4.3 公式法（第1课时 利用平方差公式因式分解）（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

3.公式法 第1课时 利用平方差公式因式分解 第四章 因式分解 学 习 目 标 1 2 掌握运用平方差公式进行因式分解。 灵活运用平方差公式或已学过的提公因式法分解因式，正确判断因式分解是否彻底。 情景引入 计算： （1）(x + 5)(x – 5) = ________； （2）(3x + y)(3x – y) = _________； （3）(3m + 2n)(3m – 2n) = ___________。 x2 – 25 9x2 – y2 9m2 – 4n2 因式分解： （1）x2–25 = _______________； （2）9x2–y2 = _______________； （3）9m2–4n2 = ___________________。 (x + 5)(x – 5) (3x + y)(3x – y) (3m + 2n)(3m – 2n) 你发现了什么？ 新知探究 观察下面两个等式，它们有什么共同特征? x2 - 25 = (x + 5)(x - 5) 9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y) (3x)2 是两数的平方差的形式 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 乘法公式 因式分解 52 a2–b2 =(a+b)(a–b) 新知探究 运算法则： 归纳总结 文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积. 和 差 运用平方差公式因式分解 将乘法公式 (a + b)(a − b) = a2 - b2 反过来，就得到 a2 - b2 = (a + b)(a − b) 典例分析 方法技巧 运用平方差公式因式分解 例1.把下列各式因式分解： （1）25–16x2； （2）9a2 – b2。 解: (1) 25–16x2 = 52–(4x)2 = (5+4x)(5–4x) 新知探究 归纳总结 a2 - b2 =(a+b)(a-b) 运用平方差公式因式分解，应注意： ①公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即a），另一项互为相反数（即b和-b）. ②公式左边是这两项的平方差. ③公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式. 典例分析 方法技巧 当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解。 例2.分解因式： (1) 2x3－8x； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) (2) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2 ＝4(m＋2n)(2m＋n)． ＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) 解：(1) 原式＝2x(x2－4) ＝2x(x+2)(x-2) 新知探究 归纳总结 公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 新知探究 思考交流 b a 如图，在一张边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积。当 a=3.6，b=0.8 时，剩余部分的面积是多少？ 剩余部分的面积：a2-4b2 =a2-(2b)2 =(a+2b)(a-2b) 当a=3.6，b=0.8时，原式=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8) =5.2×2 =10.4 (cm2) 典例分析 方法技巧 解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，联立结合二元一次方程组求解。 例3.已知x2-y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值. ∴ x-y＝-2②. 解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝-2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 课堂小结 平方差公式分解因式 公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 变式训练 1.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A．a2+b2 B．-a2+b2 C．-a2-b2 D．-(-a2)+b2 B 变式训练 2.已知4m+n= 40，2m-3n=5，求(m + 2n)2 -(3m - n)2 的值． 原式 = -40×5 = -200. 解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n)， 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时， 变式训练 3.刘师傅在制造某汽车配件时，要在半径为 R cm 的圆形钢板上钻四个半径均为 r cm 的圆孔，刘师傅测量出 R=7.8，r=1.1，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积。(π取3.14，结果精确到1cm²) 解：根据题意可得，圆形钢板的剩余面积为 πR²-4πr²=π(R²-4r²)=π(R+2r)(R-2r)cm²。 将R=7.8，r=1.1代入，得 π(R+2r)(R-2r)≈3.14×(7.8+2×1.1)×(7.8-2×1.1) =3.14×10×5.6=175.84≈176(cm²)。 答：圆形钢板的剩余面积约为176cm²。 感谢聆听! $