2.4 单摆（分层作业）物理人教版选择性必修第一册

**基本信息** 以“攻核心-拓思维-链高考”分层设计，实现单摆知识从基础概念到高考应用的递进巩固，培养物理观念与科学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |攻核心·技能提升|单摆回复力、周期公式等基础概念|以选择为主，如单摆最低点受力分析题，强化运动和相互作用观念| |拓思维·重难突破|等效摆长、非惯性系等综合应用|含多选与计算，如双线摆周期计算，体现模型建构与科学推理| |链高考·精准破局|高考真题综合考查|直接选用高考题，如振动图像分析题，对接测评需求|

2.4单摆 目录 【攻核心·技能提升】 1 一、单摆及其回复力 1 二、单摆的周期 4 三、等效单摆 7 【拓思维·重难突破】 11 【链高考·精准破局】 13 一、单摆及其回复力 1．某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，则以下说法正确的是（    ） A．时刻摆球速度最大 B．时刻摆球经过最低点 C．单摆振动周期 D．单摆振动周期 2．如图甲是演示简谐运动图象的装置，它由一根较长的细线和一个较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，匀速拉出沙漏下方的木板，漏出的沙在板上会形成一条曲线。通过对曲线的分析，可以确定沙漏的位移随时间变化的规律。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线．经测量发现，若拉动木板1和木板2的速度大小分别为和，则（　　） A． B． C． D． 3．关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是（　　） A．摆球经过平衡位置时所受合力为零 B．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 C．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 4．单摆通过平衡位置时，小球受到的回复力（　　） A．指向地面 B．指向悬点 C．数值为零 D．垂直于摆线 5．如图所示，挖掘机的顶部通过绳索垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑。此装置可视为单摆模型，则大铁球的回复力来源于（　　） A．铁球的重力 B．绳索对铁球的拉力 C．铁球所受到的合力 D．铁球重力沿轨迹切线方向的分力 6．荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动。秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为“摆球”，如图所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．“摆球”所受重力和绳的拉力的合力提供“摆球”做简谐运动的回复力 B．远离最低点运动的过程中，“摆球”的动能逐渐增大 C．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”相对最低点的位移最大 7．关于单摆及其振动，以下认识正确的是（　　） A．将某个物体用绳子悬挂起来就构成一个单摆 B．将小球用长度不变的细长轻绳悬挂起来，就构成一个单摆 C．单摆在任意摆角下，在竖直面内的自由摆动是简谐运动 D．单摆在人的不断敲击下做摆幅越来越大的运动是简谐运动 8．如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在A位置小球受拉力与重力作用，处于非平衡状态 9．摆，是物理学中重要的模型之一。如图所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。图所示为绳中拉力随时间变化的图线，取，求：   （1）摆的振动周期。 （2）摆的最大摆角。 （3）摆球质量。    二、单摆的周期 10．用沙摆演示简谐运动的图像，当沙摆下面的木板被匀速地拉出过程中，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化关系，板上直线OO′表示时间轴，使两个摆在各自的木板上形成曲线。如图中板N1、N2移动的速度v1、v2的关系为3v1=4v2。则两曲线代表的沙摆各自摆长L1、L2的关系为（　　）    A．L1∶L2=4∶9 B．L1∶L2=9∶4 C．L1∶L2=2∶3 D．L1∶L2=3∶2 11．某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 12．如图所示，用两根长度都为的细绳悬挂一个小球A，绳与水平方向的夹角为。使球A垂直于纸面做摆角小于的摆动，当它第1次经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，当A球第3次经过最低点时B球恰击中A球，则B球下落的高度为（　　） A． B． C． D． 13．如图所示，轻绳下端系一小球（可看作质点），上端固定在点。在点正下方点有一根钉子，两点的距离为轻绳长度的倍。现将小球向左拉开微小角度，由静止释放，此后运动过程中轻绳与竖直方向的夹角始终小于，从小球第1次通过最低点开始计时，至第41次经过最低点用时30s。不计空气阻力，当地重力加速度，则轻绳的长度约为（　　） A． B． C． D． 14．如图，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为，当地的重力加速度为。摆钟的秒针、分针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（　　） A．秒针的角速度是时针的360倍 B．若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟 C．摆锤在最低点时速度最大，加速度为零 D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢 15．如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。此装置可视为单摆，注射器的运动可看作简谐运动。某次实验中，拖动木板的速度大小约为0.2m/s，得到长度约为0.8m的一段如图乙所示图样。下列判断正确的是（　　） A．注射器摆动的周期约为2s B．细线的长度约为2m C．图乙中的曲线是注射器的运动轨迹 D．注射器摆动的周期与拖动木板的速度有关 16．（多选）在天花板上固定一条不可伸长的细线，细线下端挂一个金属小球，这样就制成了一个单摆。现把小球拉起一个角度（小于5°）由静止释放（保持细线伸直），小球在竖直面内做简谐运动，其振动图像如图所示。计算中取g=10m/s2，，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为100cm B．单摆的摆长为400cm C．小球释放时细线与竖直方向的夹角为2.4° D．小球释放时细线与竖直方向的夹角为4.8° 17．（多选）如图甲所示，点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻（g取）。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为 B．小球的质量为 C．小球在最低点的速度大约为 D．小球运动到点时回复力为0 18．在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为_____；若甲单摆在t=0.4s才开始计时，则甲单摆的初相位φ0=_____。 三、等效单摆 19．如图所示，两根不可伸长的轻质线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上的A、B两点，组成一个双线摆。两根线的长度均为，系统静止时线与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g．现将小球向纸面外拉动一很小的幅度（球心与A、B仍共面）后由静止释放，小球开始绕A、B所在水平线摆动，若不计空气阻力，则该双线摆的周期为：（　　） A． B． C． D． 20．“双线摆”如图甲所示，双线长均为L，两线夹角为，摆球质量为m，给摆球一个垂直于两线平面方向的较小速度，使得摆球以较小摆角（小于5°）摆动。“杆线摆”结构如图乙所示，长为L的轻杆一端通过活动绞链与立柱垂直连接，另一端安装质量为m的摆球，细线一端拉住摆球，另一端系在立柱上的A点，给摆球一垂直于纸面的较小速度，使轻杆垂直于立柱来回摆动，摆动角度小于5°，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。已知，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．图甲中摆球的周期为 B．图乙中摆球的摆动周期为 C．图乙中摆球在摆动过程中细线上的拉力大小 D．若增大细线长度使A点上移，则摆球运动周期增大 21．如图所示，长度均为的两细绳下端系在长木板两端，细绳上端系在水平横梁上，木板上坐有小孩，系统静止时细绳与横梁的夹角为，现向内推两小孩一小段距离后由静止释放，重力加速度为，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．向内推动距离越大，摆动周期越大 B．木板上坐小孩人数越多，摆动周期越大 C．若小孩视为质点，摆动周期为 D．若小孩视为质点，摆动周期为 22．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（　　） A． B． C． D． 23．如图所示，表面光滑的斜面固定在水平桌面上，将摆线一端固定在斜面上并使其与斜面平行。现拉开摆球使轻绳刚好绷直，摆球由静止释放后贴着斜面做简谐运动。已知摆线长为L，摆的周期为T，当地的重力加速度为g，斜面的倾角为，下列说法正确的是（　　） A．摆球在最高点的加速度，在平衡位置的加速度为零 B．只增大摆球的质量，摆球运动的周期将增大 C．若增大摆长的同时减小斜面的倾角，摆的周期可能不变 D．通过计算可知摆球的半径为 24．某同学因疫情居家学习期间，偶然发现一根不可伸长的细线垂到窗沿，他想利用单摆原理粗测细线的总长度。先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗户上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m。他打开窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内作小角度摆动，如图所示。从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第21次通过B点共用时24s，，。由以上数据可计算细线的长度约为（　　） A．1.4m B．2.0m C．2.8m D．4.0m 25．如图所示，两个半径大小相同、质量不同的小球m1和m2（m1<m2）分别放在光滑圆弧（弧长远小于半径）最低点O和离O点一小段距离处，t=0时刻将小球m2由静止释放，经过一段时间二者发生碰撞，碰后两小球未离开轨道。已知圆弧半径R=1m，当地的重力加速度大小g=9.8m/s2，，两小球均可看作质点，当两小球第二次碰撞时（　　） A．与第一次碰撞时间间隔为1s B．与第一次碰撞时间间隔为2s C．在O点左侧碰 D．在O点右侧碰 26．如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 27．如图所示，小球在半径为的光滑弧面上的之间往复运动。若弧长，下面说法正确的是（　　） A．小球在之间的运动可看作简谐运动 B．小球从运动到的时间为 C．小球从运动到的过程中回复力先变大后变小 D．降低小球释放的高度，运动周期将变小 28．（多选）惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角为的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，由静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为。摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，摆球静止在最低点B时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力大小为。下列选项正确的是（　　） A．在图2的测量过程中，满足的关系 B．在图2的测量过程中，满足的关系 C．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 D．多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 29．如图所示，水平面上固定光滑圆弧面ABD，水平宽度为L，高为h，且满足L≫h，圆弧面上放一光滑平板ACD，D点与水平低面相切，小球从顶端A处由静止释放沿平板从A点滑到D点的时间为4s，若撤去平板ACD，仍将小球从A点由静止释放，则小球沿沿弧面滑到底端D点经历的时间为（　　） A．3.14s B．2.82s C．4s D．4.2s 30左图为小朋友在玩秋千，为了方便研究，可以将其简化为右图模型。下列说法正确的是（　　） A．秋千在B、C两点速度最大 B．秋千在 B、C两点加速度指向悬挂点 C．若秋千摆动周期为T，为使秋千越摆越高，站地上的小朋友可以每隔T推秋千一次 D．绳子在 B、C两点拉力最大 31．如图所示，一个质量为的带正电小球，用长为的绝缘细线悬挂起来，构成一个单摆。把小球向右拉高一个小角度由静止释放，测得单摆周期为，若在空间中施加一个竖直向下的匀强电场，测得单摆周期为，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 32．（多选）如图所示，半径为的四分之一圆弧轨道和固定在水平面上并与水平轨道平滑连接，轨道面均光滑。将一质量为的滑块1从轨道上端的点静止释放，并与静止在水平轨道上质量也为的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，然后滑上轨道。不计空气阻力，滑块1、2、3均可看成质点，重力加速度为，则（　　） A．滑块1从A点滑到B点过程中，重力的功率先变大再变小 B．滑块1从A点滑到B点的时间为 C．滑块3在轨道CD上能上升的最大高度为0.5R D．滑块3在圆弧轨道最低点C受到的弹力大小为3mg 33．如图所示，将一摆长为l，摆球质量为m的单摆悬挂在O点。拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球将沿着平衡位置为中点的一段圆弧做往复运动。摆球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求单摆摆动任一角度θ时的回复力大小F； (2)证明单摆的运动是简谐运动； (3)若将上述单摆悬挂在升降机顶端，当升降机以加速度a加速下降时，拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球相对于升降机是否做简谐运动，若做简谐运动请写出其振动的周期T。 34．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零 C．摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5m，A、B点的速度相同 35．（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 36．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（   ） A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零 B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零 C．小球甲、乙的振动周期之比为 D．小球丙、丁的摆长之比为 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4单摆 目录 【攻核心·技能提升】 1 一、单摆及其回复力 1 二、单摆的周期 5 三、等效单摆 11 【拓思维·重难突破】 20 【链高考·精准破局】 23 一、单摆及其回复力 1．某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，则以下说法正确的是（    ） A．时刻摆球速度最大 B．时刻摆球经过最低点 C．单摆振动周期 D．单摆振动周期 【答案】B 【详解】A．时刻摆球受拉力最小，则摆球在最大位移处，速度最小，故A错误； B．时刻摆球受拉力最大，则摆球经过最低点，故B正确； CD．由图可知摆球的周期为 s=1.6s 故CD错误； 故选B。 2．如图甲是演示简谐运动图象的装置，它由一根较长的细线和一个较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，匀速拉出沙漏下方的木板，漏出的沙在板上会形成一条曲线。通过对曲线的分析，可以确定沙漏的位移随时间变化的规律。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线．经测量发现，若拉动木板1和木板2的速度大小分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】木板做匀速运动，设振动周期为T，由图乙可得 可得 故选B。 3．关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是（　　） A．摆球经过平衡位置时所受合力为零 B．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 C．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 【答案】B 【详解】A．摆球经过平衡位置时回复力为0，但根据圆周运动的规律可知单摆此时所受合力不为零，故A错误； BD．根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故B正确，D错误； C．摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，故C错误。 故选B。 4．单摆通过平衡位置时，小球受到的回复力（　　） A．指向地面 B．指向悬点 C．数值为零 D．垂直于摆线 【答案】C 【详解】单摆通过平衡位置时，小球受到的回复力为0。 故选C。 5．如图所示，挖掘机的顶部通过绳索垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑。此装置可视为单摆模型，则大铁球的回复力来源于（　　） A．铁球的重力 B．绳索对铁球的拉力 C．铁球所受到的合力 D．铁球重力沿轨迹切线方向的分力 【答案】D 【详解】大铁球的回复力来源于铁球重力沿轨迹切线方向的分力，故D正确，ABC错误。 故选D。 6．荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动。秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为“摆球”，如图所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．“摆球”所受重力和绳的拉力的合力提供“摆球”做简谐运动的回复力 B．远离最低点运动的过程中，“摆球”的动能逐渐增大 C．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”相对最低点的位移最大 【答案】D 【详解】A．“摆球”所受重力在垂直摆线方向的分力提供“摆球”做简谐运动的回复力，故A错误； B．远离最低点运动的过程中，动能减小，故B错误； C．经过最低点时“摆球”有向心加速度，不是处于平衡状态，故C错误； D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”到达最大位移处，相对最低点的位移最大，故D正确。 故选D。 7．关于单摆及其振动，以下认识正确的是（　　） A．将某个物体用绳子悬挂起来就构成一个单摆 B．将小球用长度不变的细长轻绳悬挂起来，就构成一个单摆 C．单摆在任意摆角下，在竖直面内的自由摆动是简谐运动 D．单摆在人的不断敲击下做摆幅越来越大的运动是简谐运动 【答案】B 【详解】AB．单摆是一个理想化模型，其特点是悬挂小球的细线长度不可改变，细线的质量与小球的质量相比可忽略，小球的直径与细线的长度相比也可忽略，故A错误，B正确； CD．单摆只有在很小的摆角情况下做简谐运动，而在附加敲击力作用情况下，振动的回复力不再满足做简谐运动的条件，不是简谐运动，故CD错误。 故选B。 8．如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在A位置小球受拉力与重力作用，处于非平衡状态 【答案】D 【详解】A．小球在运动过程中只受到重力和绳子的拉力，向心力和回复力都是效果力，故A错误； B．在B位置小球受到重力和绳子的拉力，且 故在B位置小球不处于平衡状态，故B错误； C．小球从C到B的过程中，小球做加速运动，则在B位置速度最大，向心力最大，故C错误； D．在A位置小球受拉力与重力作用，它们的合力提供向心力，故小球处于非平衡状态，故D正确。 故选D。 9．摆，是物理学中重要的模型之一。如图所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。图所示为绳中拉力随时间变化的图线，取，求：   （1）摆的振动周期。 （2）摆的最大摆角。 （3）摆球质量。    【答案】（1）2.16s；（2）60°；（3）0.25kg 【详解】（1）由对称性可知，小球在A、C两点拉力大小相等，但一个周期是A到C再回到A，故周期摆球 （2）（3）在A点时有 在B点时有 从A点到B点由动能定理可得 联立得 二、单摆的周期 10．用沙摆演示简谐运动的图像，当沙摆下面的木板被匀速地拉出过程中，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化关系，板上直线OO′表示时间轴，使两个摆在各自的木板上形成曲线。如图中板N1、N2移动的速度v1、v2的关系为3v1=4v2。则两曲线代表的沙摆各自摆长L1、L2的关系为（　　）    A．L1∶L2=4∶9 B．L1∶L2=9∶4 C．L1∶L2=2∶3 D．L1∶L2=3∶2 【答案】B 【详解】根据图示有 根据单摆周期公式有， 解得 故选B。 11．某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 【答案】B 【详解】A．一个周期内小球两次经过最低点，小球经过最低点时磁感应强度最大，根据图乙所示可知，单摆的周期为2t0，故A错误； BC．小球做单摆运动，根据周期公式有 可知周期与摆幅无关，解得重力加速度为，故B正确，C错误； D．小球经过最低点时，速度最大，小球的运动方向发生改变，合力提供向心力，合力不为零，故D错误。 故选B。 12．如图所示，用两根长度都为的细绳悬挂一个小球A，绳与水平方向的夹角为。使球A垂直于纸面做摆角小于的摆动，当它第1次经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，当A球第3次经过最低点时B球恰击中A球，则B球下落的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球A做简谐运动的摆长为 当它第1次经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，当A球第3次经过最低点时B球恰击中A球，该过程所用时间为 则B球下落的高度为 故选A。 13．如图所示，轻绳下端系一小球（可看作质点），上端固定在点。在点正下方点有一根钉子，两点的距离为轻绳长度的倍。现将小球向左拉开微小角度，由静止释放，此后运动过程中轻绳与竖直方向的夹角始终小于，从小球第1次通过最低点开始计时，至第41次经过最低点用时30s。不计空气阻力，当地重力加速度，则轻绳的长度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从小球第一次通过最低点开始计时，小球第41次经过最低点用时30s，所以有 根据题意 解得 故选C。 14．如图，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为，当地的重力加速度为。摆钟的秒针、分针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（　　） A．秒针的角速度是时针的360倍 B．若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟 C．摆锤在最低点时速度最大，加速度为零 D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢 【答案】B 【详解】A．秒针转动一周为60s，时针转动一周为12小时=12×3600秒；根据可知，秒针的角速度是时针的720倍，选项A错误； B．若将摆钟移到月球上，重力加速度减小，根据 可知，周期变大，则摆钟走得更慢，则需要减小摆长，即需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟，选项B正确； C．摆锤在最低点时速度最大，但向心加速度不为零，即加速度不为零，选项C错误； D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，等效加速度g等变大，则周期变小，摆钟走得更快，选项D错误。 故选B。 15．如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。此装置可视为单摆，注射器的运动可看作简谐运动。某次实验中，拖动木板的速度大小约为0.2m/s，得到长度约为0.8m的一段如图乙所示图样。下列判断正确的是（　　） A．注射器摆动的周期约为2s B．细线的长度约为2m C．图乙中的曲线是注射器的运动轨迹 D．注射器摆动的周期与拖动木板的速度有关 【答案】A 【详解】A．由图乙可知注射器摆动的周期约为，选项A正确； B．根据 可得，即细线的长度约为1m，选项B错误； C．注射器在平衡位置附近振动，则图乙中的曲线不是注射器的运动轨迹，选项C错误； D．注射器摆动的周期是由单摆本身决定的，与拖动木板的速度无关，选项D错误。 故选A。 16．（多选）在天花板上固定一条不可伸长的细线，细线下端挂一个金属小球，这样就制成了一个单摆。现把小球拉起一个角度（小于5°）由静止释放（保持细线伸直），小球在竖直面内做简谐运动，其振动图像如图所示。计算中取g=10m/s2，，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为100cm B．单摆的摆长为400cm C．小球释放时细线与竖直方向的夹角为2.4° D．小球释放时细线与竖直方向的夹角为4.8° 【答案】AC 【详解】     AB．单摆的周期为T=2s，根据 可得摆长为L=100cm，A正确，B错误； CD．根据 其中A=4cm，可知小球释放时细线与竖直方向的夹角为θ=2.4°，C正确，D错误。 故选AC。 17．（多选）如图甲所示，点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻（g取）。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为 B．小球的质量为 C．小球在最低点的速度大约为 D．小球运动到点时回复力为0 【答案】AD 【详解】A．由图可知单摆的周期为，根据单摆周期公式 解得单摆的摆长为 故A正确； BC．小球在最高点时 小球在最低点时 从最高点到最低点根据机械能守恒定律 解得， 故BC错误； D．小球运动的到B点时合外力垂直速度方向，速度最大，回复力为0，故D正确。 故选AD。 18．在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为_____；若甲单摆在t=0.4s才开始计时，则甲单摆的初相位φ0=_____。 【答案】 4∶9 π（−π等均可） 【详解】[1]由图可知T甲=0.8s，T乙=1.2s，根据 解得 可得 [2]若甲单摆在t=0.4s才开始计时，此时甲单摆从平衡位置沿负方向运动，设单摆的振动方程为 其中 当t=0.4s时x=0，则有 解得 三、等效单摆 19．如图所示，两根不可伸长的轻质线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上的A、B两点，组成一个双线摆。两根线的长度均为，系统静止时线与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g．现将小球向纸面外拉动一很小的幅度（球心与A、B仍共面）后由静止释放，小球开始绕A、B所在水平线摆动，若不计空气阻力，则该双线摆的周期为：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，该双线摆的摆长为 该双线摆的周期为 故选D。 20．“双线摆”如图甲所示，双线长均为L，两线夹角为，摆球质量为m，给摆球一个垂直于两线平面方向的较小速度，使得摆球以较小摆角（小于5°）摆动。“杆线摆”结构如图乙所示，长为L的轻杆一端通过活动绞链与立柱垂直连接，另一端安装质量为m的摆球，细线一端拉住摆球，另一端系在立柱上的A点，给摆球一垂直于纸面的较小速度，使轻杆垂直于立柱来回摆动，摆动角度小于5°，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。已知，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．图甲中摆球的周期为 B．图乙中摆球的摆动周期为 C．图乙中摆球在摆动过程中细线上的拉力大小 D．若增大细线长度使A点上移，则摆球运动周期增大 【答案】C 【详解】A．由甲中摆球的摆线长度为：，结合单摆的周期公式 代入角度，可得 故A错误； C．图乙中摆球在平衡位置静止时，在垂直于斜面方向上的合力为零， 由图可知：FAsinθ=mgcosθ 即可得细线的拉力为： 故C正确； B．结合该等效单摆的摆长和加速度关系，可知图乙的摆球的周期为 解得： 故B错误； D．由摆球的周期公式 可知细线长度对摆球的运动周期无影响，故D错误。 故选C。 21．如图所示，长度均为的两细绳下端系在长木板两端，细绳上端系在水平横梁上，木板上坐有小孩，系统静止时细绳与横梁的夹角为，现向内推两小孩一小段距离后由静止释放，重力加速度为，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．向内推动距离越大，摆动周期越大 B．木板上坐小孩人数越多，摆动周期越大 C．若小孩视为质点，摆动周期为 D．若小孩视为质点，摆动周期为 【答案】D 【详解】AB．根据单摆的周期公式，单摆的周期与振幅以及摆球的质量无关，该装置可等效为单摆，则周期与向内推动距离以及木板上坐小孩人数均无关，AB错误； CD．若小孩视为质点，等效摆长为，则摆动周期为，C错误，D正确。 故选D。 22．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单摆甲所受的库仑力和单摆丙受的洛伦兹力总是沿半径方向，不影响回复力，则 根据等效重力加速度的求法，在平衡位置处，对乙有 解得 则有 对丁有 则 故 综上比较四个单摆的周期可知 故选D。 23．如图所示，表面光滑的斜面固定在水平桌面上，将摆线一端固定在斜面上并使其与斜面平行。现拉开摆球使轻绳刚好绷直，摆球由静止释放后贴着斜面做简谐运动。已知摆线长为L，摆的周期为T，当地的重力加速度为g，斜面的倾角为，下列说法正确的是（　　） A．摆球在最高点的加速度，在平衡位置的加速度为零 B．只增大摆球的质量，摆球运动的周期将增大 C．若增大摆长的同时减小斜面的倾角，摆的周期可能不变 D．通过计算可知摆球的半径为 【答案】D 【详解】A．斜面上的单摆的回复力由重力的下滑分力的切向分量提供，重力的下滑分力为，下滑分力的切线分力即回复力为，根据牛顿第二定律 解得摆球在最高点的加速度 摆球在平衡位置时回复力为零，由于摆球有向心加速度，摆球在平衡位置的加速度不为零，故A错误； BC．等效重力加速度为，根据单摆的周期公式有 只增大摆球的质量，摆球运动的周期不变，若增大摆长的同时减小斜面的倾角，摆的周期将变大，故BC错误； D．等效重力加速度为，根据单摆的周期公式有 又 解得摆球的半径为 故D正确。 故选D。 24．某同学因疫情居家学习期间，偶然发现一根不可伸长的细线垂到窗沿，他想利用单摆原理粗测细线的总长度。先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗户上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m。他打开窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内作小角度摆动，如图所示。从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第21次通过B点共用时24s，，。由以上数据可计算细线的长度约为（　　） A．1.4m B．2.0m C．2.8m D．4.0m 【答案】B 【详解】设细线的长度为L，球心到窗上沿的距离为d，由题意可知，该单摆振动周期为 由单摆的周期公式可得 带入数据解得 故选B。 25．如图所示，两个半径大小相同、质量不同的小球m1和m2（m1<m2）分别放在光滑圆弧（弧长远小于半径）最低点O和离O点一小段距离处，t=0时刻将小球m2由静止释放，经过一段时间二者发生碰撞，碰后两小球未离开轨道。已知圆弧半径R=1m，当地的重力加速度大小g=9.8m/s2，，两小球均可看作质点，当两小球第二次碰撞时（　　） A．与第一次碰撞时间间隔为1s B．与第一次碰撞时间间隔为2s C．在O点左侧碰 D．在O点右侧碰 【答案】A 【详解】碰撞后，两个小球做简谐运动，周期为，运动时间与质量和速度无关，所以两球总是回到平衡位置发生碰撞。时间间隔为 故选A。 26．如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 【答案】B 【详解】A．双线摆可等效为单摆，在摆角较小时，根据周期公式有 可知周期与摆角大小无关，故A错误； B．当计数器显示计数次数为时，小球经过平衡位置次，则有 解得单摆的周期，故B正确； C．双线摆的等效摆长为，故C错误； D．由静止释放瞬间，小球偏离平衡位置，即小球相对于平衡位置的位移不等于0，则回复力不为零，故D错误。 故选B。 27．如图所示，小球在半径为的光滑弧面上的之间往复运动。若弧长，下面说法正确的是（　　） A．小球在之间的运动可看作简谐运动 B．小球从运动到的时间为 C．小球从运动到的过程中回复力先变大后变小 D．降低小球释放的高度，运动周期将变小 【答案】A 【详解】A C．设小球偏离平衡位置的位置为x,此时的偏角为，重力沿切线方向的分力充当回复力为 故小球从运动到的过程中回复力先变小后变大 因，故很小，有 又 故（） 故小球在之间的运动可看作简谐运动，故A正确，B错误； B．小球从运动到的时间是周期的一半为，故C错误； D．在的情况下，周期与偏角或者振幅无关，降低小球释放的高度，运动周期不变，故D错误。 故选A。 28．（多选）惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角为的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，由静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为。摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，摆球静止在最低点B时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力大小为。下列选项正确的是（　　） A．在图2的测量过程中，满足的关系 B．在图2的测量过程中，满足的关系 C．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 D．多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 【答案】AC 【详解】AB．摆球静止在最低点B时，则 在最高点时 摆到最低点时 其中从最高点到最低点满足 联立解得，A正确，B错误； C．因 可得 可知多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度，C正确； D．多次改变摆角，只要得出 即就可以验证该结论成立，D错误。 故选AC。 29．如图所示，水平面上固定光滑圆弧面ABD，水平宽度为L，高为h，且满足L≫h，圆弧面上放一光滑平板ACD，D点与水平低面相切，小球从顶端A处由静止释放沿平板从A点滑到D点的时间为4s，若撤去平板ACD，仍将小球从A点由静止释放，则小球沿沿弧面滑到底端D点经历的时间为（　　） A．3.14s B．2.82s C．4s D．4.2s 【答案】A 【详解】设该圆弧对应的半径为R，小球沿光滑圆弧面ABD运动到底端的时间相当于摆长为R的单摆周期的，则有 小球沿光滑斜面ACD滑到D的时间为，根据等时圆原理可得 由题意可知 所以 故选A。 30左图为小朋友在玩秋千，为了方便研究，可以将其简化为右图模型。下列说法正确的是（　　） A．秋千在B、C两点速度最大 B．秋千在 B、C两点加速度指向悬挂点 C．若秋千摆动周期为T，为使秋千越摆越高，站地上的小朋友可以每隔T推秋千一次 D．绳子在 B、C两点拉力最大 【答案】C 【详解】A．秋千在最低点O点的速度最大，在B、C两点的速度为零，故A错误； B．由题可知，秋千在 B、C两点合力指向沿切线斜向下，由牛顿第二定律，则加速度与合力方向相同，即沿所在点的切线斜向下，而不是指向悬挂点，故B错误； C．根据受迫振动的特点可知，秋千摆动周期为T，欲使秋千越摆越高，则站地上的小朋友可以每隔nT（n=1，2，……）推秋千一次，故C正确； D．设秋千在最高点时，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则 在最高点，沿绳方向，有 从在最高点到最低点，由动能定理，有 在最低点，有 解得 可得 则F2>F1，即绳子在O点拉力最大，在B、C两点拉力最小，故D错误。 故选C。 31．如图所示，一个质量为的带正电小球，用长为的绝缘细线悬挂起来，构成一个单摆。把小球向右拉高一个小角度由静止释放，测得单摆周期为，若在空间中施加一个竖直向下的匀强电场，测得单摆周期为，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】当单摆所处系统中无竖直向下的匀强电场时，单摆的周期为 当单摆处于竖直向下的匀强电场中时，其等效重力加速度为 则单摆的周期 故选A。 32．（多选）如图所示，半径为的四分之一圆弧轨道和固定在水平面上并与水平轨道平滑连接，轨道面均光滑。将一质量为的滑块1从轨道上端的点静止释放，并与静止在水平轨道上质量也为的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，然后滑上轨道。不计空气阻力，滑块1、2、3均可看成质点，重力加速度为，则（　　） A．滑块1从A点滑到B点过程中，重力的功率先变大再变小 B．滑块1从A点滑到B点的时间为 C．滑块3在轨道CD上能上升的最大高度为0.5R D．滑块3在圆弧轨道最低点C受到的弹力大小为3mg 【答案】AD 【详解】A．滑块1从轨道上端的点静止释放，此时重力的功率为零。当滑块1滑到B点时，速度沿水平向右，与重力垂直，此时重力的功率也为零。故滑块1从A点滑到B点过程中，重力的功率先变大再变小，A正确； B．若把滑块1的运动看成单摆，则滑块1从A点滑到B点的时间为 解得 但滑块1运动过程的等效摆角过大，不能看成单摆，B错误； C．滑块1从A点滑到B点过程中，由动能定理有 1、2发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律有 对滑块3，由动能定理有 解得，C错误； D．滑块3在圆弧轨道最低点C，由牛顿第二定律有 解得，D正确。 故选AD。 33．如图所示，将一摆长为l，摆球质量为m的单摆悬挂在O点。拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球将沿着平衡位置为中点的一段圆弧做往复运动。摆球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求单摆摆动任一角度θ时的回复力大小F； (2)证明单摆的运动是简谐运动； (3)若将上述单摆悬挂在升降机顶端，当升降机以加速度a加速下降时，拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球相对于升降机是否做简谐运动，若做简谐运动请写出其振动的周期T。 【答案】(1) (2) (3)是做简谐运动， 【详解】（1）摆球所受回复力为重力在运动轨迹切线方向的分力，摆角为时，其大小为 （2）当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，相对位置O的位移x大小与弧长相等，有 回复力大小可表示为 由于回复力方向与位移x方向相反，故回复力与位移关系可表示为 其中是定值，故在摆角很小时，摆球的运动是简谐运动。 （3）若将上述单摆悬挂在升降机顶端，当升降机以加速度a加速下降时，其等效重力 用第二问知识可类比推出回复力与位移关系可表示为，故在摆角很小时，摆球的运动是简谐运动。 其振动的周期 34．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零 C．摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5m，A、B点的速度相同 【答案】C 【详解】由单摆的振动图像可知振动周期为，由单摆的周期公式得摆长为 x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。 综上所述，可知C正确，故选C。 35．（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 【答案】B 【详解】A．根据单摆的周期公式可知周期与摆角无关，故A错误； CD．同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图 可得 解得 故CD错误； B．根据几何知识可知摆长为 故周期为 故B正确。 故选B。 36．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（   ） A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零 B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零 C．小球甲、乙的振动周期之比为 D．小球丙、丁的摆长之比为 【答案】C 【详解】根据单摆周期公式 可知 CD．设甲的周期为，根据题意可得 可得，， 可得， 根据单摆周期公式 结合 可得小球丙、丁的摆长之比 故C正确，D错误； A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过（）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位移最大，根据可知此时加速度最大，故A错误； B．根据上述分析可得 小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为（即）可知此时小球乙经过平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B错误。 故选C。 / 学科网（北京）股份有限公司 $