2.3 单摆（教学课件）物理沪科版选择性必修第一册

该高中物理课件聚焦单摆模型、回复力推导、周期公式及用单摆测重力加速度，课堂导入从空中飞人、秋千等摆动现象切入，引导建立单摆模型，逐步推导回复力与小角度近似条件，得出周期公式，最终落脚于实验测量重力加速度，构建完整知识脉络。 其亮点在于强化科学思维中的模型建构（理想化单摆模型）和科学探究（实验数据图像法处理、误差分析），典例涵盖电场、磁场等情境，培养科学推理能力。学生能提升模型应用与实验技能，教师可借助丰富例题和实验指导优化教学。

沪科版（2020）选择性必修 第一册 第二章 机械振动 第 3 节 单摆 教学重难点 教学难点 教学重点 教学重点 1. 单摆的理想化模型 2. 回复力推导与小角度近似 3. 单摆周期公式 T = 2π√(l/g) 4. 用单摆测量重力加速度的原理与方法 教学难点 1. 回复力 F = -(mg/l)x 的推导与近似条件 2. 周期与摆长、重力加速度的定量关系 3. 实验数据的图像法处理与误差分析 教学内容 01 单摆模型 02 单摆的回复力 03 单摆的周期 04 用单摆测重力加速度 课堂导入——观察与思考 空中飞人、秋千、钟摆等摆动现象，如何研究其运动规律？ 我们可以用细线悬挂小球，建立单摆模型来近似研究。 课堂导入——观察与思考 单摆——最经典的振动模型 细线一端固定、另一端系小球，把小球拉离最低点后释放， 小球就在最低点附近来回摆动——这就是单摆。 课堂导入——观察与思考 本节要回答的问题 · 单摆的振动是简谐运动吗？其回复力如何表达？ · 单摆的周期与哪些因素有关？如何验证你的猜想？ · 如何利用单摆测量当地的重力加速度？ 01 PART 01 第一部分 单摆模型 7 探究新知——单摆模型 单摆模型 ·细线质量远小于小球质量，小球直径远小于线长，均可忽略。 ·这样的装置称为单摆，是一种理想化的物理模型。 ·摆球在竖直平面内最低点附近往复摆动，轨迹为圆弧。 ·傅科摆用长摆线、大质量摆锤，证明了地球的自转。 探究新知——单摆的回复力 单摆的回复力 ·摆球受重力 G 和拉力 FT，将重力沿圆弧切线和半径方向分解。 ·重力沿切线方向的分力 F = mgsinθ，θ 为摆线与竖直方向的夹角。 ·当摆角很小时，sinθ 近似等于位移 x 与摆长 l 的比值。 ·回复力 F = -mg·x/l = -kx，方向指向平衡位置，符合简谐运动特征。 探究新知——回复力的推导 回复力的推导 ·小角度下，弧度制 θ 与 sinθ 近似相等，弦长与弧长也近似相等。 ·位移 x 的大小近似等于圆弧对应的弧长，故 sinθ ≈ x/l。 ·重力沿切线分力 F = mgsinθ ≈ mg·x/l，方向指向平衡位置。 ·由此得 F = -(mg/l)x，即回复力与位移成正比，单摆做简谐运动。 探究新知——单摆的周期 单摆的周期 ·伽利略发现摆的等时性：周期与振幅无关，为研究奠定基础。 ·惠更斯确定单摆周期公式 T = 2π√(l/g)，与振幅、摆球质量无关。 ·周期由摆长和重力加速度决定，称为固有周期，对应频率为固有频率。 ·通过类比弹簧振子 T = 2π√(m/k)，将 k = mg/l 代入同样可得该公式。 探究新知——周期公式的应用 周期公式的应用 ·秒摆周期为 2 s，由 T = 2π√(l/g) 可推算出摆长约为 1 m。 ·利用公式 g = 4π²l/T²，通过测量摆长和周期可测重力加速度。 ·摆长 l = 摆线长度 l0 + 小球半径 d/2，需精确测量。 ·可用于制作脉搏仪等计时工具，体现摆的等时性应用。 探究新知——典例分析 【例1】 一个原运动周期为T的单摆，在单摆静止时，摆球正下方粘了一块橡皮泥（新摆重心下移距离不可忽略），当粘了橡皮泥的单摆做简谐运动后，其周期为T^′，则（     ） A．T^′>T B．T^′<T C．T^′=T D．都可能 答案：A 探究新知——典例分析 【例2】 等效法是物理学常用的科学思想方法，可以建构等效物理过程以便于解决问题。不可伸长的轻质、绝缘细线一端固定在天花板上，一端与带电小球相连，组成如图所示的单摆，其摆动周期为T₁。仅在空间中加水平向右的匀强电场时，其摆动周期为T₂。仅在空间中加垂直纸面向里的匀强磁场时，其摆动周期为T₃。若不计空气阻力，摆角均小于5°，则T₁、T₂、T₃的大小关系为（     ） A．T₁=T₂=T₃ B．T₁=T₃>T₂ C．T₁=T₃<T₂ D．T₃<T₂<T₁ 答案：B 探究新知——典例分析 【例3】 关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的回复力也可以是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F=-kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 答案：B 探究新知——典例分析 【例4】 如图所示，长为L的轻绳一端固定在天花板上，一端系着质量为m、可视为质点的小球，初始时轻绳静止在竖直方向上。t=0时刻，空间中出现方向水平向右，大小为F=mgtanθ（θ很小）的恒定水平风力，小球在风力的作用下开始向右摆动，不计其它阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（     ） A．小球摆到最高点时，轻绳与竖直方向的夹角为θ B．当t=2π√(Lcosθ/g)时，小球恰好运动到起点 C．适当增大风力，小球运动的周期保持不变 D．小球的机械能守恒 答案：B 探究新知——典例分析 【例5】 如图所示，质量为4m的小球乙静止在半径为R的光滑球面AB的最低点C，且AB≪R。将质量为m的小球甲由左侧端点A静止释放，在C点与乙球发生正碰，碰撞时间为t且碰撞时间很短，碰后甲球速度大小为碰撞前的0.2倍且方向相反。A、B两点与球心O的连线与竖直方向的夹角均为θ，两小球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．碰撞前甲球的速度为√(2gRcosθ) B．碰撞结束时乙球的速度为0.3√(2gR(1−cosθ)) C．碰撞时甲球对乙球的平均作用力为6m√(2gR(1−cosθ))/(5t) D．两球在C点的左侧发生再次碰撞 答案：BC 探究新知——典例分析 【例6】 单摆在小角度范围内摆动，摆球在t=0时刻从最高点由静止释放，摆动过程中单摆的能量随时间变化的图线如图中①②③所示。下列说法正确的是（     ） A．图线①表示机械能，其大小与振幅无关 B．图线②和③分别表示重力势能和动能 C．单摆的周期为2(t₂−t₁) D．在t₁∼t₂时间内，小球受到的回复力增大 答案：D 02 PART 02 第二部分 单摆的回复力 19 探究新知——用单摆测重力加速度 用单摆测重力加速度 ·实验原理：单摆小角度摆动时，周期 T = 2π√(l/g)，得 g = 4π²l/T²。 ·测量悬挂状态下细线长度 l0 和小球直径 d，摆长 l = l0 + d/2。 ·摆角小于 5°，由静止释放，用停表测 n 次全振动时间 t，周期 T = t/n。 ·改变摆线长度重复实验，将数据记录后进行分析处理。 探究新知——实验注意事项 实验注意事项 ·选择细且不易伸长的摆线，摆球密度较大，以减小空气阻力影响。 ·摆角严格控制在 5° 以内，确保运动近似为简谐运动。 ·从平衡位置开始计时，可减小计时误差，测量多次全振动时间。 ·测量 n 次全振动的时间取平均值，可提高周期测量的精度。 探究新知——典例分析 【例7】 关于简谐运动的单摆，在摆球通过最低点时，下列说法正确的是（　　） A．回复力为零，合外力也为零 B．回复力不为零，但合外力为零 C．回复力不为零，合外力指向悬点 D．回复力为零，合外力提供向心力 答案：D 探究新知——典例分析 【例8】 简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式、回复力和能量，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力 B．水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化 C．简谐运动位移x的一般函数表达式x=Asin（ωt+φ）中，ω表示频率，φ表示相位 D．简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变而方向改变的力 答案：A 探究新知——典例分析 【例9】 在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间F-t图像。下列说法正确的是（     ） A．t=0.1 s时刻摆球运动到最低点 B．单摆振动周期T=0.8 s C．若仅将摆球质量变小，单摆周期不变 D．摆球摆动过程合力方向始终沿绳指向悬挂点 答案：C 03 PART 03 第三部分 单摆的周期 探究新知——数据处理 数据处理 ·记录摆线长度、总时间，计算摆长和周期，填入数据表。 ·图像法：以 T² 为纵坐标、l 为横坐标描点，拟合为一条直线。 ·图线斜率 k = 4π²/g，则重力加速度 g = 4π²/k，可由斜率求得。 ·也可用逐差法或求平均值法处理数据，减小偶然误差。 探究新知——典例分析 【例10】 小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图甲装置做了该实验。　(1)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的______________。　(2)测量摆长时，先用游标卡尺测得摆球的直径d，读数如乙图所示，则d=______________cm，再让毫米刻度尺零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图丙所示，测得从悬点到摆球的最下端的距离L₀，则L₀=______________m，摆长的表达式为L=______________（用符号L₀、d表示）。测量周期数据时，可以在摆球经过最低点时从1开始计数，记下摆球第N次经过最低点所用的时间t，则单摆周期T=______________　(3)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长L，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T²−L图像如图丁所示，则可得知月球重力加速度大小为______________m/s²。（保留3位有效数字） A． B． C． D． 答案：(1)C (2) 2.06 0.8950 L₀−d/2 2t/(N−1) (3)1.60 探究新知——典例分析 【例11】 某小组利用如图甲所示的实验装置，测量当地的重力加速度。长度为L的细线将一金属小球悬挂于O点，悬点O处有一个拉力传感器，能测出细线的拉力大小。将小球由平衡位置拉开一个较小角度，然后由静止释放小球，根据拉力传感器的数据描绘出细线拉力F随时间t变化的图像，如图乙所示。　(1)根据图乙可知，单摆的周期T=___________s；　(2)改变摆线的长度，测出多组细线的长度L和对应的振动周期T，作出L−T²图像如图丙所示，已知π=3.14，由图丙可知，当地的重力加速度大小g___________m/s2（结果保留3位有效数字）。　(3)若给金属小球带正电，在O点处也放置一带正电的小球，使二者间有库仑力作用，再次完成该实验，则单摆周期相比之前___________（选填“变大”“变小”或“不变”），其原因是___________。 答案：(1)2 (2)9.86 (3) 不变 库仑力始终沿半径方向，不产生回复力的切向分量，也不改变重力的切向效应。因此单摆的回复力特性不变，周期不变 典例分析 【例12】 某同学用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验，忽略空气阻力的影响。　(1)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径，示数如图乙所示，小钢球直径d=___________ mm，记摆长l=L+d/2。　(2)拉开小钢球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，由静止释放小钢球，当其振动稳定时，从经过最低点开始计时，记下n次全振动的时间t，计算出周期T=___________ 。　(3)多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，根据测量数据作出如图丙所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是___________（填“l²”“l”或“√l”），若图线斜率为k，则重力加速度g= ___________ 。 答案：(1)20.125/20.124/20.126 (2)t/n (3) √l 4π²/(k²) 探究新知——单摆周期回顾 单摆的周期 ·伽利略发现摆的等时性：周期与振幅无关，为研究奠定基础。 ·惠更斯确定单摆周期公式 T = 2π√(l/g)，与振幅、摆球质量无关。 ·周期由摆长和重力加速度决定，称为固有周期，对应频率为固有频率。 ·通过类比弹簧振子 T = 2π√(m/k)，将 k = mg/l 代入同样可得该公式。 探究新知——典例分析 从「测周期」到「测重力加速度」 把单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 变形，就得到： 只要测出摆长 L 和周期 T，就能算出当地的重力加速度 g—— 这正是本节的重要实验。 04 PART 04 第四部分 用单摆测重力加速度 探究新知——典例分析 用单摆测重力加速度 ·实验原理：单摆小角度摆动时，周期 T = 2π√(l/g)，得 g = 4π²l/T²。 ·测量悬挂状态下细线长度 l0 和小球直径 d，摆长 l = l0 + d/2。 ·摆角小于 5°，由静止释放，用停表测 n 次全振动时间 t，周期 T = t/n。 ·改变摆线长度重复实验，将数据记录后进行分析处理。 课堂小结 一、单摆模型　忽略细线质量和小球直径的理想化模型，在竖直平面内往复摆动。 二、回复力　F = -(mg/l)x，在摆角很小的情况下满足简谐运动回复力特征。 三、周期　T = 2π√(l/g)，与振幅、质量无关，由摆长和当地重力加速度决定。 四、测重力加速度　由 g = 4π²l/T²，测量摆长和周期，用图像法处理数据求 g。 课堂练习 1． 如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，轻质摆绳一端固定在斜面上O点，另一端系一质量为m的小球，构成摆长为L的单摆。现将小球拉至偏离平衡位置摆角为α（α<5°）处由静止释放，小球将在斜面上做简谐运动，运动过程中摆绳始终平行于斜面。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．该单摆振动的周期T=2π√(L/(gcosθ)) B．小球运动至平衡位置时，摆绳拉力大小T_拉=mgsinθ(3−2cosα) C．小球在最大偏角位置时，回复力大小F_回=mgsinθsinα D．其他条件不变，若把斜面倾角θ缓慢增大至90°，则该单摆的周期会变大 答案：BC 课堂练习 2． 如图所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止释放，运动到最低点B时的速度大小为v，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列正确的是（     ） A．摆球从A运动到B的过程中，重力做的功为1/2mv² B．摆球运动到B时重力的瞬时功率为0 C．摆球从A运动到B的过程中拉力的冲量不为零 D．摆球从A运动到B的过程中拉力的冲量大小为√((mgT/4)²+(mv)²) 答案：ABCD 课堂练习 3． 图（a）是某兴趣小组基于手机磁力传感器，利用Phyphox应用软件完成单摆测量重力加速度的示意图，手机中的磁力传感器能够实时测量并记录外部磁场的磁感应强度大小。在磁性小球摆动过程中，当磁性小球摆动到最右端时，记录的磁感应强度最大。实验时，通过磁力传感器记录磁感应强度发生的周期性变化，间接测得小球运动的周期。部分实验操作如下：　(1)用游标卡尺测量小球直径，结果如图（b）所示， 则小球的直径为__________mm。　(2)保证细线与竖直方向的夹角小于5°并释放小球，打开Phyphox应用软件采集数据，图（c）为实验过程中磁感应强度随时间发生周期性变化的图像。则小球运动的周期为__________（用t₁、t₂表示）。　(3)某次实验中，由于操作不当，导致小球不在同一竖直面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，测量周期后，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则重力加速度的测量值__________实际值（填“小于”、“大于”或“等于”）。　(4)此小组又改进了实验装置，决定采用杆线摆测量重力加速度。如图（d）所示，杆线摆可以绕着悬挂轴OO^′来回摆动，直径为D的摆球其运动轨迹被约束在一个倾斜平面内，这相当于单摆在斜面上来回摆动。如图（e）所示，在铁架台上装一根铅垂线，在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节细线的长度，使摆杆与立柱垂直，保持摆杆长度L不变。如图（f）所示，把铁架台底座一侧垫高，立柱倾斜，测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为β，并测量该倾角下单摆的周期T。改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和单摆周期T，若作出的T−1/(√(cosβ))图像是一条过原点的直线，其斜率为k，则可以求得重力加速度为__________（结果用k、L、D表示）。 A． B． 答案：(1)22.50 (2)t₂-t₁/(10) (3)大于 (4)2π²(2L+D)/(k²) 课堂练习 4． 如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，∠BAO=30°，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期T=2π√(l/g) B．让小球垂直于纸面振动，周期T=2π√(3l/(2g)) C．让小球在纸面内振动，周期T=2π√(3l/(2g)) D．让小球垂直于纸面振动，周期T=2π√(l/g) 答案：A 课堂练习 5． 如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（     ） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 答案：C 课堂练习 6． 安装吊灯时吊灯在左右轻轻晃动，为了方便研究，把晃动的吊灯看作小角度摆动的单摆，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．摆动过程中，吊灯经过最低点时回复力最大 B．摆动过程中，吊灯经过最低点时向心力最小 C．若只增加吊灯的质量，吊灯摆动的周期保持不变 D．增大初始拉开的偏角（仍满足小角度条件），吊灯摆动的周期变大 答案：C 课堂练习 7． 甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是1:2 B．甲与乙的频率之比是1:2 C．在A、B两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从t=0时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 答案：D 课堂练习 8． 云端彩虹秋千位于重庆云阳龙缸景区，高度108米，2020年获吉尼斯世界纪录认证为世界最高框架秋千，某游客以小于5°摆角体验秋千时，下列说法正确的是（     ） A．游客负重增加时，摆动周期会缩短 B．秋千摆长缩短，其摆动周期也会缩短 C．秋千摆至最低点时，游客处于平衡状态 D．秋千摆至最高点时游客速度、加速度均为零 答案：B 课堂练习 9． 荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动，如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为摆球，忽略空气阻力，在摆动过程中，下列说法正确的是（     ） A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力的作用 B．经过最低点时摆球处于平衡状态 C．摆球做简谐运动时，摆角越小，其运动周期越小 D．远离最低点运动的过程中，摆球机械能不变，而动能减小 答案：D 布置作业 1. 认真阅读课本本节内容，完成课后“练习与应用”； 2. 完成本节配套《分层作业》与《重难点训练》。 谢谢聆听 鼎力物理制作，盗版必究 谢谢聆听 $