3.3简单的图形设计（分层作业，2基础&3提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

3.3 简单的图形设计 题型一 对图形设计及图形变换的认识 一、单选题 1．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，不是由平移设计的是（    ） A．B． C． D． 3．如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 4．如图是某公司的商品标志图案，则下列说法：①整个图案是按照中心对称设计的；②外部图案部分是按照轴对称设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（   ） A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移 7．在下列图案中，不能用平移得到的图案是（      ） A． B． C． D． 8．下列图标中，由一个基本图形通过平移设计得到的是（　　） A． B． C． D． 题型二 坐标系内的图形设计 一、填空题 1．如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________． 2．图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程______. 题型一 图形设计的相关计算 一、填空题 1．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为________． 2．如图所示，在中，，将绕点顺时针旋转60°得到，与交于点，则_____°，直线与所夹锐角的度数为_____． 3．两个形状和大小完全一样的梯形纸片如图（a）所示摆放，将梯形纸片沿上底方向向右平移得到图（b）．已知，，若阴影部分的面积是四边形的面积的．则图（b）中平移距离为____． 题型二 图形设计与探究规律 一、单选题 1．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 2．如图，图（1）中的三角形有8个，图（2）中的三角形有14个，图（3）中的三角形有20个，…，则图（8）中的三角形有（　　） A．48个 B．50个 C．56个 D．64个 题型三 网格中的图形设计 一、解答题 1．如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上； （2）在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上． （1）画出关于直线OM对称的； （2）画出绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的； (3) 计算：的面积为 ; （4） (填“>”，“=”或“<”) 3．图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个等腰直角三角形ABC； （2）在图②中以AB为边画一个面积为5的中心对称四边形ABMN； （3）在图③中以AB为边画一个面积为3的轴对称四边形ABPQ． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画个中心对称四边形．使其面积为9； （2）在图②中以线段为边画一个轴对称四边形．使其面积为10； （3）在图③中以线段为边一个四边形，使其满足仅有一对对角都为直角． 5．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______． 一、解答题 1．如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等． （1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　； （2）当a＝24时，求b的值； （3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由； （4）直接写出a与b的数量关系．    2．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．    （1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ （2）如图2所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？ （3）如图3你能把十三个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？ 3．阅读下列材料： 问题：如图（a）所示，已知点为等边内一点，且，试探究线段、、之间的数量关系． 明明同学的想法是：问题中的线段比较分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题．于是他将绕点顺时针旋转60°，得到了，然后连接． 请你参考明明同学的思路，解决下列问题： （1）图（b）中的、、之间的数量关系为______． （2）如图（c）所示，点在等边的外部（在直线左侧），满足，（1）中的结论仍成立吗？说明你的理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 简单的图形设计 题型一 对图形设计及图形变换的认识 一、单选题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 题型二 坐标系内的图形设计 一、填空题 1．【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度 2．【答案】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 题型一 图形设计的相关计算 一、填空题 1．【答案】/60度 2．【答案】 90 60° 3．【答案】3 题型二 图形设计与探究规律 一、单选题 1．【答案】B 2．【答案】B 题型三 网格中的图形设计 一、解答题 1．【详解】（1）将向上平移个单位， 再向右平移个单位，然后绕点顺时针旋转． （2）将绕点A1逆时针旋转得， 则与关于点中心对称． 2．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）△A1B1C1的面积为：2×2-×1×2-×1×2-×1×1=； 故答案为：； （4）如图所示， ， ， ∴； 故答案为：＞． 3．【详解】解：（1）如图1中，等腰直角三角形ABC即为所求． （2）如图2中，正方形ABMN，平行四边形ABMN即为所求． （3）如图3中，四边形ABPQ即为所求． 4．【详解】解：（1）中心对称四边形如下图：     （2）轴对称四边形如下图：    （3）四边形如下图： 5．【详解】（1）解∶如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次轴对称得到；也可以看成由梯形Ⅰ经过一次旋转得到，旋转中心是两个梯形公共的顶点，旋转了，梯形Ⅲ可以看成中梯形Ⅰ经过一次旋转得到； 故答案为∶轴对称或旋转，旋转； （2）解：梯形V可以看成由梯形Ⅳ绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到或先绕点B逆时针旋转再作关于直线a对称的图形得到． 故答案为∶ ①③④ 一、解答题 1．【详解】（1）长为，宽为的矩形， 当=1时，（2+1）=3， 3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成， 其中小圆的直径与小矩形的宽相等， ∴=3+3+1+1+1=9 =3+1+1+1+1=7 故答案为9，7； （2）结合（1）并观察图形的变化规律可知： =5+4，b=5+2 ∴当=24时，5=20， ∴=22； （3）不能等于30，理由如下： ∵=5+4 若=30，则5+4=30，= ∵是正整数， ∴不能等于30； （4）结合（1）（2）可知： ， 所以与的数量关系为：． 2．【详解】解：（1）拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和，即为5， ∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形的边长即为面积的算术平方根，为； （2）设点A表示的数为x，则由题意可得：x-(-1)=，∴x= ， 又∵，∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是； （3）如图，可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，其中三角形A可以平移至三角形C，三角形B可以平移至三角形D，由题意可知其边长为13的算术平方根，即．    3．【详解】（1）； 理由是： 根据旋转的性质得：，，， ∴，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）成立，即． 将绕点A逆时针旋转60°，得到了，然后连接，如图所示， 根据旋转的性质得：，，， ∴，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 简单的图形设计 题型一 对图形设计及图形变换的认识 1．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据拼成的四个图形是否存在中心对称点，即可判断图形是否为中心对称图形． 【详解】解：依照中心对称图形的特征：若图形存在中心对称点，沿中心对称点旋转180°后可与原图形重合． 选项A图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 选项B图形有中心对称点，故是中心对称图形，符合题意； 选项C图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 选项D图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．下列图形中，不是由平移设计的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移，根据平移的定义即可判断求解，掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：、该图形是由平移得到，不合题意； 、该图形是由平移得到，不合题意； 、该图形不是由平移得到，符合题意； 、该图形是由平移得到，不合题意； 故选：． 3．如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答 【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是． 故选：． 【点睛】本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键. 4．如图是某公司的商品标志图案，则下列说法：①整个图案是按照中心对称设计的；②外部图案部分是按照轴对称设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用轴对称图形的性质以及旋转的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：①整个图案内外两部分是按照不同的变换设计的，故错误； ②外部图案部分是按照旋转设计的，故错误； ③图案的外层“S”是按旋转设计的，正确； ④图案的内层“A”是按轴对称设计的，正确， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质以及旋转图形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键． 5．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换作图的知识，掌握各种图形变换是解题的关键． 根据平移、旋转和轴对称变换的定义和性质，逐一分析每个选项即可． 【详解】解：A、经过平移即可得出原图； B、经过一次平移，再绕顶点顺时针旋转，逆时针旋转即可得出原图案； C、经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到原图形； D、绕顶点旋转即可得出该图案． 故选：C 6．如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（   ） A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，熟知旋转、轴对称、平移的定义和性质是解题的关键． 观察时紧扣图形变换特点，认真判断即可． 【详解】解：平移是沿直线移动一定距离得到新图形， 旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形， 轴对称是沿某条直线翻折得到新图形． 观察图形结合上述知识可知，该图案不包含的变换是平移． 故选：D 7．在下列图案中，不能用平移得到的图案是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的特征依次判断即可． 本题考查图形的平移变换．图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：A. 把一个三角形看成基本图案，则整个图形可以看做是由基本图案平移两次得到的，故本选项不符合题意； B. 把一个正方形看作基本图案，则整个图形可以看做是由基本图案平移三次得到的，故本选项符合题意； C. 把一个直角梯形看作基本图案，则整个图形是由基本图案旋转三次得到的．故本选项符合题意； D. 把一个五角星看作基本图案，则整个图形可以看作是由基本图案平移5次得到的，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．下列图标中，由一个基本图形通过平移设计得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移的定义分析即可． 【详解】A.可以通过旋转得到，故A选项不符合题意； B. 可以通过旋转得到，故B选项不符合题意； C. 可以通过轴对称变换得到，故C选项不符合题意； D. 可以通过平移得到，故D选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了利用平移设计图案，准确理解平移的定义是解决本题的关键． 题型二 坐标系内的图形设计 一、填空题 1．如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________． 【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度 【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程． 【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD， 故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度． 2．图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程______. 【答案】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【分析】变换图形2，可先旋转，然后平移与图2拼成一个矩形． 【详解】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形． 故答案为先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【点睛】本题考查了平移和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 题型一 图形设计的相关计算 一、填空题 1．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为________． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 2．如图所示，在中，，将绕点顺时针旋转60°得到，与交于点，则_____°，直线与所夹锐角的度数为_____． 【答案】 90 60° 【分析】先根据旋转的性质得∠CAE=60°，再利用三角形内角和定理计算出∠AFC=90°，延长CB交DE于G，在中即可求得∠EGF=60°． 【详解】∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，且∠C=30°， ∴∠CAE=60°，∠AED=∠C =30°， 在中，， ∴∠AFB=； 延长CB交DE于G， 在中，∠AED=∠C =30，∠EFG= =， ∴， ∴直线与所夹锐角的度数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3．两个形状和大小完全一样的梯形纸片如图（a）所示摆放，将梯形纸片沿上底方向向右平移得到图（b）．已知，，若阴影部分的面积是四边形的面积的．则图（b）中平移距离为____． 【答案】3 【分析】由两梯形全等，得到上底及下底对应相等，设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x，由上底及下底的长分别表示出AD′和BC′，根据平移的性质得到图(b)除去阴影部分左边把右边四边形的面积相等，根据阴影部分的面积等于图(b)总面积的，得到阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′面积的一半，由梯形的面积公式分别表示出阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′的面积，把各自表示出的边代入，消去h求出x的值，即为平移距离A′A的长． 【详解】∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′全等， ∴AD=A′D′=4，BC=B′C′=8， 设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x， ∴AD′=A′D′-A′A=4-x，BC′=B′C′-B′B=8-x， 由平移的性质可知：， 又∵， ∴， ∴， 即， 化简得：， 解得：， ∴A′A=3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了平移的性质以及梯形的面积公式，解答本题的关键是根据平移的性质及题意得出． 题型二 图形设计与探究规律 一、单选题 1．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 【答案】B 【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可． 【详解】解：2021÷2＝1010…1， 所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积， 是：4440＋4﹣π＝4044﹣π． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键． 2．如图，图（1）中的三角形有8个，图（2）中的三角形有14个，图（3）中的三角形有20个，…，则图（8）中的三角形有（　　） A．48个 B．50个 C．56个 D．64个 【答案】B 【分析】根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2，据此求解可得． 【详解】解：∵图（1）中的三角形个数8＝2+6×1， 图（2）中的三角形个数12＝2+6×2， 图（3）中的三角形个数20＝2+6×3， …… ∴图（8）中的三角形有2+6×8＝50， 故选B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2． 题型三 网格中的图形设计 一、解答题 1．如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上； （2）在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】（1）将向上平移个单位， 再向右平移个单位，然后绕点顺时针旋转． （2）将绕点A1逆时针旋转得， 则与关于点中心对称． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上． （1）画出关于直线OM对称的； （2）画出绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的； (3) 计算：的面积为 ; （4） (填“>”，“=”或“<”) 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）1.5；（4）＞． 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1； （2）依据旋转的性质，即可得出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2； （3）依据割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积； （4）分别求得两个三角形的面积，即可得到两个三角形的面积大小关系． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）△A1B1C1的面积为：2×2-×1×2-×1×2-×1×1=； 故答案为：； （4）如图所示， ， ， ∴； 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换以及旋转变换作图，根据已知正确找出对应点进而画出图象是解题关键． 3．图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个等腰直角三角形ABC； （2）在图②中以AB为边画一个面积为5的中心对称四边形ABMN； （3）在图③中以AB为边画一个面积为3的轴对称四边形ABPQ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可． （2）根据中心对称图形的定义利用数形结合的思想解决问题即可． （3）根据轴对称图形的定义以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）如图1中，等腰直角三角形ABC即为所求． （2）如图2中，正方形ABMN，平行四边形ABMN即为所求． （3）如图3中，四边形ABPQ即为所求． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，中心对称图形，轴对称图形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画个中心对称四边形．使其面积为9； （2）在图②中以线段为边画一个轴对称四边形．使其面积为10； （3）在图③中以线段为边一个四边形，使其满足仅有一对对角都为直角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由题意直接利用平行四边形的中心对称性质及其面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）根据题意直接利用正方形的轴对称性质以及面积求法得出答案； （3）由题意以线段为边一个四边形，利用割补法进行分析进而得出答案． 【详解】解：（1）中心对称四边形如下图：     （2）轴对称四边形如下图：    （3）四边形如下图： 【点睛】本题主要考查作图-应用与设计，以及四边形面积求法，正确掌握四边形的性质和面积求法是解题的关键． 5．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】(1)轴对称或旋转，旋转； (2)①③④． 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）梯形V可以看成由梯形绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解∶如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次轴对称得到；也可以看成由梯形Ⅰ经过一次旋转得到，旋转中心是两个梯形公共的顶点，旋转了，梯形Ⅲ可以看成中梯形Ⅰ经过一次旋转得到； 故答案为∶轴对称或旋转，旋转； （2）解：梯形V可以看成由梯形Ⅳ绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到或先绕点B逆时针旋转再作关于直线a对称的图形得到． 故答案为∶ ①③④ 一、解答题 1．如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等． （1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　； （2）当a＝24时，求b的值； （3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由； （4）直接写出a与b的数量关系．    【答案】（1）9，7；（2）22；（3）不能等于30，见解析；（4） 【分析】（1）长为，宽为的矩形，当=1时，（2+1）=3，得3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等，进而求解； （2）结合（1）并观察图形的变化规律可得=5+4，b=5+2，进而求解； （3）不能等于30，根据=5+4当=30，可求5+4=30，进而得的值即可判断； （4）结合（1）（2）可得． 【详解】（1）长为，宽为的矩形， 当=1时，（2+1）=3， 3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成， 其中小圆的直径与小矩形的宽相等， ∴=3+3+1+1+1=9 =3+1+1+1+1=7 故答案为9，7； （2）结合（1）并观察图形的变化规律可知： =5+4，b=5+2 ∴当=24时，5=20， ∴=22； （3）不能等于30，理由如下： ∵=5+4 若=30，则5+4=30，= ∵是正整数， ∴不能等于30； （4）结合（1）（2）可知： ， 所以与的数量关系为：． 【点睛】此题主要考查图形类变化规律，解题关键是理解题意，找出关系式. 2．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．    （1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ （2）如图2所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？ （3）如图3你能把十三个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）剪拼见解析，边长是 【分析】（1）由题意可以得到拼后正方形的面积，再根所正方形的面积公式可以得到其边长； （2）由勾股定理可以算得-1至A点距离，再根据数轴上两点间距离的坐标表示可以得到A点表示的数，并得到其相反数； 【详解】解：（1）拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和，即为5， ∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形的边长即为面积的算术平方根，为； （2）设点A表示的数为x，则由题意可得：x-(-1)=，∴x= ， 又∵，∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是； （3）如图，可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，其中三角形A可以平移至三角形C，三角形B可以平移至三角形D，由题意可知其边长为13的算术平方根，即．    【点睛】本题考查勾股定理与无理数、实数与数轴的综合应用，灵活运用图形变换对图形进行剪拼组合是解题关键． 3．阅读下列材料： 问题：如图（a）所示，已知点为等边内一点，且，试探究线段、、之间的数量关系． 明明同学的想法是：问题中的线段比较分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题．于是他将绕点顺时针旋转60°，得到了，然后连接． 请你参考明明同学的思路，解决下列问题： （1）图（b）中的、、之间的数量关系为______． （2）如图（c）所示，点在等边的外部（在直线左侧），满足，（1）中的结论仍成立吗？说明你的理由． 【答案】（1）；（2）成立，．理由见解析． 【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定是等边三角形，由等边三角形的性质知，求得，根据勾股定理可得答案； （2）将绕点A逆时针旋转，得到了，然后连接，由旋转性质、等边三角形的判定是等边三角形，求得，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）； 理由是： 根据旋转的性质得：，，， ∴，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）成立，即． 将绕点A逆时针旋转60°，得到了，然后连接，如图所示， 根据旋转的性质得：，，， ∴，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $