4.1 因式分解 （教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

1.因式分解 第四章 因式分解 学 习 目 标 1 2 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解。 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别。 情景引入 1.单项式：若一个代数式是________________，这样的代数式叫作单项式，单独________或_________也是单项式。 2.多项式：几个单项式的____叫作多项式。 3.整式：单项式和多项式统称整式。 数与字母的乘积 一个数 一个字母 和 例如：2x2y3，5，x 例如：2x2y3+5，x+2y 新知探究 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？ 993-99 = 99×992-99×1 = 99×(992-1) = 99×9800 = 98×99×100。 所以，993-99能被100整除。 小明 993-99还能被哪些正整数整除？ 把一个数式化成了几个数乘积的形式 (99+1)(99-1) 新知探究 尝试交流 如果将上面问题中的99换成a，你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？ 993-99 =99×992-99×1 =99×(992-1) =99×9800 =98×99×100 a3-a =a·a2-a·1 =a·(a2-1) =a·(a+1)(a-1) = a(a+1)(a-1) 新知探究 观察思考 观察下面拼图过程，写出相应的代数式。 （1） m m m c b a m a+b+c ___________ = __________。 （2） ______________ = ____________。 x x 1 x x 1 1 1 x+1 x+1 ma+mb+mc m(a+b+c) x2+2x+1 (x+1)2 新知探究 归纳总结 观察我们所得到的三个式子，等号两边的代数式有什么不同？ a3-a = a(a+1)(a-1) ma+mb+mc = m(a+b+c) x2+2x+1 = (x+1)2 a3-a ma+mb+mc x2+2x+1 a(a+1)(a-1) m(a+b+c) (x+1)2 多项式 几个整式的乘积 因式分解也可称为分解因式 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 新知探究 操作思考 1.计算下列各式： （1）3x(x-1) =______； （2）m(a+b-1) =________； （3）(m+4)(m-4) =______； （4）(y-3)2 =________。 3x2-3x ma+mb-m m2-16 y2-6y+9 根据左边的算式进行因式分解： (1) 3x2-3x = ( )( ) (2) ma+mb-m = ( )( ) (3) m2-16 = ( )( ) (4) y2-6y+9 = ( )( ) 3x x-1 m a+b-1 m+4 m-4 y-3 y-3 或 (y-3)2 3.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明。 （1）3x(x-1) =_______； （2）m(a+b-1)=________； （3）(m+4)(m-4) =_____； （4）(y-3)2 =_________。 3x2-3x ma+mb-m m2-16 y2-6y+9 （1）3x2-3x =______ ； （2）ma+mb-m =__________； （3）m2-16 =____________； （4）y2-6y+9 =_______。 3x(x-1) m(a+b-1) (m+4)(m-4) (y-3)2 整式乘法 因式分解 新知探究 新知探究 归纳总结 因式分解与整式乘法的区别与联系： 因式分解 整式乘法 区别 (1)把一个多项式化成几个整式的积的形式； (2)是多项式的恒等变形 (1)把几个整式相乘的形式化为一个整式的形式； (2)是一种运算 联系 多项式 几个整式的积 因式分解 整式乘法 典例分析 方法技巧 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 例1.下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1； ②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x–y)2＝x2–2xy＋y2； ④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 典例分析 方法技巧 掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 例2.若多项式x2 +ax+b分解因式的结果为 a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值. 解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3) = ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6. 课堂小结 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________ 其中，每个整式叫做这个多项式的______ 与多项式乘法运算的关系 的变形过程 前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_______ 积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 变式训练 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( ). A. a(m+n) = am+an B. a2-b2-c2 = (a-b)(a+b)-c2 C. 10x2-5x = 5x(2x-1) D. x2-16x+6x = (x+4)(x-4)+6x C 变式训练 2.下列多项式中，分解因式的结果为 -(x+y)(x-y)的是 ( ) A．x2-y2 B．-x2 + y2 C．x2 + y2 D．-x2 - y2 B 变式训练 3.多项式2x2+5x+m因式分解的结果中有一个因式为x+3，试将该多项式因式分解. 所以2x2+5x+m = 2x2+5x-3=(x+3)(2x-1). 因为(x+3)(ax+b) = ax2+(3a+b)x+3b. 解得m = -3. 解：设2x2+5x+m = (x+3)(ax+b). 感谢聆听! $