第2章 §2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系这一核心知识点，从初中一次函数与方程、不等式的关系延伸，构建“概念引入—解法探究—应用拓展”的学习支架，具体涵盖一元二次不等式的定义、与二次函数零点及方程根的对应关系、不含参数和含参数不等式的求解方法。 该资料以园艺师围矩形区域的实际情境引入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过数形结合分析函数图象与解集关系发展数学思维，例题从基础到含参数分层设计，助于学生用数学语言表达解题过程。课中教师可依托延伸探究突破难点，课后学生通过课时对点练查漏补缺，强化知识应用。

第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标　1.从函数观点看一元二次方程.了解二次函数的零点与方程根的关系.(重点)2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(重难点)3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重点) 导语 初中的时候，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，那么这种联系能否推广到二次函数、一元二次方程和一元二次不等式呢？下面，我们先看看一元二次不等式的形式. 一、一元二次不等式的概念 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m. 由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0<x<12}. 知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 例1　下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0 C.-x2-3x<0 D.>0 答案　C 解析　由一元二次不等式定义可知，C正确. 反思感悟　一元二次不等式是只含一个未知数 且未知数的最高次数是2的不等式，但需要注意二次项的系数不为0.如果不等式含多个字母，且已经指定了未知数，可将其余字母看成相应的系数，若该未知数的最高次数是2，且二次项的系数不为0，这样的不等式也是一元二次不等式. 跟踪训练1　若ab≠0，把a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为　　　　. 答案　b 解析　由ab≠0知，b≠0且a≠0， a2b+2ab2+9>0可化为ba2+2b2a+9>0， 故a的二次项系数为b. 二、一元二次不等式的解法 问题2　如课本51页图2.3-1，二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？ 提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根. 问题3　你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找到x2-12x+20<0的解集吗？ 提示　从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}. 知识梳理 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 例2　(课本例1、例2、例3)解下列不等式： (1)x2-5x+6>0； (2)9x2-6x+1>0； (3)-x2+2x-3>0. 解　(1)对于方程x2-5x+6=0，因为Δ>0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3. 画出二次函数y=x2-5x+6的图象(如图)，结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3}. (2)对于方程9x2-6x+1=0，因为Δ=0，所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2=. 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象(如图)，结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为. (3)不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=-8<0，所以方程x2-2x+3=0无实数根. 画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图). 结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为∅. 因此，原不等式的解集为∅. 例2　求下列不等式的解集： (1)x2-2x-3>0； (2)-x2+6x-9≥0； (3)-2x2+x-6<0. 解　(1)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1，x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(-1，0)和(3，0)，如图所示.结合图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. (2)原不等式可化为x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0，函数y=(x-3)2的图象如图所示， 结合图象可得，原不等式的解集为{x|x=3}. (3)原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0，所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示).结合图象可得，原不等式的解集为R. 反思感悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 跟踪训练2　求下列一元二次不等式的解集： (1)x2-5x>6； (2)4x2-4x+1≤0； (3)-x2+7x>6. 解　(1)由x2-5x>6得x2-5x-6>0， ∵x2-5x-6=0的两根是x=-1或x=6， ∴不等式x2-5x>6的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)4x2-4x+1≤0，即(2x-1)2≤0， 方程(2x-1)2=0的根为x=. ∴不等式4x2-4x+1≤0的解集为. (3)由-x2+7x>6得x2-7x+6<0. 而x2-7x+6=0的两根是x=1或x=6， ∴不等式-x2+7x>6的解集为{x|1<x<6}. 三、含参的一元二次不等式的解法 例3　求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 解　易知方程[x-(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=a-1，x2=a+3，且x1<x2. 故不等式的解集为{x|x<a-1或x>a+3}. 延伸探究1　若将例3中的不等式改成[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)， 该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a，x2=a+3， (1)当1-a>a+3，即a<-1时， 不等式的解集为{x|x>1-a或x<a+3}. (2)当1-a=a+3，即a=-1时， 不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1-a<a+3，即a>-1时， 不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}. 显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了. 延伸探究2　若将延伸探究1中的不等式改成(ax-2)(x+1)>0(a>0)， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 因为a>0，所以>-1， 故不等式的解集为. 由于x1与 x2的大小关系能确定，过程变简单了. 延伸探究3　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 当a<0时，x1=x2=-1的大小关系不确定，需要讨论比较其大小，分3种情况： (1)当-1<<0，即a<-2时， 解得-1<x<； (2)当=-1，即a=-2时，无解； (3)当<-1，即-2<a<0时，解得<x<-1. 综上所述，当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为∅； 当a<-2时，不等式的解集为. 显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了. 延伸探究4　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”，该如何求解呢？ 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 下面讨论x1与 x2的大小关系： (1)若a>0，则>-1， 故不等式的解集为. (2)若a<0， ①当-1<<0，即a<-2时，解得-1<x<； ②当=-1，即a=-2时，无解； ③当<-1，即-2<a<0时，解得<x<-1. 综上所述， 当a>0时，不等式的解集为； 当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为∅； 当a<-2时，不等式的解集为. 延伸探究5　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”，与延伸探究4相比，有什么变化？ 解　不等式中，二次项系数为a，因为a∈R，所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a=0的情况. 当a=0时，原不等式化为-2(x+1)>0，则不等式的解集为{x|x<-1}. 反思感悟　在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法. (2)含参的一元二次不等式的解法. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. 1.下列不等式中是一元二次不等式的是(　　) A.ax2+bx+c>0 B.x3+5x-6>0 C.-x2-x≤5 D.mx2-5y<0 答案　C 解析　由一元二次不等式的定义可知，C正确. 2.函数y=x2-4x+4的零点是(　　) A.(2，0) B.(0，4) C.±2 D.2 答案　D 3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为(　　) A. B. C. D.R 答案　C 解析　3+5x-2x2≤0可化为2x2-5x-3≥0， 即(x-3)(2x+1)≥0，解得x≥3或x≤-. 4.若0<m<1，则不等式(x-m)<0的解集为　　　　. 答案　 解析　∵0<m<1，∴>1>m， 故原不等式的解集为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.(多选)函数y=x2-4x+3的零点为(　　) A.(1，0) B.1 C.(3，0) D.3 答案　BD 2.不等式>0的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 3.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}，B={x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　) A.{1，2，3} B.{1，2} C.{4，5} D.{1，2，3，4，5} 答案　B 解析　由(2x+1)(x-3)<0，得-<x<3，则A= 又x∈N*且x≤5，则x=1，2，3，4，5，所以B={1，2，3，4，5}，故A∩B={1，2}. 4.已知p：x2+2x-3<0，q：x2+x-2<0，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由p：x2+2x-3<0，得-3<x<1， 由q：x2+x-2<0，得-2<x<1， 则p是q的必要不充分条件. 5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　取x=1检验，满足，排除A； 取x=4检验，不满足，排除B，C. 方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0， 即(x-1)(2x+9)≤0，解得-≤x≤1. 6.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　) A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n} 答案　B 解析　方程(m-x)(n+x)=0的两根为m，-n， 因为m+n>0，所以m>-n， 结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略)， 得不等式的解集是{x|-n<x<m}. 7.若关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}，则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是(　　) A.{x|x<-3或x>2} B.{x|-3<x<2} C.{x|x<-2或x>3} D.{x|-2<x<3} 答案　A 解析　∵关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}， ∴a<0且b=2a， 则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0， 可化为ax2+ax-6a<0，即x2+x-6>0， ∴(x-2)(x+3)>0，∴x>2或x<-3， ∴不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. 8.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　　. 答案　{x|x<-2或x>3} 解析　根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图，如图. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}. 9.(5分)已知不等式x(x-a+1)>a的解集是{x|x<-1或x>a}，其中a≠-1，则实数a的取值范围为　　　　　　　. 答案　{a|a>-1} 解析　x(x-a+1)>a⇔(x+1)(x-a)>0. ∵解集是{x|x<-1或x>a}，a≠-1，∴a>-1. 10.(10分)求下列不等式的解集： (1)x2+x-6≤0；(3分) (2)6-2x2-x<0；(3分) (3)3x2-4x+2<0.(4分) 解　(1)原不等式等价于(x+3)(x-2)≤0， 解得-3≤x≤2， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于2x2+x-6>0， 即(2x-3)(x+2)>0， 解得x<-2或x> 所以原不等式的解集为. (3)对于方程3x2-4x+2=0， 因为Δ=(-4)2-4×3×2=-8<0， 所以原不等式的解集为∅. 11.在R上定义运算“☉”：a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 答案　B 解析　根据给出的定义得， x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) =x2+x-2=(x+2)(x-1)， 又x☉(x-2)<0，即(x+2)(x-1)<0， 故实数x的取值范围为{x|-2<x<1}. 12.设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4，[-1.1]=-2，则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是(　　) A.{x|-3≤x≤4} B.{x|-3≤x<4} C.{x|-2≤x≤4} D.{x|-2≤x<4} 答案　D 解析　解关于[x]的不等式[x]2-[x]-6≤0，得-2≤[x]≤3， 由于[x]表示不超过x的最大整数， 可得-2≤x<4. 13.(5分)若关于x的不等式x2-mx<0恰有一个整数解1，则实数m的取值范围为　　　　. 答案　1<m≤2 解析　由x2-mx<0可知x(x-m)<0， ∵x2-mx<0恰有一个整数解1， ∴0<x<m中只有一个整数解1， ∴1<m≤2. 14.(12分)已知a∈R，解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2. 解　不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2等价于ax2+(1-a)x-2(a+1)<0，即[ax+(a+1)](x-2)<0， 当a=0时，不等式可化为x-2<0，解集为{x|x<2}； 当a≠0时，与不等式对应的一元二次方程的两根为x1=-=-1-x2=2. 当a>0时，x1<x2，此时不等式的解集为； 当-<a<0时，x1>x2，此时不等式的解集为； 当a=-时，x1=x2，此时不等式的解集为{x|x≠2}； 当a<-时，x1<x2，此时不等式的解集为. 综上所述，当a=0时，解集为{x|x<2}； 当a>0时，解集为； 当-<a<0时，解集为； 当a=-时，解集为{x|x≠2}； 当a<-时，解集为. 15.已知p：(x-m)2>3(x-m)是q：x2-3x-4≤0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≤-4或m≥4} B.{m|m<-4或m>4} C.{m|-4<m<4} D.{m|-4≤m≤4} 答案　B 解析　对于p，不等式(x-m)2>3(x-m)即(x-m)[x-(m+3)]>0， 则不等式的解集为P={x|x<m或x>m+3}； 对于q，x2-3x-4≤0的解集为Q={x|-1≤x≤4}， 又已知p是q的必要不充分条件， 则Q是P的真子集， 所以m>4或m+3<-1，即m>4或m<-4， 故实数m的取值范围为{m|m<-4或m>4}. 16.(12分)已知a∈R，解关于x的不等式x2-2ax+2≤0. 解　因为Δ=4a2-8，所以当Δ<0，即-<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为∅； 当Δ=0，即a=±时，原不等式对应的方程有两个相等实根， 当a=时，原不等式的解集为{x|x=}， 当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-}； 当Δ>0，即a>或a<-时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1=a-x2=a+且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 综上所述，当-<a<时，原不等式的解集为∅； 当a=时，原不等式的解集为{x|x=}； 当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-}； 当a>或a<-时，原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 学科网（北京）股份有限公司 $