第3天 图形的平移与旋转-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

第3天 图形 一、选择题 1,新情境航天技术[东营中考]我国的航天技术 已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献 了中国智慧.下列中国航天图标中，属于中 心对称图形的是 D 2.[湖南中考]在平面直角坐标系中，将点 P(一3,2)向右平移3个单位长度到点 P1处，则点P1的坐标为 () A.(-6,2) B.(0,2) C.(-3,5) D.(-3,-1) 3.[吉林中考]如图，风力发电机的叶片在风的 吹动下转动，使风能转化为电能.图中的由 三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转α 后，能够与它本身重合，则α的度数可以为 ( A.90°B.120°C.150°D.180° 0 (第3题) (第4题) 4.如图，∠AOB=90°，∠B=30°，将△AOB绕 点O按顺时针方向旋转一定角度得到 △AOB',点A'在线段AB上，则∠BA'B 的度数是 () A.30°B.45°C.60°D.65 5.如图，将△ABC沿AB方向平移，得到 △BDE.点A,B,C的对应点分别为B,D, 复习·整合提优 的平移与旋转 E.若∠1=65°，∠2=30°，则∠ADE的度 数为 () A.55°B.65°C.75°D.859 A 2 (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,将 △ABC绕点B按逆时针方向旋转得到 △DBE,点C的对应点E落在边AB上， BD=5,连接AD,则AD的长为( ) A.22B.√10C.3D.4 7.如图，将Rt△ABC沿着直角边CA所在的直 线向右平移，得到Rt△DEF.若BC=a, C4=b,S功，则FA的张为(》 A.a B. C.a D.b D FA (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠A=30°，将△ABC绕 点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,延 长AC,分别交BD,DE于点F,G,连接 BG.有下列结论：①∠FGE=120°； ②AG⊥BD:③DG=BG:④AG=DE+ BE.其中，正确的是 ) A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 二、填空题 9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边 长都相等.三角形①绕某点旋转一定的角 窨期升级训练数学（北师版）八年级 度，得到三角形②.在A,B,C,D四个点中， 是其旋转中心的点是 ② (第9题) (第10题) 10.新情境传统文化“方胜”是我国古代的一种 发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正 方形交错叠合而成.如图，将正方形ABCD 沿对角线AC方向平移，得到正方形 EFGH,形成“方胜”图案.若平移距离为3， 且AE=了AC,则点A到点G的距离是 11.*某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛 内修筑同样宽的两条小路（涂色部分）供游 客赏花.如图，有甲、乙两种设计方案（两种 方案中小路的宽相同)，甲方案中小路的总 面积为S1,乙方案中小路的总面积为S2, 则S S2(填“>“<”或“=”) 甲 (第11题) 12.如图，在△ABC中，AB=5,BC=12, ∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针方向 旋转一定角度得到△ADE.当点B的对应 点D恰好落在边BC上时，CD= (第12题) (第13题) 13.如图，△ABC的边BC的长为4cm,将 △ABC向上平移2cm得到△A'B'C',且 BB'⊥BC,则图中涂色部分的面积为 cm2. 14.如图，在△ABC中，∠AC 90°，∠ABC=30°，BC=4 △ABC绕点C按顺时针方 转90得到△A'BC.若P为边AB上一动 点，旋转后点P的对应点为P',连接PP', 则线段PP'长的最小值为 ,最大 值为 (第14题) 三、解答题 15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个 顶点坐标分别为A(2,一1)，B(1,一3)， C(3,-4). (1)将△ABC向上平移5个单位长度，再 向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1, 画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标： (2)在(1)的条件下，画出△A1BC1绕原 点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2, 写出点C2的坐标，并求出△A2B2C2的 面积， 5 4 -3 -2 -5-4-3-2-10 5 沙 4 5 (第15题) 16.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC> AD,∠B+∠C=90°，将AB,DC分别平移 到EF和EP的位置， (I)求证：△EFP为直角三角形； (2)若AD=5,CD=6,BC=15,求AB 的长 B (第16题) 17.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针 方向旋转得到的，连接BE,CF相交于点 D,AC与BE相交于点O. (1)求证：BE=CF; (2)求∠BDC的度数， (第17题) 复习·整合提优 18.在平面直角坐标系中，已知A(2,a), B(a+2,b),C(2b+1,D(3,0 (1)若将线段AC先向右平移，再向下平移 能够与线段BD重合，其中点A与点B重 合，点C与点D重合，求a,b的值 (2)若线段BC与x轴有公共点，求b的取 值范围. (3)新考向新定义题定义：若直线1外一点 到这条直线的距离不大于1，则称这个点是 该直线的“邻近点”.过点D作直线L1平行 于y轴 ①判断A是否是直线L1的“邻近点”，并说 明理由 ②若B是直线l1的“邻近点”，写出a的取 值范围， ③顺次连接点A,B,C得到△ABC,将 △ABC平移得到△EFG,点A的对应点为 E,点B的对应点为F,点C的对应点为G, 点G在直线l1上，点F在y轴上，且点F 27 的纵坐标为a+b,△OEF的面积为： 过点A作直线l2平行于x轴.若B是直线 12的“邻近点”，求b的值.第3天图形的平移与旋转 -、1.C2.B3.B4.C5.D6.B7.B 8.C解析：，△ABC绕点B按顺时针方向旋转60得 到△DBE,.AB=BD,∠ABF=60°，∠A=∠D. :∠A=30°，∠A+∠ABF+∠AFB=180°， ∴.∠AFB=90°..AG⊥BD..②正确..∠DFG= 90°..∠D=∠A=30°，∴.∠DGF=60°.∴.∠FGE= 120°.∴.①正确.连接AD.AB=BD,∠ABF=60°， ∴.△ABD是等边三角形.∴.∠DAB=60°.·∠BAC= 30°，∴.∠DAF=30°.在△ADG和△ABG中， AD=AB, ∠DAG=∠BAG=30°，.△ADG≌△ABG.∴.DG= AG-AG, BG.'.③正确.连接CE.由旋转，可得AC=DE,BC= BE,:AG=AC+CG,∴.AG=DE+CG.'∠CBE 60°，BC=BE,△BCE是等边三角形.∴CE=BE :∠FGE=120°，∴.易得BE=CE≠CG..AG≠DE+ BE,∴.④错误.综上所述，正确的是①②③. 二、9.B10.12 11.= 方法归纳 巧用平移解题 通过图形的平移，可化不规则图形为规则图形，或 将多个图形化为一个图形，从而将分散的条件集中，进 而巧妙解决问题.如将不在同一条直线上，但相互平行 的线段平移，可化为在同一条直线上的线段；将不规则 但宽度处处相等的小路平移，可化为规则的长方形，从 而巧求面积等. 12.713.8 14.2√24√2解析：如图，连接P'C,PC,过点C作 CD⊥AB于点D,则∠BDC=90°.：∠ACB=90°， ∠A=-30,B=4,.AB=2AC,CD-2BC=2. .BC=√JAB2-AC=√(2AC)2-AC=√5AC=4, AC9.CD<AC<C,:P为边AB上-动 点，.CD≤PC≤BC..2≤PC≤4.：将△ABC绕点C 按顺时针方向旋转90°得到△A'BC,点P的对应点为 P',∴.P'C=PC,∠P'CP=90°.PP'= √PC+PC=√2PC..当PC的长最小时，PP'的长 最小；当PC的长最大时，PP的长最大.：PC长的最小 值为2，最大值为4，∴.PP'长的最小值为2√2，最大值为 4√2. B B (第14题) 三、15.(1)如图，△A,B,C,即为所求点C,的坐标为 (4,1)(2)如图，△AzB,C2即为所求由图，可得点 C,的坐标为(-1,0△4，B,C,的面积为2X3-号× 1 1 5 1×2-2×1X3-2×1X2=2 5-43:-2-101243456x =4 -5 (第15题) 16.(1)由平移的性质，得AB∥EF,DC∥EP,∴.∠B= ∠EFP,∠C=∠EPF.∠B+∠C=90°，∴.∠EFP+ ∠EPF=90°..∠FEP=90°.∴.△EFP是直角三角形 (2)由平移的性质，得AB=EF,AE=BF,ED=CP, EP=DC=6,..AD=AE+DE=BF+CP..'AD=5, BC=15,.PF=BC-BF-CP=BC-AE-DE= BC-AD=I0.在Rt△EFP中，由勾股定理，得EF= √PF2-EP2=√102-6=8.∴.AB=8 17.(1),△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋 转得到的，∴.AB=AE,AC=AF,∠BAC=∠EAF= 45°..∠BAE=∠CAF=45°+∠CAE.AB=AC, AB=AC, ∴.AE=AF.在△ABE和△ACF中，∠BAE=∠CAF, LAE-AF, ∴.△ABE≌△ACF...BE=CF(2)由(1)，得 △ABE≌△ACF,.∠ABE=∠ACF.∴.∠BDC= ∠AOE-∠ACF=∠AOE-∠ABE=∠BAC=45 a=1, 18.(1)由题意，得 +2-2号言早 b=0 a-b=b+1, (2):b+1>b,线段BC与x轴有公共点， .6+120:.-1<6<0(3)①A是直线1，的“邻近 {b0. 点”避由：点A的横坐标为2,2-号-令<1A 是直线l,的“邻近点”.②B是直线，的“邻近点”， a2-引1解得-<a≤号 ⑧：点G在 直线1，上，点G的横坐标为受：点C的横坐标为 号，含-号=1△AC向右平移T1个单位长度.由 题意，可知点F的横坐标为a十3.∴.a十3=0.∴.a= -3.∴.A(2,一3)..点E的横坐标为3.：点F的纵坐 标为号a+6=-2+6,5四-号：合×8X1-2叶 61-,即1-2+61=号当-2+6=号时，6=号 :B(-1,).:号-(-3)=号>1，此时B不是 直线，的“邻近点”，不合题意，舍去当-2+6=一号时， 6=-2B(-1,-)-号-(-3)=是<1， “此时B是直线，的邻近点”，符台题意“6=一号 第4天因式分解 -、1.A2.D3.D4.B5.A6.C 7.C 一方法归纳 “已知a2,b2构造2ab”时容易遗漏一种结果 要构造完全平方式，应知道哪个代数式（数、字母、 单项式、多项式等)相当于公式中的某个字母或公式中 的某个部分.在完全平方式a±2ab十b2中，已知a2, b构造2ab,关键是“a”“b”的确定，注意由“互为相反 数的两个数的平方相等”得到“a”和“b”分别有正、负 两种情况，这样计算2b就有正、负两种结果.往往容 易漏掉一种结果导致错误。 8.D解析：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x y.当x=11,y=10时，2x十y=32,2x一y=12..密码 可能是113212,111232,123211，选项A,B,C不符合题意； 密码不可能是123011，选项D符合题意 二、9.(1)2(x+3)(x-3)(2)2m(x-y)2 10.(2a+b)(a+2b)11.112.22513.①②③ 14.(1013,1012)(答案不唯一)7解析：：2025= 3×52,.∴.2025的所有整数因数对为(1,2025)，(3， 675),(5,405),(9,225),(15,135),(25,81),(27,75), (45,45).设对于每对因数(d,D),2025=d×D=a2一 b2=(a一b)(a+b),其中d=a一b,D=a+b,由此可得 4=Dd,6=D4.:a,b都是正整数，且4>b>1, 2 21 ∴.“智慧数对”有(1013,1012)，(339,336)，(205,200)， (117,108),(75,60),(53,28),(51,24),共7对. 三、15.(1)原式=x2-x一3x+4=x2一4x十4=(x一 2)2(2)原式=(y2-1)(x2+2x+1)=(y+1)(y- 1)(x+1)2 16.(1)x(x+1)(x+9)=x3+10x2+9x,x(x-1)(x- 5)=x3一62+5x.由题意，得原来的多项式为x3一 6x2+9x(2)x3-6x2十9x=x(x2-6x+9)=x(x一3)9 17.πR2一4πr2=π(R2-4r2)=π(R十2r)(R一2r. :R=7.8,r=1.1,.原式=3.14×(7.8+2×1.1)× (7.8一1.1×2)=3.14×10×5.6=175.84.∴.余部分 的面积是175.84cm 18.(1)(x+1)2-4(x+1)+4=(x+1-2)2=(x- 1)2.当x-1=√5时，原式=(5)2=5(2)(x-2y)2 (x-y)(x+y)-2y2=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)- 2y2=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2=-4xy+3y2= -y(4x-3y.4x=3y,∴.4x-3y=0..原式=0 19.(1)(x-3)1解析：令x2-6x=A,则(x2-6x)· (x2-6.x+18)+81=A(A+18)+81=A2+18A+81= (A+9)2=(x2一6.x+9)2=(x-3)1. (2)令2025-x=a,x-2026=b,则ab=-2,a十 1 b=-1..(2025-x)2+(x-2026)2=a2+b2=(a+ bP-2ah=(-1Dr-2x(-)=2(3)(a+1D0m+ 2)(n+3)(n+4)+1=(n+1)(n+4)×(n+2)(n+3)+ 1=(n2+5n+4)×(n2+5m+6)+1.令n2+5n+4=a, 则原式=a×(a十2)+1=a2+2a+1=(a+1)2=(n2+ 5n十5)..n为正整数，.n2十5n十5是整数.∴.式子 (n+1)(n十2)(n十3)(n+4)+1的值一定是某一个整数 的平方 20.(1)(a+b)(b-c)(2)①(m-n)(m-5) ②(x十y一1)(x一y一1)(3)这个三角形是等边三角 形理由：：a2+2b2+c2=2b(a十c),a2+2b+c2- 2ab-2bc=0..∴.(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2=0.∴.a-b=0且b-c=0.∴.a= b=c.∴.这个三角形是等边三角形 方法归纳 利用分组分解法进行因式分解 利用分组来因式分解的方法叫作分组分解法.若 多项式为四项或四项以上时，则通常用分组分解法因 式分解.如果把一个多项式的项分组后，各组能直接运 用公式法或提公因式法进行分解，并且各组在分解后， 它们之间又能运用公式法或提公因式法进行分解，那 么这个多项式可以用分组分解法因式分解