2.2 简谐运动的回复力和能量（重难点训练）物理沪科版选择性必修第一册

**基本信息** 以回复力公式为核心，系统构建动力学分析与能量转化的解题体系，通过典型题型实现概念理解到综合应用的递进，培养运动和相互作用观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回复力的理解与计算|1例题+3变式|F=-kx定义及判据应用|从回复力概念到判据推导| |简谐运动的动力学分析|1例题+4变式|a=-kx/m与T=2π√(m/k)的综合分析|由回复力延伸至加速度、周期的动力学关系| |简谐运动中的能量转化|1例题+3变式|机械能守恒与能量转化规律|基于动力学特征的能量转化分析|

2.2 简谐运动的回复力和能量（题型突破） 题型01 回复力的理解与计算 题型02 简谐运动的动力学分析 题型03 简谐运动中的能量转化 ▌题型01 回复力的理解与计算 1．回复力：振动物体受到的总是指向平衡位置的力，方向与位移方向相反。 2．表达式：F = −kx，k为比例系数（弹簧振子中即弹簧的劲度系数），负号表示方向与位移相反。 3．简谐运动的判据：运动方向上只受回复力作用，且回复力与位移大小成正比。 4．回复力按效果命名，可以是一个力、合力或分力；平衡位置处回复力为零但合外力未必为零。 1.(多选)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置下方 C．从至，手机的动能减小 D．a随t变化的关系式为 【举一反三】 2.一质点做简谐运动的振动方程为（cm），下列说法正确的是（　　） A．初相位为0 B．振幅为5cm，周期为0.4s C．时间时，质点位于平衡位置 D．时间时，质点运动速度最大 3.关于简谐运动的下列说法中，正确的是（　　） A．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态 B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同 C．水平弹簧振子向左运动时，加速度方向跟速度方向相同，向右运动时，加速度方向跟速度方向相反 D．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同 ▌题型02 简谐运动的动力学分析 1．加速度：由F = ma与F = −kx得a = −kx/m，方向始终指向平衡位置。 2．最大位移处：位移最大、回复力最大、加速度最大、速度为零。 3．平衡位置处：位移为零、回复力为零、加速度为零、速度最大。 4．固有周期：T = 2π√(m/k)，只由m与k决定，与振幅无关。 4.(多选)方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像可知下列说法正确的是（　　） A．小球偏离平衡位置的最大距离为10cm B．1 s末到5s末小球的路程为40cm C．2.5s末和4.5s末小球的位移相等，运动方向也相同 D．小球2s完成一次往复运动 【举一反三】 5.如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A． B． C． D． 6.(多选)如图所示为一质点做简谐运动的图像，则下列结论正确的是（     ） A．质点速度最大的时刻分别是0 s、0.4 s B．质点加速度负向最大的时刻分别是0.2 s、0.6 s C．质点的回复力方向由正变负的时刻是0.3 s、0.7 s D．振动系统势能最大、加速度正向最大的时刻是0.2 s、0.6 s 7.(多选)如图甲所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及固定底座组成。将弹簧小人静置于桌面上，现用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，在头部通过平衡位置时开始计时，头部相对平衡位置的位移随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．0~0.4s内，头部的位移先增大后减小 B．s和s时，头部的加速度不同 C．0.2~0.6s内，头部的速度大小逐渐增大 D．头部在运动的过程中机械能是不变的 ▌题型03 简谐运动中的能量转化 1．动能与速度有关，弹性势能与位移大小有关，二者在振动中相互转化。 2．只有弹力做功时机械能守恒：E = Ek + Ep为定值。 3．机械能既等于平衡位置的动能，也等于最大位移处的弹性势能。 4．振幅越大，机械能越大；动能与势能的变化周期均为T/2。 8.一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（     ） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 【举一反三】 9.图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（     ） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 10.(多选)如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于桌面上，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座恰好未能离开地面，不计空气阻力，头部和底座质量相同，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒 B．头部在A点时的加速度大小为2 g C．头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐增大 D．头部从B点向O点运动过程中，整个装置的弹性势能与重力势能之和逐渐减小 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 简谐运动的回复力和能量（题型突破） 题型01 回复力的理解与计算 题型02 简谐运动的动力学分析 题型03 简谐运动中的能量转化 ▌题型01 回复力的理解与计算 1．回复力：振动物体受到的总是指向平衡位置的力，方向与位移方向相反。 2．表达式：F = −kx，k为比例系数（弹簧振子中即弹簧的劲度系数），负号表示方向与位移相反。 3．简谐运动的判据：运动方向上只受回复力作用，且回复力与位移大小成正比。 4．回复力按效果命名，可以是一个力、合力或分力；平衡位置处回复力为零但合外力未必为零。 1.(多选)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置下方 C．从至，手机的动能减小 D．a随t变化的关系式为 【答案】BCD 【解析】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为，A错误； B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，弹簧的拉力大于重力，则手机位于平衡位置下方，B正确； C．由题图乙知，从至，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C正确； D．由题图乙知， 则角频率 则a随t变化的关系式为，D正确。 故选BCD。 【举一反三】 2.一质点做简谐运动的振动方程为（cm），下列说法正确的是（　　） A．初相位为0 B．振幅为5cm，周期为0.4s C．时间时，质点位于平衡位置 D．时间时，质点运动速度最大 【答案】B 【解析】A．简谐运动正弦形式的标准振动方程为，其中A为振幅，为角频率，为初相位，所以初相位为，故A项错误； B．结合题意可知，其振幅为5cm，圆频率为5π，则有 解得，故B项正确； C．将代入简谐运动的振动方程，解得 即此时质点位于负向最大位移处，其不在平衡位置，故C项错误； D．简谐运动中质点在最大位移处速度为0，在平衡位置处速度最大，而由之前的分析可知，在时，质点位于负向最大位移处，此时质点速度最小，故D项错误。 故选B。 3.关于简谐运动的下列说法中，正确的是（　　） A．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态 B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同 C．水平弹簧振子向左运动时，加速度方向跟速度方向相同，向右运动时，加速度方向跟速度方向相反 D．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同 【答案】D 【解析】A．处于平衡位置，物体的回复力一定为零，但合力不一定为零，也不一定处于平衡状态，故A错误； B．根据可知，位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向可能相同，也可能相反，故B错误； C．水平弹簧振子向平衡位置运动时，加速度方向跟速度方向相同；向远离平衡位置方向运动时，加速度方向跟速度方向相反，故C错误； D．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同，故D正确。 故选D。 ▌题型02 简谐运动的动力学分析 1．加速度：由F = ma与F = −kx得a = −kx/m，方向始终指向平衡位置。 2．最大位移处：位移最大、回复力最大、加速度最大、速度为零。 3．平衡位置处：位移为零、回复力为零、加速度为零、速度最大。 4．固有周期：T = 2π√(m/k)，只由m与k决定，与振幅无关。 4.(多选)方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像可知下列说法正确的是（　　） A．小球偏离平衡位置的最大距离为10cm B．1 s末到5s末小球的路程为40cm C．2.5s末和4.5s末小球的位移相等，运动方向也相同 D．小球2s完成一次往复运动 【答案】AB 【解析】A．由振动图像可知振幅为，故小球偏离平衡位置的最大距离为10cm，故A正确； B．由振动图像可知周期为，1 s末到5s末小球的路程为振幅的4倍，即40cm，故B正确； C．2.5s末和4.5s末小球的位移大小相等，方向不同，运动方向相反，故C错误； D．由振动图像可知周期为，小球4s完成一次往复运动，故D错误。 故选AB。 【举一反三】 5.如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】物体在与位移大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下振动，叫简谐运动；AD中弹簧振子在水平面上的振动或者在斜面上的振动都是简谐振动；B当小球的摆角不超过5°时也可认为是简谐振动；选项C的图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，不与位移的大小成正比，所以一定不是简谐运动。 故选C。 6.(多选)如图所示为一质点做简谐运动的图像，则下列结论正确的是（     ） A．质点速度最大的时刻分别是0 s、0.4 s B．质点加速度负向最大的时刻分别是0.2 s、0.6 s C．质点的回复力方向由正变负的时刻是0.3 s、0.7 s D．振动系统势能最大、加速度正向最大的时刻是0.2 s、0.6 s 【答案】CD 【解析】A．速度最大出现在平衡位置，对应时刻为；质点在正最大位移处，速度为，故A错误； B．加速度负向最大，对应位移正向最大（与反向），位移正向最大的时刻为；是位移负向最大，对应加速度正向最大，故B错误； C．回复力，方向随变号而改变。由正变负，对应由负变正。由图可知，从负变为正的时刻为，因此回复力方向由正变负的时刻就是这两个时刻，故C正确； D．最大位移处势能最大，质点位移为负最大，因此势能最大；由，时，，为正向最大加速度，故D正确。 故选CD。 7.(多选)如图甲所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及固定底座组成。将弹簧小人静置于桌面上，现用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，在头部通过平衡位置时开始计时，头部相对平衡位置的位移随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．0~0.4s内，头部的位移先增大后减小 B．s和s时，头部的加速度不同 C．0.2~0.6s内，头部的速度大小逐渐增大 D．头部在运动的过程中机械能是不变的 【答案】AB 【解析】A．由图乙得在0～0.2s内，位移增大；在0.2～0.4s内，位移减小，因此位移是先增大后减小，故A正确； B．s和s时，头部的加速度相等，方向相反，加速度不同，故B正确； C．在0.2～0.4s 内，头部从负向最大位移处向平衡位置运动，速度逐渐增大；在0.4～0.6s内，头部从平衡位置向正向最大位移处运动，速度逐渐减小，因此速度大小是先增大后减小，故C错误； D．头部在运动过程中，弹簧的弹性势能与头部的机械能发生相互转化，因此头部的机械能是变化的，故D错误。 故选AB。 75．地心隧道是根据凡尔纳的《地心游记》所设想出的一条假想隧道，它是一条穿过地心的光滑笔直隧道，如图1所示。假设地球的半径为R，质量均匀分布，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。已知均匀球壳对壳内物体引力为零。 (1)求地球的密度ρ。 (2)类比是物理学中重要的思维方法 情境1：如图2所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，从B点释放后，小球相对平衡位置的位移x随时间 t的变化规律可用方程描述，m为小球的质量，其回复力为F=-kx，系统的弹性势能为 小球运动的周期 情境2：不计阻力，将一质量为m₀的物体从隧道口静止释放，发现物体相对地心的位移x随时间 t的变化规律与情境1中小球的运动规律类似，取地心为势能零点。 类比情境1，求出物体运动的周期T和x位置处的势能 Ep表达式。 (3)若在地面上任意两点之间沿直线开挖，如图3所示，不计阻力，将一质量为 的物体从此隧道口静止释放，分析比较两种情境贯穿隧道的时间。 【答案】(1) (2)， (3)两种情境贯穿隧道的时间相等，均为 【解析】（1）各物理量均采用国际单位制，设地球质量为，根据球体体积公式有 地球表面的物体所受万有引力等于重力，根据万有引力定律有 约去并代入地球质量，得 解得 （2）取地心为坐标原点，隧道方向为轴，物体位于坐标处。以地心为球心、以|x|为半径的球体质量为 由均匀球壳对壳内物体的引力为零可知，物体只受到半径为|x|的球体产生的引力，其沿轴的分力为 代入并化简得 结合，得 与简谐运动回复力公式比较，得 物体运动的周期为 代入解得 取地心为势能零点，类比弹簧振子的弹性势能，物体位于处的势能为 代入解得 （3）设弦形隧道两端为、，地心到弦AB的垂足为，令，则物体相对隧道中点的最大位移为 由上一问可知，地球内部任意位置处的重力加速度方向指向地心，其大小与到地心的距离成正比。设物体相对的坐标为，由于，其中垂直于隧道，故重力加速度沿隧道方向的分量为 因此物体沿弦形隧道的运动仍为简谐运动，其角速度为 周期为 物体从隧道一端由静止释放时位于振动的最大位移处，到达另一端需要半个周期，故弦形隧道中的运动时间为 对于穿过地心的隧道，物体同样从一个最大位移处运动到另一个最大位移处，所需时间为 因此，两种情境贯穿隧道的时间相等。 ▌题型03 简谐运动中的能量转化 1．动能与速度有关，弹性势能与位移大小有关，二者在振动中相互转化。 2．只有弹力做功时机械能守恒：E = Ek + Ep为定值。 3．机械能既等于平衡位置的动能，也等于最大位移处的弹性势能。 4．振幅越大，机械能越大；动能与势能的变化周期均为T/2。 8.一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（     ） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 【答案】B 【解析】A．由图读出振幅为 周期为T=4s 则频率，故A错误； B．t=4s时质点在正向最大位移处，由，知质点具有负方向最大加速度，故B正确； C．由 由图可知t=1s时质点处于平衡位置，则从到的时间内质点的路程为，故C错误； D．该质点的振动方程为，故D错误。 故选B。 【举一反三】 9.图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（     ） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 【答案】C 【解析】A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力与物块A的重力的合力提供，故A错误； B．物块A做简谐运动，在平衡位置运动的速度最大，离平衡位置越远运动速度越小，时物块A的位移比时大；时和时，物块A的位移均为负值，方向相同，故B错误； C．只有当物块A从平衡位置或最大位移处开始运动时，0.2s内经过的路程才为10cm，从其余位置开始运动时0.2s内路程不一定为10cm，故C正确； D．运动过程中头部与弹簧系统机械能守恒，内，头部向上运动，头部的重力势能增大，头部的动能与弹簧的弹性势能之和减小，故D错误。 故选C。 10.(多选)如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于桌面上，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座恰好未能离开地面，不计空气阻力，头部和底座质量相同，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒 B．头部在A点时的加速度大小为2 g C．头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐增大 D．头部从B点向O点运动过程中，整个装置的弹性势能与重力势能之和逐渐减小 【答案】BCD 【解析】A．头部在上下振动的过程中，弹簧的弹力对头部做了功，因此弹簧的弹性势能与头部的机械能（动能与重力势能之和）之间发生了相互转化，头部的机械能是不守恒的，故A错误； B．设头部和底座的质量均为 头部在点刚好静止，说明点是平衡位置，此时弹簧被压缩，弹力 根据题意，底座恰好未能离开地面，说明当头部运动到最高点时，弹簧对底座向上的拉力刚好等于底座的重力，即此时弹簧处于伸长状态，拉力 对最高点处的头部进行受力分析，它受到竖直向下的重力和竖直向下的弹簧拉力，合力 根据牛顿第二定律，加速度，方向竖直向下，故B正确； C．头部从点向点运动的过程中，弹簧由压缩状态逐渐恢复原长再变为伸长状态，弹簧弹力先向上减小后向下增大 设竖直向上为弹簧弹力的正方向，则头部合力为 可知整个过程中合力一直增大，从逐渐增大到，因此加速度也不断增大，从逐渐增大到，故C正确； D．在头部从最低点向平衡位置运动的过程中，高度升高，重力势能增大；弹簧形变量减小，弹性势能减小；动能增大（加速运动）。因为系统的总机械能守恒（动能+重力势能+弹性势能总和不变），动能增加，所以“弹性势能与重力势能之和”必然逐渐减小，故D正确。 故选BCD。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $