2.3 单摆（分层作业）物理沪科版选择性必修第一册

**基本信息** 单摆同步练习通过“模型认知-公式应用-实验探究-综合拓展”四层递进设计，实现从基础概念到实际应用的知识巩固，适配新授课物理观念建构与科学探究能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |模型认知|单摆模型、回复力、受力分析|3道选择聚焦基础概念辨析，如摆球受力及回复力变化规律| |公式应用|周期公式、生活实例、天体问题|3题含选择与计算，结合秋千、月球单摆情境应用周期公式| |实验探究|用单摆测重力加速度|2题实验题，涉及器材选择、数据处理及误差分析，培养科学探究能力| |综合拓展|创新情境、实验设计|7题综合题，通过积木摆、双线摆等创新情境融合科学思维与跨知识点应用|

2.3 单摆（解析版） 一、单摆模型与回复力 1.如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（     ） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 【答案】C 【解析】A．摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误； B．单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误； C．摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确； D．摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 故选C。 2.安装吊灯时吊灯在左右轻轻晃动，为了方便研究，把晃动的吊灯看作小角度摆动的单摆，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．摆动过程中，吊灯经过最低点时回复力最大 B．摆动过程中，吊灯经过最低点时向心力最小 C．若只增加吊灯的质量，吊灯摆动的周期保持不变 D．增大初始拉开的偏角（仍满足小角度条件），吊灯摆动的周期变大 【答案】C 【解析】A．单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，大小为（为摆角） 在最低点时，回复力为零，故A错误； B．吊灯摆动过程中机械能守恒，经过最低点时重力势能最小，动能最大，速度最大，根据向心力公式 可知，此时向心力最大，故B错误； C．根据单摆的周期公式 可知，单摆的周期与摆球的质量无关，若只增加吊灯的质量，摆长和重力加速度不变，则周期保持不变，故C正确； D．单摆具有等时性，在小角度（）摆动范围内，周期与振幅（偏角）无关，增大初始拉开的偏角（仍满足小角度条件），吊灯摆动的周期不变，故D错误。 故选C。 3.甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是1:2 B．甲与乙的频率之比是1:2 C．在A、B两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从t=0时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 【答案】D 【解析】A．由振动图像可知，甲、乙两个单摆的周期分别为、 根据单摆周期公式有 因此摆长之比为 故甲、乙的摆长之比为1:4，故A错误； B．根据频率与周期的关系有 解得 故甲、乙的频率之比为2:1，故B错误； C．甲摆球在、两点对应时刻的位移大小相等，根据简谐运动规律有 因此两时刻的速度大小相等，但点处图像斜率为正，摆球向右运动，点处图像斜率为负，摆球向左运动，两时刻的速度方向相反，故C错误； D．从时刻起，乙摆球第一次到达左侧最大位移处的时刻为，该时间恰好等于甲摆球的一个周期，因此甲摆球回到平衡位置，故D正确。 故选D。 二、单摆的周期公式 4.云端彩虹秋千位于重庆云阳龙缸景区，高度108米，2020年获吉尼斯世界纪录认证为世界最高框架秋千，某游客以小于摆角体验秋千时，下列说法正确的是（     ） A．游客负重增加时，摆动周期会缩短 B．秋千摆长缩短，其摆动周期也会缩短 C．秋千摆至最低点时，游客处于平衡状态 D．秋千摆至最高点时游客速度、加速度均为零 【答案】B 【解析】A．摆角小于时，秋千可看作单摆，单摆周期公式，可知周期与摆的质量无关，因此游客负重不会改变摆动周期，故A错误； B．由可知，摆动周期随摆长减小而减小，因此摆长缩短时，摆动周期缩短，故B正确； C．秋千摆到最低点时，仍做圆周运动，合力向上提供向心力，合力不为零，因此不是平衡状态，故C错误； D．秋千摆到最高点时速度为零，但重力沿摆切线方向的分力不为零，合力不为零，因此加速度不为零，故D错误。 故选B。 5.荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动，如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为摆球，忽略空气阻力，在摆动过程中，下列说法正确的是（     ） A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力的作用 B．经过最低点时摆球处于平衡状态 C．摆球做简谐运动时，摆角越小，其运动周期越小 D．远离最低点运动的过程中，摆球机械能不变，而动能减小 【答案】D 【解析】A．摆球受重力、摆线的拉力两个力的作用，回复力是一个效果力，由重力沿切向方向的分力充当，故A错误； B．经过最低点时摆球处拉力与重力的合力（不为零且最大）提供向心力，是非平衡状态，故B错误； C．摆球做简谐运动时，摆角很小时，周期恒定与摆角或者振幅无关，故C错误； D．远离最低点运动的过程中，摆球机械能不变，而动能减小，故D正确。 故选D 。 6.2026年5月24日神舟二十三号发射成功，3小时之后与空间站组合体进行自主快速交会对接，航天员顺利进驻“天宫”，距2030年前实现载人登陆月球的计划更近一步。假如宇航员在月球表面做如图所示实验：将单摆拉开一小角度后由静止释放摆球，观测到从摆球第1次经过最低点到第n次经过最低点的时间间隔为t，已知摆线的长度为L，摆球的半径远小于摆线长度。月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球的质量M； (3)月球的第一宇宙速度v。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）观测到从摆球第一次经过最低点到第n次经过最低点的时间间隔为t，则有   根据单摆的周期公式有    解得      （2）设月球表面某物体为，在月球表面有    结合上述解得        （3）设月球表面另一物体为，由    解得 【点睛】 三、用单摆测重力加速度 7.某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器软件并放置在O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度随时间变化曲线如图乙所示，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（     ） A．单摆的周期为 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．绳子的拉力就是小球做单摆运动的回复力 【答案】A 【解析】A．在一个周期内小球两次经过最低点，由图乙可知单摆的周期为，故A正确； B．根据单摆周期公式 可得重力加速度大小为，故B错误； C．由单摆周期公式 可知单摆的周期大小与单摆的振幅无关，即与小球的摆幅无关，故C错误； D．小球做单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故D错误。 故选A。 8.某同学利用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度。 (1)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在固定装置的横杆上，如图，则悬挂方式应采用______（选填“甲”或“乙”）； (2)测量中，该同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，其读数为______cm； (3)若在实验过程中，该同学误将摆球61次全振动的时间记为60次，则重力加速度的测量值会______。（选填“偏大”、“偏小”或“不变”） (4)若某同学将实验搬到月球上去进行，改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出的关系如图丙所示，则当地的重力加速度______（保留三位有效数字）。 【答案】(1)乙 (2)2.145 (3)偏小 (4)1.60 【解析】（1）甲图中摆球在摆动过程中摆线长将会变大，所以摆线的悬点应用铁夹固定。 故选乙。 （2）游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和 （3）该同学误将摆球61次全振动的时间记为60次，周期的测量值偏大，则由公式 可得 则重力加速度的测量值会偏小。 （4）根据题意，由（3）分析可得 结合图丙可得 解得 36．某学习小组用单摆实验装置进行有关力学实验，实验装置如图（a）所示，其中光电门位于悬点的正下方。 该小组先用该装置测量当地重力加速度，操作如下： ①先测出小球的直径d； ②测出此时悬点与小球上端的距离l，则单摆的摆长L=_____，然后调整悬点的高度，使小球能正好通过光电门； ③保持细线拉直，使小球在竖直平面内偏离平衡位置一小段距离后静止释放，通过光电计时器记录下小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则单摆的周期T=_____； ④多次改变细线的长度，重复②③的操作，记录下多组摆长L和对应的周期T； ⑤作出T2L图像，并得到该图像的斜率k=4.0s2/m，则当地重力加速度g=_____m/s2（π29.86，计算结果保留两位有效数字）。 【答案】 2t0 9.9 【解析】[1]单摆的摆长为摆线长l与小球的半径之和，即 [2]由于摆球一个周期内两次经过最低点，结合题意小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则有 解得单摆的周期为 [3]根据单摆的周期公式 可得 所以T2-L图像中，其斜率为 代入数据解得 四、单摆的综合应用 9.“积木摆”通常指用积木搭建的摆动装置，使用积木搭建摆动装置不仅能让学习过程更有趣，还能直观地观察到摆动周期、平衡性以及重力作用等物理现象。一个简单的积木摆如图所示，直径为D的刚性小球在半径为R的固定光滑圆弧面内做往返运动，从小球运动至最低点开始计时，再一次回到最低点所用时间为t，通过这样简单的实验可以测出当地的重力加速度。 (1)在本实验中，R应________（填“远大于”“等于”或“远小于”）D，小球在最高点时，与圆弧圆心的连线和竖直方向的夹角应________（填“小于”或“大于”）。 (2)由实验可测得重力加速度________（用t、R和D表示）。 (3)若小球没到最低点就开始计时，则导致重力加速度的测量值________（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 【答案】(1) 远大于 小于 (2) (3)小于 【解析】（1）[1]本实验将小球的运动等效为单摆，需要将小球视为质点，因此圆弧半径需要远大于小球直径。 [2]只有当摆角（本题对应连线与竖直方向的夹角）小于时，小球的运动才可近似为简谐运动，能使用单摆周期公式计算。 （2）小球做简谐运动的等效摆长为 ；从最低点出发再一次回到最低点经过半个周期，因此周期。 根据单摆周期公式 联立可得 。 （3）若没到最低点就开始计时，测量得到的时间（从计时开始到再一次回到最低点的间隔）会比真实的半个周期偏大； 由可知，与成反比，因此重力加速度的测量值小于真实值。 53．惠更斯在推导出单摆的周期公式时，用一个单摆测出巴黎的重力加速度。小明同学受此启发，在学习完单摆的相关知识后，他也用单摆等器材测量出学校所在地的重力加速度。在测量过程中，他用到了以下的器材：长约的伸缩性小的细绳、小钢球、铁架台、刻度尺、游标卡尺、手机秒表等。 (1)按照图1所示装置组装好实验器材，用刻度尺测量摆线的长度l，用游标卡尺测量摆球的直径d。某次测量刻度尺和游标卡尺的示数如图2和图3所示，则在本次测量中，小球的直径______mm，单摆摆线的长度________m。 (2)小明同学用手机秒表测量单摆完成50次全振动的时间如图4所示，这次测量得单摆振动的周期______s。（保留两位小数） (3)小明测量出多组周期T、摆长L数值后，画出图像如图5所示，则此图线的斜率表示的是______ A．g B． C． D． (4)小明比较重力加速度测量值与真实值的大小时，发现测量得到的重力加速度偏大，造成这一现象的原因可能是______ A．振幅偏小 B．在未悬挂单摆之前先测定摆长 C．将摆线长当成了摆长 D．将摆线长与球的直径之和当成了摆长 【答案】(1) 7.50 0.960/0.961/0.959 (2)1.97 (3)C (4)D 【解析】（1）[1]小球的直径 [2]摆线长 （2）单摆的周期 （3）由单摆的周期公式可得，，故选C。 （4）由单摆的周期公式可得，当g偏大时，应有L偏大或T偏小。ABC均不能使L偏大或T偏小，D使摆长L偏大，故选D。 10.某同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度，如图（a）所示，A为激光笔，B为光传感器。实验过程如下： (1)已知小球的直径为d，用刻度尺测量出同一水平高度的两悬点间的距离s和摆线长l（两摆线等长），则双线摆的等效摆长________（用l、d、s表示）； (2)在垂直于纸面的竖直平面内，将摆球偏离一个较小角度由静止释放，同时启动光传感器，得到光照强度随时间变化的图像如图（b）所示，图中第1个曲线最小值点对应的时刻为，第21个最小值点对应的时刻为，则双线摆的振动周期________（用、表示）； (3)根据实验数据拟合出图像为一条倾斜的直线，斜率，则重力加速度大小________（取，结果保留三位有效数字）。 【答案】(1) (2) (3)9.79 【解析】（1）根据几何关系可知，悬点所在水平线到小球上端的竖直距离为 小球的半径为 则双线摆的等效摆长为 联立解得 （2）单摆在摆动过程中，每次经过最低点时挡光时间最短，对应光照强度出现极小值，小球在一个周期内两次经过最低点，由图可知，从第1个极小值到第21个极小值经历了20个半周期，即10个完整周期，根据题意有 解得 （3）根据单摆的周期公式有 整理可得 根据一次函数图像的性质可知，图线的斜率为 解得 代入数据解得 61．某实验小组用单摆测量当地重力加速度，利用智能手机和磁性小球等器材进行了如下实验。 (1)某同学用游标卡尺测量磁性小球的直径如图乙所示，则__________mm。 (2)关于该实验，下列说法正确的一项是__________。 A．实验应选用弹性较好的细线 B．应将细线上端固定在铁架台横杆上 C．摆长一定的情况下，摆角应大一些，以便于观察 D．摆球在重力、拉力、回复力三个力的作用下运动 (3)如图甲，启动Phyphox软件，选择“磁力计”功能。将磁性小球拉开某一角度后由静止释放，记录磁感应强度的变化曲线如图丙所示，则该单摆的周期为点与__________点之间的时间差（选填“”、“”、“”、“”）。 (4)另一位同学测量不同摆线长度及对应的周期，作图像，由图线斜率计算当地重力加速度。若测量、计算均无误，使用上述方法算得的值__________真实值（选填“大于”、“等于”或“小于”）。 【答案】(1)11.4 (2)B (3) (4)等于 【解析】（1）10分度游标卡尺的精确值为，由图乙可知磁性小球的直径为 （2）AB．为了保证小球摆动过程摆长保持不变，实验应选用不可伸长的无弹性细线，且将细线上端固定在铁架台横杆上，故A错误，B正确； C．为了保证小球的摆动为简谐运动，摆角应小于，故C错误； D．回复力只是效果力，摆球在重力、拉力两个力的作用下运动，重力沿切线方向的分力提供回复力，故D错误。 故选B。 （3）磁性小球经过平衡位置（最低点）时，离手机最近，磁感应强度最大，因此峰值对应小球经过最低点。单摆一个周期内会两次经过最低点，相邻两个峰值（最低点）的时间间隔为半个周期，因此点到点间隔了两个半个周期，总时间差正好为一个周期。 （4）设小球半径为，根据单摆周期公式可得 整理可得 则图像的斜率为 可知重力加速度为 可知由图线斜率计算当地重力加速度，若测量、计算均无误，使用上述方法算得的值等于真实值。 11.用单摆测量重力加速度的实验中，测出摆球的直径为，摆线长为，单摆完成次全振动的时间为，则单摆的振动周期______；计算重力加速度的表达式______。 【答案】 / 【解析】[1]单摆的振动周期 [2]摆长，由单摆周期公式 解得 12.如图所示，一单摆悬于点O，摆长为L。已知重力加速度为g，不计空气阻力。小球从最高点第一次到最低点过程中，回复力大小______（填“增大”（填“增大"“减小"或“不变"），机械能______（填“增大"“减小"或“不变"），经历时间为______ 【答案】减小 不变 【解析】[1]单摆做简谐运动，则回复力 则在偏角减小的过程中，摆球的回复力变小。 [2]摆球在摆动过程中，只有重力做功，则机械能守恒，则摆球的机械能不变。 [3]单摆的周期 小球从最高点第一次到最低点过程中经历时间为 32．智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。某实验小组用手机、磁化小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度。 (1)将摆线上端固定在支架上，下端系在小球上。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长l（从悬点到摆球的最上端），再用游标卡尺测得摆球的直径为d（读数如图乙所示），摆球的直径为d＝______cm； (2)将磁化小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁性强弱的变化曲线如图丙所示，则单摆的周期为______（用表示）； (3)改变悬线长度l，重复操作，可以得到多组周期T和悬线长度l的值，以______（填“”“T”或““）为纵坐标，以l的值为横坐标，描点作图，若所得图像的斜率为k，则重力加速度的测量值为______； (4)关于该实验的误差分析，下列说法正确的是______（填字母）。 A．小王同学认为手机内也含有铁等金属，由于手机对磁化小球的吸引，会使g的测量值偏大 B．小李同学认为如果摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，会使g的测量值偏大 C．小张同学认为由于测摆长时漏测了摆球的半径，会使g的测量值偏小 【答案】(1)2.125 (2) (3) (4)A 【解析】（1）游标卡尺主尺读数为，游标尺第5条刻线与主尺刻线对齐，故 （2）小球每经过最低点一次，磁感应强度出现一个峰值。一个周期内小球两次经过最低点，相邻两峰间的时间为，故单摆周期 （3）[1][2] 单摆摆长为，由单摆周期公式有 平方并整理得 故应以为纵坐标。图像斜率 解得 （4）A．手机对磁化小球的吸引会使小球经过最低点附近时的回复作用增强，同一摆长下周期偏小，以为纵坐标、为横坐标的图像斜率偏小，由 可知的测量值偏大，故A正确； B．若摆线上端未固定，摆动中可能发生松动，使有效摆长变长，周期变大；在仍按原摆长处理时，的测量值偏小，故B错误； C．由 可知，漏测摆球半径只会改变纵轴截距，不改变斜率，故不影响的测量值，故C错误。 故选A。 13.某同学用如图所示的单摆测重力加速度的实验装置测量重力加速度，测得摆线长为，摆球直径为d，完成n次全振动所用时间为t，则摆长L=___________，重力加速度g=___________（用题中所给字母表示）。 【答案】 【解析】[1]根据题意可知，单摆的摆长为。 [2]由单摆周期公式有 解得 又有， 整理可得 41．如图甲所示，某实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验： (1)下列说法正确的是__________。 A．应选择半径较大、密度较小的摆球 B．为使单摆的周期大一些以方便测量，开始拉开摆球时，应使摆球的摆角大一些 C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端 D．单摆经过平衡位置时开始计时，一次全振动后停止计时，用此时间作为单摆周期 (2)实验中，测量不同摆长及对应的周期，用多组实验数据做出摆长与周期平方的图像如图乙所示，则重力加速度的大小为__________；（取9.86，结果保留3位有效数字） (3)某名同学每次都把摆线长加上小球直径来计算摆长，由此得到的图像是图丙中的__________（填“①”“②”或“③”），该同学测得的重力加速度值与正确操作得到的测量值相比__________（填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】(1)C (2)9.86 (3) ③ 相等 【解析】（1）A．为减小阻力的影响，应选择半径较小、密度较大的摆球，故A错误； B．单摆仅在小角度近似下周期与摆角近似无关，摆角过大时不再做简谐振动，且周期会随摆角增大而变化，故B错误； C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端，故C正确； D．应在摆球摆动到最低点开始计时，并且要记录摆动30次以上的时间来进行计算周期的平均值，故D错误。 故选C。 （2）根据可得 由图可知 解得 （3）[1]同学把小球直径当作半径来计算摆长，则由 可得 由此可得图像是图丙中的③； [2]由于图像的斜率不变，则该同学测得的重力加速度与真实值相比相等。 42．(1)图（甲）是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像。图（乙）是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线表示）。 ①图（乙）的P处堆积的细沙比Q处________（选填“多”、“少”或“一样多”）。 ②经测量发现图（乙）中，若木板1的移动速度，则木板2的移动速度________。 (2)在“探究单摆周期和摆长的关系”的实验中，装置如图所示。 ①某同学改变摆线长度，测量不同摆长情况下单摆的周期，得到多组数据。以为横轴，为纵轴，作出图像。若图线的斜率为，则重力加速度的大小的表达式________（用本小题所给字母表示）。 ②若用游标卡尺测小球的直径时读数如图所示，则________； ③利用该单摆验证机械能守恒。将摆线拉直至水平位置，静止释放，则摆球绕悬点在竖直面内做圆周运动，为了测量小球摆到最低点时的速度，在该位置放置了光电门，小球通过光电门的挡光时间为，则从静止到最低点过程中： （ⅰ）机械能守恒需要验证的表达式为________（用题目③条件中的已知量，，以及当地重力加速度表示） （ⅱ）（单选题）实验发现小球重力势能的减小量小于动能的增加量，则可能的原因是________ A．空气阻力对小球做负功 B．摆线没有拉直时静止释放 C．光电门位置偏低，小球球心没过光电门 【答案】(1) 多 (2) C 【解析】（1）[1]图（乙）中，处对应最大位移处，此时沙摆的速度最小，处对应平衡位置，此时沙摆的速度最大，所以处堆积的细沙比处多； [2]根据单摆周期公式，两次实验在同一地点，且摆长相同，则周期相同，设为，设板长为，则由运动痕迹，第一次摆动，第二次摆动，因此， 联立解得。 （2）[1]由单摆周期公式，变形得 因此图像的斜率 整理得 [2]根据游标卡尺的读数规则，游标卡尺读数为主尺读数与游标尺读数之和。由题图，主尺读数；游标尺为20分度，精度，第7条刻度线对齐。 故小球的直径。 [3]将摆线拉直至水平位置，静止释放，机械能守恒，则重力势能转化为动能 最低点速度通过光电门测量 整理得机械能守恒需要验证的表达式为 [4]重力势能减小量小于动能增加量，说明测得的动能偏大或势能偏小。 A．空气阻力做负功，机械能损失，动能应偏小，故A错误； B．摆线没有拉直时静止释放，运动到绳拉直瞬间会损失部分动能，会导致重力势能减少量大于动能增加量，故B错误； C．光电门位置偏低，小球球心未过光电门时便开始计时，挡光时间偏小，计算速度偏大，动能偏大，故C正确。 故选C。 43．某同学利用如图甲所示的装置来完成“用单摆测量重力加速度”实验，其部分实验步骤如下： ①取一根不可伸长的轻质细线，一端连接一小球，另一端用夹子固定在铁架台上； ②用毫米刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，求出摆长l； ③将小球拉离平衡位置一较小角度后由静止释放，用停表记录单摆做N次全振动的时间t，计算出周期T； ④改变细线长度，多次重复实验，测得多组摆长l与对应的周期T的数据，并在坐标纸上作出l-T2的图像如图丙所示。 回答下列问题： (1)有四名同学的仪器安装与操作过程如下列四幅图所示，其中正确的是（　　） A． B． C． D． (2)该班级还有几名同学实验操作过程中有以下几种做法，其中正确的是（　　） A．测量单摆周期时，摆球在经过最低点时开始计时 B．测量单摆周期时，摆球每经过最低点一次计为一个周期 C．测量单摆摆长时，将小球用摆线悬挂起来，用米尺测量悬挂点到摆球上端点间的长度计为摆长 (3)由图乙可读出小球的直径D=___________mm； (4)由图丙可得重力加速度g=___________m/s2（结果保留三位有效数字）； (5)某次实验中，小球没有严格在同一竖直平面内运动，由此求出的重力加速度数值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】(1)D (2)A (3)18.85 (4)9.86 (5)偏大 【解析】（1）A．图中单摆的最大摆角为，摆角过大，不能近似满足单摆周期公式，故A错误； B．图中沿切向推动摆球，使摆球具有初速度，摆球应从较小偏角处由静止释放，故B错误； C．图中摆球做圆锥摆，没有在同一竖直平面内往复摆动，故C错误； D．悬点固定，摆角较小，摆球由静止释放并在同一竖直平面内摆动，故D正确。 故选D。 （2）A．摆球经过最低点时速度最大，位置容易准确判断，在最低点开始和停止计时可减小计时误差，故A正确； B．摆球在一个周期内两次经过最低点，相邻两次经过最低点所用时间为，只有同方向连续两次经过最低点才对应一个周期，故B错误； C．单摆的摆长是悬点到摆球球心的距离，设摆线长为，摆球直径为，则摆长为，悬点到摆球上端点的距离仅为摆线长，故C错误； 故选A。 （3）游标卡尺上有20个分度，其分度值为 设主尺读数为，与主尺对齐的游标刻线序号为，则直径为 由图可知，游标卡尺第17条刻线与主尺刻线对齐，代入解得 换算为国际单位制有。 （4）在图像中，斜率为 根据单摆周期公式有 整理得 比较图像斜率解得 由图线取点，解得 代入最终表达式解得 （5）小球没有严格在同一竖直平面内运动时，会出现绕竖直方向运动的分量，可近似看成圆锥摆，设摆线与竖直方向的夹角为，摆球做圆周运动的角速度为、半径为，根据竖直方向平衡和水平方向向心力公式分别有， 又有 联立解得 圆锥摆的周期为 由于，故测得的周期小于相同摆长单摆的周期，按单摆公式计算得到 因此测得的重力加速度偏大。 44．某实验小组利用半径相同的钢球A、B碰撞验证动量守恒定律。实验装置如图1所示，光滑水平桌面边缘放置球B，将球A用细线悬挂在水平桌面上方，自然下垂时球A与球B恰好接触，且球心位于同一水平线上。在水平地面上铺一张白纸，白纸上铺放复写纸，记下重垂线所指的位置，已知当地重力加速度为。实验的主要步骤如下： ①测得细线悬挂点到A球上端的距离，用游标卡尺测量A、B球的直径，其示数均如图2所示，用天平测得A、B球的质量分别为、。 ②将球A向左拉起使其悬线与竖直方向的夹角为时由静止释放，与球B碰撞后向左摆，球B落在水平地面上的点，用刻度尺测出桌面的高度和的距离。 回答下列问题： (1)游标卡尺测出的小球直径为______cm。 (2)两小球的质量关系需要满足______（填“＞”或“＜”）。 (3)要验证动量守恒，请说明还需要测出______； (4)本实验还可以计算碰后A球摆动的周期为______（用题中字母表示）。 【答案】(1) (2)＜ (3)碰撞后球A向左摆动的最大摆角 (4) 【解析】（1）该游标卡尺为10分度，精度0.1mm。主尺读数为20mm，游标尺第6条刻度线与主尺对齐，游标尺读数为，总读数为 （2）实验要求A球与B球发生正碰，且A球碰后反弹向左摆(测碰后速度的要求)。根据碰撞过程中动量守恒 机械能守恒 解得，反弹向左摆，则，故 （3）碰撞前A的速度可通过下摆过程机械能守恒，由释放角推导得到；碰撞后B的速度可通过平抛运动规律，由桌面高度和水平位移推导得到。但碰撞后A反向摆动的速度未知，需要额外测量碰后A向左摆动的最大摆角，才能通过机械能守恒求出碰后A的速度，进而验证动量守恒。 （4）单摆的摆长是悬挂点到球心的距离，题中是悬挂点到A球上端的距离，小球直径为，因此实际摆长为，代入单摆周期公式，即可得到结果。 14.实验设计——两个物理量的测量方法。 (1)单摆长度的测量。 用_______测量单摆的线长，用_______测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。 (2)单摆周期的测量。 测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝______。 【答案】(1) 刻度尺 螺旋测微器 (2) 【解析】（1）[1][2] 单摆的摆长是从悬点到摆球球心的距离，用刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量摆球直径；摆线长度与摆球半径之和即为摆长。 （2）[3] 为减小一次全振动计时误差的影响，采用累积法测量单摆次全振动的总时间，则单摆周期为 15.某同学在学校实验室分别用甲、乙两个质量相等的单摆做简谐运动的实验，测得的振动图像如图所示，下列说法中正确的是（     ） A．甲单摆的摆长大于乙单摆的摆长 B．两摆球经过平衡位置时，动能不可能相等 C．乙单摆的振动方程是 D．在任意相同时间内，两摆球的位移之比为 【答案】B 【解析】A．由图可知，由单摆周期公式 可知两单摆的摆长相等，故A错误； B．两摆的角频率相同，振幅分别为、。摆球经过平衡位置时速度达到最大，且故两摆球经过平衡位置时的速度大小不同，动能不可能相等，故B正确； C．将代入题给方程得，与图中乙摆此时不符，故C错误； D．是两摆的振幅之比，但两摆初相位不同。例如时、，同一时刻位移之比不恒为，故D错误。 故选B。 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 单摆（原卷版） 一、单摆模型与回复力 1.如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（     ） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 2.安装吊灯时吊灯在左右轻轻晃动，为了方便研究，把晃动的吊灯看作小角度摆动的单摆，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．摆动过程中，吊灯经过最低点时回复力最大 B．摆动过程中，吊灯经过最低点时向心力最小 C．若只增加吊灯的质量，吊灯摆动的周期保持不变 D．增大初始拉开的偏角（仍满足小角度条件），吊灯摆动的周期变大 3.甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是1:2 B．甲与乙的频率之比是1:2 C．在A、B两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从t=0时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 二、单摆的周期公式 4.云端彩虹秋千位于重庆云阳龙缸景区，高度108米，2020年获吉尼斯世界纪录认证为世界最高框架秋千，某游客以小于摆角体验秋千时，下列说法正确的是（     ） A．游客负重增加时，摆动周期会缩短 B．秋千摆长缩短，其摆动周期也会缩短 C．秋千摆至最低点时，游客处于平衡状态 D．秋千摆至最高点时游客速度、加速度均为零 5.荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动，如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为摆球，忽略空气阻力，在摆动过程中，下列说法正确的是（     ） A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力的作用 B．经过最低点时摆球处于平衡状态 C．摆球做简谐运动时，摆角越小，其运动周期越小 D．远离最低点运动的过程中，摆球机械能不变，而动能减小 6.2026年5月24日神舟二十三号发射成功，3小时之后与空间站组合体进行自主快速交会对接，航天员顺利进驻“天宫”，距2030年前实现载人登陆月球的计划更近一步。假如宇航员在月球表面做如图所示实验：将单摆拉开一小角度后由静止释放摆球，观测到从摆球第1次经过最低点到第n次经过最低点的时间间隔为t，已知摆线的长度为L，摆球的半径远小于摆线长度。月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球的质量M； (3)月球的第一宇宙速度v。 三、用单摆测重力加速度 7.某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器软件并放置在O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度随时间变化曲线如图乙所示，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（     ） A．单摆的周期为 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．绳子的拉力就是小球做单摆运动的回复力 8.某同学利用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度。 (1)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在固定装置的横杆上，如图，则悬挂方式应采用______（选填“甲”或“乙”）； (2)测量中，该同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，其读数为______cm； (3)若在实验过程中，该同学误将摆球61次全振动的时间记为60次，则重力加速度的测量值会______。（选填“偏大”、“偏小”或“不变”） (4)若某同学将实验搬到月球上去进行，改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出的关系如图丙所示，则当地的重力加速度______（保留三位有效数字）。 四、单摆的综合应用 9.“积木摆”通常指用积木搭建的摆动装置，使用积木搭建摆动装置不仅能让学习过程更有趣，还能直观地观察到摆动周期、平衡性以及重力作用等物理现象。一个简单的积木摆如图所示，直径为D的刚性小球在半径为R的固定光滑圆弧面内做往返运动，从小球运动至最低点开始计时，再一次回到最低点所用时间为t，通过这样简单的实验可以测出当地的重力加速度。 (1)在本实验中，R应________（填“远大于”“等于”或“远小于”）D，小球在最高点时，与圆弧圆心的连线和竖直方向的夹角应________（填“小于”或“大于”）。 (2)由实验可测得重力加速度________（用t、R和D表示）。 (3)若小球没到最低点就开始计时，则导致重力加速度的测量值________（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 10.某同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度，如图（a）所示，A为激光笔，B为光传感器。实验过程如下： (1)已知小球的直径为d，用刻度尺测量出同一水平高度的两悬点间的距离s和摆线长l（两摆线等长），则双线摆的等效摆长________（用l、d、s表示）； (2)在垂直于纸面的竖直平面内，将摆球偏离一个较小角度由静止释放，同时启动光传感器，得到光照强度随时间变化的图像如图（b）所示，图中第1个曲线最小值点对应的时刻为，第21个最小值点对应的时刻为，则双线摆的振动周期________（用、表示）； (3)根据实验数据拟合出图像为一条倾斜的直线，斜率，则重力加速度大小________（取，结果保留三位有效数字）。 11.用单摆测量重力加速度的实验中，测出摆球的直径为，摆线长为，单摆完成次全振动的时间为，则单摆的振动周期______；计算重力加速度的表达式______。 12.如图所示，一单摆悬于点O，摆长为L。已知重力加速度为g，不计空气阻力。小球从最高点第一次到最低点过程中，回复力大小______（填“增大”（填“增大"“减小"或“不变"），机械能______（填“增大"“减小"或“不变"），经历时间为______ 13.某同学用如图所示的单摆测重力加速度的实验装置测量重力加速度，测得摆线长为，摆球直径为d，完成n次全振动所用时间为t，则摆长L=___________，重力加速度g=___________（用题中所给字母表示）。 14.实验设计——两个物理量的测量方法。 (1)单摆长度的测量。 用_______测量单摆的线长，用_______测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。 (2)单摆周期的测量。 测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝______。 15.某同学在学校实验室分别用甲、乙两个质量相等的单摆做简谐运动的实验，测得的振动图像如图所示，下列说法中正确的是（     ） A．甲单摆的摆长大于乙单摆的摆长 B．两摆球经过平衡位置时，动能不可能相等 C．乙单摆的振动方程是 D．在任意相同时间内，两摆球的位移之比为 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $