时，6=号 :B(-1,).:号-(-3)=号>1，此时B不是 直线，的“邻近点”，不合题意，舍去当-2+6=一号时， 6=-2B(-1,-)-号-(-3)=是<1， “此时B是直线，的邻近点”，符台题意“6=一号 第4天因式分解 -、1.A2.D3.D4.B5.A6.C 7.C 一方法归纳 “已知a2,b2构造2ab”时容易遗漏一种结果 要构造完全平方式，应知道哪个代数式（数、字母、 单项式、多项式等)相当于公式中的某个字母或公式中 的某个部分.在完全平方式a±2ab十b2中，已知a2, b构造2ab,关键是“a”“b”的确定，注意由“互为相反 数的两个数的平方相等”得到“a”和“b”分别有正、负 两种情况，这样计算2b就有正、负两种结果.往往容 易漏掉一种结果导致错误。 8.D解析：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x y.当x=11,y=10时，2x十y=32,2x一y=12..密码 可能是113212,111232,123211，选项A,B,C不符合题意； 密码不可能是123011，选项D符合题意 二、9.(1)2(x+3)(x-3)(2)2m(x-y)2 10.(2a+b)(a+2b)11.112.22513.①②③ 14.(1013,1012)(答案不唯一)7解析：：2025= 3×52,.∴.2025的所有整数因数对为(1,2025)，(3， 675),(5,405),(9,225),(15,135),(25,81),(27,75), (45,45).设对于每对因数(d,D),2025=d×D=a2一 b2=(a一b)(a+b),其中d=a一b,D=a+b,由此可得 4=Dd,6=D4.:a,b都是正整数，且4>b>1, 2 21 ∴.“智慧数对”有(1013,1012)，(339,336)，(205,200)， (117,108),(75,60),(53,28),(51,24),共7对. 三、15.(1)原式=x2-x一3x+4=x2一4x十4=(x一 2)2(2)原式=(y2-1)(x2+2x+1)=(y+1)(y- 1)(x+1)2 16.(1)x(x+1)(x+9)=x3+10x2+9x,x(x-1)(x- 5)=x3一62+5x.由题意，得原来的多项式为x3一 6x2+9x(2)x3-6x2十9x=x(x2-6x+9)=x(x一3)9 17.πR2一4πr2=π(R2-4r2)=π(R十2r)(R一2r. :R=7.8,r=1.1,.原式=3.14×(7.8+2×1.1)× (7.8一1.1×2)=3.14×10×5.6=175.84.∴.余部分 的面积是175.84cm 18.(1)(x+1)2-4(x+1)+4=(x+1-2)2=(x- 1)2.当x-1=√5时，原式=(5)2=5(2)(x-2y)2 (x-y)(x+y)-2y2=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)- 2y2=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2=-4xy+3y2= -y(4x-3y.4x=3y,∴.4x-3y=0..原式=0 19.(1)(x-3)1解析：令x2-6x=A,则(x2-6x)· (x2-6.x+18)+81=A(A+18)+81=A2+18A+81= (A+9)2=(x2一6.x+9)2=(x-3)1. (2)令2025-x=a,x-2026=b,则ab=-2,a十 1 b=-1..(2025-x)2+(x-2026)2=a2+b2=(a+ bP-2ah=(-1Dr-2x(-)=2(3)(a+1D0m+ 2)(n+3)(n+4)+1=(n+1)(n+4)×(n+2)(n+3)+ 1=(n2+5n+4)×(n2+5m+6)+1.令n2+5n+4=a, 则原式=a×(a十2)+1=a2+2a+1=(a+1)2=(n2+ 5n十5)..n为正整数，.n2十5n十5是整数.∴.式子 (n+1)(n十2)(n十3)(n+4)+1的值一定是某一个整数 的平方 20.(1)(a+b)(b-c)(2)①(m-n)(m-5) ②(x十y一1)(x一y一1)(3)这个三角形是等边三角 形理由：：a2+2b2+c2=2b(a十c),a2+2b+c2- 2ab-2bc=0..∴.(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2=0.∴.a-b=0且b-c=0.∴.a= b=c.∴.这个三角形是等边三角形 方法归纳 利用分组分解法进行因式分解 利用分组来因式分解的方法叫作分组分解法.若 多项式为四项或四项以上时，则通常用分组分解法因 式分解.如果把一个多项式的项分组后，各组能直接运 用公式法或提公因式法进行分解，并且各组在分解后， 它们之间又能运用公式法或提公因式法进行分解，那 么这个多项式可以用分组分解法因式分解期升级训练数学（北师版）八年级 第4天 一、选择题 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解 的是 A.9x2-12x+4=(3x-2)2 B.x2-4=(x-2)2 C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D.x2-5.x+6=x(x-5)+6 2.用提公因式法分解因式12ab3c+8a3b时，应 提取的公因式为 () A.4ab2 B.4abc C.2ab2 D.4ab 3.若一(a一b)2+4c2分解因式后有一个因式 为b+2c一a,则另一个因式为 () A.2c+b+a B.2c+b-a C.2c-b-a D.2c-b+a 4.下列多项式中，不能用公式法因式分解的为 A.x2-2x+1 B.-x2-y2 c-x+1 D.x2-4xy+4y2 5.如图，边长为a,b的长方形的周长为10，面 积为6，则a3b+ab3的值为 (第5题) A.78 B.30 C.24 D.15 6.若多项式2x2十kx一24因式分解后的结果 是(ax+3)(x一8)，则k的值是 () A.10 B.-12 C.-13 D.13 7.*若4x2一(k十1)x+9能用完全平方公式因 式分解，则k的值为 A.±6 B.±12 C.-13或11 D.13或-11 因式分解 8.日常生活中经常需要密码，如取款、上网等 有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记 忆.原理如下：如对于多项式x4一y4,因式分 解的结果是(x十y)(x-y)(x2+y2),当 x=9,y=9时，x十y=18,x-y=0,x2十 y2=162,于是就可以把“180162”作为一个 六位数的密码.对于多项式4x3一xy2,当 x=11,y=10时，用上述方法产生的密码不 可能是 ) A.113212 B.111232 C.123211 D.123011 二、填空题 9.分解因式： (1)[淄博中考]2x2-18= (2)[绥化中考]2mx2-4mxy+2my2= 10.数形结合思想如图，大长方形是由2个边长 为a的大正方形，2个边长为b的小正方形 和5个长为a、宽为b的小长方形拼接而成 的.观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+ 2b2因式分解的结果为 6 (第10题) 11.[自贡中考]若2a+b=一1，则4a2+2ab b的值为 12.利用因式分解计算：（一2）225十（一2）26 13.有下列各组多项式：①a.x-bx和by-ay; ②3-9y和6y2-2y;③x2-y2和x-y: ④a十b和a2一2ab+b2.其中，有相同公因 式的为 (填序号) 0 14.如果一个正整数k可以写成两 个正整数a,b的平方差的形式 即k=a2-b2(a,b都是正整数 且a>b>1),那么称这个正整数k为“智 慧数”，(a,b)为正整数k的“智慧数对”.如 9=52一4，(5,4)就是正整数9的“智慧数 对”.已知2025是一个特殊的数，则正整数 2025的“智慧数对”可以是 (写出一个即可)，它的“智慧数对”共有 对. 三、解答题 15.分解因式： (1)x(x-1)-3x+4; (2)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). 16.甲、乙两名同学将一个多项式分解因式，甲 同学因看错了二次项系数而分解成x(x十 1)(x十9)，乙同学因看错了一次项系数而 分解成x(x-1)(x-5). (1)求原来正确的多项式： (2)将原来的多项式分解因式， 复习·整合提优 17.如图，在半径为Rcm的圆形钢板上，挖去 四个半径为rcm的小圆.当R=7.8,r= 1.1时，利用因式分解的知识，计算剩余部 分的面积（π取3.14）. (第17题) 18.先分解因式，再求值： (1)已知x-1=√5，求代数式(x+1)2一 4(x+1)+4的值； (2)已知4x=3y,求代数式(x一2y)2一 (x一y)(x十y)-2y2的值. 窖期升级训练数学（北师版）八年级 19.整体思想分解因式：(x+y)2十2(x十 y)+1 解：将“x十y”看成整体 令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A十1)2. 再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2, 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思 想”是数学解题中常用的一种思想方法，请 解答下列问题： (1)分解因式：(x2-6x)(x2-6x+18)+ 81= 2)若(2025-x)(x一2026)=一2，求 (2025-x)2+(x-2026)2的值： (3)求证：若n为正整数，则式子(n十 1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值一定是某 一个整数的平方. 12 20.*要把多项式am十an十bm十bm因式分解， 可以先把它的前两项分成一组，并提出a, 把它的后两项分成一组，并提出b,从而得 am+an+bm+on=a (m+n)+b(m+n). 这时，由于a(m十n)+b(m十n)中又有公 因式m十n,于是可提公因式m十n,从而得 到(m+n)(a+b).因此有am+am+bm十 on=(am+an)+(om+on)=a (m+n) b(m十n)=(m十n)(a+b),这种因式分解 的方法叫作分组分解法. (1)ab-ac+b2-bc =(ab-ac)+(b2- bc)=a(b-c)+b(b-c)= (2)分解因式： ①m2+5n-mm-5m ②x2-2x+1-y2= (3)已知三角形的三边长分别是a,b,c,且 满足a2+2b2+c2=2b(a+c),试判断这个 三角形的形状，并说明理由.